Bồi dưỡng HSG toán 7

Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán 7

- 1 - CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7 PHẦN ĐẠI SỐ Chuyền đề 1: Các bài toán thực hiện phép tính: 1. Các kiến thức vận dụng : - Tính chất của phép cộng , phép nhân - Các phép toán về lũy thừa: a n = . n a a a 1 2 3 ; a m .a n = a m+n ; a m : a n = a m –n ( a ≠ 0, m ≥ n) (a m ) n = a m.n ; ( a.b) n = a n .b n ; ( ) ( 0) n n n a a b b b = ≠ 2 . Một số bài toán : Bài 1: a) Tính tổng : 1+ 2 + 3 +…. + n , 1+ 3 + 5 +…. + (2n -1) b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n+1) 1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2) Với n là số tự nhiên khác không. HD : a) 1+2 + 3 + + n = n(n+1) 1+ 3+ 5+ …+ (2n-1) = n 2 b) 1.2+2.3+3.4+ …+ n(n+1) = [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + … + n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : 3 = [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n( n+1)(n+2)] : 3 = n(n+ 1)(n+2) :3 1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2) = [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: 4 = n(n+1)(n+2)(n+3) : 4 Tổng quát: Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a 2 +… + a n b) Tính tổng : A = 1 2 2 3 1 . . . n n c c c a a a a a a − + + + với a 2 – a 1 = a 3 – a 2 = … = a n – a n-1 = k HD: a) S = 1+ a + a 2 +… + a n ⇒ aS = a + a 2 +… + a n + a n+1 Ta có : aS – S = a n+1 – 1 ⇒ ( a – 1) S = a n+1 – 1 Nếu a = 1 ⇒ S = n Nếu a khác 1 , suy ra S = 1 1 1 n a a + − − b) Áp dụng 1 1 ( ) . c c a b k a b = − với b – a = k Ta có : A = 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n n c c c k a a k a a k a a − − + − + + − = 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 ( ) n n c k a a a a a a − − + − + + − = 1 1 1 ( ) n c k a a − Bài 3 : a) Tính tổng : 1 2 + 2 2 + 3 2 + …. + n 2 b) Tính tổng : 1 3 + 2 3 + 3 3 + … + n 3 HD : a) 1 2 + 2 2 + 3 2 + ….+ n 2 = n(n+1)(2n+1): 6 b) 1 3 + 2 3 + 3 3 + … + n 3 = ( n(n+1):2) 2 Bồi dưỡng HSG Toán 7 - 2 - Bài 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh: a) A = 1 1 1 1 1 3 5 7 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 − − − − − + + + + b) ( ) ( ) 12 5 6 2 10 3 5 2 6 3 9 3 2 4 5 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 125.7 5 .14 2 .3 8 .3 B − − = − + + HD : A = 9 28 − ; B = 7 2 Bài 4: 1, Tính: P = 1 1 1 2 2 2 2003 2004 2005 2002 2003 2004 5 5 5 3 3 3 2003 2004 2005 2002 2003 2004 + − + − − + − + − 2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203 Bài 5: a) TÝnh 115 2005 1890 : 12 5 11 5 5,0625,0 12 3 11 3 3,0375,0 25,1 3 5 5,2 75,015,1 +             −−+− ++− + −+ −+ =A b) Cho 20052004432 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 ++++++=B Chøng minh r»ng 2 1 <B . Bài 6: a) Tính :       −       + +       −− 7 2 14 3 1 12: 3 10 10 3 1 4 3 46 25 1 230. 