chuyên đề Phép đếm nâng cao

www.VNMATH.com 1 Phép đm - các vn đ c bn và nâng cao Trn Nam Dng Trng HKHTN Tp HCM Phép đm hay còn gi là Gii tích t hp đóng mt vai trò khá quan trng trong các môn khoa hc và đc bit là trong Tin hc và Tóan ng dng. Có th nói, lý thuyt xác sut c đin có c s là các bài tóan đm, sinh hc di truyn cng s dng đn phép đm, ri hóa hc cu trúc … Nhng gii mt bài tóan đm không h đn gin. Khi mi làm quen vi gii tích t hp, chúng ta vn liên tc đm nhm vì nhng v đm lp, đm thiu, không phân bit đc các đi tng t hp cn áp dng, không bit khi nào thì dùng quy tc cng, khi nào quy tc nhân. Khi đã vt qua nhng khó khn ban đu này, ta li gp nhng bài tóan mà vic áp dng trc tip các quy tc đm c bn và các đi tng t hp không đem li kt qu mong mun ngay lp tc. Vi nhng bài tóan nh vy, ta cn đn các phng pháp đm nâng cao hn. Trong bài vit này, đ có tính h thng, trc ht chúng tôi s trình bày mt cách vn tt phn lý thuyt c bn ca phép đm, sau đó, chúng tôi s tp trung vào gii thiu các phng pháp đm nâng cao gm phng pháp song ánh, phng pháp qu đo, phng pháp thêm bt, phng pháp quan h đ quy và phng pháp hàm sinh. Bài vit này đc xây dng da trên bài ging ca chúng tôi ti các khóa cao hc, các lp c nhân tài nng và lp tp hun cho đi tuyn Vit Nam thi toán quc t. Các tài liu tham kho đc trình bày  cui bài vit. Chúng tôi xin chân thành cm n Trng HKHTN HN, đc bit là GS Nguyn Vn Mu đã cho chúng tôi c hi đc trình bày chuyên đ này. Bài 1. - Phép đm. Các nguyên lý c bn ca phép đm nh ngha: i) Mt tp hp A đc nói là hu hn và có n phn t nu tn ti mt song ánh gia A và tp hp con 1, 2, , n ca N. Ta vit |A| = n. ii) Nu A không hu hn, ta nói A vô hn. B đ (Nguyên bù tr): Gi s B là mt tp con ca tp hp hu hn A. Gi C A (B) là phn bù ca B trong A. Khi y ta có |A| = |B| + |C(B)|. nh lý: Gi s A, B là các tp hp hu hn. Nu tn ti mt đn ánh t A vào B và mt đn ánh t B vào A thì A và B có cùng s phn t. Nguyên lý cng: Nu A, B là các tp hp không giao nhau thì www.VNMATH.com 2 |A  B| = |A| + |B|. Nguyên lý cng còn có th phát biu mt cách khác nh sau: Nu mt công vic có th thc hin bng mt trong hai phng án lai tr ln nhau: phng án th nht có m cách thc hin và phng án th hai có n cách thc hin. Khi đó công vic đó có m+n cách thc hin. Nguyên lý cng m rng: Nu tp hp hu hn C là hp ca n tp đôi mt ri nhau C 1 , C 2 , , C n thì: | C | = | C 1 | + | C 2 | + + | C n |. nh ngha: Tích Descartes ca hai tp hp A, B ký hiu bi AxB là tp hp tt c các cp th t (a, b) vi a  A, b  B. Nguyên lý nhân: Nu A và B là hai tp hp hu hn thì AxB cng hu hn và ta có |A x B| = |A|.