Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 14 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
14
Dung lượng
239,65 KB
Nội dung
www.VNMATH.com 1 Phép đm - các vn đ c bn và nâng cao Trn Nam Dng Trng HKHTN Tp HCM Phép đm hay còn gi là Gii tích t hp đóng mt vai trò khá quan trng trong các môn khoa hc và đc bit là trong Tin hc và Tóan ng dng. Có th nói, lý thuyt xác sut c đin có c s là các bài tóan đm, sinh hc di truyn cng s dng đn phép đm, ri hóa hc cu trúc … Nhng gii mt bài tóan đm không h đn gin. Khi mi làm quen vi gii tích t hp, chúng ta vn liên tc đm nhm vì nhng v đm lp, đm thiu, không phân bit đc các đi tng t hp cn áp dng, không bit khi nào thì dùng quy tc cng, khi nào quy tc nhân. Khi đã vt qua nhng khó khn ban đu này, ta li gp nhng bài tóan mà vic áp dng trc tip các quy tc đm c bn và các đi tng t hp không đem li kt qu mong mun ngay lp tc. Vi nhng bài tóan nh vy, ta cn đn các phng pháp đm nâng cao hn. Trong bài vit này, đ có tính h thng, trc ht chúng tôi s trình bày mt cách vn tt phn lý thuyt c bn ca phép đm, sau đó, chúng tôi s tp trung vào gii thiu các phng pháp đm nâng cao gm phng pháp song ánh, phng pháp qu đo, phng pháp thêm bt, phng pháp quan h đ quy và phng pháp hàm sinh. Bài vit này đc xây dng da trên bài ging ca chúng tôi ti các khóa cao hc, các lp c nhân tài nng và lp tp hun cho đi tuyn Vit Nam thi toán quc t. Các tài liu tham kho đc trình bày cui bài vit. Chúng tôi xin chân thành cm n Trng HKHTN HN, đc bit là GS Nguyn Vn Mu đã cho chúng tôi c hi đc trình bày chuyên đ này. Bài 1. - Phép đm. Các nguyên lý c bn ca phép đm nh ngha: i) Mt tp hp A đc nói là hu hn và có n phn t nu tn ti mt song ánh gia A và tp hp con 1, 2, , n ca N. Ta vit |A| = n. ii) Nu A không hu hn, ta nói A vô hn. B đ (Nguyên bù tr): Gi s B là mt tp con ca tp hp hu hn A. Gi C A (B) là phn bù ca B trong A. Khi y ta có |A| = |B| + |C(B)|. nh lý: Gi s A, B là các tp hp hu hn. Nu tn ti mt đn ánh t A vào B và mt đn ánh t B vào A thì A và B có cùng s phn t. Nguyên lý cng: Nu A, B là các tp hp không giao nhau thì www.VNMATH.com 2 |A B| = |A| + |B|. Nguyên lý cng còn có th phát biu mt cách khác nh sau: Nu mt công vic có th thc hin bng mt trong hai phng án lai tr ln nhau: phng án th nht có m cách thc hin và phng án th hai có n cách thc hin. Khi đó công vic đó có m+n cách thc hin. Nguyên lý cng m rng: Nu tp hp hu hn C là hp ca n tp đôi mt ri nhau C 1 , C 2 , , C n thì: | C | = | C 1 | + | C 2 | + + | C n |. nh ngha: Tích Descartes ca hai tp hp A, B ký hiu bi AxB là tp hp tt c các cp th t (a, b) vi a A, b B. Nguyên lý nhân: Nu A và B là hai tp hp hu hn thì AxB cng hu hn và ta có |A x B| = |A|.