6 5 10 27 5 2 4 1 13 b) TÝnh 1 1 1 1 2 3 4 2012 2011 2010 2009 1 1 2 3 2011 P + + + + = + + + + HD: Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = …. 2012 2010 1 1 1 1 2011 1 2 2011 MS⇒ = + + + + + + − 2012 2012 2012 2011 2 2011 = + + + − = 1 1 1 1 2012( ) 2 3 4 2012 + + + + c) 10099 4321 )6,3.212,1.63( 9 1 7 1 3 1 2 1 )10099 321( −++−+− −       −−−+++++ =A Bài 7: a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: Bồi dưỡng HSG Toán 7 - 3 - 50 31 . 93 14 1. 3 1 512 6 1 6 5 4 19 2 . 3 1 615 7 3 4. 31 11 1                   −       −+       −− =A b) Chøng tá r»ng: 2004 1 2004 1 3 1 3 1 2 1 1 2222 >−−−−−=B Bài 8: a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 25 13 :)75,2(53,388,0: 25 11 4 3 125505,4 3 4 4:624,81 2 2 2 2           −         +       +       − =A b) Chøng minh r»ng tæng: 2,0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 20042002424642 <−++−+−+−= − nn S Chuyên đề 2: Bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: 1. Kiến thức vận dụng : - . . a c a d bc b d = ⇔ = -Nếu a c e b d f = = thì a c e a b e b d f b d f ± ± = = = ± ± với gt các tỉ số dều có nghĩa - Có a c e b d f = = = k Thì a = bk, c = d k, e = fk 2. Bài tập vận dụng Dạng 1 Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh đẳng thức Bài 1: Cho a c c b = . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 a c a b c b + = + HD: Từ a c c b = suy ra 2 .c a b= khi đó 2 2 2 2 2 2 . . a c a a b b c b a b + + = + + = ( ) ( ) a a b a b a b b + = + Bài 2: Cho a,b,c ∈ R và a,b,c ≠ 0 thoả mãn b 2 = ac. Chứng minh rằng: c a = 2 2 ( 2012 ) ( 2012 ) a b b c + + HD: Ta có (a + 2012b) 2 = a 2 + 2.2012.ab + 2012 2 .b 2 = a 2 + 2.2012.ab + 2012 2 .ac = a( a + 2.2012.b + 2012 2 .c) (b + 2012c) 2 = b 2 + 2.2012.bc + 2012 2 .c 2 = ac+ 2.2012.bc + 2012 2 .c 2 = c( a + 2.2012.b + 2012 2 .c) Bồi dưỡng HSG Toán 7 - 4 - Suy ra : c a = 2 2 ( 2012 ) ( 2012 ) a b b c + + Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu d c b a = th× dc dc ba ba 35 35 35 35 − + = − + HD : Đặt a c k b d = = ⇒ a = kb, c = kd . Suy ra : 5 3 (5 3) 5 3 5 3 (5 3) 5 3 a b b k k a b b k k + + + = = − − − và 5 3 (5 3) 5 3 5 3 (5 3) 5 3 c d d k k c d d k k + + + = = − − − Vậy dc dc ba ba 35 35 35 35 − + = − + Bài 4: BiÕt 2 2 2 2 a b ab c d cd + = + với a,b,c, d ≠ 0 Chứng minh rằng : a c b d = hoặc a d b c = HD : Ta có 2 2 2 2 a b ab c d cd + = + = 2 2 2 2 2 2 2 2 ab a ab b cd c cd d + + = = + + 2 2 2 ( ) ( ) ( ) a b a b c d c d + + = + + (1) 2 2 2 2 a b ab c d cd + = + = 2 2 2 2 2 2 2 2 ab a ab b cd c cd d − + = = − + 2 2 2 ( ) ( ) ( ) a b a b c d c d − − = − − (2) Từ (1) và (2) suy ra : 2 2 ( ) ( ) a b a b a b a b c d c d a b b a c d c d c d d c + −  =  + − + − = ⇒  + − + −  =  + −  Xét 2 TH đi đến đpcm Bài 5 : Cho tØ lÖ thøc d c b a = . Chøng minh r»ng: 22 22 dc ba cd ab − − = vµ 22 22 2 dc ba dc ba + + =       + + HD : Xuất phát từ d c b a = biến đổi theo các hướng làm xuất hiện 