PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG THỐNG KÊ

Những khoảng thời gian giữa các sự kiện liên tiếp của một quá trìnhPoisson với tham số là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối mũ với trung bình 1=... Một biến ngẫu nhiên có phân ph

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:PGS.TS NGUYỄN BÁC VĂN

TP Hồ Chí Minh - 2010

Lời cảm ơn

Tôi xin gửi lời cám ơn chân thành và sâu sắc nhất đến PGS.TS NguyễnBác Văn, người đã tận tình giảng dạy và dìu dắt, giúp đỡ tôi trong quátrình học tập và hoàn thành luận văn

Tôi xin trân trọng cảm ơn TS Tô Anh Dũng, các thầy cô khoa Toán- tinhọc và đặc biệt là các thầy cô, đồng nghiệp trong bộ môn Xác suất - Thống

kê đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã tin tưởng và động viên tôitrong suốt thời gian qua

TP HCM, tháng 5 năm 2010

Hoàng Văn Hà

Lời nói đầu

Mô phỏng là một phương pháp số để thực hiện các thí nghiệm trên máytính Nó cho phép ta xây dựng và kiểm tra các mô hình trong thực tế.Trong thống kê, các thí nghiệm mô phỏng thường được sử dụng để nghiêncứu những tính chất của các phương pháp thống kê Nhiều quá trình ngẫunhiên trong thực tế đã được mô phỏng trên máy tính với sự trợ giúp của

 Chương 2 trình bày các phương pháp tạo số ngẫu nhiên

 Chương 3 và 4 trình bày cách tạo biến ngẫu nhiên rời rạc và biếnngẫu nhiên liên tục

 Chương 5 giới thiệu về phương pháp bootstrap và thực hiện một thínghiệm mô phỏng Monte Carlo để so sánh cách tính trung vị theophương pháp bootstrap

Mục lục

1.1 Luật số lớn 5

1.2 Một vài biến ngẫu nhiên rời rạc cơ bản 5

1.3 Biến ngẫu nhiên liên tục 6

1.4 Quá trình Poisson và biến ngẫu nhiên có phân phối Gamma 8 1.5 Quan hệ đồng dư và căn nguyên thủy 10

1.6 Trung vị 11

2 Số ngẫu nhiên 12 2.1 Tạo số giả ngẫu nhiên 12

2.1.1 Giới thiệu 12

2.1.2 Phương pháp Đồng dư tuyến tính tạo số giả ngẫu nhiên 12

2.1.3 Kiểm tra dãy số giả ngẫu nhiên 15

2.2 Một số ứng dụng 18

2.2.1 Tính tích phân 18

2.2.2 Ước lượng số  20

3 Tạo biến ngẫu nhiên rời rạc 22 3.1 Phương pháp biến đổi ngược 22

3.2 Phương pháp Bác bỏ 28

3.3 Phương pháp hỗn hợp 30

MỤC LỤC

4.1 Phương pháp Bác bỏ 37

4.2 Phương pháp tọa độ cực tạo biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn 42

4.3 Tạo một quá trình Poisson 45

5 Ứng dụng 46 5.1 Đặt vấn đề 46

5.2 Phân phối bootstrap 47

5.3 Phân phối bootstrap trong trường hợp đối xứng 51

5.4 Làm trơn mẫu bootstrap 54

5.5 Thí nghiệm mô phỏng 55

X1 C


C Xn

ˇˇˇˇ

P

lim

1.2 Một vài biến ngẫu nhiên rời rạc cơ bản

Biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức

Thực hiện n phép thử độc lập, mỗi phép thử chỉ xảy ra hai khả năng:

"thành công" với xác suất là p hoặc "thất bại" với xác suất 1 p Đặt

X D số lần thành công trong n phép thử, thì X gọi là có phân phối nhịthức với tham số n; p/, ký hiệu X  B.n; p/

P X D i/ D Cnipi.1 p/n i; i D 0; 1; : : : ; nnŠ

1.3 Biến ngẫu nhiên liên tục

Biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson

Biến ngẫu nhiên X nhận một trong các giá trị 0; 1; 2; : : : được gọi là cóphân phối Poisson với tham số  > 0, nếu hàm xác suất của nó được xácđịnh bởi

P X D i/ D e 

i

i Š; i D 0; 1; : : :

