http://baigiangtoanhoc.com Tuyển tập đề thi học phần môn ĐSTT Trung tâm gia sư VIP –Hotline: 0989189380 ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN KHOA TOÁN ĐHSP HÀ NỘI –MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Đề số 1 Câu 1. Cho n là số nguyên dương 1. Chứng minh rằng tập các ma trận vuông cấp n với phép cộng 2 ma trận và nhân 1 ma trận với 1 số thực lập thành 1 không gian vecto trên trường số thực. Kí hiệu R – kgvt này là Mat(n). Hãy chỉ ra 1 cơ sở và tính số chiều của Mat(n). 2. Gọi S(n) là tập tất cả các m trận ij ( ) A a Mat n sao cho A là ma trận đối xứng. CMR S(n) là R – kgvt con của Mat(n). Hãy chỉ ra 1 cơ sở và tính số chiều của S(n). Hãy mô tả cụ thể phần bù đại số của S(n) trong Mat(n). 3. Giả sử V là 1 R – kgvt n chiều. Gọi End(V) là R – kgvt các tự đồng câu của V. CMR Mat(n) đẳng cấu với End(V). Câu 2. Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 : f R R cho bởi công thức sau: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , 4 5 2 ,5 7 3 ,6 9 4 f x x x x x x x x x x x x 1. Tìm cơ sở của ảnh và của hạt nhân của f. 2. Tìm các giá trị riêng và không gian riêng của f. Câu 3. Giải và biện luận hpt sau trên trường số thực 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 5 7 8 11 7 2 6 16 23 11 19 18 22 23 40 x x x x x x x x x x x x x x x x Khi 3 hãy tìm nghiệm tổng quát của hệ trên. Đề số 2 Câu 1. Hãy định nghĩa tự đồng cấu lũy linh, định nghĩa không gian riêng suy rộng của 1 tự đồng cấu tuyến tính. CMR với là giá trị riêng của f thì số chiều đại số của bằng bội của nghiệm của đa thức đặc trưng f P x Câu 2. Tìm cơ sở của ảnh và hạt nhân của tự đồng cấu của R 3 xác định bởi các công thức tọa độ sau: http://baigiangtoanhoc.com Tuyển tập đề thi học phần môn ĐSTT Trung tâm gia sư VIP –Hotline: 0989189380 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 2 1. 2 2 x x x x x x x x x x x x 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 3 2 2. 2 2 x x x x x x x x x x x x Câu 3. Tính định thức của ma trận A. Khi det 0 A , hãy tìm 1 A . Với ij , A a Mat n R ở đó ij b i j a a i j Câu 4. Cho E là không gian vecto trên trường K và , 1, f End E Rankf DimE n . Chứng minh tồn tại K để 2 f f , hơn nữa nếu 1 thì E Id f là đẳng cấu. Câu 5. Giả sử B là ma trận lũy linh, A là ma trận giao hoán với B. CMR: Det A B DetA Đề số 3 Câu 1. 1. Chứng minh nếu f là 1 tự đồng cấu của K – không gian vecto hữu hạn chiều V và 1 2 , , , n a a a là những vecto riêng ứng với giá trị riêng phân biệt từng cặp 1 2 , , , n thì hệ vecto riêng 1 2 , , , m a a a độc lập tuyến tính. 2. Định nghĩa tự đồng cấu chéo hóa được. CMR nếu tự đồng cấu f của K – không gian vecto hữu hạn chiều V mà 2 f f thì f chéo hóa được. Câu 2. Tìm cơ sở của ảnh và hạt nhân của các tự đồng cấu của 3 R xác định bởi các công thưc tọa độ sau. 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 1. 3 3 x x x x x x x x x x x x 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 2 2. 2 2 4 x x x x x x x x x x x x Câu 3. Tính định thức của ma trận ij ij , , min , A a Mat n R a i j Câu 4. Cho V là không gian vecto trên trường K và , 1, 1 f End V Rankf DimV n . CMR tồn tại K để 2 f f , hơn nữa nếu 1 thì Id f là đẳng cấu. Câu 5. Giả sử V là không gian vecto phức hữu hạn chiều, f End V mà có số nguyên dương n để '' f Id . CMR trong V có cơ sở gồm những vecto riêng của f. http://baigiangtoanhoc.com Tuyển tập đề thi học phần môn ĐSTT Trung tâm gia sư VIP –Hotline: 0989189380 Đề số 4 Câu 1. Phát biểu và chứng minh định lý về số chiều của các không gian vecto con của không gian vecto hữu hạn chiều. Câu 2. Giải hệ phương trình: 2 2 3 2 5 2 2 6 4 6 3 2 4 4 3 2 4 4 7 9 x y z u v x y z u v x y u v x y z u v x y z u v Câu 3. Cho 2 P là không gian vecto các đa thức hệ số trên trường K(R,C), bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2 với cơ sở 2 1, , x x 1. Chứng minh ánh xạ sau là ánh xạ tuyến tính của 2 P : 2 2 : f P P 2 2 2 3 f a bx cx a a b x a b x 2. Tìm ma trận của f trong cơ sở nói trên 3. Tìm 1 cơ sở của Kerf, Imf 4. Hỏi f có chéo hóa được không. Nếu được hãy chéo hóa nó. Câu 4. Trong không gian vecto 3 R với cơ sở chính tắc cho biểu thức tọa độ của dạng toàn phương: 2 , , , , H xy yt x y z t 1. Sử dụng phương pháp Lagrange hãy đưa biểu thức tọa độ của H về dạng chính tắc. Viết công thức tọa độ của phép biến đổi cơ sở từ cơ sở chính tắc sang cơ sở mới, trong đó H có dạng chính tắc. 2. Hỏi H là dạng toàn phương: xác định dương ? xác định âm ? không là 1 trong 2 dạng trên? Vì sao? 3. Xác định chỉ số quán tính của H. Đề số 5 Câu 1. Chứng minh rằng hạng của ma trận A bằng cấp p của ma trận vuông con không suy biên của A sao cho mọi ma trận vuông con cấp (p+1) bao nó đều suy biến. Câu 2. Giải hệ phương trình sau: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 4 2 2 0 3 5 3 2 0 6 8 5 7 0 3 5 3 7 5 0 x x x x x x x x x x x x x x x x http://baigiangtoanhoc.com Tuyển tập đề thi học phần môn ĐSTT Trung tâm gia sư VIP –Hotline: 0989189380 Câu 3. Giải phương trình ma trận sau (các ma trận vuông cấp n) Câu 4. Cho ma trận thực Tìm ma trận khả nghich C để ma trận 1 C AC có dạng chuẩn tắc Jocdang Câu 5. Cho V là một K – không gian vecto và f End V . CMR nếu 2 0 f và tồn tại h End V để hf fh Id thì er Imf K f . Điều ngược lại có đúng không? Đề số 6 Câu 1. 1. CMR nếu : f V V là tự đồng cấu tuyến tính của không gian vecto hữu hạn chiều V thì er Imf DimV Dim K f Dim 2. Định nghĩa tự đồng cấu chéo hóa được. Chứng minh nếu tự đồng cấu f của K – không gian vecto hữu hạn chiều V mà 2 f f thì f chéo hóa được. Câu 2. Cho V là không gian vecto trên trường K, , DimV n f End V . CMR có ánh xạ g End V để fgf f Câu 3. Giải và biện luận hệ phương trình: http://baigiangtoanhoc.com Tuyển tập đề thi học phần môn ĐSTT Trung tâm gia sư VIP –Hotline: 0989189380 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 5 2 0 5 9 2 7 0 3 7 4 0 4 6 0 x x x x x x x x x x x x x x x x Câu 4. Cho ma trận vuông A cấp n có dạng sau: các phần tử trên đường chéo chính bằng ab, các phần tử ngay sát đường chéo chính bằng 1, còn các phần tử khác bằng 0. 