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ab a b a c a b a b cd c d b d c d c d − + + = = = = = − + + Bài 6 : Cho d·y tØ sè b»ng nhau: d dcba c dcba b dcba a dcba 2222 +++ = +++ = +++ = +++ TÝnh cb ad ba dc ad cb dc ba M + + + + + + + + + + + = HD : Từ d dcba c dcba b dcba a dcba 2222 +++ = +++ = +++ = +++ Suy ra : 2 2 2 2 1 1 1 1 a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d + + + + + + + + + + + + − = − = − = − ⇒ a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d + + + + + + + + + + + + = = = Nếu a + b + c + d = 0 ⇒ a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d) Bồi dưỡng HSG Toán 7 - 5 - ⇒ cb ad ba dc ad cb dc ba M + + + + + + + + + + + = = -4 Nếu a + b + c + d ≠ 0 ⇒ a = b = c = d ⇒ cb ad ba dc ad cb dc ba M + + + + + + + + + + + = = 4 Bài 7 : a) Chøng minh r»ng: NÕu cba z cba y cba x +− = −+ = ++ 4422 Th× zyx c zyx b zyx a +− = −+ = ++ 4422 b) Cho: d c c b b a == . Chøng minh: d a dcb cba =       ++ ++ 3 HD : a) Từ cba z cba y cba x +− = −+ = ++ 4422 ⇒ 2 2 4 4a b c a b c a b c x y z + + + − − + = = ⇒ 2 2(2 ) 4 4 2 2 a b c a b c a b c a x y z x y z + + + − − + = = = + + (1) 2( 2 ) (2 ) 4 4 2 2 a b c a b c a b c b x y z x y z + + + − − + = = = + + (2) 4( 2 ) 4(2 ) 4 4 4 4 4 4 a b c a b c a b c c x y z x y z + + + − − + = = = − + (3) Từ (1) ;(2) và (3) suy ra : zyx c zyx b zyx a +− = −+ = ++ 4422 Bài 8: Cho zyx t yxt z xtz y tzy x ++ = ++ = ++ = ++ chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn. zy xt yx tz xt zy tz yx P + + + + + + + + + + + = HD Từ zyx t yxt z xtz y tzy x ++ = ++ = ++ = ++ ⇒ y z t z t x t x y x y z x y z t + + + + + + + + = = = ⇒ 1 1 1 1 y z t z t x t x y x y z x y z t + + + + + + + + + = + = + = + ⇒ x y z t z t x y t x y z x y z t x y z t + + + + + + + + + + + + = = = Nếu x + y + z + t = 0 thì P = - 4 Nếu x + y + z + t ≠ 0 thì x = y = z = t ⇒ P = 4 Bài 9 : Cho 3 số x , y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện : y z x z x y x y z x y z + − + − + − = = Hãy tính giá trị của biểu thức : B = 1 1 1 x y z y z x      + + +  ÷  ÷ ÷      Bài 10 : a) Cho các số a,b,c,d khác 0 . Tính Bồi dưỡng HSG Toán 7 - 6 - T =x 2011 + y 2011 + z 2011 + t 2011 Bit x,y,z,t tha món: 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z t x y z t a b c d a b c d + + + = + + + + + + b) Tỡm s t nhiờn M nh nht cú 4 ch s tha món iu kin: M = a + b = c +d = e + f Bit a,b,c,d,e,f thuc tp N * v 14 22 a b = ; 11 13 c d = ; 13 17 e f = c) Cho 3 s a, b, c tha món : 2009 2010 2011 a b c = = . Tớnh giỏ tr ca biu thc : M = 4( a - b)( b c) ( c a ) 2 Mt s bi tng t Bi 11: Cho dãy tỉ số bằng nhau: 2012 2012 2012 2012a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d + + + + + + + + + + + + = = = Tính cb ad ba dc ad cb dc ba M + + + + + + + + + + + = Bi 12: Cho 3 s x , y , z, t khỏc 0 tha món iu kin : y z t nx z t x ny t x y nz x y z nt x y z t + + + + + + + + = = = ( n l s t nhiờn) v x + y + z + t = 2012 . Tớnh giỏ tr ca biu thc P = x + 2y 3z + t Dng 2 : Vn dng tớnh cht dóy t s bng nhau tỡm x,y,z, Bi 1: Tỡm cp s (x;y) bit : = = 1+3y 1+5y 1+7y 12 5x 4x HD : p dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: + + = = = = = = 1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y 2y 12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12 => 2 2 5 12 y y x x = vi y = 0 thay vo khụng tha món Nu y khỏc 0 => -x = 5x -12 => x = 2. Thay x = 2 vào trên ta đợc: 1 3 2 12 2 y y y + = = =>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y = 1 15 Vậy x = 2, y = 1 15 thoả mãn đề bài Bi 3 : Cho a b c b c a = = v a + b + c 0; a = 2012. Tớnh b, c. HD : t 1 a b c a b c b c a a b c + + = = = = + + a = b = c = 2012 Bi dng HSG Toỏn 7 - 7 - Bài 4 : Tìm các số x,y,z biết : 1 2 3 1y x x z x y x y z x y z + + + + + − = = = + + HD: Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau: 1 2 3 2( ) 1 2 ( ) y x x z x y x y z x y z x y z x y z + + + + + − + + = = = = = + + + + (vì x+y+z ≠ 0) Suy ra : x + y + z = 0,5 từ đó tìm được x, y, z Bài 5 : Tìm x, biết rằng: 1 2 1 4 1 6 18 24 6 y y y x + + + = = HD : Từ 1 2 1 4 1 6 2(1 2 ) (1 4 ) 1 2 1 4 (1 6 ) 18 24 6 2.18 24 18 24 6 y y y y y y y y x x + + + + − + + + + − + = = = = − + − Suy ra : 1 1 1 6 6 x x = ⇒ = Bài 6: T×m x, y, z biÕt: zyx yx z zx y yz x ++= −+ = ++ = ++ 211 (x, y, z 0 ≠ ) HD : Từ 1 1 1 2 2( ) 2 x y z x y z x y z z y x z x y x y z + + = = = + + = = + + + + + − + + Từ x + y + z = 1 2 ⇒ x + y = 1 2 - z , y +z = 1 2 - x , z + x = 1 2 - y thay vào đẳng thức ban đầu để tìm x. Bài 7 : T×m x, y, z biÕt 216 3 64 3 8 3 zyx == vµ 122 222 =−+ zyx Bài 8 : Tìm x , y biết : 2 1 4 5 2 4 4 5 9 7 x y x y x + − + − = = Chuyên đề 3: Vận dụng tính chất phép toán để tìm x, y 1. Kiến thức vận dụng : - Tính chất phép toán cộng, nhân số thực - Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế - Tính chất về giá trị tuyệt đối : 0A ≥ với mọi A ; , 0 , 0 A A A A A ≥  =  − <  - Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối : A B A B+ ≥ + dấu ‘=’ xẩy ra khi AB ≥ 0; A B A B− ≥ − dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0 ( 0) A m A m m A m ≥  ≥ ⇔ >  ≤ −  ; ( ) A m A m hay m A m A m ≤  ≤ ⇔ − ≤ ≤  ≥ −  với m > 0 - Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A 2n ≥ 0 với mọi A ; - A 2n ≤ 0 với mọi A A m = A n ⇔ m = n; A n = B n ⇒ A = B (nếu n lẻ ) hoặc A = ± B ( nếu n chẵn) Bồi dưỡng HSG Toán 7 - 8 - 0< A < B ⇔ A n < B n ; 2. Bài tập vận dụng Dạng 1: Các bài toán cơ bản Bài 1: Tìm x biết a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013 b) 1 2 3 4 2011 2010 2009 2008 x x x x− − − − + − = HD : a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013 ⇒ x( 1 + 2 + 3 + ….+ 2011) = 2012.2013 2011.2012 . 