Ký hiệu X  P /, và EX D VarX D 

Biến ngẫu nhiên có phân phối Hình học

Xét n phép thử độc lập, mỗi phép thử có xác suất thành công là p Đặt

X D số phép thử cho đến khi lần thành công đầu tiên xảy ra, ta có

P X D n/ D p.1 p/n 1; n  1Biến ngẫu nhiên X có hàm xác suất như trên gọi là có phân phối hình họcvới tham số p Khi đó EX D P1

nD1np.1 p/n 1 D 1

p2

1.3 Biến ngẫu nhiên liên tục

Biến ngẫu nhiên có phân phối đều

Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối đều trên khoảng a; b/ nếu hàmmật độ xác suất của nó được xác định bởi

1.3 Biến ngẫu nhiên liên tục

Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối chuẩn với kỳ vọng  và phươngsai 2 nếu hàm mật độ xác suất xác định bởi

p2e

Hàm phân phối xác suất của Z

ˆ.z/ D p1

2

Z z 1

e z2=2dz; 1 < z < C1

Biến ngẫu nhiên có phân phối mũ

Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối mũ với tham số  > 0 nếu hàmmật độ xác suất

f x/ D e x; 0 < x <1Hàm phân phối xác suất F x/ D Rx

0 e x D 1 e x; 0 < x < 1 Kỳ

, phương sai VarX D 1

2.Biến ngẫu nhiên có phân phối tam giác

Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối tam giác nếu nó có hàm mật độxác suất

f x/ D

8ˆˆ

1.4 Quá trình Poisson và biến ngẫu nhiên có phân phối Gamma

với a, b lần lượt là chận dưới và chận trên a < b, c là mode của phân phối

(a) N.0/ D 0

(b) Số các sự kiện xảy ra trong các khoảng thời gian rời nhau là độc lập.(c) Phân phối của số các sự kiện xảy ra trong một khoảng thời gian chotrước chỉ phụ thuộc vào độ dài của khoảng đó mà không phụ thuộcvào vị trí của khoảng đó

(d) limh!0 P N.h/h D1/ D 

(e) limh!0 P N.h/2/h D 0

Ta có hai kết quả sau:

1 Những khoảng thời gian giữa các sự kiện liên tiếp của một quá trìnhPoisson với tham số  là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối

mũ với trung bình 1= Thật vậy, gọi Xn là là thời gian giữa sự kiệnthứ n 1 và n, dãy fXn; n D 1; 2; : : :g gọi là dãy các thời điểm tới

Ví dụ, nếu X1 D 5 và X2 D 10 thì sự kiện thứ nhất xảy ra tại thờiđiểm 5 và sự kiện thứ hai xảy ra tại thời điểm 15 Để tìm phân phốicủa Xn, chú ý rằng sự kiện fX1 > tg xảy ra khi và chỉ khi không có

sự kiện nào của quá trình Poisson xảy ra trong khoảng Œ0; t , do đó

P X1 > t /D P N.t/ D 0/ D e t

Do đó X1, có phân phối mũ với trung bình 1= Tương tự, phân phốicủa X2

P X2 > tjX1 D s/ D P 0 sự kiện xảy ra trong s; s C tjX1 D s/

D P 0 sự kiện xảy ra trong s; s C t/ D e t

1.4 Quá trình Poisson và biến ngẫu nhiên có phân phối Gamma

vậyX2 cũng có phân phối mũ với trung bình1= Tương tự X3; : : : ; Xncũng có phân phối mũ với trung bình 1=

2 Một biến ngẫu nhiên có phân phối Gamma với tham số n; / cóthể được biểu diễn bằng tổng của n biến ngẫu nhiên độc lập Xi; i D1; : : : ; n có cùng phân phối mũ với tham số  Chứng minh:

Định nghĩa: Một biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất

f t / D e t .t /

n 1

.n 1/Š; t > 0thì được gọi là có phân phối gamma với tham số n; /

Mà Sn D Pn

iD1Xi chính là tổng các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối

mũ với tham số 

1.5 Quan hệ đồng dư và căn nguyên thủy

Quan hệ đồng dư Giả sử m là một số nguyên dương Ta nói số nguyên a

và b đồng dư với nhau modulo m nếu m chia hết hiệu a b Ký hiệu a  b.mod m/ Như vậy, a  b mod m/ khi và chỉ khi tồn tại số nguyên k saocho aD b C km

