Dãy số và tổng SEQUENCE OF NUMBER AND SUM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Đức Thành DÃY SỐ VÀ TỔNG SEQUENCE OF NUMBER AND SUM Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS - TS. ĐÀM VĂN NHỈ Thái Nguyên - 2012 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình được hoàn thành tại Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: PGS - TS. Đàm Văn Nhỉ Phản biện 1: PGS-TS. Lê Thị Thanh Nhàn Phản biện 2: PGS-TS. Nông Quốc Chinh Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Ngày 01 tháng 9 năm 2012 Có thể tìm hiểu tại Thư Viện Đại Học Thái Nguyên 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 4 1.1. Vành đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Các phép toán trên đa thức . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3. Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.4. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Vành các chuỗi luỹ thừa hình thức . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1. Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2. Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Một số kiến thức về dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1. Một số dãy đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2. Cấp số cộng và cấp số nhân . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. Dãy số truy hồi và tổng 17 2.1. Một vài dãy số truy hồi của sai phân . . . . . . . . . . . 17 2.2. Dãy a n+1 = f(a n ) với hàm f(x) . . . . . . . . . . . . . 22 2.3. Giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4. Một số tổng và dãy đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.5. Phép biến đổi Abel và đánh giá tổng . . . . . . . . . . . 51 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Mở đầu Dãy số và tổng là một vấn đề được nhiều người quan tâm. Vấn đề này thường xuất hiện trong các dạng bài toán Đại số, Giải tích, Lý thuyết xấp xỉ hoặc trong các kỳ thi Học sinh giỏi Quốc gia-Quốc tế. Luận văn này đặt vấn đề nghiên cứu Dãy số và tính một số tổng các số hạng của một dãy số nào đấy. Muốn tiếp cận được, đòi hỏi người học, người làm toán phải được trang bị một vốn kiến thức về dãy số, về các phương pháp giải, hay các thủ thuật trong tính toán và biến đổi. Chính vì vậy tôi đã lựa chọn vấn đề này nghiên cứu, nhằm giúp những người yêu toán ham hiểu biết. Có một góc nhìn mới bao quát hơn, lập luận sâu sắc hơn với những bài toán về "Dãy số và tổng" và được trình bày qua nhiều cách giải đặc biệt. Ngoài ra còn vận dụng một số kiến thức của Toán Cao cấp vào giải quyết các bài toán khó, điển hình và hay gặp. Luận văn được chia làm hai chương. Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị . Được dành trình bày lại một số kết quả về Vành đa thức, Vành các chuỗi luỹ thừa hình thức và giới thiệu một số Dãy số đặc biệt. Chương 2 . Dãy số truy hồi và Tổng. Trình bày về Dãy truy hồi, Dãy xây dựng qua hàm. Đặc biệt, trong chương này còn giới thiệu cách tìm giới hạn của một số dãy số, tính một số tổng đặc biệt bằng phép biến đổi Abel. Với những ví dụ, những bài toán có phương pháp giải ngắn gọn, dễ hiểu và vận dụng nhiều kiến thức khác nhau. Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS-TS. Đàm Văn Nhỉ - Đại Học Sư Phạm Hà Nội. Bản thân em, 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 xin được bày tỏ sự biết ơn sâu sắc, lòng mến phục về kiến thức uyên bác, sự quan tâm và những lời động viên của Thầy. Đã giúp em hoàn thành luận văn này. Em xin trân trọng cảm ơn tới các Thầy Cô trong Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên, phòng Đào tạo Trường Đại Học Khoa Học. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán K 4 A Trường Đại Học Khoa Học đã đoàn kết, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và làm luận văn này. Song với sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ của luận văn thạc sĩ, nên chắc chắn rằng trong quá trình nghiên cứu, trình bày sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Qua đây, em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp xác đáng của các Thầy Cô và các độc giả cho luận văn này. Thái Nguyên, ngày 10 tháng 07 năm 2012 Tác giả Nguyễn Đức Thành 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Vành đa thức 1.1.1. Định nghĩa Cho vành A là một vành giao hoán có đơn vị. Ta gọi đa thức (trên A) bậc n biến x là một biểu thức có dạng P n (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + + a 1 x + a 0 (a n = 0), trong đó các a i ∈ A được gọi là hệ số, a n là hệ số bậc cao nhất và a 0 là hệ số tự do của đa thức. Nếu a i = 0, i =, 2, , n −1 và (a n = 0) thì ta có bậc của đa thức là 0. Nếu a i = 0, với mọi i = 0, 1, 2, , n thì ta coi bậc của n là và gọi là đa thức không (nói chung thì người ta không định nghĩa bậc đối với đa thức không). Tập hợp tất cả các đa thức với hệ số lấy trong vành A được ký hiệu A[x]. Khi A = K là một trường thì K[x] là một vành giao hoán có đơn vị. Ta thường xét A = Z hoặc A = Q hoặc A = R hoặc A = C. Khi đó ta có các vành đa thức tương ứng là Z[x], Q[x], R[x], C[x]. 1.1.2. Các phép toán trên đa thức Cho hai đa thức: p(x) = a 0 + a 1 x + + a m x m q(x) = b 0 + b 1 x + + b n x n Khi đó phép cộng và phép nhân hai đa thức là p(x) + q(x) = a 0 + b 0 + + (a m + b m )x m + b m+1 x m+1 + + b n x n . p(x)q(x) = a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 )x + + (a 0 b k + a 1 b k−1 + + a k b 0 )x k + + a m b n x m+n trong đó ta giả sử n ≥ m. 1.1.3. Các tính chất cơ bản Định lý 1.1. Giả sử A là một trường, f(x) và g(x) = 0 là hai đa thức của vành A[x], thế thì bao giờ cũng có hai đa thức duy nhất q(x) và r(x) thuộc A[x] sao cho 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 f(x) = g(x)q(x) + r(x) với deg r(x) < deg g(x) Nếu r(x) = 0 ta nói f(x) chia hết cho g(x). Giả sử a là phần tử tuỳ ý của vành A, f(x) = a n x n +a n−1 x n−1 + +a 1 x+ a 0 là đa thức tuỳ ý của vành A[x], phần tử f(a) = a n a n + a n−1 a n−1 + + a 1 a + a 0 có được bằng cách thay x bởi a được gọi là giá trị của f(x) tại a. Nếu f(a) = 0 thì ta gọi a là nghiệm của f(x) = a n x n + a n−1 x n−1 + + a 1 x + a 0 . Bài toán tìm nghiệm của f(x) trong A gọi là giải phương trình đại số bậc n a n x n + a n−1 x n−1 + + a 1 x + a 0 = 0, (a n = 0) Định lý 1.2. Giả sử A là một trường, a ∈ A, f(x) ∈ A[x]. Dư số của phép chia f(x) cho (x −a) chính là f(a). Định lý 1.3. Số a là nghiệm của f(x) khi và chỉ khi f(x) chia hết cho (x − a). Giả sử A là một trường, a ∈ A, f(x) ∈ A[x] và m là một số tự nhiên (m  1). Khi đó a là nghiệm bội cấp m của f(x) khi