2012.2013 2 x⇒ = 2.2013 2011 x⇒ = b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4 Từ 1 2 3 4 2011 2010 2009 2008 x x x x− − − − + − = ( 2012) 2011 ( 2012) 2010 ( 2012) 2009 ( 2012) 2008 2011 2010 2009 2008 x x x x− + − + − + − + ⇒ + + = 2012 2012 2012 2012 2 2011 2010 2009 2008 1 1 1 1 ( 2012)( ) 2 2011 2010 2009 2008 1 1 1 1 2 : ( ) 2012 2011 2010 2009 2008 x x x x x x − − − − ⇒ + + − = − ⇒ − + + − = − ⇒ = − + + − + Bài 2 Tìm x nguyên biết a) 1 1 1 1 49 1.3 3.5 5.7 (2 1)(2 1) 99x x + + + + = − + b) 1- 3 + 3 2 – 3 3 + ….+ (-3) x = 1006 9 1 4 − Dạng 2 : Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối • Dạng : x a x b+ = + và x a x b x c+ ± + = + Khi giải cần tìm giá trị của x để các GTTĐ bằng không, rồi so sánh các giá trị đó để chia ra các khoảng giá trị của x ( so sánh –a và –b) Bài 1 : Tìm x biết : a) 2011 2012x x− = − b) 2010 2011 2012x x− + − = Bồi dưỡng HSG Toán 7 - 9 - HD : a) 2011 2012x x = (1) do VT = 2011 0,x x nờn VP = x 2012 0 2012x (*) T (1) 2011 2012 2011 2012( ụ ) 2011 2012 (2011 2012): 2 x x v ly x x x = = = = + Kt hp (*) x = 4023:2 b) 2010 2011 2012x x + = (1) Nu x 2010 t (1) suy ra : 2010 x + 2011 x = 2012 x = 2009 :2 (ly) Nu 2010 < x < 2011 t (1) suy ra : x 2010 + 2011 x = 2012 hay 1 = 2012 (loi) Nu x 2011 t (1) suy ra : x 2010 + x 2011 = 2012 x = 6033:2(ly) Vy giỏ tr x l : 2009 :2 hoc 6033:2 Mt s bi tng t: Bi 2 : a) Tìm x biết 431 =++ xx b) Tìm x biết: 426 22 +=+ xxx c) Tìm x biết: 54232 =+ xx Bi 3 : a)Tìm các giá trị của x để: xxx 313 =+++ b) Tỡm x bit: 2 3 2x x x = Bi 4 : tỡm x bit : a) 1 4x b) 2011 2012x Dng : S dng BT giỏ tr tuyt i Bi 1 : a) Tỡm x ngyờn bit : 1 3 5 7 8x x x x + + + = b) Tỡm x bit : 2010 2012 2014 2x x x + + = HD : a) ta cú 1 3 5 7 1 7 3 5 8x x x x x x x x + + + + + + = (1) M 1 3 5 7 8x x x x + + + = suy ra ( 1) xy ra du = Hay 1 7 3 5 3 5 x x x do x nguyờn nờn x {3;4;5} b) ta cú 2010 2012 2014 2010 2014 2012 2x x x x x x + + + + (*) M 2010 2012 2014 2x x x + + = nờn (*) xy ra du = Suy ra: 2012 0 2012 2010 2014 x x x = = Cỏc bi tng t Bi 2 : Tỡm x nguyờn bit : 1 2 100 2500x x x + + + = Bi 3 : Tỡm x bit 1 2 100 605x x x x+ + + + + + = Bi 4 : Tìm x, y thoả mãn: x 1 x 2 y 3 x 4 + + + = 3 Bi 5 : Tỡm x, y bit : 2006 2012 0x y x + HD : ta cú 2006 0x y vi mi x,y v 2012 0x vi mi x Suy ra : 2006 2012 0x y x + vi mi x,y m 2006 2012 0x y x + Bi dng HSG Toỏn 7 - 10 - ⇒ 0 2006 2012 0 2012, 2 2012 0 x y x y x x y x − =  − + − = ⇒ ⇒ = =  − =  Bài 6 : T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n. 2004 4 10 101 990 1000x x x x x= − + − + + + + + + Dạng chứa lũy thừa của một số hữu tỉ Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết : a) 5 x + 5 x+2 = 650 b) 3 x-1 + 5.3 x-1 = 162 HD : a) 5 x + 5 x+2 = 650 ⇒ 5 x ( 1+ 5 2 ) = 650 ⇒ 5 x = 25 ⇒ x = 2 b) 3 x-1 + 5.3 x-1 = 162 ⇒ 3 x -1 (1 + 5) = 162 ⇒ 3 x – 1 = 27 ⇒ x = 4 Bài 2 : Tìm các số tự nhiên x, y , biết: a) 2 x + 1 . 3 y = 12 x b) 10 x : 5 y = 20 y HD : a) 2 x + 1 . 