Định nghĩa 1.1 Phi hàm Euler .n/ là hàm số học có giá trị tại n bằng

số các số nguyên dương không vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n(Hai số nguyên a và b gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng có ước chunglớn nhất bằng 1)

Ví dụ: .1/ D 1, .2/ D 1, .3/ D 2, .4/ D 2, .5/ D 4, .6/ D 2.Định nghĩa 1.2 Giả sử a và m là các số nguyên dương nguyên tố cùngnhau Khi đó số nguyên nhỏ nhất x thỏa mãn đồng dư thức

ax  1 mod m/ được gọi là bậc của a modulo m Ký hiệu x D ordma.Định nghĩa 1.3 Nếu r và n là các số nguyên tố cùng nhau, n > 0, vànếu ordnr D .n/ thì r được gọi là căn nguyên thủy modulo n Chú ý rằngkhông phải mọi số đều có căn nguyên thủy

Định lý sau chỉ ra sự tồn tại của căn nguyên thủy

Định lý 1.2 Số nguyên dương n có căn nguyên thủy khi và chỉ khi cómột trong các dạng sau

n D 2; 4; pt; 2pt;trong đó p là số nguyên tố lẻ, t là số nguyên dương

Như vậy để kiểm tra a có là căn nguyên thủy modulo n hay không,trước tiên ta kiểm tra xem có tồn tại căn nguyên thủy của n; tiếp theoxác định bậc của a modulo n, tức là ordna Nếu ordna D .n/ thì a làcăn nguyên thủy

Ví dụ: với n D 14, ta thấy n D 2:.7/ nên n có căn nguyên thủy Tập hợpcác số nguyên tố cùng nhau với n và không quá n là N D f1; 3; 5; 9; 11; 13gsuy ra .14/ D 6

Trong các giá trị trên, ta thấy ord143 D ord145 D .14/ D 6 Do đó 3

và 5 là căn nguyên thủy modulo 14

Định nghĩa 1.4 Cho biến ngẫu nhiên X bất kỳ, trung vị của X , ký hiệuMed.X /, là giá trị m của biến ngẫu nhiên X sao cho

8ˆ

ˆ

P X  m/ 

12

P X  Med.X // D P X  Med.X //

Để làm rõ khái hơn về khái niệm trung vị, ta có thể hiểu trung vị qua

ví dụ sau: giả sử ta có một dây vàng, khi đó trung vị là điểm mà khi talấy kéo cắt tại điểm đó thì được 2 dây vàng có khối lượng bằng một nửakhối lượng ban đầu (giả sử dây vàng có khối lượng 1) Trung vị luôn tồntại nhưng có thể không duy nhất Thật vậy, giả sử trên dây vàng có mộtđoạn ở giữa không có tí vàng nào, khối lượng vàng được chia làm 2 phầnrải ở 2 đầu sợi dây, thì khi đó ta cắt bất kỳ chỗ nào trong đoạn không

có vàng ta đều thu được khối lượng vàng của 2 sợi dây sau khi cắt bằng

bị vật lý như máy đo nhiễu Các phương pháp kể trên mặc dù tạo đượccác số ngẫu nhiên thực sự nhưng có nhiều nhược điểm như thủ công, tốnnhiều thời gian, và khó khăn trong việc tạo ra nhiều số ngẫu nhiên Với

sự phát triển của máy tính điện tử, việc sử dụng máy tính điện tử để tạocác số ngẫu nhiên trở nên dễ dàng và tiện lợi hơn các phương pháp truyềnthống Số ngẫu nhiên được tạo từ máy tính là số giả ngẫu nhiên, số giảngẫu nhiên này có đầy đủ các tính chất thống kê như số ngẫu nhiên thực

sự Những số giả ngẫu nhiên là một dãy các giá trị trông như những biếnngẫu nhiên độc lập và có phân phối đều trên khoảng 0; 1/

