Hình Học Họa Hình

- Nghiên cứu các phương pháp biểu diễn các hình không gian trên một mặt phẳng - Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán không gian trên một mặt phẳng

Trang 1

PHẦN 1 HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Trang 2

Bài Mở đầu

Trang 3

I- Đối tượng môn học

- Nghiên cứu các phương pháp biểu diễn các hình không gian trên một mặt phẳng

- Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán không gian trên một mặt phẳng

Trang 4

+ Điểm S gọi là tâm chiếu

+ Điểm A’ gọi là hình chiếu xuyên tâm của

điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π

+ Đường thẳng SA gọi là tia chiếu của điểm A

A

A’

Hình 0.1 Xây dựng phép chiếu xuyên tâm

S

П

Trang 5

- Nếu AB là đoạn thẳng không đi qua tâm chiếu S thì hình chiếu xuyên tâm của nó là một đoạn thẳng A’B’.

- Nếu CD là đường thẳng đi qua tâm chiếu S thì C’=D’.(Hình chiếu suy biến) (Hình 0.2.a)

- Hình chiếu xuyên tâm của các đường thẳng song song nói chung là các đường đồng quy (Hình 0.2.b)

F D C

П

Trang 6

2- Phép chiếu song song

a) Xây dựng phép chiếu

- Cho mặt phẳng Π, một đường thẳng s

không song song mặt phẳng Π và một

điểm A bất kỳ trong không gian

- Qua A kẻ đường thẳng a//s A’ là giao

của đường thẳng a với mặt phẳng Π

* Ta có các định nghĩa sau:

+ Mặt phẳng Π gọi là mặt phẳng hình

chiếu

+ Đường thẳng s gọi là phương chiếu

+ Điểm A’ gọi là hình chiếu song song

của điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π

theo phương chiếu s

+ Đường thẳng a gọi là tia chiếu của

điểm A

A

A’

Hình 0.3 Xây dựng phép chiếu xuyên tâm

s

П

a

Trang 7

b) Tính chất phép chiếu

- Nếu đường thẳng AB không song song

với phương chiếu s thì hình chiếu song song

của nó là đường thẳng A’B’

- Nếu CD song song với phương chiếu s

thì hình chiếu song song của nó là một điểm

C’=D’

- Nếu M thuộc đoạn AB thì M’ thuộc A’B’

+ Tỷ số đơn của 3 điểm không đổi:

P

K’ I’

P'

N'M'

Q'//P'N'M'







= IK K'

I'

//IK K'

I'

MB

AM B'

M'

M' A'

=

Trang 8

3- Phép chiếu vuông góc

- Phép chiếu vuông góc trường hợp đặc

biệt của phép chiếu song song khi phương

chiếu vuông góc với mặt phẳng hình

chiếu

- Phép chiếu vuông góc có đầy đủ tính

chất của phép chiếu song song, ngoài ra

- Sau đây là những ứng dụng của phép

chiếu vuông góc mà ta gọi là phương

Trang 9

Bài 1 Điểm

Trang 10

П 2 quanh đường thẳng x theo chiều quay

được chỉ ra trên Hình 1.1.a cho đến khi П 2

trùng vớiП 1 Ta nhận được đồ thức của điểm

A trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.1.b)

Hình 1.1a,b Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

Trang 11

b) Các định nghĩa và tính chất

- Đường thẳng x : trục hình chiếu

- Gọi A x là giao của trục x và mặt phẳng

Trang 12

* Độ cao của một điểm

- Ta có: gọi là độ cao của

- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:

+ Độ cao dương: A1 nằm phía trên trục x

+ Độ cao âm: A1 nằm phía dưới trục x

Hình 1.1a,b Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

Ax 1= 2

Trang 13

+ Độ xa dương: A2 nằm phía dưới

trục x

+ Độ xa âm: A2 nằm phía trên trục x

*Chú ý: Với một điểm A trong không gian có

đồ thức là một cặp hình chiếu A 1 , A 2

Ngược lại cho đồ thức A 1 A 2 , ta có thể xây

dựng lại điểm A duy nhất trong không

gian Như vậy đồ thức của một điểm A có

điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

A2

Π2

A A A

Π1

Π2

b)

A1

Trang 14

2– Hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

a) Xây dựng đồ thức

- Trong không gian, lấy ba mặt phẳng

П 1’ П 2 ,П 3 vuông góc với nhau từng đôi môôt

+ Gọi x là giao điểm của П1 và П2 (y = П1∩П2)

+ Gọi y là giao điểm của П2 và П3 (y = П2∩П3)

+ Gọi z là giao điểm của П1 và П3 (z = П1∩П3)

- Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng П 1 ,

П2 và П3 ta nhận được các hình chiếu A1 , A2 và A3

- Cố định mặt phẳng П1, quay mặt phẳng П2

quanh đường thẳng x, quay mặt phẳng П 3 quanh

trục z theo chiều quay được chỉ ra trên Hình

1.2.a cho đến khi П2 trùng với П1,П3 trùng với П1

Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ hai

y

y O

Az

Ay

AyO

Trang 15

y O

Az

) AA (A y

Ay

) AA (A x

Ax

3 1

3 2

2 1

Trang 16

b) Các định nghĩa và tính chất (tiếp theo)

* Độ xa cạnh của một điểm

- Ta có:

gọi là độ xa cạnh của điểm A

- Quy ước:

+ Độ xa cạnh dương : khi điểm A nằm

phía bên trái П3

+ Độ xa cạnh âm: khi điểm A nằm

phía bên phải П3

+ Độ xa cạnh dương: A3 nằm phía bên

y

y O

A A A

A2

Trang 17

III – Một số định nghĩa khác

1– Góc phần tư

- Hai mặt phẳng hình chiếu П 1 , П 2 vuông góc với nhau chia không gian thành bốn

phần, mỗi phần được gọi là một góc phần tư.

+ Phần không gian phía trước П 1 , trên П 2 được gọi là góc phần tư thứ nhất (I)

+ Phần không gian phía sau П 1 , trên П 2 được gọi là góc phần tư thứ hai (II)

+ Phần không gian phía sau П 1 , dưới П 2 được gọi là góc phần tư thứ ba (III)

+ Phần không gian phía trước П 1 , dưới П 2 được gọi là góc phần tư thứ tư (IV)

Ví dụ: Tự cho đồ thức của các điểm A, B, C, D lần lượt thuộc các góc phần tư I, II, III, IV

A2

Π 1

Π 2 ( I )

( IV ) ( III )

Trang 18

2 – Mặt phẳng phân giác

- Có hai mặt phẳng phân giác

+ Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (I) và góc phần tư (III) thành

các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác I (Pg1)

+ Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (II) và góc phần tư (IV) thành

các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác II.(Pg2)

Ví dụ: Vẽ đồ thức của các điểm A, B thuộc mặt phẳng phân giác I; C, D thuộc mặt phẳng phân giác II, A thuộc góc

phần tư (I), B thuộc (III), C thuộc (II), D thuộc (IV)

Trang 19

IV- Vẽ hình chiếu thứ ba của một điểm trên đồ thức

Bài toán: Cho hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm, tìm hình chiếu cạnh của điểm đó trên đồ thức.

Ví dụ: Vẽ hình chiếu cạnh của các điểm A, B, C, D, E được cho trên đồ thức

A2

A3z(+)

y(+)

By

Ey

Trang 20

Bài 2

Đường thẳng

Trang 21

I- Đồ thức của một đường thẳng

Vì một đường thẳng đươc xác định bởi

hai điểm phân biệt do đó để cho đồ thức của một

đường thẳng ta cho đồ thức của hai điểm phân biệt

thuộc đường thẳng đó.

Ví dụ: Cho đồ thức của đường thẳng l;

- l 1 đi qua A 1 B 1 gọi là hình chiếu đứng

) A , A(A

B A AB

2 1

Chú ý: Nếu từ hình chiếu l 1 và l 2 của đường

thẳng l ta xây dựng lại đường thẳng l duy nhất

trong không gian thì đồ thức đường thẳng có

tính chất phản chuyển, khi đó ta không cần

cho các điểm A, B thuộc đuờng thẳng l

Trang 22

II- Các đường thẳng có vị trí đặc biệt (đối với mặt phẳng hình chiếu)

1- Các đường thẳng đồng mức (là các đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu)

Trang 24

c) Đường cạnh

* Tính chất :

- p1 và p 2 cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x

- Nếu có một đoạn thẳng EF thuộc đường mặt p thì hình chiếu cạnh E 3 F 3 =EF

y

O F

Trang 25

O F

Trang 26

x B

A2 2 ⊥

1

AB ⊥ ∏

Trang 27

xD

Trang 29

III- Điểm thuộc đường thẳng

1- Đường thẳng đã cho không phải là đường cạnh

Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc đường thẳng không phải là đường cạnh

là hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng và hình chiếu bằng của điểm thuộc hình chiếu bằng của đường thẳng.

Hình 2.8 Điểm thuộc đường thẳng

1 1

A )

/ / (

A

l

l l

l

Trang 30

PQ I

Q P I

PQ I

Q P I

3 3 3

2- Đường thẳng đã cho là đường cạnh

Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và điểm I thỏa mãn điều kiện

Xét xem I có thuộc PQ hay không? (Hình 2.11)

1 1 1

Q P I

I2

Q1

Trang 31

IQ

I

P

IQ

I

PI

PQ

IQ

I

P

IQ

I

PI

2 2

2 2 1

1

1 1

2 2

2 2 1

1

1 1

Hình 2.11 Cách 2 Xét điểm thuộc đường cạnh

- Qua P 1 kẻ đường thẳng t bất kỳ hợp với

P 1 Q 1 một góc α tùy ý (nên lấy α<90 o ).