|B| nh ngha v tích Descartes và nguyên lý nhân trên đây có th m rng cho nhiu tp hp. Nguyên lý nhân có th phát biu mt cách khác nh sau: Nu mt quá trình có th đc thc hin qua hai công đan: công đan I có n 1 cách thc hin, công đan II (sau khi thc hin I) có n 2 cách thc hin. Khi đó có n 1 .n 2 cách thc hin quá trình đó. Nguyên lý thêm bt: Vi hai tp hu hn A, B bt k ta có |A  B| = |A| + |B| - |AB| Câu hi và bài tp: 1) Hãy tìm s tp con ca mt tp hp có n phn t. 2) Hãy cho mt ví d v áp dng ca nguyên lý bù tr. 3) Hãy cho mt ví d v phép đm phi áp dng c nguyên lý cng và nguyên lý nhân. 4) Có bao nhiêu s có 3 ch s khác nhau? 5) Có bao nhiêu s có 3 ch s và chia ht cho 3? 6) Có bao nhiêu s có 3 ch s khác nhau và chia ht cho 3? 7) Trong trò chi tin lên, tính xác sut đ mt ngi nào đó có t quí. 8) Nguyên lý thêm bt có th m rng nh th nào? Bài 2. - Các đi tng t hp và các s t hp 1. H các tp con ca mt tp hp E P(E) = A| A  E Mnh đ: |P(E)| = 2 |E| 2. Chnh hp ca n phn t chn k (hay chnh hp chp k ca n phn t) Gi s E = a 1 , a 2 , , a n . Chnh hp ca n phn t chn k là mt b sp th t gm k phn t (a i1 , , a ik ). S các chnh hp chp k ca n phn t đc ký hiu là k n A . Ta có www.VNMATH.com 3 k n A = n(n-1) (n-k+1) = n!/(n-k)! 3. T hp ca n phn t chn k (hay t hp chp k ca n phn t) Gi s E = a 1 , a 2 , , a n . T hp ca n phn t chn k là mt b không sp th t gm k phn t a i1 , , a ik . Nói cách khác, đó là mt tp con gm k phn t. S các t hp chp k ca n phn t đc ký hiu là C k n . Ta có k n C = n(n-1) (n-k+1)/k! = n!/k!(n-k)! 4. Hóan v Gi s E = a 1 , a 2 , , a n . Mt hóan v ca E là mt cách xp các phn t ca E theo mt th t nào đó. Nói cách khác, đó chnh là chnh hp ca n phn t chn n. S các hóan v ca n phn t ký hiu là P n . Ta có P n = n!. 5. Chnh hp lp Gi s E = a 1 , a 2 , , a n . Chnh hp lp ca n phn t chn k là mt b sp th t gm k phn t (a i1 , , a ik ), trong đó cho phép ly lp li. S các chnh hp chp k ca n, theo quy tc nhân, bng n k . 6. T hp lp Gi s E = a 1 , a 2 , , a n . T hp lp ca n phn t chn k là mt b không sp th t gm k phn t a i1 , , a ik , trong đó cho phép ly lp li. Nói cách khác, đó là mt đa tp hp gm k phn t ly t E. S các t hp lp chp k ca n phn t đc ký hiu là k n H . Ta có k kn k n CH 1  7. Hóan v lp Xét đa tp hp E(r 1 , r 2 , , r s ) có n phn t, trong đó phn t a 1 có r 1 phiên bn, phn t a 2 có r 2 phiên bn, , phn t a s có r s phiên bn, r 1 +r 2 + +r s = n. Mt cách xp các phn t ca E theo th t nào đó đc gi là mt hóan v lp ca n phn t ca E. S hóan v lp ca đa tp hp E(r 1 , r 2 , , r s ) bng n!/r 1 ! r s !. B đ: (Tính cht h s nh thc) k n k n k n CCC 1 1    nh lý: (Nh thc Newton) nn n n n n n n yCyxCxCyx   )( 110 . Câu hi và bài tp: 1) Nêu rõ s khác bit gia chnh hp và t hp, hóan v và hóan v lp. 2) Tìm hiu ý ngha ca các ký hip A, C, P, H. 3) Hãy chng minh đnh lý nh thc. 4) Nêu ví d áp dng cho tng đi tng t hp trên đây. 5) Tìm s nghim nguyên không âm ca phng trình x 1 + x 2 + x 3 = 100 6) Có 5 nam và 5 n. Có bao nhiêu cách chn ra 5 ngi trong đó có ít nht 1 nam và ít nht 1 n. www.VNMATH.com 4 7) Rút gn tng    n k k n n k kk n kxCBCA 00 )cos(,)2(. 8) Chng minh    n k n n k n CC 0 2 2 .)( Bài 3. - Các phng pháp đm nâng cao C s ca phép đm là đnh ngha phép đm, các nguyên lý đm và các s t hp (là các s thng ny sinh mt cách t nhiên trong các bài tóan đm). Tuy nhiên, vi các công c c s trên, chúng ta thng ch gii đc nhng bài tóan  dng đn gin nht. Vi các bài tóan có yêu cu phc tp hn, cn đn các phng pháp đm nâng cao. Có nhiu phng pháp đm nâng cao da trên các nn tng lý thuyt khác nhau. Ví d phng pháp song ánh da vào lý thuyt tp hp và ánh x, phng pháp thêm bt cng da vào lý thuyt tp hp (c th là tng quát hóa ca công thc |A  B| = |A| + |B| - |AB|), phng pháp qu đo da vào mt đnh lý c bn v s đng đi ngn nht gia hai đim ca li nguyên, phng pháp quan h đ quy da vào ý tng quy np, phng pháp hàm sinh s dng các ki n thc tng hp ca đi s và gii tích Di đây, qua các ví d, chúng ta s gii thiu mt s phng pháp đm nâng cao. 1. Phng pháp song ánh. Phng pháp song ánh da vào mt ý tng rt đn gin: Nu tn ti mt song ánh t A vào B thì |A| = |B|. Do đó, mun chng minh hai tp hp có cùng s phn t, ch cn xây dng mt song ánh gia chúng. Hn na, ta có th đm đc s phn t ca mt tp hp A bng cách xây dng song ánh t A vào mt tp hp B mà ta đã bit cách đm. Ví d 1. (Bài tóan chia ko ca Euler) Cho k, n là các s nguyên dng. Tìm s nghim nguyên không âm ca phng trình x 1 + x 2 + + x n = k (*) Li gii : Ta xây dng mt ánh x t tp hp A các nghim nguyên không âm ca (*) vi tp hp B các xâu nh phân đ dài n+k-1 vi k bit 1 và n-1 bit 0 nh sau: (x 1 , x 2 , …, x n )  1 101 101 1…01 1 trong đó có x 1 s 1 liên tip, sau đó đn s 0, sau đó đn x 2 s 1 liên tip, li đn 1 s 0 …, cui cùng là x n s 1 liên tip. D dàng chng minh đc ánh x này là mt song ánh (hãy gii thích ti sao đây là mt tòan ánh bng cách xây dng ánh x ngc). T đó | A | = | B | = . 1 1   n kn C Ví d 2. (nh lý c bn ca phng pháp qu đo) Chng minh rng s đng đi ngn nht trên li nguyên t đim A(0, 0) đn B(m, n) bng m nm C  . Li gii : Mt đng đi ngn nht t A đn B s bao gm m đan đi ngang và n đan đi lên. Ta cho tng ng mt đng đi ngn nht t A đn B bng mt xâu nh phân gm m www.VNMATH.com 5 bit 1 (tng ng vi đan đi ngang) và n bit 0 (tng ng vi đan đi lên). D dàng chng minh tng ng này là mt song ánh, t đó s đng đi ngn nht t A đn B bng s xâu nh phân đ dài m+n trong đó có m bit 1, và nh vy bng m nm C  . Ví d 3 . Xây dng mt song ánh t N vào ZxZ. Hng dn: ánh s các đim nguyên theo vòng trôn c. Ví d 4. Chng minh không tn ti mt song ánh t tp hp các s hu t thuc đon [0, 1] vào tp hp các s thc thuc đon này. Hng dn: Phng pháp đng chéo! Ví d 5 . Có n ngi xp hàng dc. Hi có bao nhiêu các chn ra k ngi sao cho không có hai ngi