và chỉ khi f(x) chia hết cho (x −a) m và f(x) không chia hết cho (x − a) m+1 . Số nghiệm của một đa thức là tổng số nghiệm của đa thức đó kể cả bội của các nghiệm (nếu có). Vì vậy, người ta coi một đa thức có một nghiệm cấp bội m như một đa thức có m nghiệm trùng nhau. Định lý 1.4. Đa thức f(x) ∈ A[x] bậc n  1. khi đó ta có kết quả sau: (i) Nếu α ∈ A là nghiệm của f(x) thì f(x) = (x−α)g(x) với g(x) ∈ A[x] (ii) f(x) có không quá n nghiệm phân biệt trong K 1.1.4. Một số ví dụ Ví dụ 1.1. Cho a ∈ R ∗ và cho 2 số nguyên dương m, k. Giả sử đa thức P n (x) bậc n sao cho P n (x m ) chia hết cho (x −a) k . Chứng minh rằng P n (x m ) chia hết cho (x m − a m ) k . Bài giải: Theo giả thiết thì P n (x m ) chia hết cho (x − a) k . Vậy nên mx m−1 P ” n (x m ) chia hết cho (x−a) k−1 . Do hai đa thức x m−1 và (x−a) k−1 nguyên tố cùng nhau, nên P ” n (x m ) chia hết cho (x −a) k−1 . Từ đó suy ra P {(k−1) n (x m ) chia hết cho x −a. Vậy nên 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 P n (a m ) = P ” n (a m ) = = P {(k−1) n (a m ) = 0. Do đó P n (t) chia hết cho (t −a m ) k . Thay t bởi x m ta có kết luận P n (x m ) chia hết cho (x m − a m ) k . Ví dụ 1.2. Phân tích thành nhân tử 4(a 2 + ab + b 2 ) 3 − 27(a 2 b + ab 2 ) 2 . Từ đó suy ra 4(a 2 + ab + b 2 ) 3  27(a 2 b + ab 2 ) 2 với mọi a, b ∈ R Bài giải: Ta nhận thấy f(a, b) = 4(a 2 + ab + b 2 ) 3 − 27(a 2 b + ab 2 ) 2 là đa thức thuần nhất và đối xứng của a và b. Vì f(a, a) = 0 nên f(a, b) = (a − b)g(a, b). Vì đa thức đối xứng f mà chia hết cho a − b thì nó chia hết cho (a − b) 2 , (chứng minh.) Đặt α 1 = a + b, α 2 = ab. Khi đó f(a, b) = 4[α 1 2 − α 2 ] 3 − 27α 1 2 α 2 2 chia hết cho α 1 2 − 4α 2 . Vậy f(a, b) = [α 1 2 − 4α 2 ][2α 1 + α 2 ]  0. Ví dụ 1.3. Cho hai đa thức f(x) = x 12 − x 11 − +3x 3 − x 2 + 23x + 30; g(x) = x 3 + 2x + m Hãy xác định các giá trị nguyên m sao cho tồn tại đa thức q(x) để f(x) = g(x)q(x) với mọi x ∈ R Bài giải: Ta có f(x) = g(x)q(x) + r(x) với mọi x ∈ R trong đó r(x) = ax 2 +bx+c. Ta cần tìm m để r(x) ≡ 0, tức là a = b = c. Thực hiện phép chia f(x) cho g(x) ta thu được r(x) = (m 3 + 6m 2 − 32m + 15)x 2 + (5m 3 −24m 2 + 16m + 33)x + m 4 −6m 3 + 4m 2 + 5m + 30. Giải hệ phương trình      m 3 + 6m 2 − 32m + 15 = 0 5m 3 − 24m 2 + 16m + 33 = 0 m 4 − 6m 3 + 4m 2 + 5m + 30 = 0. ta thu được m = 3. 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 1.2. Vành các chuỗi luỹ thừa hình thức Mục này tập trung nghiên cứu vành các chuỗi luỹ thừa hình thức một biến trên một trường . Ký hiệu K[[x]] = {a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ··· | a i ∈ K} =  ∞  i=0 a i x i | a i ∈ K  . Mỗi phần tử f ∈ K[[x]], f = ∞  i=0 a i x i với x 0 = 1, được gọi là một chuỗi luỹ thừa hình thức của biến x với hệ tử thuộc K. Để biến K[[x]] thành một vành giao hoán có đơn vị ta cần các phép toán sau. Cho f = ∞  i=0 a i x i , g = ∞  i=0 b i x i ∈ K[[x]] ta định nghĩa f = g khi và chỉ khi a i = b i cho mọi i = 0, 1, . . . và f + g = ∞  i=0 (a i + b i )x i , fg = ∞  i=0 ( i  j=0 a i−j b j )x i . 