|B| nh ngha v tích Descartes và nguyên lý nhân trên đây có th m rng cho nhiu tp hp. Nguyên lý nhân có th phát biu mt cách khác nh sau: Nu mt quá trình có th đc thc hin qua hai công đan: công đan I có n 1 cách thc hin, công đan II (sau khi thc hin I) có n 2 cách thc hin. Khi đó có n 1 .n 2 cách thc hin quá trình đó. Nguyên lý thêm bt: Vi hai tp hu hn A, B bt k ta có |A B| = |A| + |B| - |AB| Câu hi và bài tp: 1) Hãy tìm s tp con ca mt tp hp có n phn t. 2) Hãy cho mt ví d v áp dng ca nguyên lý bù tr. 3) Hãy cho mt ví d v phép đm phi áp dng c nguyên lý cng và nguyên lý nhân. 4) Có bao nhiêu s có 3 ch s khác nhau? 5) Có bao nhiêu s có 3 ch s và chia ht cho 3? 6) Có bao nhiêu s có 3 ch s khác nhau và chia ht cho 3? 7) Trong trò chi tin lên, tính xác sut đ mt ngi nào đó có t quí. 8) Nguyên lý thêm bt có th m rng nh th nào? Bài 2. - Các đi tng t hp và các s t hp 1. H các tp con ca mt tp hp E P(E) = A| A E Mnh đ: |P(E)| = 2 |E| 2. Chnh hp ca n phn t chn k (hay chnh hp chp k ca n phn t) Gi s E = a 1 , a 2 , , a n . Chnh hp ca n phn t chn k là mt b sp th t gm k phn t (a i1 , , a ik ). S các chnh hp chp k ca n phn t đc ký hiu là k n A . Ta có www.VNMATH.com 3 k n A = n(n-1) (n-k+1) = n!/(n-k)! 3. T hp ca n phn t chn k (hay t hp chp k ca n phn t) Gi s E = a 1 , a 2 , , a n . T hp ca n phn t chn k là mt b không sp th t gm k phn t a i1 , , a ik . Nói cách khác, đó là mt tp con gm k phn t. S các t hp chp k ca n phn t đc ký hiu là C k n . Ta có k n C = n(n-1) (n-k+1)/k! = n!/k!(n-k)! 4. Hóan v Gi s E = a 1 , a 2 , , a n . Mt hóan v ca E là mt cách xp các phn t ca E theo mt th t nào đó. Nói cách khác, đó chnh là chnh hp ca n phn t chn n. S các hóan v ca n phn t ký hiu là P n . Ta có P n = n!. 5. Chnh hp lp Gi s E = a 1 , a 2 , , a n . Chnh hp lp ca n phn t chn k là mt b sp th t gm k phn t (a i1 , , a ik ), trong đó cho phép ly lp li. S các chnh hp chp k ca n, theo quy tc nhân, bng n k . 6. T hp lp Gi s E = a 1 , a 2 , , a n . T hp lp ca n phn t chn k là mt b không sp th t gm k phn t a i1 , , a ik , trong đó cho phép ly lp li. Nói cách khác, đó là mt đa tp hp gm k phn t ly t E. S các t hp lp chp k ca n phn t đc ký hiu là k n H . Ta có k kn k n CH 1 7. Hóan v lp Xét đa tp hp E(r 1 , r 2 , , r s ) có n phn t, trong đó phn t a 1 có r 1 phiên bn, phn t a 2 có r 2 phiên bn, , phn t a s có r s phiên bn, r 1 +r 2 + +r s = n. Mt cách xp các phn t ca E theo th t nào đó đc gi là mt hóan v lp ca n phn t ca E. S hóan v lp ca đa tp hp E(r 1 , r 2 , , r s ) bng n!/r 1 ! r s !. B đ: (Tính cht h s nh thc) k n k n k n CCC 1 1 nh lý: (Nh thc Newton) nn n n n n n n yCyxCxCyx )( 110 . Câu hi và bài tp: 1) Nêu rõ s khác bit gia chnh hp và t hp, hóan v và hóan v lp. 2) Tìm hiu ý ngha ca các ký hip A, C, P, H. 3) Hãy chng minh đnh lý nh thc. 4) Nêu ví d áp dng cho tng đi tng t hp trên đây. 5) Tìm s nghim nguyên không âm ca phng trình x 1 + x 2 + x 3 = 100 6) Có 5 nam và 5 n. Có bao nhiêu cách chn ra 5 ngi trong đó có ít nht 1 nam và ít nht 1 n. www.VNMATH.com 4 7) Rút gn tng n k k n n k kk n kxCBCA 00 )cos(,)2(. 