Phương pháp cơ bản để tạo các số giả ngẫu nhiên thường được dùng

là phương pháp đồng dư tuyến tính Nội dung của phương pháp là xuất

2.1 Tạo số giả ngẫu nhiên

phát từ một giá trị nguyên không âm x0, gọi là nhân, sau đó tính toán đệquy ra những giá trị liên tiếp xn; n 1 theo công thức

với a; b và m là những số nguyên dương cho trước Khi b D 0 ta có

xn D axn 1 mod m Như vậy, xn chính là số dư của phép chia số nguyêndương axn 1Cb cho số nguyên m, mỗi xn có giá trị trong số 0; 1; : : : ; m 1.Đặt

un D xn

thì ta thu được số giả ngẫu nhiên un, giá trị un này được dùng để xấp xỉgiá trị của một biến số ngẫu nhiên có phân phối đều trong khoảng 0; 1/

Vì mỗi xn được xác định bởi xn 1 và xn nhận giá trị trong số 0; 1; : : : ;

m 1 do đó m C 1 giá trị x0; x1; : : : ; xm không duy nhất, cho nên sẽ có

ít nhất một giá trị lặp lại hai lần, chẳng hạn xi và xiCk Như vậy các giátrị xi; : : : ; xiCk 1 sẽ lặp lại trong xiCk; : : : ; xiC2k 1, suy ra rằng chu kỳ củadãy fxn; n 1g là số nguyên dương k  m Như vậy sau một số bước hữuhạn, nhiều nhất là m bước, thì những giá trị xn sẽ lặp lại và nếu điều nàyxảy ra thì toàn bộ dãy số sẽ lặp lại

Ví dụ, từ 2:1/ nếu ta chọn a D b D 1 và x0 D 0, với bất kỳ m nguyên

2.1 Tạo số giả ngẫu nhiên

Do vậy, để tạo được dãy số giả ngẫu nhiên có chu kỳ lớn nhất, các hằng

số trong phương trình 2:1/ phải thỏa ba điều kiện sau

 Với nhân x0 bất kỳ, kết quả được tạo ra là giá trị của những biến sốngẫu nhiên có phân phối đều trong khoảng 0; 1/

 Số lượng các số giả ngẫu nhiên được tạo ra là lớn trước khi xảy ra sựlặp lại

 Máy tính có thể xử lý được với các hằng số đã chọn

Những tính toán trong lý thuyết số học ([9], [12], [14]) đã chứng minhrằng để có được chu kỳ lớn nhất và máy tính điện tử có thể tính toán dễdàng thì các hằng số a, b và m cần được chọn theo một trong ba cách sau

1 m là số nguyên tố, a là căn nguyên thủy modulo m, b D 0 và x0 ¤ 0,với cách chọn này chu kỳ của dãy số giả ngẫu nhiên bằng m

2 m là lũy thừa của 2, a  5 mod 8, b lẻ, khi đó chu kỳ bằng m

3 m là lũy thừa của 2, a  5 mod 8, b D 0 và x0 lẻ, khi đó chu kỳbằng m=4

Trong các máy tính32-bit, người ta thường chọn m D 231 1 D 2147483647(số nguyên tố Mersenne) và a D 75 D 16807

Một cách khác để tạo số giả ngẫu nhiên là sử dụng công thức sau

un D Phần thập phân củaŒ. C un 1/5 (2.3)với  D 3:1415927 : : : và đi từ u0 là giá trị bất kỳ trong khoảng 0; 1/.Dãy các giá trị u1; u2; u3; : : : cũng là các số giả ngẫu nhiên

2.1 Tạo số giả ngẫu nhiên

Để kiểm tra dãy số giả ngẫu nhiên được tạo từ các phương pháp trên cótuân theo luật phân phối đều trong khoảng 0; 1/ hay không, ta dùng cáccách sau

 Sử dụng các phương pháp kiểm định phân phối của một biến ngẫunhiên (Chi bình phương, Kolmogorov - Smirnov)

 Vẽ biểu đồ tổ chức tần số của dãy các số giả ngẫu nhiên vừa tạo được

và so sánh với biểu đồ tổ chức tần số của biến ngẫu nhiên có phânphối đều trong khoảng 0; 1/

Ví dụ 2.1 Tạo 10000 số giả ngẫu nhiên theo phương pháp đồng dư tuyếntính với x0 D 19, a D 65539, b D 0 và m D 213 Để kiểm tra các số giảngẫu nhiên vừa tạo, ta chia đoạn Œ0; 1 thành 20 khoảng con và đếm số các

số giả ngẫu nhiên trong mỗi khoảng con Số liệu cụ thể cho bởi bảng 2.1

2.1 Tạo số giả ngẫu nhiên

Hình 2.1: Biểu đồ tổ chức tần số cho 10000 số giả ngẫu nhiên tạo theo phương trình 2:1/.

