hình học họa hình

BÀI GIẢNG HÌNH HỌC HỌA HÌNH Mở đầu Trong kỹ thuật, bản vẽ kỹ thuật (trên giấy) được sử dụng trong sản xuất và trao đổi thông tin giữa các nhà thiết kế. Bản vẽ kỹ thuật là một mặt phẳng 2 chiều còn hầu hết vật thể đều là các vật thể 3 chiều. Vậy làm sao để biểu diễn các đối tượng 3 chiều lên mặt phẳng 2 chiều? Hình họa Gaspard Monge I. Đối tượng môn học - Nghiên cứu các phương pháp biểu diễn các hình không gian trên một mặt phẳng. - Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán không gian trên một mặt phẳng. II. Các phép chiếu 1. Phép chiếu xuyên tâm a. Xây dựng phép chiếu - Cho mặt phẳng Π, một điểm S không thuộc Π và một điểm A bất kỳ. - Gọi A’ là giao của đường thẳng SA với mặt phẳng Π. * Ta có các định nghĩa sau: + Mặt phẳng Π gọi là mặt phẳng hình chiếu + Điểm S gọi là tâm chiếu. + Điểm A’ gọi là hình chiếu xuyên tâm của điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π. + Đường thẳng SA gọi là tia chiếu của điểm A. A A’ Hình 0.1 Xây dựng phép chiếu xuyên tâm. S П - Nếu AB là đoạn thẳng không đi qua tâm chiếu S thì hình chiếu xuyên tâm của nó là một đoạn thẳng A’B’. - Nếu CD là đường thẳng đi qua tâm chiếu S thì C’=D’.(Hình chiếu suy biến) (Hình 0.2.a). - Hình chiếu xuyên tâm của các đường thẳng song song nói chung là các đường đồng quy. (Hình 0.2.b). A A’ Hình 0.2a,b Tính chất phép chiếu xuyên tâm S B’ B C D C’=D’ b. Tính chất phép chiếu S C’ A’ B’ D’ F’ E’ T’ a) b) A B E F D C П П 2. Phép chiếu song song a. Xây dựng phép chiếu - Cho mặt phẳng Π, một đường thẳng s không song song mặt phẳng Π và một điểm A bất kỳ trong không gian. - Qua A kẻ đường thẳng a//s . A’ là giao của đường thẳng a với mặt phẳng Π. * Ta có các định nghĩa sau: + Mặt phẳng Π gọi là mặt phẳng hình chiếu. + Đường thẳng s gọi là phương chiếu. + Điểm A’ gọi là hình chiếu song song của điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π theo phương chiếu s. + Đường thẳng a gọi là tia chiếu của điểm A. A A’ Hình 0.3 Xây dựng phép chiếu xuyên tâm s П a A A’ Hình 0.4a,b Tính chất phép chiếu song song. s B’ B C D C’=D’ b. Tính chất phép chiếu - Nếu đường thẳng AB không song song với phương chiếu s thì hình chiếu song song của nó là đường thẳng A’B’. - Nếu CD song song với phương chiếu s thì hình chiếu song song của nó là một điểm C’ = D’. - Nếu M thuộc đoạn AB thì M’ thuộc A’B’ + Tỷ số đơn của 3 điểm không đổi: - Nếu MN//QP thì: - Nếu IK// Π thì : a) b) П M M’ M s N’ N Q P’ Q’ П M’ P K’ I’ I K      = PQ MN Q'P' N'M' Q'//P'N'M'    = IKK'I' //IKK'I' MB AM B'M' M'A' = 3. Phép chiếu vuông góc - Phép chiếu vuông góc trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song khi phương chiếu vuông góc với mặt phẳng hình chiếu. - Phép chiếu vuông góc có đầy đủ tính chất của phép chiếu song song, ngoài ra có thêm các tính chất sau: + Chỉ có một phương chiếu s duy nhất. + Giả sử AB tạo với П một góc φ thì: A’B’ = AB.cosφ A’B’ ≤ AB - Sau đây là những ứng dụng của phép chiếu vuông góc mà ta gọi là phương pháp hình chiếu thẳng góc. A A’ Hình 0.5a,b. Phép chiếu vuông góc s П a A A’ s П B B’ φ a) b) Chương 1 Điểm I. Đồ thức của một điểm 1. Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu a. Xây dựng đồ thức - Trong không gian lấy hai mặt phẳng vuông góc nhau П 1 và П 2 . - Mặt phẳng П 1 có vị trí thẳng đứng. - Mặt phẳng П 2 có vị trí nằm ngang. - Gọi x là giao tuyến của П 1 và П 2 (x = П 1 ∩П 2 ) - Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng П 1 và П 2 ta nhận được các hình chiếu A 1 và A 2 . - Cố định mặt phẳng П 1 , quay mặt phẳng П 2 quanh đường thẳng x theo chiều quay được chỉ ra trên Hình 1.1.a cho đến khi П 2 trùng với П 1 . Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu ( Hình 1.1.b) Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu a) b) A A 1 A 2 A x x AA 1 Π 1 x A x Π 1 Π 2 A 2 Π 2 b. Các định nghĩa và tính chất - Mặt phẳng П 1 : mặt phẳng hình chiếu đứng. - Mặt phẳng П 2 : mặt phẳng hình chiếu bằng. - Đường thẳng x : trục hình chiếu - A 1 : hình chiếu đứng của điểm A. - A 2 : hình chiếu bằng của điểm A. - Gọi A x là giao của trục x và mặt phẳng (AA 1 A 2 ). - Trên đồ thức, A 1 ,A x , A 2 cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x gọi là đường dóng thẳng đứng. Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu. a) b) A A 1 A 2 A x x AA 1 Π 1 x A x Π 1 Π 2 A 2 Π 2 * Độ cao của một điểm: - Ta có: gọi là độ cao của điểm A. - Quy ước: + Độ cao dương: khi điểm A nằm phía trên П 2 + Độ cao âm: khi điểm A nằm phía dưới П 2 . - Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức: + Độ cao dương: khi A 1 nằm phía trên trục x. + Độ cao âm: khi A 1 nằm phía dưới trục x. Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu. a) b) A A 1 A 2 A x x AA 1 Π 1 x A x Π 1 Π 2 A 2 Π 2 A A A A 21x = * Độ xa của một điểm: - Ta có: gọi là độ xa của điểm A . - Quy ước: + Độ xa dương : khi điểm A nằm phía trước П 1 + Độ xa âm: khi điểm A nằm phía sau П 1 . - Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức: + Độ xa dương: khi A 2 nằm phía dưới trục x. + Độ xa âm: khi A 2 nằm phía trên trục x. * Chú ý: Với một điểm A trong không gian có đồ thức là một cặp hình chiếu A 1 , A 2 . Ngược lại cho đồ thức A 1 A 2 , ta có thể xây dựng lại điểm A duy nhất trong không gian. Như vậy đồ thức của một điểm A có tính phản chuyển. Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu. x A x A 2 Π 2 A A A A 12x = a) A A 1 A 2 A x x Π 1 Π 2 b) A 1 2. Hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu a. Xây dựng đồ thức - Trong không gian, lấy ba mặt phẳng П 1’ П 2 ,П 3 vuông góc với nhau từng đôi một. + Gọi x là giao tuyến của П 1 và П 2 (x = П 1 ∩П 2 ). + Gọi y là giao tuyến của П 2 và П 3 (y = П 2 ∩П 3 ). + Gọi z là giao tuyến của П 1 và П 3 (z = П 1 ∩П 3 ). - Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng П 1 , П 2 và П 3 ta nhận được các hình chiếu A 1 , A 2 và A 3. - Cố định mặt phẳng П 1 , quay mặt phẳng П 2 quanh đường thẳng x, quay mặt phẳng П 3 quanh trục z theo chiều quay được chỉ ra trên Hình 1.2.a cho đến khi П 2 trùng với П 1 ,П 3 trùng với П 1 . Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.2.b) Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu. b) A A 1 x A x A 2 a) A 2 Π 2 x A A 1 A x A 3 A 2 A y A z Π 1 Π 3 z y Π 1 Π 3 Π 2 A 3 z y y O A z A y A y O b. Các định nghĩa và tính chất Bổ sung thêm các định nghĩa và tính chất sau: - Mặt phẳng П 3 : mặt phẳng hình chiếu cạnh. - Đường thẳng x, y, z : trục hình chiếu. - A 3 : hình chiếu cạnh của điểm A. - Gọi - Trên đồ thức: + A 1 , A x , A 2 cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x gọi là đường dóng thẳng đứng. + A 1 , A z , A 3 cùng nằm trên một đường thẳng song song với trục x gọi là đường dóng nằm ngang. Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu. b) A A 1 x A x A 2 a) A 2 Π 2 x A A 1 A x A 3 A 2 A y A z Π 1 Π 3 z y Π 1 Π 3 Π 2 A 3 z y y O A z A y A y O )AA(AzAz )AA(AyAy )AA(AxAx 31 32 21 ∩= ∩= ∩ = b. Các định nghĩa và tính chất (tiếp theo) * Độ xa cạnh của một điểm - Ta có: gọi là độ xa cạnh của điểm A. - Quy ước: + Độ xa cạnh dương : khi điểm A nằm phía bên trái П 3 + Độ xa cạnh âm: khi điểm A nằm phía bên phải П 3 . - Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức: + Độ xa cạnh dương: khi A 3 nằm phía bên phải trục z. + Độ xa cạnh âm: khi A 3 nằm phía bên trái trục z. Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu. b) A A 1 x A x A 2 a) A 2 Π 2 x A A 1 A x A 3 A y A z Π 1 Π 3 z y Π 1 Π 3 Π 2 A 3 z y y O A z A y A y O AAOAAAAA 3x2y1z === A 2 III. Một số định nghĩa khác 1. Góc phần tư - Hai mặt phẳng hình chiếu П 1 , П 2 vuông góc với nhau chia không gian thành bốn phần, mỗi phần được gọi là một góc phần tư. + Phần không gian phía trước П 1 , trên П 2 được gọi là góc phần tư thứ nhất. (I) + Phần không gian phía sau П 1 , trên П 2 được gọi là góc phần tư thứ hai. (II) + Phần không gian phía sau П 1 , dưới П 2 được gọi là góc phần tư thứ ba. (III) + Phần không gian phía trước П 1 , dưới П 2 được gọi là góc phần tư thứ tư. ( IV) Ví dụ: Tự cho đồ thức của các điểm A, B, C, D lần lượt thuộc các góc phần tư I, II, III, IV. Hình 1.4. Góc phần tư I, II, III, IV. A 2 Π 1 Π 2 ( I ) ( IV ) ( III ) ( II ) x A 2 A 1 Π 2 Π 1 Hình 1.5. Các điểm A,B,C,D thuộc các góc phần tư I, II, III, IV. B 2 B 1 C 1 C 2 D 2 D 1 2. Mặt phẳng phân giác - Có hai mặt phẳng phân giác: + Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (I) và góc phần tư (III) thành các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác I. ( Pg1) + Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (II) và góc phần tư (IV) thành các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác II. ( Pg2) Ví dụ: Vẽ đồ thức của các điểm A, B thuộc mặt phẳng phân giác I; C, D thuộc mặt phẳng phân giác II, A thuộc góc phần tư (I), B thuộc (III), C thuộc (II), D thuộc (IV) Hình 1.6. Mặt phẳng phân giác I và II. A 2 Π 1 Π 2 ( I ) ( IV ) ( III ) ( II ) x A 2 A 1 Π 2 Π 1 Hình 1.7. Đồ thức các điểm A,B,C,D thuộc mặt phẳng phân giác (P1) và (P2). (Pg1) (Pg2) B 1 B 2 C 1 =D 2 D 1 =C 2 x A x B x C x D x IV. Vẽ hình chiếu thứ ba của một điểm trên đồ thức Bài toán: Cho hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm, tìm hình chiếu cạnh của điểm đó trên đồ thức. Ví dụ : Vẽ hình chiếu cạnh của các điểm A, B, C, D, E được cho trên đồ thức. x(+) A x A 2 A 3 z(+) y(+) O A z A y A y A 1 ∆ ∆’ y(+) x(+) B x B 2 B 3 z(+) y(+) O B z B y B y B 1 ∆ ∆’ x(+) C x C 1 C 3 z(+) y(+) O C z C y C y C 2 ∆ ∆’ x(+) D x D 2 D 3 z(+) y(+) O D z D y D y D 1 ∆ ∆’ y(+) x(+) E x =E 2 E 3 z(+) y(+) O E z =E y E 1 ∆ ∆’ a) d) c) e) b) y(+) y(+) y(+) B y E y Chương 2 Đường thẳng I. Đồ thức của một đường thẳng Vì một đường thẳng được xác định bởi hai điểm phân biệt do đó để cho đồ thức của một đường thẳng ta cho đồ thức của hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng đó. Ví dụ: Cho đồ thức của đường thẳng l; - l 1 đi qua A 1 B 1 gọi là hình chiếu đứng của đường thẳng l. - l 2 đi qua A 2 B 2 gọi là hình chiếu bằng của đường thẳng l. Hình 2.1. Đồ thức của một đường thẳng. A 1 B 1 l 1 l 2 B 2 A 2 )B,B(B )A,A(A B AAB 21 21 ≠ ∈ ,l B A 1 B 2 Π 1 Π 2 A x A 2 B 1 l 1 l 2 l Chú ý: Nếu từ hình chiếu l 1 và l 2 của đường thẳng l ta xây dựng lại đường thẳng l duy nhất trong không gian thì đồ thức đường thẳng có tính chất phản chuyển, khi đó ta không cần cho các điểm A, B thuộc đuờng thẳng l. II. Các đường thẳng có vị trí đặc biệt (đối với mặt phẳng hình chiếu) 1. Các đường thẳng đồng mức (là các đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu) a. Đường bằng * Định nghĩa: Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П 2 . B A 1 Π 1 A x B 1 B 2 x A 1 B 1 h 1 h A 2 h 1 h 2 α α * Tính chất: - Hình chiếu đứng h 1 //x - Nếu có một đoạn thẳng AB thuộc đường bằng h thì hình chiếu bằng A 2 B 2 = AB. - Góc h 2 ,x = h, П 1 = α Hình 2.2. Đường bằng Π 2 A 2 h 2 α B 2 b. Đường mặt * Định nghĩa: Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng П 1 . Ví dụ: CD// П 1 * Tính chất : - Hình chiếu bằng f 2 //x. - Nếu có một đoạn thẳng CD thuộc đường mặt f thì hình chiếu đứng C 1 D 1 = CD. - Góc f 1 ,x = f, П 2 = β. Hình 2.3. Đường mặt. D C 1 Π 1 x D 1 D 2 x C 1 D 1 f 1 f C 2 f 1 f 2 β Π 2 C 2 f 2 β D 2 β C c. Đường cạnh * Định nghĩa: Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П 3 . * Tính chất : - p 1 và p 2 cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x. - Nếu có một đoạn thẳng EF thuộc đường cạnh p thì hình chiếu cạnh E 3 F 3 = EF - Góc p 3 ,z = p, П 1 = α - Góc p 3 ,y = p, П 2 = β Hình 2.4. Đường cạnh. A 2 Π 2 x E F 2 F 1 F 3 E 3 Π 1 Π 3 z y O F α β x F 2 E 3 z