chuyên đề luyện thi đại học nội dung khảo sát hàm số

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014 KHẢO SÁT HÀM SỐ BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP :………………………………………………………………… TRƯỜNG :………………………………………………………………… HÀ NỘI, 8/2013 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Đinh nghĩa: Hàm số f đồng biến K ⇔ (∀x1, x ∈ K , x1 < x ⇒ f (x1 ) < f (x )) Hàm số f nghịch biến K ⇔ (∀x1, x ∈ K , x1 < x ⇒ f (x1 ) > f (x )) Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f đồng biến khoảng I f '(x ) ≥ 0, ∀x ∈ I b) Nếu f nghịch biến khoảng I f '(x ) ≤ 0, ∀x ∈ I 3.Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f '(x ) ≥ 0, ∀x ∈ I ( f '(x ) = số hữu hạn điểm) f đồng biến I b) Nếu f '(x ) ≤ 0, ∀x ∈ I ( f '(x ) = số hữu hạn điểm) f nghịch biến I c) Nếu f '(x ) = 0, ∀x ∈ I , ∀x ∈ I f khơng đổi I Chú ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng f phải liên tục Dạng tốn 1: Xét tính đơn điệu hàm số Phương pháp: Để xét chiều biến thiên hàm số y = f(x), ta thực bước sau: – Tìm tập xác định hàm số – Tính y′ Tìm điểm mà y′ = y′ khơng tồn (gọi điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y′ (bảng biến thiên) Từ kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Bài tập HT Xét tính đơn điệu hàm số sau: 1) y = x − 2x + x − 2) y = (4 − x )(x − 1)2 3) y = x − 3x + 4x − 6) y = 4) y = x − 2x − 5) y = −x − 2x + 7) y = 2x − x +5 8) y = 10) y = x + + 2 − x x −1 −x 11) y = 2x − − − x x + x2 − 10 10 9) y = − 1−x 12) y = x − x BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Dạng tốn2: Tìm điều kiện để hàm số ln đồng biến nghịch biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) Cho hàm số y = f (x, m ) , m tham số, có tập xác định D • Hàm số f đồng biến D ⇔ y′≥ 0, ∀x ∈ D • Hàm số f nghịch biến D ⇔ y′≤ 0, ∀x ∈ D Từ suy điều kiện m Chú ý: 1) y′ = xảy số hữu hạn điểm 2) Nếu y ' = ax + bx + c thì: a = b =    c ≥    • y ' ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔   a >  ∆ ≤   a = b =    c ≤   • y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔    a <  ∆ ≤   3) Định lí dấu tam thức bậc hai g (x ) = ax + bx + c : • Nếu ∆< g(x) ln dấu với a • Nếu ∆ = g(x) ln dấu với a (trừ x = − b ) 2a • Nếu ∆> g(x) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g(x) khác dấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm g(x) dấu với a 4) So sánh nghiệm x1, x tam thức bậc hai g (x ) = ax + bx + c với số 0: ∆ >    • x1 < x < ⇔ P >   S <    ∆ >    • < x1 < x ⇔ P > • x1 < < x ⇔ P <   S >    5) Để hàm số y = ax + bx + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x ) d ta thực bước sau: • Tính y′ • Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến:  a ≠  (1)  ∆  >0  • Biến đổi x1 − x = d thành (x1 + x )2 − 4x1x = d (2) • Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m • Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Bài tập HT Tìm m để hàm số sau ln đồng biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) nó: 3) y = HT x +m x −m 2) y = x mx − − 2x + 4) y = 1) y = x − 3mx + (m + 2)x − m mx + x +m Tìm m để hàm số: 1) y = x + 3x + mx + m nghịch biến khoảng có độ dài 2) y = x − mx + 2mx − 3m + nghịch biến khoảng có độ dài 3 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng www.VNMATH.com 0968.393.899 3) y = − x + (m − 1)x + (m + 3)x − đồng biến khoảng có độ dài HT Tìm m để hàm số: 1) y = x3 + (m + 1)x − (m + 1)x + đồng biến khoảng (1; +∞) 2) y = x − 3(2m + 1)x + (12m + 5)x + đồng biến khoảng (2; +∞) 3) y = mx + (m ≠ ±2) đồng biến khoảng (1; +∞) x +m 4) y = x +m đồng biến khoảng (–1; +∞) x −m BÀI TẬP TỔNG HỢP – NÂNG CAO HT Cho hàm số y = x + 3x − mx − (1).Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến khoảng (−∞; 0) Đ/s: m HT Cho hàm số y = 2x − 3(2m + 1)x + 6m(m + 1)x + có đồ thị (Cm).Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (2; +∞) Đ/s: m HT Cho hàm số y Đ/s: m ≤ HT ≤ −3 ≤1 = x + (1 − 2m )x + (2 − m )x + m + Tìm m để hàm đồng biến (0;+∞) Cho hàm số y = x − 2mx − 3m + (1), (m tham số).Tìm m để hàm số (1) đồng biến khoảng (1; 2) Đ/s: m ∈ [ − ∞;1) HT Cho hàm số y = x − 3(2m + 1)x + (12m + 5)x + đồng biến khoảng (−∞; −1) (2; +∞) Đ/s: − ≤m ≤ 12 12 HT 10 Cho hàm số y = x − mx − (2m − 7m + 7)x + 2(m − 1)(2m − 3) Tìm mđể hàm số đồng biến [2; +∞) Đ/s: −1 ≤ m ≤ - BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 VẤN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I KIẾN THỨC CẦN NHỚ I.Khái niệm cực trị hàm số Giả sử hàm số f xác định tập D (D ⊂ ℝ) x ∈ D 1) x – điểm cực đại f tồn khoảng (a; b) ⊂ D x ∈ (a; b) cho f (x ) < f (x ) , ∀x ∈ (a; b) \ {x 0} Khi f (x ) gọi giá trị cực đại (cực đại) f 2) x – điểm cực tiểu f tồn khoảng (a; b) ⊂ D x ∈ (a; b) cho f (x ) > f (x ) , ∀x ∈ (a; b) \ {x 0} Khi f (x ) gọi giá trị cực tiểu (cực tiểu) f 3) Nếu x điểm cực trị f điểm (x ; f (x )) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f II Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm x đạt cực trị điểm f '(x ) = Chú ý: Hàm số f đạt cực trị điểm mà đạo hàm khơng có đạo hàm III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a; b) chứa điểm x có đạo hàm (a; b) \ {xo } 1) Nếu f '(x ) đổi dấu từ âm sang dương x qua x f đạt cực tiểu x 2) Nếu f '(x ) đổi dấu từ dương sang âm x qua x f đạt cực đại x Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a; b) chứa điểm x , f '(x ) = có đạo hàm cấp hai khác điểm x 1) Nếu f "(x ) < f đạt cực đại x 2) Nếu f "(x ) > f đạt cực tiểu x II CÁC DẠNG TỐN Dạng tốn 1: Tìm cực trị hàm số Qui tắc 1: Dùng định lí • Tìm f '(x ) • Tìm điểm x i (i = 1, 2, ) mà đạo hàm khơng có đạo hàm • Xét dấu f '(x ) Nếu f '(x ) đổi dấu x qua x i hàm số đạt cực trị x i Qui tắc 2: Dùng định lí • Tính f '(x ) • Giải phương trình f '(x ) = tìm nghiệm x i (i = 1, 2, ) • Tính f "(x ) f "(xi ) (i = 1, 2, ) Nếu f "(x i ) < hàm số đạt cực đại x i Nếu f "(x i ) > hàm số đạt cực tiểu x i BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 www.VNMATH.com Bài tập HT 11 Tìm cực trị hàm số sau: 2) y = x − 2x + 2x − 1) y = 3x − 2x 3) y = − x + 4x − 15x 6) y = − 4) y = x4 − x2 + 5) y = x − 4x + 7) y = −x + 3x + x +2 8) y = 3x + 4x + x +1 4x + 2x − 10) y = (x − 2)3 (x + 1)4 11) y = 13) y = x x − 14) y = x − 2x + 2x + x − 9) y = x4 + x2 + 2 x − 2x − 15 x −3 12) y = 3x + 4x + x2 + x + 15) y = x + 2x − x Dạng toán 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Nếu hàm số y = f (x ) đạt cực trị điểm x f '(x ) = x khơng có đạo hàm Để hàm số y = f (x ) ) đạt cực trị điểm x f '(x ) đổi dấu x qua x Chú ý: • Hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d có cực trị ⇔ Phương trình y ' = có hai nghiệm phân biệt Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: + y(x ) = ax 03 + bx 02 + cx + d + y(x ) = Ax + B , Ax + B phần dư phép chia y cho y′ Bài tập HT 12 Tìm m để hàm số: 1) y = (m + 2)x + 3x + mx − có cực đại, cực tiểu 2) y = x − 3(m − 1)x + (2m − 3m + 2)x − m(m − 1) có cực đại, cực tiểu 3) y = x − 3mx + 3(m − 1)x − m 4) y = 2x − 3(2m + 1)x + 6m(m + 1)x + x = 5) y = x − 3mx + (m − 1)x + đạt cực đại 6) y = −mx + 2(m − 2)x + m − có cực đại x = BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT 13 Tìm a, b, c, d để hàm số: 1) y = ax + bx + cx + d đạt cực tiểu x = đạt cực đại x = 27 2) y = ax + bx + c có đồ thị qua gốc toạ độ O đạt cực trị –9 x = HT 14 Tìm m để hàm số sau khơng có cực trị: 1) y = x − 3x + 3mx + 3m + 2) y = mx + 3mx − (m − 1)x − HT 15 Tìm m để hàm số : 1) y = x + 2(m − 1)x + (m − 4m + 1)x − 2(m + 1) đạt cực trị hai điểm x1, x cho: 1 + = (x1 + x ) x1 x 2 2) y = x − mx + mx − đạt cực trị hai điểm x1, x 2 cho: x1 − x ≥ 3) y = 1 mx − (m − 1)x + 3(m − 2)x + đạt cực trị hai điểm x1, x cho: x1 + 2x = 3 HT 16 Tìm m để đồ thị hàm số : 1) y = −x + mx − có hai điểm cực trị A, B AB = 900m 729 2) y = x − mx + 4x + m có điểm cực trị A, B, C tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO HT 17 Tìm m để đồ thị hàm số : 1) y = 2x + mx − 12x − 13 có hai điểm cực trị cách trục tung Đ/s: m = 2) y = x − 3mx + 4m có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường phân giác thứ Đ/s: m = ± 3) y = x − 3mx + 4m có điểm cực đại, cực tiểu phía đường thẳng d : 3x − 2y + =    Đ/s: m ∈ − ;1 \ {0}       HT 18 Tìm m để đồ thị hàm số: 1) y = x + 3x + m có điểm cực trị A, B cho AOB = 1200 Đ/s: m = 0, m = −12 + 132  9  2) y = x − 2mx + có điểm cực trị tạo thành tam giác có đường trịn ngoại tiếp qua D  ;  Đ/s: m =    5   BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 www.VNMATH.com 3) y = x + 2mx + m + m có điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 1200 Đ/s: m = − 3 4) y = x − 2mx + 2m + m có điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích Đ/s: m = HT 19 Tìm m để hàm số: 1) y = x − 3mx + có hai điểm cực trị đường tròn qua điểm cực trị cắt đường trịn tâm I (1;1) bán kính hai điểm A, B cho diện tích tam giác IAB lớn Đ/s: m = 2± 2) y = 4x + mx − 3x có hai điểm cực trị x1, x thỏa mãn: x1 +4x2 = Đ/s: m = ± HT 20 Tìm m để hàm số: 1) y = 2x + 3(m − 1)x + 6(m − 2)x − có đường thẳng qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = −4x − Đ/s: m = 2) y = 2x + 3(m − 1)x + 6m(1 − 2m )x có điểm cực đại, cực tiểu đồ thị nằm đường thẳng y = −4x Đ/s: m = 3) y = x + mx + 7x + có đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x − Đ/s: m = ± 10 4) y = x − 3x + m 2x + m có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng (∆): y = x− 2 Đ/s: m = - BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 VẤN ĐỀ 3: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Các bước khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số • Tìm tập xác định hàm số • Xét biến thiên hàm số: + Tìm giới hạn vơ cực, giới hạn vơ cực tìm tiệm cận (nếu có) + Tính y ' + Tìm điểm đạo hàm y ' = không xác định + Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị hàm số • Vẽ đồ thị hàm số: + Tìm điểm uốn đồ thị (đối với hàm số bậc ba hàm số trùng phương) + Vẽ đường tiệm cận (nếu có) đồ thị + Xác định số điểm đặc biệt đồ thị giao điểm đồ thị với trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt trục toạ độ việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp bỏ qua) Có thể tìm thêm số điểm thuộc đồ thị để vẽ xác Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm bậc ba y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) • Tập xác định D = ℝ • Đồ thị ln có điểm uốn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng • Các dạng đồ thị: a>0 a I x I x y ' = có nghiệm kép ⇔ ∆ ' = b − 3ac = y ' = vô nghiệm ⇔ ∆ ' = b − 3ac < y y I I x BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN x Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 www.VNMATH.com Hàm số trùng phương y = ax + bx + c (a ≠ 0) • Tập xác