Kinh nghiệm, khi tạo các số giả ngẫu nhiên bằng phương pháp đồng dưtuyến tính, để xấp xỉ tốt biểu đồ tần suất của phân phối đều trong 0; 1/,nên lấy a, b, m như sau

2.1 Tạo số giả ngẫu nhiên

Ví dụ 2.2 Tạo 10000 số giả ngẫu nhiên theo phương trình 2:3/

un D Phần thập phân củaŒ. C un 1/5với u0 D 0:41235 Để vẽ biểu đổ tổ chức tần số, ta chi đoạn Œ0; 1 thành

25 đoạn con, số liệu cụ thể ở bảng tần số bên dưới

g.x/dxvới hàm số g.x/ cho trước Để tính  , lưu ý rằng nếu U là một biến ngẫunhiên có phân phối đều trong khoảng 0; 1/ thì

 D EŒg.U /

Nếu U1; : : : ; Uk là những biến ngẫu nhiên độc lập và có phân phối đềutrên khoảng.0; 1/ suy ra những biến ngẫu nhiên g.U1/; : : : ; g.Uk/ là nhữngbiến ngẫu nhiên độc lập, có cùng phân phối với kỳ vọng là  Theo luậtmạnh số lớn,

Z 1 0

h.y/dyvới h.y/ D b a/gŒaC b a/y và tính tương tự như trường hợp trên

Z 1 0

: : :

Z 1 0

U1k; : : : ; Unkkhi đó g.U1i; : : : ; Uni/, i D 1; : : : ; k là những biến ngẫu nhiên độc lập cócùng phân phối với kỳ vọng  , suy ra, theo luật mạnh số lớn

2.2 Một số ứng dụng

Xét một hình vuông có diện tích là 4, tâm O.0; 0/ Khi ta gieo ngẫu nhiênmột điểm có tọa độ X; Y / trong hình vuông, thì xác suất điểm này thuộcđường tròn tâm O, bán kính 1 là

Pf.X; Y / 2 đường tròng D P X2 C Y2  1/

D Diện tích hình trònDiện tích hình vuông D 

4Dựa vào điều này, ta có thể dùng số ngẫu nhiên để ước lượng số  Nếu

X và Y độc lập và có phân phối đều trên đoạn 1; 1/ thì hàm mật độđồng thời của X; Y / là

có phân phối đều trong hình vuông Để ý rằng nếu U có phân phối đềutrên 0; 1/ thì 2U có phân phối đều trên 0; 2/ và do đó 2U 1 có phânphối đều trên 1; 1/ Vì vậy nếu tạo những số ngẫu nhiên U1 và U2, vàđặt X D 2U1 1, Y D 2U2 1, và

(1; X2 C Y2  10; nếu khácthì

EŒI D P X2 C Y2  1/ D 

4

Do vậy ta ước lượng =4 bằng cách tạo ra một số lớn các cặp số ngẫunhiên u1; u2/ và tính tỷ số những cặp thỏa điều kiện 2u1 1/2 C 2u2

1/2  1 trên tổng số các cặp tạo được, từ đó suy ra giá trị gần đúng của số

 Bảng 2:4 cung cấp giá trị ước lượng của số  với 10 cỡ mẫu khác nhau

Chương 3

Tạo biến ngẫu nhiên rời rạc

Chương 2 đã trình bày phương pháp tạo số (giả) ngẫu nhiên Trong chương

3 sẽ trình bày các phương pháp tạo biến ngẫu nhiên rời rạc đi từ các sốngẫu nhiên trên (trong chương này, khi nói số ngẫu nhiên ta hiểu là sốngẫu nhiên có phân phối đều trong khoảng 0; 1/)

Xét một biến ngẫu nhiên có hàm phân phối xác suấtF Phương pháp tổngquát để tạo một biến ngẫu nhiên, gọi là phương pháp Biến đổi ngược, dựavào mệnh đề sau