1.2.1. Kết quả chính Mệnh đề 1.1. Với các phép toán trên, K[[x]] lập thành một vành giao hoán có đơn vị . Chứng minh: Việc kiểm tra các tiên đề của vành là thoả mãn. Định lý 1.5. Chuỗi luỹ thừa hình thức f = ∞  i=0 a i x i là khả nghịch khi và chỉ khi a 0 = 0. Chứng minh: Chuỗi luỹ thừa hình thức f(x) = ∞  i=0 a i x i là khả nghịch của K[[x]] khi và chỉ khi chuỗi luỹ thừa hình thức g(x) = ∞  i=0 b i x i sao cho f(x)g(x) = 1. điều này tương đương với hệ a 0 b 0 = 1, i  j=0 a i−j b j = 0 cho mọi i = 1, 2, . . . . 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Coi các b j là ẩn và hệ giải được khi và chỉ khi a 0 = 0. Chuỗi g(x) được gọi là nghịch đảo của f(x) và đôi khi viết g(x) = 1 f(x) . Chuỗi f(x) được gọi là chuỗi hữu tỷ nếu có p(x), q(x) ∈ K[x] để f(x) = p(x) q(x) hay f(x)q(x) = p(x) trong K[[x]]. Nếu q(0) = 1, bậc của f(x) là deg f(x) = deg p(x) − deg q(x). Nếu tồn tại hàm (đại số hoặc siêu việt) F (x) sao cho f(x) = F (x) thì F (x) được gọi là công thức đóng của chuỗi f(x). Định nghĩa 1.1. Giả sử f(x) = ∞  i=0 a i x i . Tổng f(α) = ∞  i=0 a i α i được gọi là một tổng vô hạn. Nếu tồn tại lim n→+∞ n  i=0 a i α i là một số hữu hạn A thì A được gọi là giá trị của chuỗi luỹ thừa hình thức f(x) = ∞  i=0 a i x i tại x = α. Đôi khi A còn được gọi là giá trị của tổng vô hạn ∞  i=0 a i α i . Trong vành K[[x]] người ta quan tâm tới tính hữu tỷ và công thức đóng của chuỗi để nghiên cứu tổng (nếu nó tồn tại) hay các hệ số của biểu diễn chuỗi. Khi nào cần tính một tổng cụ thể ta sẽ xét tới tính hội tụ và tính giá trị của chuỗi. Với một hàm f(x) bất kỳ xác định tại x = a, ta biểu diễn nó qua chuỗi luỹ thừa hình thức f(x) = ∞  n=0 f (n) (a) n! (x −a) n để có thể coi nó như một chuỗi luỹ thừa K[[x]] và đôi khi ta còn coi hàm này như một chuỗi luỹ thừa hình thức khi không quan tâm tới tính hội tụ chuỗi. Với x ∈ R, khai triển thành một chuỗi luỹ thừa của một số hàm đơn 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... N Dãy số hội tụ Cho dãy số thực (xn ) và một số thực x Khi đó nếu: ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n > n0 , |xn − x| < ε thì x được gọi là giới hạn của dãy (xn ) Khi đó ta cũng nói dãy (xn ) hội tụ và dãy không có giới hạn gọi là dãy phân kỳ Giới hạn của dãy số thường được ký hiệu: lim xn = x x→∞ Ví dụ 1.11 Chứng minh rằng: Dãy số (un ) xác định bởi: u1 = √ √ 2, un+1 = 2 + un , n ≥ 1 hội tụ và tìm giới hạn của dãy. .. 1.3 Một số kiến thức về dãy số Trong phần này chủ yếu nhắc lại một số kiến thức cơ bản về dãy số, giới hạn dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân và một số ví dụ áp dụng điển hình f : N →R Ánh xạ N → f (n) Ta thường ghi an = f (n) Ký hiệu là (an ) hay a1 , a2 , , an , Dãy số đơn điệu - Dãy (an ) gọi là tăng (tương ứng tăng nghiêm ngặt) nếu an ≤ an+1 , ∀n ∈ N (tương ứng với an < an+1 , ∀n ∈ N ) - Dãy (an... > 0 bé tuỳ ý, nếu chọn số p > +1 ε 1 1 là phần nguyên của ) Khi đó, với mọi m, n > p thì (ký hiệu ε ε |xm − xn | < ε Giả sử m > n, ta có |xm − xn | = Vậy dãy hội tụ 1.3.2 Cấp số cộng và cấp số nhân Định nghĩa 1.2 Dãy số (an )n≥0 được gọi là một cấp số cộng với số hạng đầu là a0 và công sai d nếu an+1 = an + d với mọi số nguyên n ≥ 0 Như vậy, nếu (an )n≥0 là một cấp số cộng với số hạng đầu a0 , công... 2! 