1. Chứng minh 0 n k n k k Det A a b 2. Tìm giá trị riêng của ma trận dạng trên khi 1, 1 a b Đề số 7 Câu 1. 1. Nêu các khái niệm: tự đồng cấu lũy linh, tự đồng cấu chéo hóa được, không gian riêng và không gian riêng suy rộng của 1 tự đồng cấu tuyến tính. 2. Chứng minh mọi tự đồng cấu của không gian vecto thực n chiều (n > 0) đều có không gian con bất biến một hoặc 2 chiều. Câu 2. Cho ma trận vuông A cấp n. Chứng minh tồn tại ma trận vuông B cấp n để ABA A . Ma trận B là duy nhất khi và chỉ khi A khả nghịch. Câu 3. Cho V là không gian vecto hữu hạn chiều. Giả sử E, F là 2 không gian con thực sự của V và imF DimE D . Chứng minh có không gian con của V là phần bù chung cho cả E và F. Câu 4. Giải và biện luận hệ phương trình sau trên trường số thực 3 2 1 x y z t a x y z t a x y z t a x y z t Câu 5. Cho ma trận 2 3, , 0, 0 A Mat R A A . Gọi 3, : 0 V M Mat R AM MA . Tìm số chiều của không gian vecto V Đề sô 8 Câu 1. 1. Nêu định nghĩa không gian vecto trên trường K. http://baigiangtoanhoc.com Tuyển tập đề thi học phần môn ĐSTT Trung tâm gia sư VIP –Hotline: 0989189380 2. Kí hiệu P n là tập các đa thức một biến hệ số thực có bậc nhỏ hơn hay bằng n. CMR P n cùng với phép nhân một số thực với 1 đa thức và phép cộng 2 đa thức làm thành 1 không gian vecto trên R. 3. Hãy chỉ ra 1 cơ sở và tính số chiều của R – kgvt P n . 4. CMR phép lấy đạo hàm bậc nhất d: n n P P là 1 ánh xạ R – tuyến tính. Hãy viết ma trận của ánh xạ tuyến tính d trong cơ sở đã chỉ ra ở câu 3) Câu 2. Giả sử ánh xạ tuyến tính 3 3 : f R R cho bởi công thức sau: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , 2 ,4 3 5 ,2 7 f x x x x x x x x x x x x . Hãy tìm cơ sở ảnh và ảnh hạt nhân của f. Câu 3. Tìm giá trị riêng và vecto riêng của ánh xạ tuyến tính: 1 1 2 3 2 3 3 2 ' ' ' x x x x x x x x . Trên các trường đã chỉ ra sau đây: 1. Trên trường số thực 2. Trên trường số phức. Câu 4. Giải và biện luận theo tham số hệ phương trình sau trên trường số thực 2 1 x y z x y z x y z Đề số 9 Câu 1. Trong không gian vecto R 3 với cơ sở chính tắc 1 2 3 , , e e e , cho tự đồng cấu 3 3 : f R R có biểu thức tọa độ: 2 1 x y z x y z x y z 1. Tìm Rankf 2. Tìm cơ sở của Kerf và Imf Câu 2. Cho ma trận vuông cấp n: Các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 0, các phần tử khác bằng 1 1. Tính n DetA 2. Tìm ma trận nghịch đảo của A 3 http://baigiangtoanhoc.com Tuyển tập đề thi học phần môn ĐSTT Trung tâm gia sư VIP –Hotline: 0989189380 Câu 3. Giải và biện luận hệ phương trình: 2 1 x y z x y z x y z Câu 4. Chứng minh rằng nếu số phức z thỏa mãn: 1 2cos z z . Thì 1 2cos m m z m z Đề số 10 Câu 1. Định nghĩa vecto riêng, giá trị riêng, không gian riêng của 1 tự đồng cấu tuyến tính, tự đồng cấu chéo hóa được. CMR nếu f là 1 tự đồng cấu của K – kgvt V và 1 2 , , , m là những vecto riêng của f theo thứ tự ứng với các giá trị riêng phân biệt từng cặp 1 2 , , , m thì hệ vecto 1 2 , , , m là độc lập tuyến tính. Câu 2. Tính hạng của vecto sau trong R 4 (xét với cơ sở chính tắc): 1 2,1, 3,1 , 2 3 4 5 2,2, 6,2 , 6,3, 9,6 , 1,1,1,1 , 2,1,5,1 . Từ đó suy ra 1 cơ sở và số chiều của không gian vecto con sinh bởi hệ vecto trên. Câu 3. Trong R 3 với cơ sở chính tắc, cho tự đồng cấu f có ma trận: Câu 4. Cho ma trận vuông A (cấp n) thỏa mãn: 2 3 0 n A A I . Chứng minh A khả nghịch và tính A -1 (theo A) Đề số 11 Xét hệ vecto 1 2 3 1, 1,1 , 1,2,0 , 0,0,1 1. Chứng minh hệ 1 2 3 , , là 1 cơ sở của R 3 2. Tìm ma trận của f trong cơ sở α 3. Tìm các giá trị riêng và không gian riêng của f. http://baigiangtoanhoc.com Tuyển tập đề thi học phần môn ĐSTT Trung tâm gia sư VIP –Hotline: 0989189380 Câu 1. Định nghĩa không gian vecto con, tổng của 1 họ không gian vecto con của một K – kgvt V. Chứng minh định lý sau: “ Giả sử W và Z là 2 không gian vecto con của K – không gian hữu hạn chiều V. Khi đó W W DimW DimZ Dim Z Dim Z ” Câu 2. Tìm 1 cơ sở và số chiều của không gian vecto con sinh bởi các vecto sau trong R 4 (xét với cơ sở chính tắc): 1 2 3 4 5 1,0,0, 1 , 2,1,1,0 , 1,1,1,1 , 1,2,3,4 , 0,1,2,3 Câu 3. Xét tự đồng cấu f của R 3 cho bởi công thức tọa độ sau trong cơ sở chính tắc của R 3 : 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , 4 5 2 ,5 7 3 ,6 9 4 f x x x x x x x x x x x x 1. Viết ma trận của f 2. Tìm 1 cơ sở của ảnh và hạt nhân của f 3. Tìm giá trị riêng và không gian riêng của f. Câu 4. Cho f là tự đồng cấu của không gia vecto hữu hạn chiều V thỏa mãn 2 f Id 1. CMR: er er V K f id K f id 2. CMR f là chéo hóa được và viết ma trận dạng chéo của f trong 1 cơ sở thích hợp của V. Đề số 12 Câu 1. Cho ma trận Câu 2. Tính định thức 1. Tính DetA 2. Tìm ma trận nghịch đảo A -1 http://baigiangtoanhoc.com Tuyển tập đề thi học phần môn ĐSTT Trung tâm gia sư VIP –Hotline: 0989189380 Câu 3. Chứng minh nếu ma trận 3, A Mat R và 2 3 0 Tr A Tr A Tr A thì A 3 = 0 Câu 4. Cho V là không gian vecto trên trường K, F được gọi là không gian con thực sự của V nếu F là không gian vecto con của V và F V 1. Hỏi V có bằng hợp của 2 không gian con thực sự của nó không? 2. Nếu trường K là vô hạn, hỏi V có bằng hợp của 1 số hữu hạn không gian con thực sự của nó hay không? Câu 5. Cho V là K – không gian vecto, 0 DimV n . CMR nếu tồn tại : er Imf f End V K f khi và chỉ khi n chẵn. Câu 6. Giả sử f End V chéo hóa được, DimV n , L là không gian con của V bất biến qua ánh xạ f. CMR ánh xạ hạn chế | f L End L cũng chéo hóa được và có không gian con L 1 bất biến đối với f sao cho: 1 L L V . Tuyển tập đề thi học phần môn ĐSTT Trung tâm gia sư VIP –Hotline: 0989189380 ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN KHOA TOÁN ĐHSP HÀ NỘI –MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Đề số 1 Câu 1. Cho n là số nguyên. của V. Đề số 12 Câu 1. Cho ma trận Câu 2. Tính định thức 1. Tính DetA 2. Tìm ma trận nghịch đảo A -1 http://baigiangtoanhoc.com Tuyển tập đề thi học phần môn ĐSTT. CMR phép lấy đạo hàm bậc nhất d: n n P P là 1 ánh xạ R – tuyến tính. Hãy viết ma trận của ánh xạ tuyến tính d trong cơ sở đã chỉ ra ở câu 3) Câu 2. Giả sử ánh xạ tuyến tính 3 3 : f R R