liên tip đc chn? Li gii : Ta đánh s n ngi bng các s th t 1, 2, …, n. Mt cách chn thích hp chính là mt b s 1  a 1 < a 2 < …< a k  n tha mãn điu kin a i+1 – a i > 1 (tc là  2). Vy ta cn tìm s phn t ca A = (a 1 , a 2 , …, a k ) | 1  a 1 < a 2 < …< a k  n, a i+1 – a i  2 vi i=1, 2, …, k-1 Xét ánh x f(a 1 , a 2 , …, a k ) = (b 1 , b 2 , …, b k ) vi b i = a i – i + 1 thì rõ ràng ta có 1) b 1 = a 1  1; 2) b i+1 – b i = (a i+1 – (i+1) + 1) – (a i – i + 1) = a i+1 – a i – 1 > 0 3) b k = a k – k + 1  n – k + 1. Suy ra (b 1 , b 2 , …, b k ) là phn t ca tp hp B: B = (b 1 , b 2 , …, b k ) | 1  b 1 < b 2 < …< b k  n – k + 1 D thy f là mt đn ánh. Ngòai ra, ánh x g(b 1 , b 2 , …, b k ) = (a 1 , a 2 , …, a k ) vi a i = b i + i – 1 cho chúng ta mt đn ánh t B vào A. Vy | A | = | B | = k kn C 1 . Phng pháp song ánh còn có th đc áp dng đ chng minh cách đng thc t hp mt cách vô cùng hiu qu. Y tng c bn là: Nu ta đm mt tp hp bng hai cách khác nhau thì các kt qu thu đc phi bng nhau, cho dù, vi các cách đm khác nhau ta có th ra các biu thc rt khác nhau. Ví d 6: Chng minh h thc 1 12 1 2 )(      n n n k k n nCCk Li gii: Hãy gii bài tóan sau bng hai cách “Có n nhà vt lý và n nhà tóan hc tham gia mt Hi ngh khoa hc. Hi có bao nhiêu cách chn ra mt nhóm làm vic gm n ngi, trong đó có 1 nhà vt lý làm nhóm trng”. Cách 1: Chn nhóm trng vt lý, sau đó chn n-1 thành viên còn li t 2n-1 ngi còn li. Cách 2: Chn k nhà vt lý, chn nhóm trng là nhà vt lý sau đó chn n-k nhà tóan hc vi k = 1, 2, …, n. (Xem thêm bài: Song ánh và các bài toán gii tích t hp – TH&TT, s 1, 2/2001) 2. Phng pháp quan h đ quy. www.VNMATH.com 6 Phng pháp quan h đ quy là phng pháp gii bài tóan vi n đi tng thông qua vic gii bài tóan tng t vi s đi tng ít hn bng cách xây dng các quan h nào đó, gi là quan h đ quy. S dng quan h này, ta có th tính đc đi lng cn tìm nu chú ý rng vi n nh, bài tóan luôn có th gii mt cách d dàng. Ta minh ha phng pháp này thông qua mt s ví d: Ví d 1. (Bài tóan chia ko ca Euler) Cho k, n là các s nguyên dng. Tìm s nghim nguyên không âm ca phng trình x 1 + x 2 + + x n = k (*) Gii. Gi s nghim nguyên không âm ca phng trình trên là S(n, k). D dàng thy rng S(1, k) = 1.  tính S(n, k), ta chú ý rng (*) tng đng vi x 1 + + x n-1 = k - x n (**) Suy ra vi x n c đnh thì s nghim ca (**) là S(n-1, k-x n ). T đó ta đc công thc S(n, k) = S(n-1, k) + S(n-1, k-1) + + S(n-1, 0) ây có th coi là công thc truy hi tính S(n, k). Tuy nhiên, công thc này cha tht tin li. Vit công thc trên cho (n, k-1) ta đc S(n, k-1) = S(n-1, k-1) + S(n-1, k-2) + + S(n-1, 0) T đây, tr các đng thc trên v theo v, ta đc S(n, k) - S(n, k-1) = S(n-1, k) Hay S(n, k) = S(n, k-1) + S(n-1, k) T công thc này, bng quy np ta có th chng minh đc rng S(n, k) = 1 1   n nk C . Ví d 2. Có bao nhiêu xâu nh phân đ dài n trong đó không có hai bit 1 đng cnh nhau? Gii. Gi c n là s xâu nh phân đ dài n tha mãn điu kin đu bài. Ta có c 1 = 2, c 2 = 3.  tìm công thc truy hi, ta xây dng xâu nh phân đ dài n tha mãn điu kin đu bài có dng a n a n-1 a n-2 a 2 a 1 . Có hai trng hp i) a n = 1. Khi đó a n-1 = 0 và a n-2 a 2 a 1 có th chn là mt xâu bt k đ dài n-2 tha điu kin. Có c n-2 xâu nh vy, suy ra trng hp này có c n-2 xâu. ii) a n = 1. Khi đó a n-1 a 2 a 1 có th chn là mt xâu bt k đ dài n-1 tha điu kin. Có c n-1 xâu nh vy, suy ra trng hp này có c n-1 xâu. Vy tng cng xây dng đc c n-1 + c n-2 xâu, ngha là ta có h thc truy hi c n = c n-1 + c n-2 . Ví d 3. Có bao nhiêu cách lát đng đi kích thc 3x2n bng các viên gch kích thc 1x2? Li gii: Gi c n là s cách lát đng đi kích thc 3 x 2n. D thy c 1 = 3.  tính c n , ta chia các cách lát đng đi kích thc 3x2n thành n lai, trong đó lai th k là các cách lát mà phn đng đi 3x2k đu tiên đc ph kín hòan tòan, nhng không tn ti i < k sao cho phn đng đi 3x2i đu tiên đc ph kín hòan tòan. Gi A k là tp hp các cách lát lai k thì rõ ràng c n = |A 1 | + |A 2 | + … + |A n |. D dàng nhn thy |A 1 | = 3c n-1 (phn đng đi 3x2 đc lát kín bng 3 cách, phn còn li đc lát bng c n-1 cách). Tip theo, có th chng minh d dàng rng, ch có hai cách ph phn đng đi 3x2k cho các cách ph thuc A k vi k = 2, 3, …, n, chính là cách ph www.VNMATH.com 7 và cách ph thu đc bng cách ly đi xng. T đó suy ra |A k | = 2c n-k . Nh vy, ta có c n = 3c n-1 + 2c n-2 + … + 2. ây là dng công thc truy hi bc vô hn.  thu đc mt công thc truy hi bc hu hn, ta thay n  n+1 và đc c n+1 = 3c n + 2c n-1 + 2c n-2 + … + 2 T đó, tr hai đng thc cui cùng v theo v, ta đc c n+1 – c n = 3c n – c n-1 và cui cùng là c n+1 = 4c n – c n-1 . Ví d 4. n đng tròn chia mt phng thành nhiu nht bao nhiêu min? Hng dn: 1 đng tròn có th ct n-1 đng tròn khác  tt đa bao nhiêu đim? Ví d 5. (VMO 2003): Vi mi s nguyên dng n  2 gi s n là s các hoán v (a 1 , a 2 , , a n ) ca tp hp E n = 1, 2, , n, mà mi hoán v có tính cht 1  |a i - i|  2 vi mi i=1, 2, , n. Chng minh rng vi n > 6 ta có 1.75s n-1 < s n < 2s n-1 . Hng dn. Chng minh công thc truy hi s n+1 = s n + s n-1 + s n-2 + s n-3 - s n-4 . Ví d 6. Xét tp hp E = 1, 2, 3, , 2003. Vi tp con A khác rng ca E, ta đt r(A) = a 1 - a 2 + + (-1) k-1 a k trong đó a 1 , a 2 , , a k là tt c các phn t ca A xp theo th t gim dn. Hãy tính tng u S =  A  E r(A). 3. Phng pháp thêm bt Ta xét bài toán thc t sau: Ví d 1. Rút ngu nhiên 13 quân bài t b bài 52 quân. Tính xác sut đ trong 13 quân đó có “t quý”. Gii. Có 13 52 C cách rút 13 quân bài t b bài 52 quân. Ta cn tìm s cách rút trong đó có 4 quân bài ging nhau (v s!). Trc ht ta đm s cách rút có “t quý” A. Rõ ràng có 9 48 C cách rút nh vy (ly 4 con A và 9 con bt k t 48 con còn li). Vi các quân bài khác cng vy. Vì có 13 quân bài khác nên s cách rút là có t quý là 13. 9 48 C (!?). Trong li gii trên, chúng ta đã đm lp. C th là nhng cách rút bài có hai t quý, chng hn t quý K và t quý A đc đm hai ln: mt ln  t quý A và mt ln  t quý K. Nhng ta đang đm không hi là s t quý mà là s ln gp t quý. Nh th, nhng ln đm lp đó phi tr đi. D thy, s cách rút có t quý K và A s là 5 44 C . Lý lun tip tc nh th, ta có con s chính xác cách rút có t quý là: 1 40 3 13 5 44 2 13 9 48 .13 CCCCC  www.VNMATH.com 8 và xác sut cn tìm bng 0342.0/).13( 13 52 1 40 3 13 5 44 2 13 9 48  CCCCCCp . tc là vi mt ngi chi bài ngu nhiên, c trung bình 29 ln s có 1 ln đt t quý. Xác sut có 1 t quý trong 1 ván chi cao hn và cng có th tíng bng phng pháp thêm bt. P ~ 4p – 6p 2 + 4p 3 – p 4 = 0.1299 tc là c khang 8 ván s có xut hin 1 t quý. Trong li gii trên đ không b đm lp, chúng ta đã ln lt bt đi, ri lm thêm vào, ri li bt đi … C s tóan hc ca phng pháp này chính là đnh lý sau: nh lý. Vi n tp hp A 1 , , A n bt k ta có công thc |A 1   A n | =  |A i | -  |A i  A j | + + (-1) n-1 |A 1   A n | Chng minh: Dùng quy np và tính phân phi. Ví d 2. Có bao nhiêu cách xp 8 con xe lên bàn c quc t đã b gch đi mt đng chéo chính sao cho không có con nào n con nào? Gii. Có 8! cách xp 8 con xe con xe lên bàn c quc t sao cho không có con nào n con nào. Ta cn đm s cách xp không hp l, tc là s cách xp có ít nht mt con xe nm trên đng chéo. Gi A i là tp hp các cách xp có quân xe nm  ô (i, i). Ta cn tìm |A 1   A 8 |. Nhng d dàng thy rng |A i | = 7!, |A i  A j | = 6! |A 1  A 8 | = 1 nên t đnh lý trên ta suy ra |A 1   A 8 | = C 1 8 .7! - C 2 8 .6! + C 3 8 .6! - - C 8 8 .1! = 8! - 8!/2! + 8!/3! 8!/8!. Nh vy s cách xp 8 con xe lên bàn c quc t đã b gch đi mt đng chéo chính sao cho không có con nào n con nào bng N(8) = 8! - (8! - 8!/2! + 8!/3! 8!/8!) = 8!(1/2! - 1/3! + + 1/8!). Ví d 3. Có bao nhiêu cách xp 8 con xe lên bàn c quc t đã b gch đi hai đng chéo chính sao cho không có con nào n con nào? Bài nói thêm: nh lý v xe và đa thc xe. 4. Phng pháp qu đo Ví d 1 . Có m+n ngi đang đng quanh quy vé, trong đó n ngi có tin 5.000 và m ngi ch có tin 10.000. u tiên  quy không có tin, vé giá 5.000. Hi có bao nhiêu cách xp m+n ngi thành hàng đ không mt ngi nào phi ch tin tr li (m  n). Ví d 2 . (Bài toán bu c) Trong cuc bu c, ng c viên A đc a phiu bu, ng c viên B đc b phiu bu (a > b). C tri b phiu tun t. Có bao nhiêu cách sp xp vic b phiu đ lúc nào A cng hn B v s phiu bu? www.VNMATH.com 9 Cho x > 0 và y là s nguyên. Qu đo t gc to đ đn đim (x; y) là đng gp khúc ni các đim O, (1; s 1 ), , (k; s k ), (x; s x ), trong đó |s i - s i-1 | = 1, s x = y. Gi N x,y là s các qu đo ni đim (0; 0) vi đim (x; y). Ta có các đnh lý sau: nh lý 1 . N x,y = p qp C  vi p = (x+y)/2, q = (x-y)/2 nu x, y cùng tính chn l và N x,y = 0 nu x, y khác tính chn l. Chng minh: Gi s qu đo gm p đon hng lên trên và q đon hng xung di. Khi đó p + q = x, p - q = y t đó p = (x+y)/2, q = (x-y)/2 (vì p và q là các s nguyên nên x, y cn phi có cùng tính chn l). Vì qu đo s hoàn toàn đc xác đnh nu ta ch ra đon nào đc hng lên trên, do đó s các qu đo t đim O đn đim (x; y) bng N x,y = p qp C  . nh lý 2 . (Nguyên lý đi xng gng) Gi s A(a;  ), B(b;  ) là các đim có to đ nguyên, hn na b > a  0,  > 0,  > 0, và A’(a; -  ) là đim đi xng vi A qua trc Ox. Khi đó s các qu đo t A đn B ct trc Ox hoc có đim chung vi Ox bng s các qu đo t A’ đn B. Chng minh . Mi mt qu đo T t A đn B, ct trc Ox hoc có đim chung vi Ox ta cho tng ng vi qu đo T’ t A’ đn B theo quy tc sau: xét đon qu đo T t A cho đn đim gp nhau đu tiên gia T và Ox và ly đi xng đon này qua Ox, tip theo T và T’ trùng nhau. Nh vy mi mt qu đo T t A đn B ct Ox tng ng vi mt qu đo xác đnh t A’ đn B. Ngc li mi mt qu đo t A’ đn B tng ng vi mt và ch mt qu đo t A đn B ct Ox (ly đon qu đo t A’ đn B đn đim gp đu tiên và ly đi xng đon này qua Ox). Nh vy ta đã thit lp đc song ánh t tp hp các qu đo t A đn B ct Ox vào tp hp các qu đo t A’ đn B. nh lý đc chng minh. nh lý 3. Gi s x > 0, y > 0. Khi đó s qu đo t O đn (x; y) khôn có đim chung vi trc Ox (ngoi tr đim O) bng (y/x)N x,y . 5. Phng pháp hàm sinh Phng pháp hàm sinh là mt phng pháp hin đi, s dng các kin thc v chui, chui hàm (đc bit là công thc Taylor). ây là phng pháp mnh nht đ gii bài tóan gii tích t hp nh ngha: Cho dãy s a 0 , a 1 , a 2 , , a n , Chui hình thc A(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n + đc gi là hàm sinh ca dãy a n . www.VNMATH.com 10 Ý tng phng pháp hàm sinh nh sau: Gi s ta cn tìm công thc tng quát ca mt dãy s a n  nào đó. T công thc truy hi hoc nhng lý lun t hp trc tip, ta tìm đc hàm sinh A(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n + Khai trin A(x) thành chui và tìm h s ca x n trong khai trin đó ta tìm đc a n . Công thc khai trin thng s dng (Công thc nh thc Newton) (1 + x)  = 1 + x + (-1)x 2 /2 + + (-1) (-n+1)x n /n!+ Ví d 1. Tìm s hng tng quát ca dãy s f 0 = 1, f 1 = 2, f n+1 = f n + f n-1 . Gii: Xét hàm sinh F(x) = f 0 + f 1 x + f 2 x 2 + + f n x n + = f 0 + f 1 x + (f 0 +f 1 )x 2 + + (f n-1 +f n-2 )x n + = f 0 + f 1 x + x 2 (f 0 +f 1 x+ ) + x(f 1 x+ ) = f 0 + f 1 x + x 2 F(x) + x(F(x)-f 0 ) T đó suy ra F(x) = (1+x)/(1-x-x 2 ) Tip theo, ta khai trin F(x) thành chui. Ta có F(x) = (1+x)/(1-x)(1-x) trong đó ,  là nghim ca phng trình x 2 - x - 1 = 0. Ta d dàng tìm đc hai hng s A, B sao cho F(x) = A/(1-x) + B/(1-x) T đó, s dng công thc 1/(1-x) = 1 + x + x 2 + + x n + ta đc F(x) = A + B + (A + B)x + + (A n + B n )x n + suy ra f n = A n + B n vi ,  là hai nghim ca phng trình x 2 - x - 1 = 0 và A, B, là các hng s hòan tòan xác đnh. Ví d 2. Tìm s hng tng quát ca dãy s a 0 = 1, a n a 0 +a n-1 a 1 + + a 0 a n = 1 Gii: Xét hàm sinh A(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n + Biu thc truy hi gi chúng ta đn h s ca hai đa thc A(x).A(x) = a 0 + (a 0 a 1 +a 1 a 0 )x + + (a n a 0 +a n-1 a 1 + + a 0 a n )x n + = 1 + x + x 2 + + x n = (1-x) -1 . T đó suy ra A(x) = (1-x) -1/2 = 1 + (1/2)x + (1/2)(3/2)x 2 /2+ + (1/2)(3/2) (n-1/2)x n /n! + Và nh vy a n = (2n-1)!!/2 n .n! = .4/ 2 nn n C Ví d 3. (Bài tóan chia ko ca Euler) Cho k, n là các s nguyên dng. Tìm s nghim nguyên không âm ca phng trình x 1 + x 2 + + x n = k (*) Gii: Gi c n (k) là s nghim ca (*). Xét tích ca các tng vô hn (1+x+x 2 + )(1+x+x 2 + ) (1+x+x 2 + ) = (1+x+x 2 + ) n Ta nhn xét rng nu khai trin tích trên thành chui ly tha ca x (1+x+x 2 + ) n = c 0 + c 1 x + + c k x k + [...]... nguyên t có bao nhiêu cách tô p cung b ng a màu khác nhau (Hai cách tô màu thu c b ng m t phép quay c coi là gi ng nhau)? Gi i M i m i cung có a cách tô màu, nh v y có ap cách tô màu p cung (v i quy c c nh v trí) Trong s này có a cách tô màu b ng ch m t màu V i m i cách tô màu dùng 2 màu tr lên, ta có th dùng phép quay t o ra p cách tô màu khác c tính trong ap cách tô màu trên nh ng không c tính theo... |B| = n 2) A B 3) A(2) = B(2) thì n = 2k v i k nguyên d ng nào ó i< 13 www.VNMATH.com Tài li u tham kh o 1 2 3 4 5 6 7 8 Nguy n H u Anh, Tóan r i r c, NXB HQG Tp HCM, 2001 Tr n Ng c Danh, Tóan r i r c nâng cao, NXB HQG Tp HCM, 2003 Nguy n Kh c Minh, Tài li u b i d ng giáo viên, Hà N i 1996 T p chí Tóan h c và tu i tr , s 1, 2/2001 Hebert S Wilf, Generating Functionology, A.K Peters Ltd, 2005 M Hall, Combinatorial... tam giác không có i m chung? 10 Ta g i (i, j) là m t ngh ch th c a hoán v c a En = 1, 2, …, n n u (i) > (j) mà i < j Tìm s các ngh ch th trung bình c a m t hóan v c ch n ng u nhiên Bài 4 - ng d ng c a phép m Gi i tích t h p không ch gi i quy t các bài toán c t ra trong chính lý thuy t này mà còn nhi u ng d ng thú v trong các ngành toán h c khác, ví d nh trong i s , s h c, hình h c t h p, lý thuy t xác . www.VNMATH.com 1 Phép đm - các vn đ c bn và nâng cao Trn Nam Dng Trng HKHTN Tp HCM Phép đm hay còn gi là Gii tích t hp đóng mt vai. Chng minh    n k n n k n CC 0 2 2 .)( Bài 3. - Các phng pháp đm nâng cao C s ca phép đm là đnh ngha phép đm, các nguyên lý đm và các s t hp (là các s thng ny sinh. nht. Vi các bài tóan có yêu cu phc tp hn, cn đn các phng pháp đm nâng cao. Có nhiu phng pháp đm nâng cao da trên các nn tng lý thuyt khác nhau. Ví d phng pháp song ánh