định D = ℝ • Đồ thị ln nhận trục tung làm trục đối xứng • Các dạng đồ thị: a>0 a ad – bc < Bài tập HT 21 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: x3 − x2 + x −1 y = −x + 3x − y = y = x − 2x + y = −x − x + y = 2x − x −1 y = y = − y = x3 + x − 2x + x −1 x +1 x −1 −2x + BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng Đ/s: 0968.393.899 x −1 y +1 z −1 = = HT 272 2013 D (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(−1; −1; −2), B(0;1;1) mặt phẳng (P ) : x + y + z − = Tìm tọa độ hình chiếu vng góc A (P) Viết phương trình mặt phẳng qua A, B vng góc với (P) Đ/s: (Q ) : x − 2y + z + = HT 273 2013 D (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(−1; 3; −2) mặt phẳng (P ) : x − 2y − 2z + = Tính khoảng cách từ A đến (P) Viết phương trinh mặt phẳng qua A song song với (P) Đ/s: (Q ) : x − 2y − 2z + = x +1 y z −2 điểm = = I (0; 0; 3) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt d hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông I HT 274 2012 A (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : Đ/s: x + y + (z − 3)2 = x +1 y z −2 mặt phẳng = = 1 (P ) : x + y − 2z + = điểm A(1; −1;2) Viết phương trình đường thẳng △ cắt d (P) M, N cho A trung điểm đoạn MN x +1 y +1 z −2 Đ/s: △: = = x −1 y z hai điểm HT 276 2012 B (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = −2 A(2;1; 0), B(−2; 3;2) Viết phương trình mặt cầu qua A, B có tâm thuộc đường thẳng d HT 275 2012 A (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : Đ/s: (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z − 2)2 = 17 HT 277 2012 B (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(0; 0; 3), M (1;2; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A cắt trục Ox ,Oy B, C cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM Đ/s: (P ) : 6x + 3y + 4z − 12 = HT 278 2012 D (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : 2x + y − 2z + 10 = điểm I (2;1; 3) Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt (P) theo đường trịn có bán kính Đ/s: (S ) : (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 = 25 x −1 y + z = = hai điểm −1 A(1; −1;2), B(2; −1; 0) Xác định tọa độ điểm M thuộc d cho tam giác AMB vuông M HT 279 2012 D (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : 7 2  Đ/s: M (1; −1; 0), M  ; − ;      3 3   HT 280 2011 A (CB): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(2; 0; 1), B(0; –2; 3) mặt phẳng (P ) : 2x − y − z + = Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MA = MB =  12   Đ/s: M (0;1; 3) M − ; ;       7 7  2011 A (NC): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) : x + y + z − 4x − 4y − 4z = điểm A(4; 4; 0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) tam giác OAB Đ/s: (P ) : x − y + z = x − y − z = HT 281 x −2 y +1 z mặt = = −2 −1 phẳng (P): x + y + z – = Gọi I giao điểm ∆ (P) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MI vng góc với ∆ HT 282 2011 B ( CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : MI = 14 Đ/s: M (5; 9; −11) M (−3; −7;13) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 57 GV.Lưu Huy Thưởng HT 283 0968.393.899 2011 B (NC) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng ∆: ∆ : x + y −1 z + hai = = −2 điểm A(– 2; 1; 1), B(– 3; – 1; 2) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho tam giác MAB có diện tích Đ/s: M (−2;1; −5); M (−14; −35;19) HT 284 2011 D (CB) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A(1; 2; 3) đường thẳng x +1 y z −3 = = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A, vng