3 y = 12 x ⇒ 2 1 1 2 3 2 3 2 3 x y x y x x x − − + = ⇒ = Nhận thấy : ( 2, 3) = 1 ⇒ x – 1 = y-x = 0 ⇒ x = y = 1 b) 10 x : 5 y = 20 y ⇒ 10 x = 10 2y ⇒ x = 2y Bài 3 : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn : a) 2 m + 2 n = 2 m +n b) 2 m – 2 n = 256 HD: a) 2 m + 2 n = 2 m +n ⇒ 2 m + n – 2 m – 2 n = 0 ⇒ 2 m ( 2 n – 1) –( 2 n – 1) = 1 ⇒ (2 m -1)(2 n – 1) = 1 ⇒ 2 1 1 1 2 1 1 n m m n  − =  ⇒ = =  − =   b) 2 m – 2 n = 256 ⇒ 2 n ( 2 m – n - 1) = 2 8 Dễ thấy m ≠ n, ta xét 2 trường hợp : + Nếu m – n = 1 ⇒ n = 8 , m = 9 + Nếu m – n ≥ 2 thì 2 m – n – 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đó VT chứa TSNT khác 2, mà VT chỉ chứa TSNT 2 suy ra TH này không xẩy ra : vậy n = 8 , m = 9 Bài 4 : Tìm x , biết : ( ) ( ) 1 11 7 7 0 x x x x + + − − − = HD : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 10 7 7 0 7 1 7 0 x x x x x x x + + + − − − =   ⇔ − − − =   ( ) ( ) ( ) 1 10 8 6 1 10 7 0 1 ( 7) 0 7 0 7 ( 7) 1 7 1 7 0 10 x x x x x x x x x x x +    ÷   =   =  + − = − − = − = ⇒ = − = ⇒   ⇔ − − − =     ⇔      ⇔   Bài 5 : Tìm x, y biết : 2012 2011 ( 1) 0x y y− + − = HD : ta có 2011 0x y− ≥ với mọi x,y và (y – 1) 2012 ≥ 0 với mọi y Bồi dưỡng HSG Toán 7 [...]... - 5b + 6c 17 nếu a - 11b + 3c 17 (a, b, c Z) Bi 6 : a) Chứng minh rằng: 3a + 2b 17 10a + b 17 (a, b Z ) b) Cho đa thức f ( x) = ax 2 + bx + c (a, b, c nguyên) CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3 17 17 17 17 HD a) ta cú 17a 34 b M v 3a + 2b M 17a 34b + 3a + 2b M 2(10a 16b)M 10a 16bM vỡ (2, 7) = 1 10a + 17b 16bM 10a + bM 17 17 17 3 3 b) Ta cú... 1 chia hết cho 7 HD : Vi n < 3 thỡ 2n khụng chia ht cho 7 Vi n 3 khi ú n = 3k hoc n = 3k + 1 hoc n = 3k + 2 ( k N * ) 7 Xột n = 3k , khi ú 2n -1 = 23k 1 = 8k 1 = ( 7 + 1)k -1 = 7. A + 1 -1 = 7. A M n 3k+1 3k Xột n = 3k +1 khi ú 2 1 = 2 1 = 2.8 1 = 2.(7A+1) -1 = 7A + 1 khụng chia ht cho 7 Xột n = 3k+2 khi ú 2n 1 = 23k +2 -1 = 4.83k 1 = 4( 7A + 1) 1 = 7 A + 3 khụng chia ht cho 7 Vy n = 3k vi... rằng: A = 3638 + 4133 chia hết cho 7 HD: a) Ta cú 101998 = ( 9 + 1)1998 = 9.k + 1 ( k l s t nhiờn khỏc khụng) 4 = 3.1 + 1 Suy ra : A = 101998 4 = ( 9.k + 1) ( 3.1+1) = 9k -3 chia ht cho 3 , khụng chia ht cho 9 b) Ta cú 3638 = (362)19 = 129619 = ( 7. 185 + 1) 19 = 7. k + 1 ( k N*) 4133 = ( 7. 6 1)33 = 7. q 1 ( q N*) 7 Suy ra : A = 3638 + 4133 = 7k + 1 + 7q 1 = 7( k + q) M Bi 5 : a) Chứng minh rằng:... 15 = 4 (1 + 12 x 15 ) 23 C ln nht khi 12 x 15 ln nht 12 x 15 nh nht v 12 x 15 > 0 x = 2 Vy Max C = 3 23 8 (1 + ) = khi x = 2 4 9 3 7n 8 có giá trị lớn nhất 2n 3 7n 8 7 2 (7 n 8) 7 14n 16 7 5 HD : Ta cú 2n 3 = 2 7( 2n 3) = 2 14n 21 = 2 (1 + 14n 21) 7n 8 5 ln nht thỡ ln nht 14n 21 > 0 v 14n 21 cú giỏ tr nh 14n 21 2n 3 21 3 nht n > = v n nh nht n = 2 14 2 * Dng vn dng A 0, A ,... b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 7( x 2004)2 = 23 y 2 c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6 d) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1 HD: a) T 51x + 26y = 2000 17. 