ERIQ Lemma and Application

(1); (2); A 1 ; A 2 ; A 3 (1); B 1 ; B 2 ; B 3 (2) A 1 A 2 A 1 A 3 = B 1 B 2 B 1 B 3 = k.C 1 A 1 B 1 ; C 2 A 2 B 2 ; C 3 A 3 B 3 A 1 C 1 C 1 B 1 = A 2 C 2 C 2 B 2 = A 3 C 3 C 3 B 3 C 1 ; C 2 ; C 3 C 1 C 2 C 1 C 3 = k C2 B2 A2 Y C3 T Z A1 A3 B1 B3 C1 X X; Y ; Z; T A 1 C 1 XA 2 ; A 1 C 1 ZA 3 ; B 1 C 1 Y B 2 ; B 1 C 1 T B 3 X; C 2 ; Y ; Z; C 3 ; T ⇒ C 1 ; C 2 ; C 3 C 1 C 2 C 1 C 3 = A 1 A 2 A 1 A 3 = B 1 B 2 B 1 B 3 = k E ≡ AB ∩ CD; E ≡ AD ∩ BC AC; BD; EF K J H I L M FB C E A D L; I; M AC; BD; EF JEHF JAB; HDC DF AF = F H AJ = DK AB ⇒ AB AJ = DK F H = DC CH BAJ DCH I; L; M ABCD (O) M X; Y ; Z; T ; U; V M AB; BC; CD; DA; CA; BD I; J; H XZ; UV ; Y T N; P ; Q M ≡ O M (O) XY ZT UV IJH XY ZT UV H I J V U Y Z T X C A D B M M O (O) G F E H' I' J' I J H T V Z U X Y U' V' Z' T' Y' X' O M' M A D C B OM (O) M  X  , Y  , Z  , T  , U  , V  M  AB, BC, CD, DA, AC, BD I  , J  , H  I  , J  , H  X  Z  , U  V  , Y  T  E; F BC; AD G ABCD ⇒ G EF Y Y  Y E = MM  MO = T T  T F H, H  , G GH  GH = EY  EY = OM  OM = k I, I  , G; J, J  , G GI  GI = GJ  GJ = GH  GH = k(i) I  , J  , H  (ii) (i); (ii) ⇒ I, J, H (O 1 ); (O 2 ) P ; Q.O P Q P A; B; C; D A; C(O 1 ); B; D(O 2 ) M; N AD; BC M; N; O L K J O N M D B Q P A C J ≡ AB ∩ CQ; K ≡ CD ∩ QB L KJ ONL(i) QBP CJK QCD ∼ QAB; QAJ ∼ QDK ⇒ JA DK = AQ QD = AB CD ⇒ JA AB = DK CD N; M; L(ii) (i); (ii) M; N; O ABC F ; G AB; AC D; E BF ; CG ABC; ADE; AF G O3 M3'' O2 O1 M3' G3 G2 G1 M2' M1' M2'' M1'' M2 E D M1 M3B C A F G M 1 ; M 2 ; M 3 F G; DE; BC.G 1 ; G 2 ; G 3 AF G; ADE; ABC F DB CEG M 1 ; M 2 ; M 3 M 1 M 2 M 1 M 3 = 1 2 G 1 ; G 2 ; G 3 G 1 G 2 G 1 G 3 = 1 2 M  1 ; M  1 ; M  2 ; M  2 ; M  3 ; M  3 AF ; AG; AD; AE; AB; AC O 1 ; O 2 ; O 3 AF G; ADE; ABC M  1 M  2 = M  2 M  3 = F B 2 ; M  1 M  2 = M  2 M  3 = GC 2 O 1 ; O 2 ; O 3 ; O 1 O 2 O 1 O 2 = 1 2 G 1 G 2 G 3 ; O 1 O 2 O 3 E 1 ; E 2 ; E 3 E 1 ; E 2 ; E 3 AF G; ADE; ABC . ZT UV H I J V U Y Z T X C A D B M M O (O) G F E H' I' J' I J H T V Z U X Y U' V' Z' T' Y' X' O M' M A D C B OM (O) M  X  , Y  , Z  , T  ,. N; O ABC F ; G AB; AC D; E BF ; CG ABC; ADE; AF G O3 M3'' O2 O1 M3' G3 G2 G1 M2' M1' M2'' M1'' M2 E D M1 M3B C A F G M 1 ; M 2 ; M 3 F G; DE; BC.G 1 ;