- Trên t lấy:

- Vẽ

2 2

2 2 1

QPQI

IPIP

I

PQ

⇔

- Nếu thì tỉ số đơn khác nhau'I1 ≠ I1 ⇔ I ∈ PQ

- Nếu thì tỉ số đơn bằng nhau'I1 ≡ I1

Trang 32

IV- Vết của đường thẳng

Vết của đường thẳng l là giao điểm của đường thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu

Trang 33

Ví dụ: Hãy xác định vết của đường thẳng l(l 1 ,l 2 ) được cho như trên đồ thức và

xét xem đường thẳng l đi qua góc phần tư nào trong không gian.(Hình 2.13)

* Xét l đi qua góc phần tư nào?

- Xét A∈MN: A có độ cao dương, độ xa âm

⇒ A thuộc góc phần tư thứ II

⇒ l đi qua góc phần tư thứ II.

- Xét B∈MN: B có độ cao âm, độ xa âm;

⇒ B thuộc góc phần tư thứ III

⇒ l đi qua góc phần tư thứ III

- Xét C∈MN : C có độ cao dương, độ xa dương;

⇒ C thuộc góc phần tư thứ I

⇒ l đi qua góc phần tư thứ I.

Vậy, đường thẳng l đi qua các góc I, II, III

Trang 34

V- Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

1- Hai đường thẳng cắt nhau

a) Cả hai đường thẳng không phải đường cạnh

Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng

không phải đường cạnh cắt nhau là trên đồ thức:

các hình chiếu đứng của chúng cắt nhau, các hình

chiếu bằng cắt nhau sao cho các điểm cắt này cùng

I

I b

a

I b

a )

//

b , a (

I b a

2 1

2 2

2

1 1

Trang 35

b) Một trong hai đường thẳng là đường cạnh

Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và

Do đó để xét xem l và PQ có cắt nhau hay

không ta đưa về bài toán điểm thuộc đường

cạnh đã xét ở trên

Hình 2.15 Hai đường thẳng cắt nhau

(một trong hai đường thẳng là đường cạnh)

Trang 36

b //

a )

/ b , a (

b //

a

2- Hai đường thẳng song song

a) Định nghĩa:

Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng

cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm

chung nào

b) Điều kiện song song của hai đường thẳng trên

đồ thức

* Cả hai đường thẳng không phải là đường cạnh

Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng không

phải đường cạnh song song với nhau là trên đồ

thức các hình chiếu đứng của chúng song song và

các hình chiếu bằng của chúng cũng song song

Trang 37

* Cả hai đường thẳng là đường cạnh

Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và đường

Xét xem PQRS có cùng mặt phẳng hay không?

Hình 2.17 Xét xem hai đường cạnh có song song hay không?

RS //

PQ x

I

I R

Q S

P

I R

Q S

P

2 1

2 2

2

1 1 1 1

PQ S

R //

Trang 38

3- Hai đường thẳng chéo nhau

a) Định nghĩa

Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường

thẳng không thuộc một mặt phẳng và không có

điểm chung nào

b) Điều kiện hai đường thẳng chéo nhau trên

K

Iba

Kb

anhau

chéob

và

a

2 1

2 2 2

1 1

1



Trang 39

c) Khái niệm cặp điểm đồng tia chiếu (Hình 2.19)

*Cặp điểm đồng tia chiếu bằng

- Cặp điểm I a (I1a ,I2a ) ; I b (I1 ,I2 ) gọi là cặp điểm

đồng tia chiếu bằng.

- I 1a cao hơn I 1 nên: I 2a thấy, I 2 khuất.

*Cặp điểm đồng tia chiếu đứng

-Cặp điểm K a (K 1a,K 2a); K b (K 1 ,K 2 ) gọi là cặp

điểm đồng tia chiếu đứng.

- K 2a xa hơn K 2 nên: K 1a thấy, K 1 khuất.

Hình 2.19

Các cặp điểm đồng tia chiếu

b 2

I

b 1

a

1 K

a 2

K

b 2

1

a 1 b

2

a 2

b I

a

I I

2

a 2 b

1

a 1

b K

a

K K

K

a 1

I

Trang 40

VI- Hai đường thẳng vuông góc

1- Định lý về điều kiện một góc vuông được chiếu

thành một góc vuông (Hình 2.20)

- Cho mặt phẳng П và góc xOy, x’O’y’ là hình

chiếu vuông góc của xOy lên mặt phẳng П

- Nếu hai trong ba điều kiện sau đây được thỏa

mãn thì điều kiện còn lại được thỏa mãn:

Hình 2.20 Định lý về điều kiện một góc vuông được chiếu thành một góc vuông

3)

90y'O' x'2)

90 xOy)1

O’

y’ O

x’

x

y

a) П

Trang 41

2- Chuyển sang đồ thức

- Trên đồ thức, để một góc vuông trong không gian được giữ nguyên là vuông thì

một trong hai cạnh của góc phải là đường thẳng đồng mức (đường bằng, đường mặt,

I

a //

h

90

aIh

2 2 2 2

K

b //

f

90

bKf

1 1 1 1

Trang 42

h

a //

h

h a

1

f

b//

f

fb

Trang 43

Bài 3 Măăt phẳng

Trang 44

Chú ý:

Từ cách xác định mặt phẳng này có thể chuyển đổi thành

cách xác định khác Do đó phương pháp giải bài toán không

phụ thuộc vào cách cho mặt phẳng

Trang 46

- Ta có thể cho mặt phẳng bởi các vết của nó Mặt phẳng có hai vết cắt nhau tại

α x ∈ x (Hình 3.3a,b) hoặc mặt phẳng có vết song song với trục x (Hình 3.3c)

- Thông thường người ta chỉ thể hiện vết đứng và vết bằng của mặt phẳng

- Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng người ta có thể dùng ký hiệu m 1 , m 2

Trang 47

vì α x , N 2 , N’ 2 thẳng hàng

Trang 48

nα ⊥

III- Các mặt phẳng có vị trí đặc biệt (đối với mặt phẳng hình chiếu)

1- Các mặt phẳng chiếu ( là các mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu)

Trang 50

x

A3z

=

x//

n ,x//

=

γ

Trang 51

x //

B A )

( ABC ∈ α ⇔ 2 2 2 =

−

⊥

α 1

Trang 52

ABC C

B A )

( ABC ∈ ⇔ 1 1 1 =

nβ

−

β 2

Trang 53

ABC C

B A )

(

x n

(γ) vừa là mặt phẳng chiếu đứng vừa là mặt phẳng chiếu bằng

) ( //

)

(

γ

γ γ

Chú ý:

Trang 54

IV- Đường thẳng và điểm thuộc mặt phẳng (bài toán liên thuộc)

Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I, một đường thẳng l thuộc mặt phẳng (α) đó

Hình 3.11 Bài toán cơ bản 1

Trang 56

2- Bài toán cơ bản 2

(bài toán cơ bản 1)

- K 2 ∈ l 2 (Điểm thuộc đường thẳng)

Hình 3.13 Bài toán cơ bản 2

Trang 58

V- Các đường thẳng đặc biệt của mặt phẳng

1- Đường bằng của mặt phẳng

* Định nghĩa: Đường bằng của mặt phẳng là đường thẳng thuộc mặt phẳng đó và

song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П 2

Ví dụ: Cho mặt phẳng (α) và h là đường bằng của (α) Khi đó h∈(α) và h//П 2 (Hình 3.15)

Trang 59

Ví dụ:

Cho mặt phẳng α (a,b), trong đó a//b

Vẽ đường bằng h thuộc (α) sao cho

Trang 60

2- Đường mặt của mặt phẳng

*Định nghĩa: Đường mặt của mặt phẳng là đường thẳng thuộc mặt phẳng đó và

song song với mặt phẳng hình chiếu đứng

Ví dụ: Cho mặt phẳng (α) và f là đường mặt của (α) Khi đó f∈(α) và f//П 1 (Hình 3.17)

Trang 61

VI- Vi trí tương đối của hai mặt phẳng

1- Hai mặt phẳng song song

Hai mặt phẳng song song là hai

mặt phẳng không có điểm chung nào.

b) Định lý:

Nếu trong mặt phẳng này có chứa

hai đường thẳng cắt nhau tương ứng

song song với hai đường thẳng cắt nhau

dể dựng hai mặt phẳng song song.

Trang 62

Qua I dựng mặt phẳng (β)//(α)

Chú ý:

Nếu hai mặt phẳng (không phải là mặt phẳng chiếu cạnh) song song với nhau được cho bởi vết, thì các vết tương ứng của chúng song song nhau(m α //m β ; n α //n β )

Khi hai mặt phẳng đã song song thì các đường thẳng đặc biệt tương ứng của hai

mặt phẳng đó cũng song song nhau

Trang 63

2- Hai mặt phẳng cắt nhau

Vấn đề đặt ra: Vẽ giao tuyến của hai mặt phẳng

Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước

Trang 64

) (

∏

⊥ α

Hình 3.25 Vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước

Trang 65