Mệnh đề 3.1 Xét U là một biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên 0; 1/.Với bất kỳ hàm phân phối xác suất F nào liên tục trái, biến ngẫu nhiên

X được định nghĩa như sau

X D F 1.U / D sup fy W F y/  U g

sẽ có phân phối F , tức P X < x/ D F x/

Mệnh đề trên chỉ ra rằng có thể tạo một biến ngẫu nhiênX có hàm phânphối xác suất F bằng cách tạo một số ngẫu nhiên U và đặt X D F 1.U /

3.1 Phương pháp biến đổi ngược

Áp dụng thuật toán biến đổi ngược trong trường hợp tạo biến ngẫunhiên rời rạc, giả sử ta muốn tạo giá trị của một biến ngẫu nhiên rời rạc

X có phân phối xác suất như sau

<

ˆˆˆ:

Bởi P a  U < b/ D b a với 0 < a < b < 1, nên ta có

1 Xác định xác suất pj cho mỗi xj; j D 0; 1; 2; : : : ; k (có thể k ! 1)

2 Tạo số ngẫu nhiên U

3 Nếu U  p0, đặt X D x0

4 Nếu U  p0 C p1, đặt X D x1

5 Nếu U  p0 C p1 C p2, đặt X D x2

3.1 Phương pháp biến đổi ngược

Hình 3.1: Minh họa phương pháp biến đổi ngược cho biến ngẫu nhiên rời rạc.

Ví dụ 3.1 Tạo biến ngẫu nhiên X thỏa

P X D 0/ D 0:3, P X D 1/ D 0:2, P X D 2/ D 0:5

F x/ D

8ˆˆ

<

ˆˆ:

0; x < 00:3; 0  x < 10:5; 1  x < 2

Tạo số ngẫu nhiên U và tạo biến ngẫu nhiên X như sau

8ˆ

ˆ

0; U < 0:31; 0:3  U < 0:52; 0:5  U < 1

Ví dụ 3.2 Giả sử ta cần tạo biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối đềunhận giá trị trong 1; 2; : : : ; n Tức là, P X D j / D 1

n, j D 1; : : : ; n Đểthực hiện, tạo số ngẫu nhiên U và đặt

n  U < j

n

3.1 Phương pháp biến đổi ngược

Ví dụ 3.4 (Tạo biến ngẫu nhiên có phân phối hình học) Biến ngẫu nhiên

X có phân phối hình học với tham số p, kí hiệu X  G.p/, nếu

3.1 Phương pháp biến đổi ngược

nên ta tạo giá trị của X bằng cách tạo một số ngẫu nhiên U và đặt X D jnếu

1 qj 1  U < 1 qj , qj < 1 U  qj 1Như vậy, ta đặt X như sau

X  I nt  log.U /

log.q/



C 1

Ví dụ 3.5 (Tạo biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson) Biến ngẫu nhiên

X có phân phối Poisson với số tham số  nếu

Từ 3:2/ và sử thuật toán Biến đổi ngược, các bước tạo biến ngẫu nhiên

X có phân phối Poisson với tham số  như sau

1 Tạo số ngẫu nhiên U

2 i D 0, p D e , F D p

3 Nếu U < F , đặt X D i và dừng

3.1 Phương pháp biến đổi ngược

4 Nếu không, đặt p D p

.i C 1/, F D F C p, i D i C 1

5 Quay trở lại bước 3

với F D F i/ D P X < i/, p D pi D P X D i/

Thuật toán sẽ lần lượt kiểm tra các giá trị từ 0; 1; 2; : : : ; ::: Do vậy, sốlần kiểm tra là iC 1, trung bình cần  C 1 lần kiểm tra Trong trường hợp

 lớn, để ý rằng biến ngẫu nhiên Poisson với trung bình  sẽ nhận các giátrị nguyên gần với , do vậy thay vì bắt đầu kiểm tra từ 0 ta kiểm tra từgiá trị I D I nt./ Tính F I / và tạo số ngẫu nhiên U , ta kiểm tra xem

X  I hay không bằng cách xét U  F I / hay không, nếu có ta sẽ kiểmtra từ giá trị I trở xuống hoặc từ IC1 trở lên trong trường hợp U  F I /

Ví dụ 3.6 (Tạo biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức) Biến ngẫu nhiên