3.x = 2.( 1000 13 y) do 3, 17 l s NT nờn x M 2 51 m x NT x = 2 Li cú 1000 13y M , 1000 13y > 0 v y NT y = b) T 7( x 2004)2 = 23 y 2 (1) do 7( x2004)2 0 23 y 2 0 y 2 23 y {0, 2,3, 4} 7 Mt khỏc 7 l s NT 13 y 2 M vy y = 3... lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc 5 cây, Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh Biết rằng số cây mỗi lớp trồng đợc đều nh nhau Bi 3 : Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định Sau khi đi đợc nửa quãng đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút Bi dng HSG. .. 3n 2n = 3n + 2 + 3n 2n + 2 2n = 3n (32 + 1) 2n (2 2 + 1) Bi dng HSG Toỏn 7 - 16 = 3 ì 2n ì5 = 3n ì 2n1 ì 10 10 10 n n = 10( 3 -2 ) n+2 n+ 2 n n Vy 3 2 + 3 2 M10 vi mi n l s nguyờn dng Bi 2 : Chng t rng: 2004 A = 75 (4 + 42003 + + 42 + 4 + 1) + 25 l s chia ht cho 100 HD: A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + 4 + 1) + 25 = 75 .( 42005 1) : 3 + 25 = 25( 42005 1 + 1) = 25 42005 chia ht cho 100... cho 3 a M Vy a, b, c u chia ht cho 3 102006 + 53 Bi 7 : a) Chứng minh rằng là một số tự nhiờn 9 b) Cho 2n + 1 là số nguyên tố (n > 2) Chứng minh 2n 1 là hợp số HD : b) ta cú (2n +1)( 2n 1) = 22n -1 = 4n -1 (1) Do 4n- 1 chia hờt cho 3 v 2n + 1 là số nguyên tố (n > 2) suy ra 2n -1 chia ht cho 3 hay 2n -1 l hp s Bi dng HSG Toỏn 7 - 17 - Chuyờn 7 : Bt ng thc 1.Kin thc vn dng * K thut lm tri : Nu a1... = 2 y x = 3 x 1 = y y = 2 do VP = 2y2 chia ht cho 2 suy ra x > 2 , mt khỏc y nguyờn t Bi 2 a) Tỡm cỏc s nguyờn tha món : x y + 2xy = 7 b) Tỡm x, y Ơ bit: 25 y 2 = 8( x 2012)2 HD : a) T x y + 2xy = 7 2x 2y + 2xy = 7 (2x - 1)( 2y + 1) = 13 Bi dng HSG Toỏn 7 - 12 b) T 25 y = 8( x 2012) y2 25 v 25 y2 chia ht cho 8 , suy ra y = 1 hoc y = 3 hoc y = 5 , t ú tỡm x 1 1 1 + = Bi 3 a) Tìm giá trị... EM + HC = NH b) Chứng minh: EN // FM Bi dng HSG Toỏn 7 - 27 a) *Phõn tớch tỡm li gii cm EM + HC = NH Cn cm EM = AH v HC = AN + cm EM = AH cn cm AEM =BAH ( cnh huyn gúc nhon) + cm HC = AN cn cm AFN =CAH ( cnh huyn gúc nhon) b) cm EN // FM ã ã AEF = EFN ( cp gúc so le trong) Gi I l giao im ca AN v EF ã cm ã AEF = EFN Cn cm MEI = NFI ( g.c.g) Bi 7 : Cho tam ABC vuụng ti A , đờng cao AH, trung . ) 1 11 7 7 0 x x x x + + − − − = HD : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 10 7 7 0 7 1 7 0 x x x x x x x + + + − − − =   ⇔ − − − =   ( ) ( ) ( ) 1 10 8 6 1 10 7 0 1 ( 7) 0 7 0 7 ( 7) 1 7 1 7 0 10 x x x x x x x. đều chia hết cho 3 HD a) ta cú 17a 34 b 17M v 3a + 2b 17 17 34 3 2 17 2(10 16 ) 17a b a b a b + + M M M 10 16 17a b M vỡ (2, 7) = 1 10 17 16 17 10 17a b b a b + +M M b) Ta cú f(0). lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây. Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc 5 cây,. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh.