Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 91 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
91
Dung lượng
2,27 MB
Nội dung
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 I HC À NNG TRNG I HC BÁCH KHOA KHOA S PHM K THUT 0 BÀI GING HÌNH HA GVC - ThS NGUYN À NNG - 2005 GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 1 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 M U A. MC CH V YấU CU 1) Mc ớch Hỡnh ho l mt mụn hc thuc lnh vc Hỡnh hc, nhm: Nghiờn cu cỏc phng phỏp biu din cỏc hỡnh trong khụng gian lờn mt mt m thụng thng l mt phng hai chiu Nghiờn cu cỏc phng phỏp gii cỏc bi toỏn trong khụng gian bng cach gii chỳng trờn cỏc hỡnh biu din phng ú Cung cp mt s kin thc hỡnh hc c bn hc tip mụn V k thut v gii quyt mt s vn liờn quan n chuyờn mụn. 2) Yờu cu ca hỡnh biu din Hỡnh biu din phi n gin, rừ rng, chớnh xỏc. Cỏc hỡnh biu din phi tng ng vi mt hỡnh nht nh trong khụng gian; ngi ta gi tớnh cht ny l tớnh phn chuyn hay tớnh tng ng hỡnh hc ca hỡnh biu din 3) Mt s ký hiu v quy c Trong bi ging ny s dựng nhng ký hiu v qui c sau: im Ch in nh: A, B, C, ng thng Ch thng nh: a,b,c, Mt phng Ch Hy lp hoc ch vit hoa nh: , , , , A, B, C, S liờn thuc Ký hiu nh: im Aa; ng thng a mp ( ), bmp(Q), Vuụng gúc nh: a b Giao nh: A= d l Kt qu = nh: g= mp mp Song song // nh: d // k Trựng nh: A B B. CC PHẫP CHIU I. PHẫP CHIU XUYấN TM 1) Cỏch xõy dng Trong khụng gian cho mt phng P v mt im S khụng thuc mp(P ).(Hỡnh 1) Ngi ta thc hin phộp chiu mt im A bt k nh sau: V ng thng SA, ng thng ny ct mt phng P ti im A Ta cú cỏc nh ngha: P : Mt phng hỡnh chiu A A S P S : Tõm chiu SA : ng thng chiu hoc tia chiu A : Hỡnh chiu xuyờn tõm ca im A t tõm chiờỳ S lờn mt phng hỡnh chiu P . Hỡnh 1 Phộp chiu c xõy dng nh trờn c gi l phộp chiu xuyờn tõm vi tõm chiu S v mt phng hỡnh chiu P. Mt phộp xuyờn tõm c xỏc nh khi bit tõm chiu S v mt phng hỡnh chiu P. GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 2 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 Chỳ ý a) Hỡnh l mt tp hp im. Vy chiu mt hỡnh ta chiu mt s im thnh phn ca hỡnh xỏc nh hỡnh ú b) Nu trong khụng gian clic ta b sung thờm cỏc yu t vụ tn thỡ: _ Hai ng thng son g song xem nh ct nhau ti mt im vụ tn: a // b a b = M Nh vy biu din mt im vụ tn ta biu din nú bng mt phng ng thng _ Hai mt phng son g song xem nh ct nhau theo mt ng thng vụ tn mp // mp mp mp = d 2) Tớnh cht 1. Hỡnh chiu xuyờn tõm ca mt ng thng khụng i qua tõm chiu l mt ng thng Khi chiu ng thng a, cỏc tia chiu SA, SB hỡnh thnh mt mt phng (SAB) gi l mt phng chiu. Do ú hỡnh chiu a(A'B')= mp(SAB) mp(P) (hỡnh 2) 2. Hỡnh chiu xuyờn tõm ca nhng ng thng song song núi chung l nhng ng thng ng qui Gi s cho a // b nờn cỏc mp(S,a) v mp(S,b) s giao vi mp(P) cho cỏc giao tuyn a, b ct nhau ti im M (M l hỡnh chiu xuyờn tõm ca im M ca ng thng a, b) (hỡnh 3) Hỡnh 2 Hỡnh 3 P P S M' S A B B' A ' a a' a b b' a' A B B' A II. PHẫP CHIU SONG SONG 1) Cỏch xõy dng Phộp chiu song song l trng hp c bit ca phộp chiờu xuyờn tõm khi tõm chiu S xa vụ tn Nh vy phộp chiu song song c xỏc nh khi bit mt phng hỡnh chiu P v phng chiu s A P A t s H ỡ nh 4 Ngi ta chiu song song im A bng cỏch qua A v ng thng t song song vi phng s, v giao im A = t mp(P ) thỡ A l hỡnh chiu song song ca im A t phng chiu s lờn mt phng hỡnh chiu P (hỡnh 4). 2) Tớnh cht Phộp chiu song song l trng hp c bit ca phộp chiờu xuyờn tõm nờn cú nhng tớnh cht ca phộp chiu xuyờn tõm. Ngoi ra phộp chiu song song cú nhng tớnh cht sau: GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 3 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 1. Hỡnh chiu song song ca nhng ng thng khụng song song vi phng chiu l nhng ng thng song song. Gi s cho a // b nờn cỏc mt phng chiu thuc a, b song song nhau, do ú giao tuyn ca chỳng vi mt phng hỡnh chiu P l nhng ng thng song song: a // b (hỡnh 5) Hỡnh 5 Hỡnh 6 P P s s a ' b ' b a C ' B ' A ' C B A 2. T s n ca ba im phõn bit thng hng bng t s n ca ba im phõn bit hỡnh chiu ca chỳng Cho ba im A, B ,C phõn bit thng hng, chiu thnh ba im A, B, C cng phõn bit thng hng.(hỡnh 6). Theo nh lý Thalet, ta cú: '' '' BC AC CB CA = Ký hiu t s n ca ba im A,B,C nh sau: (ABC) = (ABC) III. PHẫP CHIU VUễNG GểC 1) Cỏch xõy dng Phộp chiu vuụng gúc l trng hp c bit ca phộp chiờu song song khi phng chiu s vuụng gúc vi mt phng hỡnh chiu P : s P (hỡnh 7) P s Hỡnh 7 2) Tớnh cht Phộp chiu vuụng gúc cú nhng tớnh cht ca phộp chiu song song; Ngoi ra cũn cú nhiu tớnh cht, chỳng ta s nghiờn cu cỏc chng sau. IV. NHN XẫT Ta cú th dựng cỏc phộp chiu trờn biu din vt th trong khụng gian lờn mt mt phng. Tuy nhiờn vi mi hỡnh chiờu thỡ cha xỏc nh c mt vt th duy nht trong khụng gian Vỡ vy mt hỡnh chiu cha m bo c tớnh phn chuyn ca hỡnh biu din. Trong cỏc bi sau chỳng ta s nghiờn cu phng phỏp cỏc hỡnh chiu vuụng gúc m cỏc hỡnh biu din m bo tớnh phn chuyn c gi l thc . ======================== GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 4 Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 Bài 1 IM I. THC CA IM I.1 H thng hai mt phng hình chiu vuông góc a) Cách xây dng Trong không gian cho hai mt phng P 1 và P 2 vuông góc nhau, đ d hình dung đt P 1 nm ngang, P 2 thng đng. Ta nhn đc h thng hai mt phng hình chiu vuông góc (hình 1.1) Hình 1.1 Hình 1.2 x A x (III) Cao<0, xa <0 (II) Cao>0, xa <0 (I) Cao>0, xa >0 A X A 2 A 1 A 1 A 2 A X P 1 (IV) Cao<0, xa >0 P 2 Xét mt đim A bt k trong không gian. _ Chiu vuông góc đim A ln lt lên P 1 và P 2 ta nhn đc các hình chiu A 1 , A 2 _ Quay mp P 1 quanh trc x mt góc 90 0 theo chiu mi tên qui c nh (hình 1.1) đn trùng P 2 . Vì mp (A A 1 A 2 ) ⊥ P 1 và P 2 nên s vuông góc vi trc x ti đim A X . Do đó sau khi quay đn v trí mi ba đim A 1 , A X , A 2 thng hàng và vuông góc trc x (hình1.2) b) Các đnh ngha _ P 1 Mt phng hình chiu bng _ P 2 Mt phng hình chiu đng _ x = P 1 ∩P 2 Trc hình chiu _ A 1 Hình chiu bng ca đim A _ A 2 Hình chiu đng ca đim A _ A 1 A 2 ( ⊥ x) ng gióng _ A 1 A x xa ca đim A, qui c dng nu A 1 nm phía di trc x _ A 2 A x cao ca đim A, qui c dng nu A 2 nm phía trên trc x _ (A 1 , A 2 ) Cp đim hình chiu này gi là đ thc ca đim A.Tht vy t A 1 , A 2 ta có th dng li đc đim A theo th t ngc li vi cách dng đ thc ca nó H thng P 1 và P 2 chia không gian ra làm 4 góc phn t: _ Góc phn t 1 - Là phn không gian nm trên P 1 và trc P 2 _ Góc phn t 2 - Là phn không gian nm trên P 1 và sau P 2 _ Góc phn t 3 - Là phn không gian nm di P 1 và sau P 2 _ Góc phn t 4 - Là phn không gian nm di P 1 và trc P 2 + Mt phng phân giác 1. Là mt phng phân giác ca P 1 và P 2 đi qua góc phn t th 1 và góc phn t th 3. Nhng đim thuc mt phng phân giác1 có đ thc là mt cp đim hình chiu đng và hình chiu bng đi xng nhau qua trc hình chiu x GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 5 Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 + Mt phng phân giác 2. Là mt phng phân giác ca P 1 và P 2 đi qua góc phn t th 2 và góc phn t th 4. Nhng đim thuc mt phng phân giác 2 có đ thc là mt cp đim hình chiu đng và hình chiu bng trùng nhau (Hình 1.3) là hình không gian biu din mt phng phân giác 1, mt phng phân giác 2 và các góc phn t ca h thng hai mt phng hình chiu vuông góc P 1 và P 2 Phân giác 2 Phân giác 1 P 2 P 2 A A 2 P 1 x A 1 x P 1 Hình 1.3 Hình 1.4 Nu ta đt trc hình chiu x vuông góc vi mt phng ca t giy thì h thng hai mt phng hình chiu P 1 , P 2 và hai mt phng phân giác 1, 2 đc biu din nh (hình 1.4) Tóm li thc ca mt đim trong không gian là mt cp đim hình chiu đng và hình chiu bng có th phân bit hoc trùng nhau I.2 H thng ba mt phng hình chiu vuông góc a) Cách xây dng Thêm vào mt phng P 3 vuông góc vi P 1 và P 2 , thng P 3 đt phía bên phi ngi quan sát, ta nhn đc h thng ba mt phng hình chiu vuông góc nh (hình 1.5) Hình 1.5 Hình 1.6 x A P 2 y z 0 A z A 1 P 1 x z y’ y A y A 1 45 A y A 2 A 3 A y ’ A z A 2 A x A 3 P 3 0 A x Gi y = P 1 ∩ P 3 ; z = P 2 ∩P 3 Xét mt đim A bt k trong không gian. _ Chiu vuông góc đim A ln lt lên các mt phng P 1 , P 2 , P 3 ta nhn đc các hình chiu A 1 , A 2 , A 3 . _ Quay các mp P 1 , P 3 ln lt quanh các trc x, trc z mt góc 90 0 theo chiu mi tên qui c nh (hình 1.5). Trc y đc tách ra làm hai phn, mt phn trc y theo mp P 1 đn trùng vi trc GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 6 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 z, mt phn trc y theo mp P 3 n trựng vi trc x. Sau khi quay