X có phân phối nhị thức với tham số n và p, ký hiệu X  B.n; p/ nếu

Đặt pr D P X D i/; F D F i/ D P X < i/,

1 Tạo số ngẫu nhiên U

2 c D p=.1 p/; i D 0; pr D 1 p/n; F D pr

3.2 Phương pháp Bác bỏ

4 Ngược lại, đặt pr D  c.n i /

.i C 1/

pr; F D F C pr; i D i C 1

5 Trở lại bước 3

Thuật toán trên sẽ lần lượt kiểm tra các giá trị X đi từ 0; 1; 2; : : : ; n Do

đó số lần kiểm tra là i C 1 Trung bình cần 1 C np lần kiểm tra Giốngnhư trong trường hợp tạo biến ngẫu nhiên Poisson, nếu np lớn, ta đặt

I D I nt.np/ và nếu U < F ta bắt đầu tìm kiểm từ I , I 1, , ngượclại ta bắt đầu kiểm từ I C 1 trở lên

Giả sử ta có một phương pháp hiệu quả để mô phỏng biến ngẫu nhiên Yvới hàm xác suất là qj D P Y D j /; j  0, và cần tạo một biến ngẫunhiên X có hàm xác suất là pj D P X D j /; j  0 Để tạo X, ta tạo biếnngẫu nhiên Y từ qj và chấp nhận giá trị này với xác suất pY

cqY

Phươngpháp này gọi là phương pháp Bác bỏ (hay Chấp nhận - Bác bỏ) Thuậttoán

1 Chọn một hàm xác suất qj (đơn giản)

2 Tìm hằng số c thỏa pY < cqY

3 Tạo biến ngẫu nhiên Y từ qj

4 Tạo số ngẫu nhiên U

5 Nếu

U  pY

cqYĐặt X D Y , nếu không trở lại bước 3

3.2 Phương pháp Bác bỏ

Định lý 3.1 Phương pháp Bác bỏ tạo ra một biến ngẫu nhiên X thỏa

P X D j / D pj; j D 0; 1; : : :Hơn nữa, số bước lặp cần thiết để thu được X là một biến ngẫu nhiên cóphân phối hình học với trung bình là c

Chú ý Khi nói chấp nhận giá trị Y với xác suất pY=cqY tức là tạo một

số ngẫu nhiên U và chấp nhận Y nếu U  pY=cqY

Ví dụ 3.7 Tạo một biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị trong

1 Tạo biến ngẫu nhiên rời rạc Y có phân phối đều trong 1; 2; : : : ; 5

2 Tạo một số ngẫu nhiên U

Giả sử ta có một phương pháp hiệu quả để mô phỏng giá trị của một biếnngẫu nhiên có cả hai hàm xác suất fpj.1/; j  0g hoặc fpj.2/; j  0g Tamuốn tạo một biến ngẫu nhiên X có hàm xác suất như sau

P X D j / D ˛pj.1/C 1 ˛/p.2/j ; với 0 < ˛ < 1 (3.5)Nếu X1 và X2 là hai biến ngẫu nhiên có hàm xác suất lần lượt là fpj.1/g và

fpj.2/g, thì biến ngẫu nhiên X xác định nghĩa bởi

3.3 Phương pháp hỗn hợp

Ví dụ 3.8 Tạo biến ngẫu nhiên X thỏa

pj D P X D j / D

(0:05 với i D 1; 2; 3; 4; 50:15 với i D 6; 7; 8; 9; 10Đặt pj D 0:5pj.1/C 0:5pj.2/, với

pj.1/ D 0:1; j D 1; : : : ; 10và

pj.2/ D

(

0 khi j D 1; 2; 3; 4; 50:2 khi j D 6; 7; 8; 9; 10

Để tạo X , trước hết ta tạo một số ngẫu nhiên U và tạo biến ngẫu nhiênrời rạc có phân phối đều trong 1; 2; : : : ; 10 nếu U < 0:5 và tạo biến ngẫunhiên rời rạc có phân phối đều trong 6; 7; 8; 9; 10 nếu U > 0:5, các bướcthực hiện như sau

