TIẾP TUYẾN Điều kiện tiếp xúc của hai đường cong. Cho hàm số ( ) y f x= có đồ thị ( ) 1 C và ( ) y g x= có đồ thị ( ) 2 C Để ( ) 1 C tiếp xúc với ( ) 2 C khi và chỉ khi hệ phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' f x g x f x g x = = có nghiệm. Bài 1: Cho hàm số 3 2 1y x x x= − + + . Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số không tồn tại điểm mà tiếp tuyến tại điểm đó với đồ thị song song với trục hoành. Bài 2: Cho hàm số 3 2 1y x x x= − + + . Tìm trên đồ thị hàm số các điểm mà tiếp tuyến tại điểm đó song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất . Bài 3: Cho hàm số 3 2 1y x x x= − + + . Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số không tồn tại hai điểm sao cho tiếp tuyến tại hai điểm này vuông góc với nhau. Bài 4: Cho hàm số 3 2 1y x x x= − + + . Với giá trị nào của k để có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó vuông góc với đường thẳng y=kx ( ) k ≠ 0 . Bài 5: Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số 3 3 1y x x= + + không tồn tại hai điểm mà tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Bài 6: (Đại học QGTPHCM): Cho hàm số ( ) 2 3 1m x m m y x m + − + = + có đồ thị là (C m ) với m là tham số và m khác không. Với giá trị nào của m thì tại giao điểm của đồ thị (C m ) với trục hoành tiếp tuyến sẽ song song với đường thẳng y=x-10. Viết phương trình tiếp tuyến này. Bài 7: (Đại học công đoàn): Cho hàm số 3 2 y x 3x 3x 5= + + + . Xác định k để trên đồ thị có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại điểm đó vuông góc với đường thẳng d:y=kx+1. Bài 8: Cho hàm số 3 2 y x 6x 9x 5= − + − − . Tìm trên đồ thị hàm số những điểm mà tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm đó nằm ngang. Bài 9(Đại học thủy lợi): Tìm m để trên đồ thị hàm số ( ) 3 2 x y m 1 x 4x m 3 = − − + + có hai tiếp tuyến nằm ngang. Bài 10 (CĐSP TPHCM): Cho hàm số 2 y ax bx 3= + − . Tính a, b để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y=2x+4 tại điểm có hoành độ bằng 1. Bài 11: Cho hàm số ax+b y , c ad - bc 0 cx+d = ≠ 0, ≠ . Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số này không thể có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Bài 12 (Đề khối D năm 2005): Gọi (C m ) là đồ thị của hàm số 3 2 1 m 1 y x x 3 2 3 = − + . Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C m ) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng 5x-y=0 1 Bài 13 (ĐH KT): Cho hàm số 3 2 y x 6x 9x 1= − + − . Từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng x=2 có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số. Bài 14 (Đại học quốc gia Hà Nội): Cho hàm số 3 y x 3x= − có đồ thị (C). Tìm trên đường thẳng x=2 những điểm mà từ đó có thể kẻ được đúng 3 tiếp tuyến. Bài 15: Cho hàm số 4 2 y x x 1= − + có đồ thị (C). Tìm trên trục tung các điểm kẻ đúng 3 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số. Bài 16: Cho hàm số 3 2 y 2x 9x 12x 1= − + + . Tìm điểm A trên đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến tại A song song với đường thẳng d: 12x-y=0. Bài 17 (Dự bị năm 2003): Cho hàm số 2x 1 y x 1 − = − có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng IM. Bài 18(Đề dự bị năm 2002): Cho hàm số 3 2 y x 3x 4= − + . Gọi d là đường thẳng đi qua A(3;4) và có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt A, M, N sao cho tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau. Bài 19: Cho hàm số x y x 1 = − . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác cân. Khối A. Bài 20: Cho hàm số x 1 y x 2 − = − . Tìm m để đường thẳng d: y=x+m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến tại hai điểm này song song với nhau. Bài 21: (KD 2007): Cho hàm số = + 2x y x 1 . Tìm M thuộc đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến tại M cắt hai trục tọa độ tại A và B và tam giác OAB có diện tích bằng 1/4. Bài 22: Cho hàm số + = − x 3 y x 1 . Gọi ( ) 0 0 M x ;y thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến tại M cắt các tiệm cận tại các điểm A và B. Chứng minh M là trung điểm của AB. Bài 23: Cho hàm số 3 y x 3x 2= − + . Tìm điểm thuộc trục Ox mà từ đó kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị hàm số. CỰC TRỊ Bài 1: Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 2 1 2 2y x m x m x= − − + − + . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực trị đó dương. Bài 2: Cho hàm số y m x x mx 3 2 ( 2) 3 5 = + + + − . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực trị đó dương. Bài 3: Cho hàm số ( ) 3 2 2 2 2 2 3 1 3 3 y x mx m x= − − − + (1). 1. Khảo sát hàm số khi m=1. 2. Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho ( ) 1 2 1 2 . 2 1x x x x+ + = . 2 Bi 3: (i hc giao thụng vn ti): Cho hm s ( ) 3 2 y x 3 m 1 x 9x m,= + + m l s thc. Xỏc nh m hm s ó cho t cc tr ti x 1 , x 2 sao cho 1 2 x x 2 6 Bi 4: (H Cnh Sỏt 97): Cho hm s ( ) ( ) 3 2 y x m 2 x 1 m x 3m 1= + + + . Tỡm m hm s t cc tr ti 1 2 x ,x tha iu kin 1 2 x x 2 = . Bi 5: Cho hm s ( ) ( ) 3 2 1 2 1 2y x m x m x= + + . Vi giỏ tr no ca m thỡ hm s t cc tr ti cỏc im cú honh 1 2 ,x x tha món 2 2 1 2 2x x+ = . Bi 6: Cho hm s ( ) 3 2 3 2 9 1y x m x x m= + + . Tỡm m hm s t cc tr ti cỏc im 1 2 ,x x sao cho 1 2 2x x . Bi 7: Cho hm s y x m x m x m 3 2 (1 2 ) (2 ) 2= + + + + . Xỏc nh m hm s ó cho t cc tr ti x x 1 2 , sao cho x x 1 2 1 3 > . Bi 8: Cho hm s y x m x m x 3 2 1 1 ( 1) 3( 2) 3 3 = + + . Xỏc nh m hm s ó cho t cc tr ti x x 1 2 , sao cho x x 1 2 2 1+ = . Bi 9: Cho hm s y x mx x 3 2 4 3= + . Tỡm m hm s cú hai im cc tr x x 1 2 , tha x x 1 2 4= . Bi 10: Cho hm s 3 2 y 2x x= . Gi s ng thng y=a ct th hm s ti 3 im phõn bit cú honh 1 2 3 x ,x ,x . Tớnh 2 2 2 1 2 3 x x x+ + . Bi 11: Cho hàm số 3 2 2 (1 ) ( )y x x m x m Cm= + + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=1. 