Chuyên đề ôn thi lượng giác potx

Chuyên đề: LƯỢNG GIÁC Phần 1: CÔNG THỨC A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Hệ thức LG cơ bản 2 2 2 2 sin cos 1 sin tan cos 2 1 tan 1 cos 2 + + =   + = ≠ +  ÷     + = + ≠ +  ÷   k k α α α π α α π α π α α π α ( ) ( ) 2 2 tan .cot 1 cos cot sin 1 cot 1 sin + = + = ≠ + = + ≠ k k α α α α α π α α α π α 2. Công thức LG thường gặp * Công thức cộng: ( ) ( ) ( ) sin sinacosb sinbcosa cos cosacosb sinasinb tan tan + tan b 1 tan tan + ± = ± + ± = ± ± = m m a b a b a b a a b * Công thức nhân: + Nhân đôi: + Nhân ba: 2 2 2 2 2 sin 2 2sin .cos cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin 2 tan tan 2 = 1 2 tan + = + = − = − = − + − a a a a a a a a a a a 3 3 3 2 cos3 4cos 3cos sin 3 3sin 4sin 3tan tan tan3 = 1 3tan + = − + = − − + − a a a a a a a a a a * Tích thành tổng: 1 + cosa.cosb [cos(a b) cos(a b)] 2 1 + sina.sinb [cos(a b) cos(a b)] 2 1 + a. b [sin(a b) sin(a b)] 2 = − + + = − − + = − + +sin cos * Tổng thành tích: sin sin 2sin cos sin sin 2cos sin 2 2 2 2 + cos cos 2cos cos cos cos 2sin sin 2 2 2 2 sin( ) tan tan cos .cos + − + − + + = + − = + − + − + = + − = − ± + ± = a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b * Công thức hạ bậc: + cos 2 a = 1 2 (1+cos2a) + sin 2 a= 1 2 (1 - cos2a) * Biểu diễn các hàm số LG theo tan 2 a t = : 2 2 2 2 2 1- 2 sin ; cos ; tan . 1 1 1 t t t a a a t t t = = = + + − 3. Phương trình lượng giác cơ bản * sinu=sinv 2 2 u v k u v k π π π = +  ⇔  = − +  * cosu=cosv ⇔ u=±v+k2 π * tanu=tanv ⇔ u=v+k π * cotu=cotv ⇔ u=v+k π ( ) Zk ∈ . Chuyên đề: LG 1 4. Một số phương trình LG thường gặp 1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản. b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin 2 x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos 2 x+b.cosx+c=0, a.tan 2 x+b.tanx+c=0, a.cot 2 x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là 2 2 2 a b c+ ≥ . C ách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt tan b a α = , ta được: sinx+tan α cosx= cos c a α ⇔ sinx cos α + sin α cosx= cos c a α ⇔ sin(x+ α )= cos c a α . C ách 2: Chia hai vế phương trình cho 2 2 a b+ , ta được: 2 2 2 2 2 2 sin cos a b c x x a b a b a b + = + + + Đặt: 2 2 2 2 cos ; sin a b a b a b β β = = + + . Khi đó phương trình tương đương: 2 2 cos sin sin cos c x x a b β β + = + hay ( ) 2 2 sin sin c x a b β ϕ + = = + ñaët . Cách 3: Đặt tan 2 x t = . 3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: Dạng: asin 2 x+bsinxcosx+ccos 2 x=0 (*). Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với 2 x k π π = + . + Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos 2 x ta được: atan 2 x+btanx+c=0. Chú ý: 2 2 1 tan 1 2 cos x x k x π π   = + ≠ +  ÷   Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc. 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: Dạng: a(sinx± cosx)+ bsinxcosx=c. Cách giải: Đặt t= sinx± cosx. Điều kiện | t | 2≤ . sin cos 2sin 2cos 4 4 sin cos 2sin 2cos 4 4      ÷  ÷          ÷  ÷     + = + = − − = − =− + x x x x x x x x π π π π Löu y ùcaùc coâng thöùc: B. CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. 4 4 cos x sin x cos2x− = 2. 4 4 3 1 cos x sin x cos4x 4 4 + = + 3. 6 6 5 3 cos x sin x cos4x 8 8 + = + 4. 6 6 15 1 cos x sin x cos2x cos6x 16 16 − = + 5. 3 3 1 cos x.sinx sin x.cos x sin 4x 4 − = 6. 3 3 3 sin x.cos3x cos x.sin3x sin 4x 4 + = 7. 3 3 3 cos x.cos3x sin x.sin3x cos 2x+ = Chuyên đề: LG 2 8. 3 3 1 3 cos x.cos3x sin x.sin3x cos4x 4 4 = + 9. 