ta nhn c hỡnh biu din nh (hỡnh1.6) b) Cỏc nh ngha _ P 3 Mt phng hỡnh chiu cnh _ A 2 A z xa cnh ca im A, qui c dng nu A 2 nm phớa bờn trỏi trc z _ A 3 Hỡnh chiu cnh ca im A Chỳ ý _ A 2 A z = 0 A y = 0 A y = A x A 1 _ Vỡ hai hỡnh chiu biu din thc ca mt im nờn ta d dng v c hỡnh chiu th ba ca im ú Vớ d Cho thc ca im B (B 1 , B 2 ) (hỡnh 1.7a). Hóy v hỡnh chiu th ba ca im B. Hỡnh 1.7a Hỡnh 1.7b Hỡnh chiu cnh B 3 ca im B c v theo chiu mi tờn nh (hỡnh 1.7b) ,vi 0B y' = 0B y II. Quan h gia to cỏc v thc ca mt im trong khụng gian Nu ly ba mt phng hỡnh chiu P 1 , P 2 , P 3 lm ba mt phng to cỏc; ba trc hỡnh chiu x, y, z lm ba trc to cỏc (hỡnh 1.8) Vi im A (x A , y A , z A ) bt k trong khụng gian, ta cú: _ Honh x A = 0A x : xa cnh ca im A _ Tung y A = A x A 1 : xa ca im A _ Cao z A = A 1 A : cao ca im A Nh vy Nu cho to cỏc ca mt im trong khụng gian thỡ ta d dng v c thc cu im ú. P 2 P 3 0 z y x A 1 A A x y A z A x A x y B 2 B 2 B 1 x B 1 y B Z B y B Y B 3 Hỡnh 1.8 P 1 Vớ d Cho to cỏc ca cỏc im A (2, 3, 4); B (4, -2, -5). Hóy v thc ca chỳng. -2 +4 y - z + B Z B Y y + z - -5 Hỡnh 1.9 +2 +3 x - x + x + y + z - A Y A X A z y - z + +4 A 1 A 2 B 2 B 1 B X thc ca cỏc im A, B c biu din nh (hỡnh 1.9), chỳ ý chiu dng ca cỏc trc x, y, z . x - Trong ú: OA x = +2; OA Y = +3; OA Z = +4 OB x = +4; OB Y = -2; OB Z = -5 III. MT VI V D GII SN Vớ d 1 GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 7 Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 Hãy v đ thc ca các đim sau: _ im A thuc mt phng P 1 _ im B thuc mt phng P 2 _ im C thuc mt phng Phân giác 1 _ im D thuc mt phng Phân giác 2 _ im E thuc trc hình chiu x Gii _ im A thuc mt phng P 1 nên có A 1 ≡ A; A 2 ∈ x _ im B thuc mt phng P 2 nên có B 2 ≡ B; B 1 ∈ x _ im C thuc mt phng phân giác 1 nên có C 1 và C 2 đi xng nhau qua trc x _ im D thuc mt phng phân giác 2 nên có D 1 ≡ D 2 _ im E thuc trc hình chiu x nên có E 1 ≡ E 2 ∈ x ; (Hình 1.10) Hình 1.10 Hình 1.11 F 2 A 1 o y y’ z x H Y ’ F Y H 3 H 2 H 1 G 2 G 3 G Y ’ G 1 F Y ’ F Y G Y F 3 F 1 E 1 ≡E 2 D 1 ≡D 2 C 1 C 2 B 1 B 2 x Ví d 2 Cho đ thc ca các đim F, G, H (hình 1.11). Hãy v hình chiu cnh ca chúng và cho bit chúng thuc góc phn t th my? Gii Hình chiu cnh ca các đim F, G, H đc v theo chièu mi tên bt đu đi t hình chiu bng F 1 , G 1 , H 1 tip theo là mi tên đi qua hình chiu đng F 2 , G 2 , H 2 . Ta s xác đnh đc các hình chiu cnh F 3 , G 3 , H 3 ; (Hình 1.11) _ im F có đ cao dng, đ xa âm nên đim F thuc góc phn t th 2 _ im G có đ cao âm, đ xa âm nên đim G thuc góc phn t th 3 _ im H có đ cao âm, đ xa dng nên đim H thuc góc phn t th 4 ================ GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 8 Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 Bài 2 NG THNG I. THC CA NG THNG thc ca đng thng đc xác