2. Tìm m để đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt 321 ,, xxx thỏa mãn điều kiện 4 2 3 2 2 2 1 <++ xxx . Bi 12: Cho hm s ( ) 3 2 y 4x m 3 x mx= + + + . Tỡm m hm s nghch bin trờn on cú di bng 1. Bi 13: Cho hm s 3 2 y x 3x 9x m= + . Xỏc nh m hm s cú cc i cc tiu v honh im cc i v cc tha: 1 2 x x 2+ = Bi 14: Cho hm s ( ) ( ) 3 2 y 2x 3 2a 1 x 6a a 1 x 1= + + + + . Chng minh rng vi mi a hm s luụn t cc i v cc tiu ti hai im 1 2 x ,x vi 2 1 x x khụng ph thuc vo tham s a. Bi 15(HN): Cho hm s ( ) ( ) 3 2 2 1 3 2 4y x m x m m x= + + + + . Tỡm m hm s cú cc i v cc tiu v hai phớa ca trc tung. Bi 16(Hc vin quan h quc t): Cho hm s 3 2 4 3y x mx x m= + . Chng minh rng vi mi m hm s luụn cú cc i v cc tiu, ng thi chng minh rng honh im cc i v cc tiu luụn trỏi du. IM THUC TH HM S 3 Bài 1(Dự bị 2006): Cho hàm số 3 2 x 11 y x 3x 3 3 = − + + − . Tìm trên đồ thị (C) hai điểm M, N đối xứng nhau qua trục tung. Bài 2(Đại học Quốc gia TPHCM): Cho hàm số 3 y x 3x 2= + − . Tìm trên đồ thị (C) của hàm số các cặp điểm đối xứng nhau qua điểm I(2;18). Bài 3(Đại học Thái Nguyên): Cho hàm số ( ) 3 2 2 2 y x 3mx 3 m 1 x 1 m= − + − + − . Tìm m để trên đồ thị hàm số có hai điểm đối xứng nhau qua gốc toại độ. Bài 4(Đại học Đà Nẵng 97): Cho hàm số ( ) 3 2 y x m 3 x mx m 5= − + + + − . Tìm m để đồ thị có hai điểm đối xứng nhau qua trục tung. Bài 5(ĐH QGHN 97): Cho hàm số 3 2 y 2x kx 12x 13= + − − , a là tham số. Với giá trị nào của k thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu và hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua trục tung. Bài 6: Cho hàm số 3 2 y x mx 1= − + . Khi m=3 hãy tìm điểm thuộc đồ thị và đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Bài 7(ĐH Y HCM 96): Cho hàm số = − + 3 2 3 y x 3mx 4m . Xác định m để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y=x. Bài 8: Cho hàm số 2 2 x y x + = − . Tìm trên đồ thị hàm số các điểm cách đều hai trục tọa độ. TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM Bài 1: Cho hàm số 3 y 4x 3x 1= − + . Giả sử A là điểm nằm trên (C) có hoành độ x A =1 và d là đường thẳng qua A có hệ số góc m. Xác định m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác A. Sử dụng sơ đồ Hocner để chia đa thức: - Nếu pt: 3 2 ax bx cx d 0 (a 0)+ + + = ≠ có nghiệm x= α . - Thì ( ) ( ) 3 2 2 ax bx cx d 0 x ax Bx C 0+ + + = ⇔ −α + + = → ( ) ( ) ( ) 3 2 4x 3 m x m 1 0 x 1 4x Bx C 0− + + − = = − + + = . - Như vậy ta thực hiện phép chia đa thức để tìm B và C. x 3 x 2 x 1 x 0 4 0 -(3+m) m-1 1 4 B=1.4+0=4 C=1.B+(-3-m)=1-m D=1.C+(m-1)=0 x 3 x 2 x 1 x 0 4 0 -3-m m-1 1 4 4 1-m 0 Khi chia ( ) − + + − 3 4x 3 m x m 1 cho x-1, tức là chia bậc ba cho bậc nhất nên từ bậc ba sẽ giảm xuống còn bậc hai. Do đó kết quả là bậc hai với các hệ số a=4, B=4, C=1-m. 4 Bài 2: Cho hàm số ( ) 3 2 y x m x 1= + − . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Bài 3: Cho hàm số 3 2 y x mx 1= + + . Tìm m để (C m ) cắt đường thẳng d: y=-x+1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau. ĐHQG 96. Bài 4: Cho hàm số 3 2 y x 6x 9x= − + . Tìm tất cả các đường thẳng đi qua A(4;4) và cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt. Bài 5: Cho hàm số ( ) ( ) 2 2 y x 2 x mx m 3= − + + − . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Bài 6: Cho hàm số 3 2 y x 6x 9x 1= − + − có đồ thị (C). Gọi d là đường thẳng qua A(2;1) và có hệ số góc m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biêt. Bài 7: Cho hàm số 3 2 2 8 y x x 4x 3 3 = − − + và đường thẳng d: 8 y mx 3 = + . Tìm m để d cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt: ĐS: 35 m , m 4 8 > − ≠ Bài 8: Cho hàm số 3 2 y x 2x mx 1= + + + có đồ thị (C m ). Chứng minh rằng với mọi m (C m ) cắt đồ thị hàm số 3 2 y x 2x 7= + + tại hai điểm A và B khác nhau. Bài 9: Cho hàm số 3 2 y x 3x 1= + + . Đường thẳng d qua A(-3;1) có hệ số góc k. Xác định k để d cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt. Bài 10: Cho hàm số ( ) 3 2 y x mx 2 m 1 x m 3= + − + + + có đồ thị (C m ) và đường thẳng (d m ) có phương trình: y=mx-m+2. Tìm m để đường thẳng (d m ) cắt đồ thị (C m ) tại ba điểm phân biệt. Bài 11: Cho hàm số 3 2 y x 3x 4= − + . Chứng minh rằng đường thẳng d qua I(1;2) có hệ số góc k>-3 cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt A, I, B đồng thời I là trung điểm của AB. Bài 12: Cho hàm số 2x 1 y x 1 − = + . Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d m ) đi qua A(- 2;2) có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số: a/ Tại hai điểm phân biệt. b/ Tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị. Bài 13(ĐH QGTPHCM): Tìm tất cả các giá trị m để phương trình: 3 2 2 3 1 m x x m − = + có ba nghiệm phân biệt, với m là tham số. ĐS: Với mọi m ∈¡ . CẤP SỐ CỘNG Bài 1: Cho hàm số 3 2 y x 3x 9x m= − − + . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt với hoành độ lặp thành cấp số cộng Bài 2: Cho hàm số 3 2 3 y x 3ax 4a= − + . Xác định a để đường thẳng y=x cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt A, B, C với AB=BC. Bài 3: Cho hàm số ( ) 4 2 y x m 1 x m= − + + . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt và có hoành độ lặp thành cấp số cộng. 5 Bài 4: Cho hàm số 4 2 y x 5x 4= − + . Tìm m để đường thẳng d: y=m chắn trên đồ thị hàm số ba đoạn thẳng bằng nhau. Bài 5: Cho hàm số ( ) 4 2 y x 2 m 1 x 2m 1= − + + − . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm A, B, C , D sao cho AB=BC=CD. Đáp số: 4 m 4, m= 9 = . Bài 6(ĐH Kiến Trúc 93): Cho hàm số 4 2 y x ax b= + + . Giả sử đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng: 2 9a 100b 0− = . ĐS: 1 2 3 17 3 17 3 17 3 17 ; , ; 2 2 2 2 M M + + − − ÷ ÷ ÷ ÷ . 6 Chú ý: - Pt bậc ba: ( ) + + + = ≠ 3 2 ax bx cx d 0 a 0 (*) . - Nếu pt (*) có ba nghiệm phân biệt 1 2 3 x ,x ,x thì : 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 b x x x a d x x x a c x x x x x x a + + = − = − + + = Nhẩm nghiệm đặc biệt x 0 . - Nếu a+b+c+d=0 thì pt (*) có nghiệm x 0 =1. - Nếu a-b+c-d=0 thì pt (*) có nghiệm x 0 =-1. - Ngoài ra ta có thể nhẩm nghiệm = 0 p x q , với p là ước của d và q là ước của a. . vuông góc với đường thẳng y=kx ( ) k ≠ 0 . Bài 5: Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số 3 3 1y x x= + + không tồn tại hai điểm mà tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Bài 6: (Đại học. nhau qua trục tung. Bài 2 (Đại học Quốc gia TPHCM): Cho hàm số 3 y x 3x 2= + − . Tìm trên đồ thị (C) của hàm số các cặp điểm đối xứng nhau qua điểm I(2;18). Bài 3 (Đại học Thái Nguyên): Cho. đó vuông góc với đường thẳng d:y=kx+1. Bài 8: Cho hàm số 3 2 y x 6x 9x 5= − + − − . Tìm trên đồ thị hàm số những điểm mà tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm đó nằm ngang. Bài 9 (Đại học thủy