8) Chng minh n k n n k n CC 0 2 2 .)( Bài 3. - Các phng pháp đm nâng cao C s ca phép đm là đnh ngha phép đm, các nguyên lý đm và các s t hp (là các s thng ny sinh mt cách t nhiên trong các bài tóan đm). Tuy nhiên, vi các công c c s trên, chúng ta thng ch gii đc nhng bài tóan dng đn gin nht. Vi các bài tóan có yêu cu phc tp hn, cn đn các phng pháp đm nâng cao. Có nhiu phng pháp đm nâng cao da trên các nn tng lý thuyt khác nhau. Ví d phng pháp song ánh da vào lý thuyt tp hp và ánh x, phng pháp thêm bt cng da vào lý thuyt tp hp (c th là tng quát hóa ca công thc |A B| = |A| + |B| - |AB|), phng pháp qu đo da vào mt đnh lý c bn v s đng đi ngn nht gia hai đim ca li nguyên, phng pháp quan h đ quy da vào ý tng quy np, phng pháp hàm sinh s dng các ki n thc tng hp ca đi s và gii tích Di đây, qua các ví d, chúng ta s gii thiu mt s phng pháp đm nâng cao. 1. Phng pháp song ánh. Phng pháp song ánh da vào mt ý tng rt đn gin: Nu tn ti mt song ánh t A vào B thì |A| = |B|. Do đó, mun chng minh hai tp hp có cùng s phn t, ch cn xây dng mt song ánh gia chúng. Hn na, ta có th đm đc s phn t ca mt tp hp A bng cách xây dng song ánh t A vào mt tp hp B mà ta đã bit cách đm. Ví d 1. (Bài tóan chia ko ca Euler) Cho k, n là các s nguyên dng. Tìm s nghim nguyên không âm ca phng trình x 1 + x 2 + + x n = k (*) Li gii : Ta xây dng mt ánh x t tp hp A các nghim nguyên không âm ca (*) vi tp hp B các xâu nh phân đ dài n+k-1 vi k bit 1 và n-1 bit 0 nh sau: (x 1 , x 2 , …, x n ) 1 101 101 1…01 1 trong đó có x 1 s 1 liên tip, sau đó đn s 0, sau đó đn x 2 s 1 liên tip, li đn 1 s 0 …, cui cùng là x n s 1 liên tip. D dàng chng minh đc ánh x này là mt song ánh (hãy gii thích ti sao đây là mt tòan ánh bng cách xây dng ánh x ngc). T đó | A | = | B | = . 1 1 n kn C Ví d 2. (nh lý c bn ca phng pháp qu đo) Chng minh rng s đng đi ngn nht trên li nguyên t đim A(0, 0) đn B(m, n) bng m nm C . Li gii : Mt đng đi ngn nht t A đn B s bao gm m đan đi ngang và n đan đi lên. Ta cho tng ng mt đng đi ngn nht t A đn B bng mt xâu nh phân gm m www.VNMATH.com 5 bit 1 (tng ng vi đan đi ngang) và n bit 0 (tng ng vi đan đi lên). D dàng chng minh tng ng này là mt song ánh, t đó s đng đi ngn nht t A đn B bng s xâu nh phân đ dài m+n trong đó có m bit 1, và nh vy bng m nm C . Ví d 3 . Xây dng mt song ánh t N vào ZxZ. Hng dn: ánh s các đim nguyên theo vòng trôn c. Ví d 4. Chng minh không tn ti mt song ánh t tp hp các s hu t thuc đon [0, 1] vào tp hp các s thc thuc đon này. Hng dn: Phng pháp đng chéo! Ví d 5 . Có n ngi xp hàng dc. Hi có bao nhiêu các chn ra k ngi sao cho không có hai ngi liên tip đc chn? Li gii : Ta đánh s n ngi bng các s th t 1, 2, …, n. Mt cách chn thích hp chính là mt b s 1 a 1 < a 2 < …< a k n tha mãn điu kin a i+1 – a i > 1 (tc là 2). Vy ta cn tìm s phn t ca A = (a 1 , a 2 , …, a k ) | 1 a 1 < a 2 < …< a k n, a i+1 – a i 2 vi i=1, 2, …, k-1 Xét ánh x f(a 1 , a 2 , …, a k ) = (b 1 , b 2 , …, b k ) vi b i = a i – i + 1 thì rõ ràng ta có 1) b 1 = a 1 1; 2) b i+1 – b i = (a i+1 – (i+1) + 1) – (a i – i + 1) = a i+1 – a i – 1 > 0 3) b k = a k – k + 1 n – k + 1. Suy ra (b 1 , b 2 , …, b k ) là phn t ca tp hp B: B = (b 1 , b 2 , …, b k ) | 1 b 1 < b 2 < …< b k n – k + 1 D thy f là mt đn ánh. Ngòai ra, ánh x g(b 1 , b 2 , …, b k ) = (a 1 , a 2 , …, a k ) vi a i = b i + i – 1 cho chúng ta mt đn ánh t B vào A. Vy | A | = | B | = k kn C 1 . Phng pháp song ánh còn có th đc áp dng đ chng minh cách đng thc t hp mt cách vô cùng hiu qu. Y tng c bn là: Nu ta đm mt tp hp bng hai cách khác nhau thì các kt qu thu đc phi bng nhau, cho dù, vi các cách đm khác nhau ta có th ra các biu thc rt khác nhau. Ví d 6: Chng minh h thc 1 12 1 2 )( n n n k k n nCCk Li gii: Hãy gii bài tóan sau bng hai cách “Có n nhà vt lý và n nhà tóan hc tham gia mt Hi ngh khoa hc. Hi có bao nhiêu cách chn ra mt nhóm làm vic gm n ngi, trong đó có 1 nhà vt lý làm nhóm trng”. Cách 1: Chn nhóm trng vt lý, sau đó chn n-1 thành viên còn li t 2n-1 ngi còn li. Cách 2: Chn k nhà vt lý, chn nhóm trng là nhà vt lý sau đó chn n-k nhà tóan hc vi k = 1, 2, …, n. (Xem thêm bài: Song ánh và các bài toán gii tích t hp – TH&TT, s 1, 2/2001) 2. Phng pháp quan h đ quy. www.VNMATH.com 6 Phng pháp quan h đ quy là phng pháp gii bài tóan vi n đi tng thông qua vic gii bài tóan tng t vi s đi tng ít hn bng cách xây dng các quan h nào đó, gi là quan h đ quy. S dng quan h này, ta có th tính đc đi lng cn tìm nu chú ý rng vi n nh, bài tóan luôn có th gii mt cách d dàng. Ta minh ha phng pháp này thông qua mt s ví d: Ví d 1. (Bài tóan chia ko ca Euler) Cho k, n là các s nguyên dng. Tìm s nghim nguyên không âm ca phng trình x 1 + x 2 + + x n = k (*) Gii. Gi s nghim nguyên không âm ca phng trình trên là S(n, k). D dàng thy rng S(1, k) = 1. tính S(n, k), ta chú ý rng (*) tng đng vi x 1 + + x n-1 = k - x n (**) Suy ra vi x n c đnh thì s nghim ca (**) là S(n-1, k-x n ). T đó ta đc công thc S(n, k) = S(n-1, k) + S(n-1, k-1) + + S(n-1, 0) ây có th coi là công thc truy hi tính S(n, k). Tuy nhiên, công thc này cha tht tin li. Vit công thc trên cho (n, k-1) ta đc S(n, k-1) = S(n-1, k-1) + S(n-1, k-2) + + S(n-1, 0) T đây, tr các đng thc trên v theo v, ta đc S(n, k) - S(n, k-1) = S(n-1, k) Hay S(n, k) = S(n, k-1) + S(n-1, k) T công thc