y F 3 E 1 y p 1 p p 2 E 2 E 1 A x O F 1 p 1 p 2 E 2 α β p 3 p 3 α β Hình 2.4. Đường cạnh A 2 x F 3 E 3 Π 1 Π 3 z y O F α β x F 2 E 3 z y F 3 E 1 y A x O F 1 p 1 p 2 E2 1 α β p 3 p 3 Π 2 E F 2 F 1 p 1 p p 2 E 2 E 1 Chú ý: Với đường cạnh p, nếu biết các hình chiếu p 1 , p 2 ta không xác định được đườ ng thẳng p duy nhất trong không gian. Do đó ta phải cho đồ thức của hai điểm phân biệt. Ví dụ: Cho E, F thuộc đường thẳng p. Hai điểm E, F xác định một đường thẳng p duy nhất. (Hình 2.4) x B A 22 ⊥ 2. Các đường thẳng chiếu (là các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu) a. Đường thẳng chiếu đứng * Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng П 1 . Ví dụ: B A 1 Π 1 A x ≡ B 1 B 2 x A 1 =B 1 A 2 * Tính chất : - Hình chiếu đứng của AB là một điểm A 1 ≡ B 1 - Hình chiếu bằng - A 2 B 2 =AB Hình 2.5. Đường thẳng chiếu đứng Π 2 A 2 B 2 xBA 22 ⊥ 1 AB ∏ ⊥ x D C 11 ⊥ 2 CD ∏⊥ b. Đường thẳng chiếu bằng * Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng П 2 . Ví dụ: D C 1 Π 1 C x ≡D 2 D 1 x C 2 D 1 C 1 * Tính chất : - Hình chiếu bằng của CD là một điểm C 2 ≡ D 2 - Hình chiếu đứng - C 1 D 1 =CD Hình 2.6. Đường thẳng chiếu bằng Π 2 C 2 ≡D 2 xDC 11 ⊥ c. Đường thẳng chiếu cạnh * Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh П 3 . * Tính chất : - Hình chiếu cạnh của EF là một điểm E 3 ≡ F 3 - E 2 F 2 //E 1 F 1 //x - E 1 F 1 =E 2 F 2 =EF Hình 2.7. Đường thẳng chiếu cạnh Π 2 x E F 2 F 1 ≡F 3 E 3 Π 1 Π 3 z y O F x F 2 E 3 z y ≡F 3 E 1 E 2 E 1 O F 1 E 2 III. Điểm thuộc đường thẳng 1. Đường thẳng đã cho không phải là đường cạnh Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc đường thẳng không phải là đường cạnh là hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng và hình chiếu bằng của điểm thuộc hình chiếu bằng của đường thẳng. Hình 2.8. Điểm thuộc đường thẳng A 1 l 1 l 2 A 2 A 1 Π 1 Π 2 A x A 2 l 1 l 2 l x    ∈ ∈ ⇔    ∏ ∈ 22 11 3 A A )//( A l l l l PQIQPI PQIQPI 333 333 ∉⇔∉ ∈ ⇔ ∈ 2. Đường thẳng đã cho là đường cạnh Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và điểm I thỏa mãn điều kiện Xét xem I có thuộc PQ hay không? (Hình 2.11) Cách 1: Dùng hình chiếu cạnh. Nếu: Hình 2.10. Cách 1. Xét điểm thuộc đường cạnh y x Q 2 P 3 z y Q 3 P 1 O P 2    ∈ ∈ 222 111 QPI QPI I 1 I 3 I 2 Q 1 PQI QI PI QI PI PQI QI PI QI PI 22 22 11 11 22 22 11 11 ∉⇔≠ ∈⇔= Cách 2: Dựa vào tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng. Nếu: Hình 2.11. Cách 2. Xét điểm thuộc đường cạnh - Qua P 1 kẻ đường thẳng t bất kỳ hợp với P 1 Q 1 một góc α tùy ý (nên lấy α<90 o ). - Trên t lấy: - Vẽ 22 221 QIQI IPIP = = I Q x Q 2 P 1 P 2 I 1 I 2 I’ 1 Q 1 t α 11 Q Q//I' I PQI ∉ ⇔ - Nếu thì tỉ số đơn khác nhau 11 I ' I ≠ PQI ∈ ⇔ - Nếu thì tỉ số đơn bằng nhau 11 I ' I ≡ IV. Vết của đường thẳng Vết của đường thẳng l là giao điểm của đường thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu (Hình 2.12) - Vết đứng: ký