3! n! 1 n hệ số được an = a , với mọi n 1 n + 1 2n Dãy số Cauchy Dãy số (an ) gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu: với mọi ε > 0, ∃nε ∈ N : ∃m, n ∈ N, m, n > nε ⇒ |am − an | < ε Nguyên lý Cauchy: Dãy (an ) hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy 1 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 Ví dụ 1.14 Dùng tiêu chuẩn Cauchy để xét sự hội tụ của dãy xn = 1 + 1... Các dãy tăng và giảm chung gọi là dãy đơn điệu Dãy số bị chặn - Dãy (an ) gọi là bị chặn trên nếu tồn tại M sao cho: an ≤ M, ∀n ∈ N - Dãy (an ) gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại M sao cho: an ≥ M, ∀n ∈ N - Dãy (an ) gọi là bị chặn nếu nó vừa chặn trên vừa chặn dưới 1 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 Rõ ràng dãy (an ) bị chặn khi và chỉ khi tồn tại số dương... định tính chất của dãy (am ) hoặc am (iii) Kiểm soát xem am sẽ tiến tới đâu khi m → +∞ 2.1 Một vài dãy số truy hồi của sai phân Định nghĩa 2.1 Công thức truy hồi của một dãy số (an ) là công thức biểu diễn số hạng an qua s số hạng an−s , an−s+1 , , an−1 đứng ngay trước nó khi n s Dãy số (an ) thoả mãn công thức truy hồi này, được gọi là nghiệm của công thức truy hồi Giả sử đã biết số hạng đầu an−s... hạn dãy số Định lý 2.1 (Nguyên lý hội tụ) Với dãy số thực (an ) có hai nguyên lý sau: (i)Nếu (an ) là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn (ii) Nếu (an ) là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn Định lý 2.2 (Định lý kẹp giữa) Với dãy số thực (an ), (bn ), (cn ) thoả mãn an bn cn với mọi n Nếu lim an = = lim cn n→∞ n→∞ thì có lim bn = n→∞ Định lý 2.3 (Stolz) Giả sử hai dãy. .. bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 Chương 2 Dãy số truy hồi và tổng Chương này tập trung nghiên cứu một tập các số được xác định theo quy luật nào đó Thông thường để có thể dễ dàng kiểm soát được tập các số đã cho, người ta thường chọn hàm nào đó và xác định số tiếp theo qua một vài số đứng trước ngay nó Giả sử chọn hàm y = f (x1 , xn ) Với a1 , , an cho trước, xác... đó un là dãy tăng và bị chặn nên hội tụ về √ √ a ∈ [ 2, 2] Hơn nữa, từ: un+1 = 2 + un , với mọi n ∈ N Cho n → +∞ ta được: √ a = 2 + a tương đương a = 2 Vậy lim un = 2 x→+∞ 1.3.1 Một số dãy đặc biệt Dãy Fibonacci: là dãy vô hạn các số tự nhiên bắt đầu bằng hai phần tử 0 và 1, các phần tử sau đó được thiết lập theo quy tắc mỗi phần tử luôn bằng tổng hai phần tử trước nó Công thức truy hồi của dãy Fibonacci... 1.15 Giả sử dãy (an )n≥0 là một cấp số cộng với số hạng đầu n−1 a0 ≥ 0 và công sai d > 0 Chứng minh Tn = √ k=0 n−1 √ Bài giải: Tổng Tn = k=0 Vậy Tn = √ ak +1− ak ak+1 −ak √ = √ an − a0 d n√ an + a0 = a √ n −a0 √ d( an + a0 ) √ n√ an + a0 1 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 Ví dụ 1.16 Giả sử dãy (an )n≥0 là một cấp số cộng với số hạng đầu n a0 ≥ 0 và công sai . trình bày lại một số kết quả về Vành đa thức, Vành các chuỗi luỹ thừa hình thức và giới thiệu một số Dãy số đặc biệt. Chương 2 . Dãy số truy hồi và Tổng. Trình bày về Dãy truy hồi, Dãy xây dựng qua. nên n  k=1 k 2 k < 2. 1.3. Một số kiến thức về dãy số Trong phần này chủ yếu nhắc lại một số kiến thức cơ bản về dãy số, giới hạn dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân và một số ví dụ áp dụng điển hình. Ánh. . 13 1.3.2. Cấp số cộng và cấp số nhân . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. Dãy số truy hồi và tổng 17 2.1. Một vài dãy số truy hồi của sai phân . . . . . . . . . . . 17 2.2. Dãy a n+1 = f(a n )