này, bng quy np ta có th chng minh đc rng S(n, k) = 1 1 n nk C . Ví d 2. Có bao nhiêu xâu nh phân đ dài n trong đó không có hai bit 1 đng cnh nhau? Gii. Gi c n là s xâu nh phân đ dài n tha mãn điu kin đu bài. Ta có c 1 = 2, c 2 = 3. tìm công thc truy hi, ta xây dng xâu nh phân đ dài n tha mãn điu kin đu bài có dng a n a n-1 a n-2 a 2 a 1 . Có hai trng hp i) a n = 1. Khi đó a n-1 = 0 và a n-2 a 2 a 1 có th chn là mt xâu bt k đ dài n-2 tha điu kin. Có c n-2 xâu nh vy, suy ra trng hp này có c n-2 xâu. ii) a n = 1. Khi đó a n-1 a 2 a 1 có th chn là mt xâu bt k đ dài n-1 tha điu kin. Có c n-1 xâu nh vy, suy ra trng hp này có c n-1 xâu. Vy tng cng xây dng đc c n-1 + c n-2 xâu, ngha là ta có h thc truy hi c n = c n-1 + c n-2 . Ví d 3. Có bao nhiêu cách lát đng đi kích thc 3x2n bng các viên gch kích thc 1x2? Li gii: Gi c n là s cách lát đng đi kích thc 3 x 2n. D thy c 1 = 3. tính c n , ta chia các cách lát đng đi kích thc 3x2n thành n lai, trong đó lai th k là các cách lát mà phn đng đi 3x2k đu tiên đc ph kín hòan tòan, nhng không tn ti i < k sao cho phn đng đi 3x2i đu tiên đc ph kín hòan tòan. Gi A k là tp hp các cách lát lai k thì rõ ràng c n = |A 1 | + |A 2 | + … + |A n |. D dàng nhn thy |A 1 | = 3c n-1 (phn đng đi 3x2 đc lát kín bng 3 cách, phn còn li đc lát bng c n-1 cách). Tip theo, có th chng minh d dàng rng, ch có hai cách ph phn đng đi 3x2k cho các cách ph thuc A k vi k = 2, 3, …, n, chính là cách ph www.VNMATH.com 7 và cách ph thu đc bng cách ly đi xng. T đó suy ra |A k | = 2c n-k . Nh vy, ta có c n = 3c n-1 + 2c n-2 + … + 2. ây là dng công thc truy hi bc vô hn. thu đc mt công thc truy hi bc hu hn, ta thay n n+1 và đc c n+1 = 3c n + 2c n-1 + 2c n-2 + … + 2 T đó, tr hai đng thc cui cùng v theo v, ta đc c n+1 – c n = 3c n – c n-1 và cui cùng là c n+1 = 4c n – c n-1 . Ví d 4. n đng tròn chia mt phng thành nhiu nht bao nhiêu min? Hng dn: 1 đng tròn có th ct n-1 đng tròn khác tt đa bao nhiêu đim? Ví d 5. (VMO 2003): Vi mi s nguyên dng n 2 gi s n là s các hoán v (a 1 , a 2 , , a n ) ca tp hp E n = 1, 2, , n, mà mi hoán v có tính cht 1 |a i - i| 2 vi mi i=1, 2, , n. Chng minh rng vi n > 6 ta có 1.75s n-1 < s n < 2s n-1 . Hng dn. Chng minh công thc truy hi s n+1 = s n + s n-1 + s n-2 + s n-3 - s n-4 . Ví d 6. Xét tp hp E = 1, 2, 3, , 2003. Vi tp con A khác rng ca E, ta đt r(A) = a 1 - a 2 + + (-1) k-1 a k trong đó a 1 , a 2 , , a k là tt c các phn t ca A xp theo th t gim dn. Hãy tính tng u S = A E r(A). 3. Phng pháp thêm bt Ta xét bài toán thc t sau: Ví d 1. Rút ngu nhiên 13 quân bài t b bài 52 quân. Tính xác sut đ trong 13 quân đó có “t quý”. Gii. Có 13 52 C cách rút 13 quân bài t b bài 52 quân. Ta cn tìm s cách rút trong đó có 4 quân bài ging nhau (v s!). Trc ht ta đm s cách rút có “t quý” A. Rõ ràng có 9 48 C cách rút nh vy (ly 4 con A và 9 con bt k t 48 con còn li). Vi các quân bài khác cng vy. Vì có 13 quân bài khác nên s cách rút là có t quý là 13. 