hiệu M, M≡ l ∩ П 1 ⇒ M 1 ∈l 1 , M 2 ∈x - Vết bằng: ký hiệu N, N≡ l ∩ П 2 ⇒ N 1 ∈x , N 2 ∈l 2 Hình 2.12. Vết của đường thẳng N 1 M 2 Π 1 Π 2 x N 2 M 1 l 1 l 2 l N 1 l 1 l 2 x M 1 N 2 M 2 Ví dụ: Hãy xác định vết của đường thẳng l(l 1 ,l 2 ) được cho như trên đồ thức và xét xem đường thẳng l đi qua góc phần tư nào trong không gian. (Hình 2.13) Hình 2.13. Ví dụ vết của đường thẳng Giải: * Tìm vết M, N của đường thẳng l: M 2 ∈x ⇒ M 2 ≡ l 2 ∩x ⇒ M 1 ∈l 1 N 1 ∈x ⇒ N 1 ≡ l 1 ∩x ⇒ N 2 ∈l 2 * Xét l đi qua góc phần tư nào? - Xét A ∈MN: A có độ cao dương, độ xa âm ⇒ A thuộc góc phần tư thứ II ⇒ l đi qua góc phần tư thứ II. - Xét B ∈MN: B có độ cao âm, độ xa âm; ⇒ B thuộc góc phần tư thứ III ⇒ l đi qua góc phần tư thứ III - Xét C ∈MN : C có độ cao dương, độ xa dương; ⇒ C thuộc góc phần tư thứ I ⇒ l đi qua góc phần tư thứ I. Vậy, đường thẳng l đi qua các góc I, II, III N 1 l 1 l 2 x M 1 N 2 M 2 B 1 B 2 Góc(I) Góc (II) Góc (III) A 2 A 1 C 2 C 1 V. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng 1. Hai đường thẳng cắt nhau a. Cả hai đường thẳng không phải đường cạnh Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng không phải đường cạnh cắt nhau là: Trên đồ thức các hình chiếu đứng của chúng cắt nhau, các hình chiếu bằng cắt nhau sao cho các điểm cắt này cùng nằm trên một đường dóng thẳng đứng . (Hình 2.14) Hình 2.14. Hai đường thẳng không phải là đường cạnh cắt nhau. I 1 a 1 a 2 I 2 x b 1 b 2      ⊥ ≡ ≡ ⇔    ∏ ≡ xII Iba Iba )//b,a( Iba 21 222 111 3 ∩ ∩ ∩ b. Một trong hai đường thẳng là đường cạnh Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và đường thẳng l thỏa mãn: l 1 ∩P 1 Q 1 ≡ I 1 l 2 ∩P 2 Q 2 ≡ I 2 Xét xem l và PQ có cắt nhau không? (Hình 2.15) Giải: Ta có: I ∈l ⇒ PQ∩l ⇔ I∈PQ Do đó để xét xem l và PQ có cắt nhau hay không ta đưa về bài toán điểm thuộc đường cạnh đã xét ở trên. Hình 2.15. Hai đường thẳng cắt nhau (một trong hai đường thẳng là đường cạnh). I x Q 2 P 1 P 2 I 1 I 2 I’ 1 Q 1 t Q α l 1 l 2    ⇔    ∏ 22 11 3 b//a b//a )//b,a( b//a 2. Hai đường thẳng song song a. Định nghĩa Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung nào. b. Điều kiện song song của hai đường thẳng trên đồ thức * Cả hai đường thẳng không phải là đường cạnh Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng không phải đường cạnh song song với nhau là trên đồ thức các hình chiếu đứng của chúng song song và các hình chiếu bằng của chúng cũng song song. (Hình 2.16) Hình 2.16. Hai đường thẳng song song không phải là đường cạnh. a 1 a 2 x b 1 b 2 * Cả hai đường thẳng là đường cạnh Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và đường cạnh RS. Ta có: P 1 Q 1 //R 1 S 1 P 2 Q 2 //R 2 S 2 Xét xem PQ có song song với RS không? (Hình 2.17) Giải: - Cách 1: Dùng hình chiếu cạnh. Nếu: - Cách 2: Dùng định nghĩa. Xét xem PQRS có cùng mặt phẳng hay không? Hình 2.17. Xét xem hai đường cạnh có song song hay không? RS //PQ xII