góc với đường thẳng d cắt trục Ox −2 x = + 2t    Đ/s: △: y = + 2t     z = + 3t  d: x −1 y − z = = mặt phẳng (P ) : 2x − y + 2z = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng ∆, bán kính tiếp xúc với mặt phẳng (P) HT 285 2011 D (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : Đ/s: (x − 5)2 + (y − 11)2 + (z − 2)2 = 1; (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = x −1 y z +2 mặt phẳng = = −1 (P ) : x − 2y + z = Gọi C giao điểm ∆ với (P), M điểm thuộc ∆ Tính khoảng cách từ M đến (P), biết HT 286 2010 A (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : MC = Đ/s: d = HT 287 2010 A (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(0; 0; −2) đường thẳng x +2 y −2 z + Tính khoảng cách từ A đến ∆ Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ hai điểm B C = = cho BC = ∆: Đ/s: x + y + (z + 2)2 = 25 HT 288 2010 B (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 0; 0), B(0;b; 0),C (0; 0; c), b,c dương mặt phẳng (P ) : y − z + = Xác định b c, biết mặt phẳng (ABC) vng góc với mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) Đ/s: b = c = HT 289 2010 B (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆: x y −1 z = = Xác định tọa độ 2 điểm M trục hoành cho khoảng cách từ M đến ∆ OM Đ/s: M (−1; 0; 0) M (2; 0; 0) HT 290 2010 D (Chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (P): x + y + z − = (Q): x − y + z − = Viết phương trình mặt phẳng (R) vng góc với (P) (Q) cho khoảng cách từ O đến (R) Đ/s: (R) : x − z + 2 = x − z − 2 = x = + t    HT 291 2010 D (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng ∆1: y = t ∆2:   z = t    x − y −1 z = = Xác định toạ độ điểm M thuộc ∆1 cho khoảng cách từ M đến ∆2 2 Đ/s: M (4;1;1) M (7; 4; 4) HT 292 2009 A (Chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): 2x − 2y − z − = mặt cầu (S): x + y + z − 2x − 4y − 6z − 11 = Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định toạ độ tâm bán kính đờng trịn Đ/s: H (3; 0;2) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 58 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT 293 2009 A (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : x − 2y + 2z − = hai đường thẳng ∆1 : x +1 y z +9 x −1 y − z + = = ; ∆2 : = = Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆1 cho 1 −2 khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)  18 53    Đ/s: M (0;1; −3); M  ; ;    35 35 35     HT 294 2009 B (Chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có đỉnh A(1;2;1), B(−2;1; 3),C (2; −1;1) D(0; 3;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) Đ/s: (P ) : 4x + 2y + 7z − 15 = (P ) : 2x + 3z − = HT 295 2009 B (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – = hai điểm A(3;0;1), B(1;-1;3) Trong đường thẳng qua A song song với (P), viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ x +3 y z −1 Đ/s: ∆ : = = 26 11 −2 HT 296 2009 D (Chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) mặt phẳng (P): x + y + z – 20 = Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) 5   Đ/s: D  ; ; −1   2     x +2 y −2 z mặt phẳng = = 1 −1 (P): x + 2y – 3z + = Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) cho d cắt vng góc với đường thẳng ∆ x + y −1 z −1 Đ/s: d : = = −2 −1 HT 297 2009 D (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 59 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014 SỐ PHỨC BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP :………………………………………………………………… TRƯỜNG :………………………………………………………………… HÀ NỘI, 8/2013 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC BÀI 1: SỐ PHỨC Khái niệm số phức • Tập hợp số phức: ℂ • Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b ∈ R , a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo, i2 = –1) • z số thực z ảo ⇔ phần ảo z (b = 0) ⇔ phần thực z (a = 0) Số vừa số thực vừa số ảo • Hai số phức nhau: a = a '  a + bi = a’ + b’i ⇔   b = b '   (a, b, a ', b ' ∈ R) Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b ∈ R) biểu diễn điểm M(a; 2) hay u = (a ; b) mp(Oxy) (mp phứ3) Cộng trừ số phức: • (a + bi ) + (a’ + b’i ) = (a + a’) + (b + b’) i • (a + bi ) − (a’ + b’i ) = (a − a’) + (b − b’) i • Số đối z = a + bi –z = –a – bi • u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' u + u ' biểu diễn z + z’ u − u ' biểu diễn z – z’ Nhân hai số phức : • (a + bi )(a '+ b ' i ) =(aa’ – bb’) + (ab’ + ba’) i • k (a + bi ) = ka + kbi (k ∈ R) Số phức liên hợp số phức z = a + bi z = a − bi • z =z ; z ±z ' = z ±z ' ; • z số thực ⇔ z = z ; z  z   z z ' = z z ';   = ; z z = a + b2     z2  z2   z số ảo ⇔ z = −z BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Môđun số phức : z = a + bi • z = a + b = zz = OM • z ≥ 0, ∀z ∈ C , z =0⇔z =0 • • z z ' = z z ' z z = z' z' • z' z '.z z '.z = z ' z −1 = = z z z z • z − z ' ≤ z ±z ' ≤ z + z ' Chia hai số phức: • z −1 = z (z ≠ 0) z • z' = w ⇔ z ' = wz z Căn bậc hai số phức:  x − y = a  • z = x + yi bậc hai số phức w = a + bi ⇔ z = w ⇔    2xy = b    • w = có bậc hai z = • w ≠ có hai bậc hai đối • Hai bậc hai a > ± a • Hai bậc hai a < ± −a i Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = (*) (A, B, C số phức cho trước, A ≠ ) ∆ = B − 4AC • ∆ ≠ : (*) có hai nghiệm phân biệt , ( δ bậc hai ∆) • ∆ = : (*) có nghiệm kép: z1 = z = − B 2A Chú ý: Nếu z0 ∈ C nghiệm (*) z nghiệm (*) 10 Dạng lượng giác số phức: • z = r (cos ϕ + i sin ϕ) (r > 0) dạng lương giác z = a + bi (z ≠ 0)   r = a + b     a ⇔ cos ϕ =   r   b  sin ϕ =   r  • ϕ acgumen z, ϕ = (Ox ,OM ) • z = ⇔ z = cos ϕ + i sin ϕ (ϕ ∈ R) 11 Nhân, chia số phức dạng lượng giác BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Cho z = r (cos ϕ + i sin ϕ) , z ' = r '(cos ϕ '+ i sin ϕ ') : • z z ' = rr '  cos(ϕ + ϕ ') + i sin(ϕ + ϕ ') • z r =  cos(ϕ − ϕ ') + i sin(ϕ − ϕ ') z' r' 12 Cơng thức Moa–vrơ: n • r (cos ϕ + i sin ϕ) = r n (cos nϕ + i sin nϕ) , ( n ∈ N * ) n • (cos ϕ + i sin ϕ ) = cos nϕ + i sin nϕ 13 Căn bậc hai số phức dạng lượng giác: • Số phức z = r (cosϕ + i sin ϕ) (r > 0) có hai bậc hai là:  ϕ ϕ  r cos + i sin      2  ϕ   ϕ  ϕ ϕ    vaø − r cos + i sin  = r cos  + π + i sin  + π        2 2     2   • Mở rộng: Số phức z = r (cosϕ + i sin ϕ) (r > 0) có n bậc n là: n  ϕ + k 2π ϕ + k 2π     + i sin r cos , k = 0,1, , n −    n n VẤN ĐỀ 1: Thực phép toán cộng – trừ – nhân – chia HT 1: Tìm phần thực phần ảo số phức sau: 1   1) (4 – i ) + (2 + 3i ) – (5 + i) 2) − i +  − 2i    3       1      4) 3 − i  + − + 2i  − i              7) 10) 3       5)  + i  − − + i   4            −i −i − 1+i i 8) m + 2i 11) HT 2: 6) (2 − 3i)(3 + i ) 9) 1+i 1−i 12) 3+i (1 − 2i )(1 + i) 16) a +i a − 3i + 5i a −i a i m 14) 2   3) (2 − 3i ) −  − i      3   1+i 2−i 15) a +i b i a Thực phép toán sau: 1) (1 + i)2 − (1 – i )2 2) (2 + i )3 − (3 − i )3 1 3   4)  − 3i   2     5) 7) (−1 + i)3 − (2i )3 8) (1 −i)100 3) (3 + 4i )2 (1 + 2i )2 − (1 − i )2 2 6) (2 − i)6 (3 + 2i ) − (2 + i ) 9) (3 + 3i)5 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng HT 3: 0968.393.899 Cho số phức z = x + yi Tìm phần thực phần ảo số phức sau: 1) z − 2z + 4i 2) z +i iz − Phân tích thành nhân tử, với a, b, c ∈ R: HT 4: 1) a + 2) 2a + 