9 48 C (!?). Trong li gii trên, chúng ta đã đm lp. C th là nhng cách rút bài có hai t quý, chng hn t quý K và t quý A đc đm hai ln: mt ln t quý A và mt ln t quý K. Nhng ta đang đm không hi là s t quý mà là s ln gp t quý. Nh th, nhng ln đm lp đó phi tr đi. D thy, s cách rút có t quý K và A s là 5 44 C . Lý lun tip tc nh th, ta có con s chính xác cách rút có t quý là: 1 40 3 13 5 44 2 13 9 48 .13 CCCCC www.VNMATH.com 8 và xác sut cn tìm bng 0342.0/).13( 13 52 1 40 3 13 5 44 2 13 9 48 CCCCCCp . tc là vi mt ngi chi bài ngu nhiên, c trung bình 29 ln s có 1 ln đt t quý. Xác sut có 1 t quý trong 1 ván chi cao hn và cng có th tíng bng phng pháp thêm bt. P ~ 4p – 6p 2 + 4p 3 – p 4 = 0.1299 tc là c khang 8 ván s có xut hin 1 t quý. Trong li gii trên đ không b đm lp, chúng ta đã ln lt bt đi, ri lm thêm vào, ri li bt đi … C s tóan hc ca phng pháp này chính là đnh lý sau: nh lý. Vi n tp hp A 1 , , A n bt k ta có công thc |A 1 A n | = |A i | - |A i A j | + + (-1) n-1 |A 1 A n | Chng minh: Dùng quy np và tính phân phi. Ví d 2. Có bao nhiêu cách xp 8 con xe lên bàn c quc t đã b gch đi mt đng chéo chính sao cho không có con nào n con nào? Gii. Có 8! cách xp 8 con xe con xe lên bàn c quc t sao cho không có con nào n con nào. Ta cn đm s cách xp không hp l, tc là s cách xp có ít nht mt con xe nm trên đng chéo. Gi A i là tp hp các cách xp có quân xe nm ô (i, i). Ta cn tìm |A 1 A 8 |. Nhng d dàng thy rng |A i | = 7!, |A i A j | = 6! |A 1 A 8 | = 1 nên t đnh lý trên ta suy ra |A 1 A 8 | = C 1 8 .7! - C 2 8 .6! + C 3 8 .6! - - C 8 8 .1! = 8! - 8!/2! + 8!/3! 8!/8!. Nh vy s cách xp 8 con xe lên bàn c quc t đã b gch đi mt đng chéo chính sao cho không có con nào n con nào bng N(8) = 8! - (8! - 8!/2! + 8!/3! 8!/8!) = 8!(1/2! - 1/3! + + 1/8!). Ví d 3. Có bao nhiêu cách xp 8 con xe lên bàn c quc t đã b gch đi hai đng chéo chính sao cho không có con nào n con nào? Bài nói thêm: nh lý v xe và đa thc xe. 4. Phng pháp qu đo Ví d 1 . Có m+n ngi đang đng quanh quy vé, trong đó n ngi có tin 5.000 và m ngi ch có tin 10.000. u tiên quy không có tin, vé giá 5.000. Hi có bao nhiêu cách xp m+n ngi thành hàng đ không mt ngi nào phi ch tin tr li (m n). Ví d 2 . (Bài toán bu c) Trong cuc bu c, ng c viên A đc a phiu bu, ng c viên B đc b phiu bu (a > b). C tri b phiu tun t. Có bao nhiêu cách sp xp vic b phiu đ lúc nào A cng hn B v s phiu bu? www.VNMATH.com 9 Cho x > 0 và y là s nguyên. Qu đo t gc to đ đn đim (x; y) là đng gp khúc ni các đim O, (1; s 1 ), , (k; s k ), (x; s x ), trong đó |s i - s i-1 | = 1, s x = y. Gi N x,y