1 Tạo số ngẫu nhiên U1

2 Tạo số ngẫu nhiên U2

3 NếuU1 < 0:5, đặt X D I nt.10U2/C1, nếu không, đặt X D I nt.5U2/C6

Tổng quát, nếu ta có các hàm phân phối Fi; i D 1; : : : ; n và ˛i, i D1; : : : ; n là những số không âm và có tổng bằng 1, thì hàm phân phối F

3.4 Tạo vectơ ngẫu nhiên

Để mô phỏng vectơ ngẫu nhiên X D X1;


; Xn/0 có hàm phân phối đồngthời F x1;


; xn/ Với F1.x/; F2.x/; : : : ; Fn.x/ lần lượt là hàm phân phốicủa các biến ngẫu nhiên X1; X2; : : : ; Xn, ta tạo vectơ X bằng cách tạo liêntiếp các vectơ Xj với điều kiện Xi D xi; i D 1; 2; : : : ; j 1 ứng với mỗi j

Cụ thể,

 Tạo giá trị x1 từ phân phối F1.x/

 Tạo giá trị x2 từ phân phối F2.xjX1 D x1/, là phân phối có điều kiệncủa X2 cho trước X1 D x1

 Tạo giá trị x3 từ phân phối F3.xjX1 D x1; X2 D x2/, là phân phối cóđiều kiện của X3 cho trước fX1 D x1; X2 D x2g

 Tạo giá trị xn từ phân phối Fn.xjX1 D x1;


; Xn 1 D xn 1/, là phânphối có điều kiện của Xn cho trước fX1 D x1; X2 D x2; : : : ; Xn 1 D

xn 1g

 Kết quả thu được là vectơ X D X1;


; Xn/0

Ví dụ 3.9 Xét n phép thử, mỗi phép thử cho kết quả trong f1; 2; : : : ; rgvới xác suất lần lượt là p1; p2; : : : ; pr;Pr

iD1pi D 1 Ký hiệu Xi là số phépthử cho kết quả bằng i , thì vec-tơ ngẫu nhiên X D X1;


; Xr/0 là vec-tơngẫu nhiên có phân phối bội Hàm xác suất đồng thời cho bởi

3.4 Tạo vectơ ngẫu nhiên

thử nào, do vậy cách tốt nhất để tạo X là tạo ra kết quả của n phép thử.Tức là, ta tạo ra Y1; : : : ; Yn biến ngẫu nhiên độc lập thỏa

1 p2 p3, ta tìm được giá trị cho X3, tạobiến ngẫu nhiên X3  B.n x1 x2; p3

1 p1 p2/ Tiếp tục như vậy ta sẽtạo được vec-tơ ngẫu nhiên X D X1;


; Xr/0

Chương 4

Tạo biến ngẫu nhiên liên tục

Trong chương 3, ta sử dụng hai phương pháp Biến đổi ngược và phươngpháp Bác bỏ để tạo biến ngẫu nhiên rời rạc Chương 4 sẽ áp dụng cácphương pháp này để tạo biến ngẫu nhiên liên tục Tiếp theo đó, mục 4:2

sẽ trình bày một phương pháp rất hiệu quả hiện nay để tạo biến ngẫunhiên có phân phối chuẩn là phương pháp tọa độ cực

Theo mệnh đề 3:1, tạo một biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối

F x/ gồm hai bước chính sau

1 Tạo số ngẫu nhiên U

2 Đặt X D F 1.U / D sup fy W F y/  U g D max fy W F y/  U g

Hình 4.1: Minh họa phương pháp biến đổi ngược cho biến ngẫu nhiên liên tục.

Ví dụ 4.1 Tạo biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối

F x/ D xn; 0 < x < 1Đặt x D F 1.u/ thì

u D F x/ D xn ) x D u1=nVậy, ta tạo một số ngẫu nhiên U và đặt X D U1=n sẽ thu được biến ngẫunhiên X có hàm phân phối như mong muốn

Ví dụ 4.2 (Tạo biến ngẫu nhiên có phân phối mũ.) Tạo biến ngẫu nhiên

X có phân phối mũ với trung bình là 1= Hàm phân phối của X

logUGhi chú

Ta có thể áp dụng ví dụ 4:2 để tạo một biến ngẫu nhiên có phân phốiPoisson, ta biết rằng khoảng thời gian giữa các sự kiện liên tiếp của mộtquá trình Poisson với hệ số  là những biến ngẫu nhiên độc lập có phân