3) 4a + 9b2 4) 3a + 5b 5) a + 16 6) a − 27 7) a + 8) a + a + HT 5: Tìm bậc hai số phức: 1) −1 + 3i 2) + 5i 3) −1 − 6i 4) −5 + 12i 5) − − i 6) − 24i 7) −40 + 42i 8) 11 + 3.i 10) −5 + 12i 11) + 6i 12) 33 − 56i 9) + i VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình tập số phức HT 6: Giải phương trình sau (ẩn z): 1) z + z = 2) z + z = 3) z + 2z = − 4i 4) z − z = 5) z − 2z = −1 − 8i 6) (4 − 5i )z = + i  z + i 4   7)    z − i  =    8) 9) z − 3z = − 12i 10) (3 − 2i )2 (z + i ) = 3i   1   11) (2 − i )z + + i  iz +  =   2i     12) z 3 − i  = + i        13) + 5i = − 4i z 14) (z + 3i )(z − 2z + 5) = 16) 2z − 3z + 5z + 3i − = 15) (z + 9)(z − z + 1) = HT 7: 2+i −1 + 3i z= 1−i 2+i Giải phương trình sau (ẩn x): 1) x − 3.x + = 2) 2.x − 3.x + = 3) x − (3 − i )x + − 3i = 4) 3i.x − 2x − + i = 5) 3x − x + = 6) i.x + 2i.x − = 7) 3x − 24 = 8) 2x + 16 = BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm HT 8: Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số z thỏa mãn điều kiện sau: 2) z − z + − i = 3) z − z + 2i = z − i 1) z + z + = 4) 2i.z − = z + 5) 2i − 2z = 2z − 7) z + i = z − − 3i 8) 10) + z = i − z 11) z + < 6) z + = z − 3i =1 z +i 9) z − + i = 12) < z − i < HT 9: Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số z thỏa mãn điều kiện sau: 1) z + 2i số thực 2) z − + i số ảo 3) z z = VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác số phức HT 10: Tìm acgumen số phức sau: π π 1) 2(cos − i sin ) 2) – 4i 3 4) cos π π − i sin 4 5) − sin π π − i cos 8 3) − 3.i 6) (1 − i 3)(1 + i) HT 11: Thực phép tính sau: 1) (cos 20o + i sin 20o )(cos 25o + i sin 25o )  π π  π π    2) cos + i sin  cos + i sin          6 4 3) (cos120o + i sin 120o )(cos 45o + i sin 45o )  π π  π π    4) cos + i sin  cos + i sin         6 4 5) (cos18o + i sin 18o )(cos 72o + i sin 72o ) 6) cos 85 + i sin 85 cos 40 + i sin 40 7) 2(cos 450 + i sin 450 ) 8) 2(cos 45 + i sin 45 ) 3(cos 15 + i.sin 15 ) 3(cos 15 + i sin 15 ) 2π 2π + i sin ) 3 π π 2(cos + i sin ) 2  2π 2π    cos + i sin     3  π π  cos + i sin      2 2(cos 9) 10) HT 12: Viết dạng lượng giác số phức sau: 1) − i 5) 1−i 1+i 9) + i 2) + i 6) + 2i 10) −i 3) (1 − i 3)(1 + i ) 4) 2.i.( − i) 7) sin φ + i cos φ 8) 11) + 0i 12) tan BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN +i 5π +i Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT 13: Viết dạng đại số số phức sau: 1) cos 45o + i sin 45o  π π   2) cos + i sin     6 4) (2 + i)6 5) 7) 3+i (1 + i )(1 − 2i) 6) i 8) (−1 + i )  40 1 + i   9) (2 − 2i)7       1−i  1 + i 100  π π       11)      − i  cos + i sin    12) 60 1+i 2i + 10) 3) (cos120o + i sin 120o )  3π 3π    + i sin  cos   4 2 ( 17 − i) HT 14: Tính: 16 1) (cos12o + i sin 12o ) 2) (1 + i ) 3) ( − i)6  7 4)  (cos 300 + i sin 300 ) 5) (cos15o + i sin 15o )5 6) (1 + i )2008 + (1 − i)2008  21  + 3i    7)    − 2i      1 12    +i 3 8)    2      i + 2008   9)    i      BÀI 2: ÔN TẬP HT 15: Thực phép tính sau: 1) (2 − i )(−3 + 2i)(5 − 4i )  −1 + i 6 1 − i 6      +  2)              1 + i 16  − i 8  +    3)         1 − i  1 + i  4) 5) (2 − 4i)(5 + 2i ) + (3 + 4i )(−6 − i) 6) + i + i 7) i 2000 + i1999 + i 201 + i 82 + i 47 8) + i + i + + i n , (n ≥ 1) 9) i.i i i 2000 10) i −5 (−i)−7 + (−i )13 + i −100 + (−i)94 + 7i − 8i + + 3i − 3i + i + + i 2009 HT 16: Cho số phức z1 = + 2i, z = −2 + 3i, z = − i Tính: 1) z1 + z + z 2) z1z + z 2z + z 3z1 3) z1z 2z 4) z12 + z 22 + z 32 z z z 5) + + z z z1 z + z 22 6) z 22 + z 32 HT 17: Rút gọn biểu thức sau: 1) A = z + iz − (1 + 2i )z + 3z + + 3i, với z = + 3i BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2) B = (z − z + 2z )(2 − z + z ), với z = 1( − i) HT 18: Tìm số thực x, y cho: 1) (1 − 2i )x + (1 + 2y )i = + i 2) x −3 y −3 + =i 3+i 3−i 3) (4 − 3i )x + (3 + 2i )xy = 4y − x + (3xy − 2y )i 4) 2x + + (3y − 1)i = (5x − 6) − (y + 2)i 5) x (3 − 2i ) + y(1 − 2i )3 = 11 + 4i + 3i 6) x (3 + 2i) + y(1 − 2i )3 = + 14i HT 19: Tìm bậc hai số phức sau: 1) + 6i 2) + 4i 3) + i  − i 2    6)       −i    1 + i 2   5)   1 − i      9) −i 10) 1+i + 7) 4) − 24i − i 2 8) i, –i 11) −2 (1 + i ) i 12) 1 + 1+i 1−i HT 20: Giải phương trình sau: 1) z − 125 = 2) z + 16 = 3) z + 64i = 4) z − 27i = 5) z − 2iz − iz − = 6) z + iz + i − = HT 21: Gọi u1; u2 hai bậc hai z1 = + 4i v1; v2 hai bậc hai z = − 4i Tính u1 + u2 +v1 + v2 ? HT 22: Giải phương trình sau tập số phức: 1) z + = 2) z + 2z + = 4) z − 5z + = 5) −2z + 3z − = 6) 3z − 2z + = 7) (z + z )(z − z ) = 8) z + z + = 9) z = z + 10) 2z + 3z = + 3i 11) (z + 2i ) +2 (z + 2i ) − = 12) z = z 14) iz + (1 + 2i )z + = 15) (1 + i )z + + 11i = 13) 4z + z 2 =8 3) z + 4z + 10 = HT 23: Giải phương trình sau tập số phức:  4z + i 2  − 4z + i + =   1)     z −i  z −i   2) (z + 5i ) (z − 3) (z + z + 3) = 3) (z + 2z ) − (z + 2z ) − 16 = 4) z − (1 + i ) z + (3 + i ) z − 3i = BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 5) (z + i ) (z − 2z + 2) = 6) z − 2iz + 2i − = 7) z − (5 − 14i )z − 2(12 + 5i ) = 8) z − 80z + 4099 − 100i = 9) (z + − i)2 − 6(z + − i ) + 13 = 10) z − (cos ϕ + i sin ϕ)z + i cos ϕ sin ϕ = HT 24: Giải phương trình sau tập số phức: 1) x − (3 + 4i )x + 5i − = 2) x + (1 + i )x − − i = 4) x + x + = 3) 3x + x + = 5) x − = HT 25: Giải phương trình sau biết chúng có nghiệm ảo: 1) z − iz − 2iz − = 2) z + (i − 3)z + (4 − 4i)z − + 4i = HT 26: Tìm tất số phức z thỏa mãn điều kiện: 1) (z − 2)(z + i) số thực 2) z = z 3) z − (2 + i ) = 10 z.z = 25 4) z −1 z − 3i = =1 z −i z +1 5) z + 2z z + z = z + z = 6) z − = 17(z + z ) − 5z z = () 7) z = z + z =1 8) z − + i = Biết phần ảo nhỏ phần thực đơn vị 9) z = z + z z =1 z HT 27: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước: 1) z = z số ảo z − 2i số ảo z −2 z − 2i 3) z + − 2i = z + + 4i số ảo z +i z + 7i 4) z = số thực z +1 HT 28: Giải phương trình trùng phương: 2) z = z − − 2i 1) z − 8(1 − i)z + 63 − 16i = 2) z − 24(1 − i)z + 308 − 144i = 3) z + 6(1 + i )z + + 6i = HT 29: Tìm tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức thoả mãn hệ thức sau: 1) z =3 z −i 4) z = z − + 4i 2) z + z = 5) z +i ( ) 3) (z − 2) z + i số thực số thực z +i HT 30: Tìm tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức thoả mãn hệ thức sau: BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1) z − + 4i = 4) z = 2) z − i = (1 + i )z z 5) z + 3) (2 − z )(z + i ) số ảo =2 z HT 31: Tìm tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z ' thoả mãn hệ thức sau: 1) z ' = (1 + i 3)z + biết z thỏa mãn: z − = 2) z ' = (1 + i 3)z + biết z thỏa mãn: z + ≤ 3) z ' = (1 + 2i)z + biết z thỏa mãn: z + = 2zz 4) z ' = (1 + i)z + biết z + ≤ HT 32: Hãy tính tổng S = + z + z + z + z n −1 biết z = cos 2π 2π + i sin n n HT 33: Viết dạng lượng giác số phức sau: 1) i + i + i + i + 2+i 1−i 2) (1 − i )(2 + i) 4) − sin α + i cos α, < α <  π π  5) −3 cos + i sin      6 π 7) sin α + i(1 − cos α), < α < 3) 6) cot α + i, π < α < π π HT 34: Tìm mơđun acgumen số phức sau: 1) (2 + 2i ) (1 − i )6 4) − sin (1 + i )6 + 2) (2 − 2i ) (−1 + i )4 ( π π + i cos 8 10 − i) 5) cos 7) − sin α + i cos α, < α < π 8) n + (2 n 3) (1 + i ) + (1 − i ) + 2i ) π π − i sin 4 6) −2 + 3i + cos α + i sin α π , 0