đnh bi đ thc ca hai đim thuc đng thng đó. Gi s đng thng d đc xác đnh bi hai đim A(A 1 , A 2 ) và B (B 1 , B 2 ) thì : Hai đim A 1 , B 1 xác đnh hình chiu bng d 1 ca đng thng d Hai đim A 2 , B 2 xác đnh hình chiu đng d 2 ca đng thng d (hình 2.1) B 2 d 1 d 2 A 2 B 1 A 1 x d 1 d 2 x Hình 2.1 Hình 2.2 Nu d là đng thng thng (d 1 , d 2 không vuông góc trc hình chiu x ), thì khi biu din đ thc ca đng thng d không cn biu din hai đim thuc nó (hình 2.2) . Chú ý _ Nhng đng thng thuc mt phng phân giác1 có hình chiu đng và hình chiu bng di xng nhau qua trc hình chiu x _ Nhng đng thng thuc mt phng phân giác 2 có hình chiu đng và hình chiu bng trùng nhau II. CÁC V TRÍ C BIT CA NG THNG II. 1 Loi đng thng song song vi mt mt phng hình chiu 1) ng bng (h) a) nh ngha: ng bng là đng thng song song vi mt phng hình chiu bng Gi h là đng bng, ta có: h // P 1 (hình 2.3a) h 2 h 1 B 1 A 2 B 2 β A 1 A B A 1 B 1 A 2 B 2 h 1 h 2 h β x x β P 2 P 1 Hình 2.3a Hình 2.3b b) Tính cht: • Hình chiu đng ca đng bng song song vi trc x : h 2 // x (hình 2.3b) • Hình chiu bng ca đng bng hp vi trc x mt góc bng góc ca đng bng hp vi mt phng hình chiu đng : (h 1 , x) = (h , P 2 ) = β GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 9 Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 • Hình chiu bng ca mt đon thng thuc đng bng, bng chính nó. Gi s A, B ∈ h ⇒ A 1 B 1 = AB (hình 2.3b) 2) ng mt (f) a) nh ngha: ng mt là đng thng song song vi mt phng hình chiu đng: Gi f là đng mt, ta có: f // P 2 (hình 2.4a) C D f 2 f 1 D 1 C 2 D 2 α C 1 f 1 f 2 f P 1 P 2 x x D 1 C 2 D 2 α α C 1 Hình 2.4a Hình 2.4b b) Tính cht • Hình chiu bng ca đng mt song song vi trc x : f 1 // x (hình 2.4b) • Hình chiu đng ca đng mt hp vi trc x mt góc bng góc ca đng mt hp vi mt phng hình chiu bng : (f 2 , x) = (f , P 1 ) = α • Hình chiu đng ca mt đon thng thuc đng mt, bng chính nó. Gi s C, D ∈ f ⇒ C 2 D 2 = CD (hình 2.4b) 3) ng cnh (p) a) nh ngha: ng cnh là đng thng song song vi mt phng hình chiu cnh: p // P 3 (hình 2.5a) Hình 2.5a Hình 2.5b b) Tính cht • Hình chiu đng và hình chiu bng ca đng cnh, trùng nhau và vuông góc vi trc x: p 1 ≡ p 2 ⊥ x . Hai hình chiu này cha biu din đc mt đng cnh c th trong không gian. Vì vy đ biu din mt đng cnh c th ta cn phi biu din đ thc ca hai đim thuc đng cnh đó; (hình 2.5b) biu din đng cnh p đc xác đnh bng hai đim E, F • Hình chiu cnh ca đng cnh ln lt hp vi trc y’, z các góc bng góc ca đng cnh hp vi mt phng hình chiu bng và mt phng hình chiu đng : (p 3 , y’) = (p , P 1 ) = α (p 3 , z) = (p , P 2 ) = β z x z x P 2 p 2 p 1 E 2 F 2 α E 1 P 1 α β F 1 E 3 F 3 E 1 F 1 E 2 F 2 E 3 F 3 β β α 0 y 0 y ’ y P 3 P 3 p 2 p 1 P P 3 F E • Hình chiu cnh ca mt đon thng thuc đng cnh, bng chính nó. GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 10