IRQSP IRQSP 21 22222 11111 ⇔      ⊥ ≡ ≡ ∩ ∩ RS //PQSR//QP 3333 ⇒ x Q 2 P 1 P 2 I 1 I 2 Q 1 S 2 R 2 S 1 R 1 3. Hai đường thẳng chéo nhau a. Định nghĩa Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không thuộc một mặt phẳng và không có điểm chung nào. b. Điều kiện hai đường thẳng chéo nhau trên đồ thức (Hình 2.18) Hình 2.18. Hai đường thẳng chéo nhau K 1 a 1 a 2 I 2 x b 1 b 2      ⊥/ ≡ ≡ ⇔ xIK Iba Kba nhau chéo b vàa 21 222 1 11 ∩ ∩ c. Khái niệm cặp điểm đồng tia chiếu (Hình 2.19) * Cặp điểm đồng tia chiếu bằng - Cặp điểm I a (I 1 a ,I 2 a ) ; I b (I 1 b ,I 2 b ) gọi là cặp điểm đồng tia chiếu bằng. - I 1 a cao hơn I 1 b nên: I 2 a thấy, I 2 b khuất. * Cặp điểm đồng tia chiếu đứng -Cặp điểm K a (K 1 a ,K 2 a ); K b (K 1 b ,K 2 b ) gọi là cặp điểm đồng tia chiếu đứng. - K 2 a xa hơn K 2 b nên: K 1 a thấy, K 1 b khuất. Hình 2.19. Các cặp điểm đồng tia chiếu b 2 a 2 II ≡ b 1 a 2 x a 1 b 2 b 1 I b 1 a 1 KK ≡ a 2 K b 2 K      ∈ ∈ ⇒≡ 1 b 1 1 a 1 b 2 a 2 bI aI II      ∈ ∈ ⇒≡ 2 b 2 2 a 2 b 1 a 1 bK aK KK a 1 I [...]... 1: Tìm giao của hình chóp với lăng trụ chiếu đứng (Hình 5.11) Giải: - Nhận xét: Lăng trụ xuyên qua hình chóp, do đó giao tuyến có hai đường gấp khúc khép kín - Hình chiếu đứng của giao tuyến trùng với đáy của hình lăng trụ: 11, 21, 31, 41, 51 - Tìm hình chiếu bằng: Giải bài toán điểm thuộc mặt của hình chóp - Để nối và xét thấy khất, ta dùng phương pháp khai triển như hình 5.12 α 1 3 K Hình 5.10 Phương... mặt phẳng hình chiếu Đặt vấn đề: Mục đích của các phép biến đổi là đưa các yếu tố hình học ở vị trí tổng quát về vị trí đặc biệt để thuận lợi cho việc giải các bài toán Dưới đây là một số phương pháp biến đổi 1 Thay một mặt phẳng hình chiếu a Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1 Điều kiện: ∏'1 ⊥ ∏ 2 a) Π1 A1 Π’1 A’1 x * Xây dựng phép thay mặt phẳng hình chiếu: - Gọi x’ ≡ П’1∩П2 là trục hình chiếu... t2 P2 b2 ≡ Hình 5.3 Ví dụ 2: Tìm M2, N2 P2, Q1 s2 Ví dụ 2: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(mα, nα) với lăng trụ chiếu bằng được cho như trên hình 5.5 (Lăng trụ chiếu bằng là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng chiếu bằng П2) S1 Ví dụ 1: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(α1) với α1 hình chóp được cho trên hình vẽ (Hình 5.4) Giải: - Nhận xét: (α) là mặt phẳng chiếu đứng, do đó ta đã biết hình chiếu... thuộc các mặt của hình chóp S.ABC S1 K1 I1 H1 B1 G1 C1 C2 l2 H2 I2 Chú ý: Nhất thiết các đoạn I1K1, I2K2 phải khuất l2≡K2≡I2 G2 A2 K2 S2 Hình 5.7 Ví dụ 1 : Tìm giao điểm của đường thẳng l(l1,l2) với lăng trụ chiếu đứng Hình 5.8 Ví dụ 2: Tìm giao điểm của đường thẳng chiếu l(l1,l2) với hình chóp B2 S1 Ví dụ 3: Tìm giao điểm của đường thẳng l(l1,l2) với hình chóp được cho trên đồ thức. (Hình 5.9) Giải:... Định lý về điều kiện một góc vuông được chiếu thành một góc vuông x x I2 I2 a2 Hình 2.21 Ví dụ 1 Ví dụ 4: (Hình 2.24) b ⊥ f ⇔ b1 ⊥ f1  f // ∏1 (b và f chéo nhau) Ví dụ 3: (Hình 2.23) a ⊥ h ⇔ a2 ⊥ h2  h // ∏ 2 (a và h chéo nhau) f1 b1 a1 x f2 a2 Hình 2.23 Ví dụ 3 h2 b2 Hình 2.22 Ví dụ 2 Chương 3 M t ph ng h1 x h2 f2 b2 Hình 2.24 Ví dụ 4 I Đồ thức của một mặt phẳng II Vết của mặt phẳng Trên đồ thức... pháp mặt phẳng phụ trợ I2 I 22 B2 Hình 5.9 Ví dụ 3 : Tìm giao điểm của đường thẳng l(l1,l2) với hình chóp S S S D1 5 E 21 11=1’1 B1 A1 D2 5’ (-) 1 D A 32 5’2 S2 52 42 22 2 B C2 1’2 3’ 3 C1 3’2 4 F F1 31 ≡3’1 F2 E2 12 1’ 41 E1 S 1 Hình 5.12 Bảng nối và xét thấy khuất giao tuyến trên hình chiếu bằng 2 B D l2 C l A S2 51 ≡5’1 A2 J2 12 K2 S1 B2 1’ C A Hình 5.11 Tìm giao của hình chóp với lăng trụ chiếu đứng... A2 Hình 3.26 Vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước Cho α(α1) ,β(ABC) g2 22 g2 C2 12 Hình 3.25 Vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước Cho α(α1) , β(β1) Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước Ví dụ 4: Cho α(α2) , β(mβ,nβ) (Hình 3.27) mβ g1 M2 x ≡ g2 α2 Ví dụ 5: Cho α(mα,nα) , β(mβ,nβ) (Hình 3.28) Đây là trường hợp tổng quát, chưa biết hình. .. góc vuông (Hình 2.20) - Cho mặt phẳng П và góc xOy, x’O’y’ là hình chiếu vuông góc của xOy lên mặt phẳng П - Nếu hai trong ba điều kiện sau đây được thỏa mãn thì điều kiện còn lại được thỏa mãn: y O O’ Ví dụ 2: (Hình 2.22) Ví dụ 1: (Hình 2.21) bKf = 90° ⇔ b1K1f1 = 90°  f // ∏1 aIh= 90° ⇔ a2I2h2 = 90°  h // ∏2 y’ x’ 1) xOy= 90° 2) x'O'y'= 90° 3) Ox ⊥ ∏, Oy//∏ / f1 a1 П b1 I1 a) h1 I1 Hình 2.20... A trong hệ thống (П1 , П2) có hình chiếu là (A1 , A2) - Chiếu vuông góc điểm A lên П’1 ta có hình chiếu A’1 Cố định П2 xoay П’1 quanh trục x’cho đến khi П’1≡П2 b) ( Chiều quay xác định như trên hình 4.1) - Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ thống Ax A A’1 A’x A2 Π2 x’ A1 Ax x (П’1, П2), A’1 là hình chiếu đứng mới của điểm A *Tính chất: - Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (П’1, П2): Gọi A’x... chiếu П2 thành П’2 biết trước trục x’ là giao của П’2 với П1 (Hình 4.3) *Tính chất: - Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (П1, П’2) + A1A’xA’2 cùng nằm trên một đường dóng vuông góc với x’ + A’xA’2 =AxA2 x’ A1 Π Π’ 2 1 x Ax Π1 Π2 A2 Hình 4.3 Thay mặt phẳng П2 thành П’2 Ví dụ 2: Tìm hình dạng độ lớn thật của tam giác ABC được cho trên đồ thức (Hình 4.4) Giải: Dựa vào tính chất của mặt phẳng đồng mức: . BÀI GIẢNG HÌNH HỌC HỌA HÌNH Mở đầu Trong kỹ thuật, bản vẽ kỹ thuật (trên giấy) được sử dụng trong sản. x A x B x C x D x IV. Vẽ hình chiếu thứ ba của một điểm trên đồ thức Bài toán: Cho hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm, tìm hình chiếu cạnh của điểm đó trên đồ thức. Ví dụ : Vẽ hình chiếu cạnh. phẳng (bài toán liên thuộc) 1. Bài toán cơ bản 1 Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I, một đường thẳng l thuộc mặt phẳng (α) đó. Biết hình chiếu đứng l 1 , tìm hình chiếu bằng l 2 (Hình 3.11) Hình