là s các qu đo ni đim (0; 0) vi đim (x; y). Ta có các đnh lý sau: nh lý 1 . N x,y = p qp C vi p = (x+y)/2, q = (x-y)/2 nu x, y cùng tính chn l và N x,y = 0 nu x, y khác tính chn l. Chng minh: Gi s qu đo gm p đon hng lên trên và q đon hng xung di. Khi đó p + q = x, p - q = y t đó p = (x+y)/2, q = (x-y)/2 (vì p và q là các s nguyên nên x, y cn phi có cùng tính chn l). Vì qu đo s hoàn toàn đc xác đnh nu ta ch ra đon nào đc hng lên trên, do đó s các qu đo t đim O đn đim (x; y) bng N x,y = p qp C . nh lý 2 . (Nguyên lý đi xng gng) Gi s A(a; ), B(b; ) là các đim có to đ nguyên, hn na b > a 0, > 0, > 0, và A’(a; - ) là đim đi xng vi A qua trc Ox. Khi đó s các qu đo t A đn B ct trc Ox hoc có đim chung vi Ox bng s các qu đo t A’ đn B. Chng minh . Mi mt qu đo T t A đn B, ct trc Ox hoc có đim chung vi Ox ta cho tng ng vi qu đo T’ t A’ đn B theo quy tc sau: xét đon qu đo T t A cho đn đim gp nhau đu tiên gia T và Ox và ly đi xng đon này qua Ox, tip theo T và T’ trùng nhau. Nh vy mi mt qu đo T t A đn B ct Ox tng ng vi mt qu đo xác đnh t A’ đn B. Ngc li mi mt qu đo t A’ đn B tng ng vi mt và ch mt qu đo t A đn B ct Ox (ly đon qu đo t A’ đn B đn đim gp đu tiên và ly đi xng đon này qua Ox). Nh vy ta đã thit lp đc song ánh t tp hp các qu đo t A đn B ct Ox vào tp hp các qu đo t A’ đn B. nh lý đc chng minh. nh lý 3. Gi s x > 0, y > 0. Khi đó s qu đo t O đn (x; y) khôn có đim chung vi trc Ox (ngoi tr đim O) bng (y/x)N x,y . 5. Phng pháp hàm sinh Phng pháp hàm sinh là mt phng pháp hin đi, s dng các kin thc v chui, chui hàm (đc bit là công thc Taylor). ây là phng pháp mnh nht đ gii bài tóan gii tích t hp nh ngha: Cho dãy s a 0 , a 1 , a 2 , , a n , Chui hình thc A(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n + đc gi là hàm sinh ca dãy a n . www.VNMATH.com 10 Ý tng phng pháp hàm sinh nh sau: Gi s ta cn tìm công thc tng quát ca mt dãy s a n nào đó. T công thc truy hi hoc nhng lý lun t hp trc tip, ta tìm đc hàm sinh A(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n + Khai trin A(x) thành chui và tìm h s ca x n trong khai trin đó ta tìm đc a n . Công thc khai trin thng s dng (Công thc nh thc Newton) (1 + x) = 1 + x + (-1)x 2 /2 + + (-1) (-n+1)x n /n!+ Ví d 1. Tìm s hng tng quát ca dãy s f 0 = 1, f 1 = 2, f n+1 = f n + f n-1 . Gii: Xét hàm sinh F(x) = f 0 + f 1 x + f 2 x 2 + + f n x n + = f 0 + f 1 x + (f 0 +f 1 )x 2 + + (f n-1 +f n-2 )x n + = f 0 + f 1 x + x 2 (f 0 +f 1 x+ ) + x(f 1 x+ ) = f 0 + f 1 x + x 2 F(x) + x(F(x)-f 0 ) T đó suy ra F(x) = (1+x)/(1-x-x 2 ) Tip theo, ta khai trin F(x) thành chui. Ta có F(x) = (1+x)/(1-x)(1-x) trong đó , là nghim ca phng trình x 2 - x - 1 = 0. Ta d dàng tìm đc hai hng s A, B sao cho F(x) = A/(1-x) + B/(1-x) T đó, s dng công thc 1/(1-x) = 1 + x + x 2 + + x n + ta đc F(x) = A + B + (A + B)x + + (A n + B n )x n + suy ra f n = A n + B n vi , là hai nghim ca phng trình x 2 - x - 1 = 0 và A, B, là các hng s hòan tòan xác đnh. Ví d 2. Tìm s hng tng quát ca dãy s a 0 = 1, a n a 0 +a n-1 a 1 + + a 0 a n = 1 Gii: Xét hàm sinh A(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n + Biu thc truy hi gi chúng ta đn h s ca hai đa thc A(x).A(x) = a 0 + (a 0 a 1 +a 1 a 0 )x + + (a n a 0 +a n-1 a 1 + + a 0 a n )x n + = 1 + x + x 2 + + x n = (1-x) -1 . T đó suy ra A(x) = (1-x) -1/2 = 1 + (1/2)x + (1/2)(3/2)x 2 /2+ + (1/2)(3/2) (n-1/2)x n /n! + Và nh vy a n = (2n-1)!!/2 n .n! = .4/ 2 nn n C Ví d 3. (Bài tóan chia ko ca Euler) Cho k, n là các s nguyên dng. Tìm s nghim nguyên không âm ca phng trình x 1 + x 2 + + x n = k (*) Gii: Gi c n (k) là s nghim ca (*). Xét tích ca các tng vô hn (1+x+x 2 + )(1+x+x 2 + ) (1+x+x 2 + ) = (1+x+x 2 + ) n Ta nhn xét rng nu khai trin tích trên thành chui ly tha ca x (1+x+x 2 + ) n = c 0 + c 1 x + + c k x k + [...]... nguyên t có bao nhiêu cách tô p cung b ng a màu khác nhau (Hai cách tô màu thu c b ng m t phép quay c coi là gi ng nhau)? Gi i M i m i cung có a cách tô màu, nh v y có ap cách tô màu p cung (v i quy c c nh v trí) Trong s này có a cách tô màu b ng ch m t màu V i m i cách tô màu dùng 2 màu tr lên, ta có th dùng phép quay t o ra p cách tô màu khác c tính trong ap cách tô màu trên nh ng không c tính theo... |B| = n 2) A B 3) A(2) = B(2) thì n = 2k v i k nguyên d ng nào ó i< 13 www.VNMATH.com Tài li u tham kh o 1 2 3 4 5 6 7 8 Nguy n H u Anh, Tóan r i r c, NXB HQG Tp HCM, 2001 Tr n Ng c Danh, Tóan r i r c nâng cao, NXB HQG Tp HCM, 2003 Nguy n Kh c Minh, Tài li u b i d ng giáo viên, Hà N i 1996 T p chí Tóan h c và tu i tr , s 1, 2/2001 Hebert S Wilf, Generating Functionology, A.K Peters Ltd, 2005 M Hall, Combinatorial... tam giác không có i m chung? 10 Ta g i (i, j) là m t ngh ch th c a hoán v c a En = 1, 2, …, n n u (i) > (j) mà i < j Tìm s các ngh ch th trung bình c a m t hóan v c ch n ng u nhiên Bài 4 - ng d ng c a phép m Gi i tích t h p không ch gi i quy t các bài toán c t ra trong chính lý thuy t này mà còn nhi u ng d ng thú v trong các ngành toán h c khác, ví d nh trong i s , s h c, hình h c t h p, lý thuy t xác . www.VNMATH.com 1 Phép đm - các vn đ c bn và nâng cao Trn Nam Dng Trng HKHTN Tp HCM Phép đm hay còn gi là Gii tích t hp đóng mt vai. Chng minh n k n n k n CC 0 2 2 .)( Bài 3. - Các phng pháp đm nâng cao C s ca phép đm là đnh ngha phép đm, các nguyên lý đm và các s t hp (là các s thng ny sinh. nht. Vi các bài tóan có yêu cu phc tp hn, cn đn các phng pháp đm nâng cao. Có nhiu phng pháp đm nâng cao da trên các nn tng lý thuyt khác nhau. Ví d phng pháp song ánh