Bài 8: CÁC PHÉP CHIẾU 1) Giới thiệu - Phép chiếu đối tượng cho ta hình ảnh của đối tượng trong không gian có số chiều nhỏ hơn. ĐHMT thực hiện phép chiếu đối tượng trong không gian 3 chiều xuống mặt phẳng 2 chiều. - Các bước thực hiện trong phép chiếu: + B1: Xác định không gian chứa đối tượng + B2: Chiếu đối tượng xuống mặt phẳng chiếu + B3: Ánh xạ phần đối tượng thu được sau bước 2 vào một vùng nhìn xác định trước, để hiển thị hình ảnh. - Hình ảnh của đối tượng thu được thông qua phép chiếu, nhờ xét các tia chiếu, xuất phát từ tâm chiếu, đi qua đối tượng và giao với mặt phẳng chiếu. Nếu tâm chiếu ở vô cùng thì các tia chiếu được xem như song song với nhau, ta gọi phép chiếu là phép chiếu song song, trường hợp ngược lại ta gọi là phép chiếu phối cảnh. Với giả thiết tính toán mặt chiếu là phẳng. 2) Phép chiếu song song 2.1. Phép chiếu trực giao - Là loại hình đơn giản nhất của phép chiếu, tương ứng với việc cho một trong các tọa độ bằng không + Chiếu lên mặt phẳng x= 0 Là phép biến đổi, biến mỗi điểm P(x,y,z) thành P’(x ’ ,y ’ ,z ’ ) sao cho: x ’ = 0 y ’ = y z ’ = z Ma trận biến đổi có dạng: T x=0 = 1000 0100 0010 0000 + Chiếu lên mặt phẳng y= 0 Là phép biến đổi, biến mỗi điểm P(x,y,z) thành P’(x ’ ,y ’ ,z ’ ) sao cho: x ’ = x y ’ = 0 z ’ = z Ma trận biến đổi có dạng: T y=0 = 1000 0100 0000 0001 + Chiếu lên mặt phẳng z= 0 Là phép biến đổi, biến mỗi điểm P(x,y,z) thành P’(x ’ ,y ’ ,z ’ ) sao cho: x ’ = x y ’ = y z ’ = 0 Ma trận biến đổi có dạng: T z=0 = 1000 0000 0010 0001 - Đối với trường hợp bề mặt của đối tượng không song song với mặt phẳng tọa độ, ta có thể thực hiện phép quay trước khi thực hiện phép chiếu xuống mặt phẳng chiếu. - Đối với đối tượng có bề mặt quá phức tạp, ta có thể thực hiện các phép cắt để loại bỏ một phần đối tượng và chiếu phần còn lại xuống mặt phẳng chiếu. 2.2. Phép chiếu trục lượng - Là phép chiếu thực hiện việc tính toán trên các tỷ lệ co - Phép chiếu Trimetric Phép chiếu được hình thành trên cơ sở, quay tự do đối tượng quanh trục x một góc ϕ và trục y một góc ψ, sau đó là chiếu xuống mặt phẳng z=0 Ma trận biến đổi có dạng: T= − 1000 0)cos()sin(0 0)sin()cos(0 0001 ϕϕ ϕϕ . − 1000 0)cos(0)sin( 0010 0)sin(0)cos( ψψ ψψ . 1000 0000 0010 0001 = − 1000 00)sin()sin()cos( 00)cos()sin()sin( 000)cos( ϕψϕ ϕψϕ ψ + Tỷ lệ co trên trục x Xét đoạn (0,0,0) và (1,0,0) Tỷ lệ co trên trục x: )(cos 2 ψ = x f + Tỷ lệ co trên trục y Xét đoạn (0,0,0) và (0,1,0) Tỷ lệ co trên trục y: )(cos)(sin)(sin 222 ϕψϕ += y f + Tỷ lệ co trên trục z Xét đoạn (0,0,0) và (0,0,1) Tỷ lệ co trên trục z: )(sin)(sin)(cos 222 ϕψϕ += z f - Phép chiếu Dimetric Là phép chiếu Trimetric với tỷ lệ co trên hai trục x, y là bằng nhau, ta có f x = f y Suy ra, cos 2 (ψ)= sin 2 (ϕ)sin 2 (ψ)+cos 2 (ϕ) 1- sin 2 (ψ)= sin 2 (ϕ)sin 2 (ψ)+ 1-sin 2 (ϕ) sin 2 (ϕ)= )(sin1 )(sin 2 2 ψ ψ − (Điều kiện 1-sin 2 (ψ) ≠0) Thay vào biểu thức đối với f z , ta có: )(sin)(sin))(sin1( 2222 ϕψϕ +−= z f = )(sin1 )(sin )(sin) )(sin1 )(sin 1( 2 2 2 2 2 ψ ψ ψ ψ ψ − + − − f 2 z (1-sin 2 (ψ))= 2sin 2 (ψ)-2sin 4 (ψ) 2sin 4 (ψ)-(2+f 2 z )sin 2 (ψ)+f 2 z = 0 Đặt u= sin 2 (ψ) Ta có, 2u 2 -(2+f 2 z )u+f 2 z = 0 Đây là tam thức bậc 2 có dạng a+b+c=0 Suy ra, u= f 2 z /2 (vì điều kiện 1-sin 2 (ψ)≠0) sin(ψ)= 2 2 z f ± thay vào công thức đối với ϕ, ta có: sin 2 (ϕ)= 2 2 2 2 2)(sin1 )(sin z z f f − = − ψ ψ => ϕ= arcsin( 2 2 z z f f − ± ) - Phép chiếu Isometric Là phép chiếu Dimetric với tỷ lệ co trên 3 trục là bằng nhau Từ điều kiện, f x = f y suy ra, sin 2 (ϕ)= )(sin1 )(sin 2 2 ψ ψ − Mặt khác, f x = f z , suy ra, cos 2 (ψ)=cos 2 (ϕ)sin 2 (ψ)+sin 2 (ϕ) 1- sin 2 (ψ)= (1-sin 2 (ϕ))sin 2 (ψ)+sin 2 (ϕ) sin 2 (ϕ)= )(sin1 )(sin21 2 2 ψ ψ − − Suy ra, sin 2 (ψ)= 1-2sin 2 (ψ) sin 2 (ψ)= 1/3 => ψ≈ 35,26 o sin 2 (ϕ)= 2/1 3/11 3/21 = − − => ϕ= 45 o f x = f y = f z = 3 2 3 1 1 =− ≈0,8186 3) Phép chiếu phối cảnh + . qua phép chiếu, nhờ xét các tia chiếu, xuất phát từ tâm chiếu, đi qua đối tượng và giao với mặt phẳng chiếu. Nếu tâm chiếu ở vô cùng thì các tia chiếu được xem như song song với nhau, ta gọi phép. nhau, ta gọi phép chiếu là phép chiếu song song, trường hợp ngược lại ta gọi là phép chiếu phối cảnh. Với giả thiết tính toán mặt chiếu là phẳng. 2) Phép chiếu song song 2.1. Phép chiếu trực giao -. chiếu phần còn lại xuống mặt phẳng chiếu. 2.2. Phép chiếu trục lượng - Là phép chiếu thực hiện việc tính toán trên các tỷ lệ co - Phép chiếu Trimetric Phép chiếu được hình thành trên cơ sở, quay