1 sinx.cos x.cos2x.cos4x .sin 8x 8 = 10. 2 tan x cot x sin 2x + = 11. cot x tan x 2cot 2x = Phn 2: PHNG TRèNH LNG GIC C BN dạng 1 Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai , bậc cao với 1 hàm số l ợng giác Đặt HSLG theo t với sinx , cosx có điều kiện t 1 Giải phơng trình .theo t Nhận t thoả mãn điều kiện giải Pt lợng giác cơ bản Giải phơng trình: 1: 1. sin3 sin( 2 ) 4 x x = 2. 03) 3 cos(2 =+ x 3. xx 2sin3cos = 4. = 1 sin2 2 x 5. 03) 6 2sin(2 =+ x 6. 2 cos( ) 4 2 x = 7. tan(x+60 0 ) = - 3 8.tan(2x- 4 ).tan( - 2 x ) = 1 9. cot( 7 -5x) = 3 1 10.tan(2x+ 3 )=tan( 6 -3x) 11.tan(2x- 3 )+cot(x+ 4 )= 0 12. cos(3x+20 0 )=sin(40 0 -x) 2:a)sin 2 x= 2 1 b)cos 2 2x = 4 3 c)sin 2 2x +cos 2 3x = 1 d) sin 4 x+cos 4 x = 2 1 3: 1/ 2cos2x- 4cosx=1 sinx 0 2/ 4sin 3 x+3 2 sin2x=8sinx 3/ 4cosx.cos2x +1=0 6/ sin3x+2cos2x-2=0 7/ a/ tanx+ 3 cot x -2 = 0 b / 2 4 cos x +tanx=7 c * / sin 6 x+cos 4 x=cos2x 8/sin( 5 2 2 x + )-3cos( 7 2 x )=1+2sinx 9/ 2 sin 2sin 2 2sin 1x x x + = 10/ cos2x+5sinx+2=0 11/ tanx+cotx=4 12/ 2 4 sin 2 4cos 2 1 0 2sin cos x x x x + = 13/ sin 1 cos 0x x+ + = 14/ cos2x+3cosx+2=0 dạng 2 : Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx : asinx+bcosx=c Cách 1: asinx+bcosx=c Đặt cosx= 2 2 a a b+ ; sinx= 2 2 b a b+ 2 2 sin( )a b x c + + = Cách : 2 sin cos b a x x c a + = Đặt [ ] tan sin cos .tan b a x x c a = + = sin( ) cos c x a + = Cách 3: Đặt tan 2 x t = ta có 2 2 2 2 1 sin ;cos 1 1 t t x x t t = = + + 2 ( ) 2 0b c t at b c + + = Chuyờn : LG 3 Đăc biệt : 1. sin 3 cos 2sin( ) 2cos( ) 3 6 x x x x + = + = 2. sin cos 2 sin( ) 2 cos( ) 4 4 x x x x = = m 3. sin 3 cos 2sin( ) 2cos( ) 3 6 x x x x = = + Điều kiện Pt có nghiệm : 2 2 2 a b c + giải ph ơng trình : 1/ 2sin15x+ 3 cos5x+sin5x=0 2/ a : 1 3 sin cos cos x x x + = b: 6 4sin 3cos 6 4sin 3cos 1 x x x x + + = + + c: 1 3 sin cos 3 3 sin cos 1 x x x x + = + + + 3/ cos7 3sin 7 2 0x x + = *tìm nghiệm 2 6 ( ; ) 5 7 x 4/( cos2x- 3 sin2x)- 3 sinx-cosx+4=0 5/ 2 1 cos cos2 cos3 2 (3 3 sin ) 2cos cos 1 3 x x x x x x + + + = + 6/ 2 cos 2sin .cos 3 2cos sin 1 x x x x x = + Dạng 3 Phơng trình đẳng cấp đối với sin x và cosx Giải ph ơng trình 1/a/ 3sin 2 x- 3 sinxcosx+2cos 2 x cosx=2 b/ 4 sin 2 x+3 3 sinxcosx-2cos 2 x=4 c/3 sin 2 x+5 cos 2 x-2cos2x-4sin2x=0 d/ 2 sin 2 x+6sinxcosx+2(1+ 3 )cos 2 x-5- 3 =0 2/ sinx- 4sin 3 x+cosx=0 2 cách +/ (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0 4 x k = + + sin3x- sinx+ cosx- sinx=0 (cosx- sinx)(2sinxcosx+2sin2x+1)=0 3/ tanx sin 2 x-2sin 2 x=3(cos2x+sinxcosx) 4/ 3cos 4 x-4sin 2 xcos 2 x+sin 4 x=0 5/ 4cos 3 x+2sin 3 x-3sinx=0 6/ 2 cos 3 x= sin3x 7/ cos 3 x- sin 3 x= cosx+ sinx 8/ sinx sin2x+ sin3x=6 cos 3 x 9/sin 3 (x- /4)= 2 sinx Dang 4 Ph ơng trình vế trái đối xứng đối với sinx và cosx * a(sin x+cosx)+bsinxcosx=c đặt t = sin x+cosx 2t at + b 2 1 2 t =c bt 2 +2at-2c-b=0 Chuyờn : LG Đẳng cấp bậc 2: asin 2 x+bsinx.cosx+c cos 2 x=0 Cách 1: Thử với cosx=0 Với cosx 0 .Chia 2 vế cho cos 2 x ta đợc: atan 2 x+btanx +c=d(tan 2 x+1) Cách2: áp dụng công thức hạ bậc Đẳng cấp bậc 3: asin 3 x+b.cos 3 x+c(sinx+ cosx)=0 hoặc asin 3 x+b.cos 3 x+csin 2 xcosx+dsinxcos 2 x=0 Xét cos 3 x=0 và cosx 0 Chia 2 vế cho cos 2 x ta đợc Pt bậc 3 đối với tanx 4 * a(sin x- cosx)+bsinxcosx=c đặt t = sin x- cosx 2t at + b 2 1 2 t =c bt 2 -2at+2c-b=0 Giải ph ơng trình 1/ a/1+tanx=2sinx + 1 cos x b/ sin x+cosx= 1 tan x - 1 cot x 2/ sin 3 x+cos 3 x=2sinxcosx+sin x+cosx 3/ 1- sin 3 x+cos 3 x= sin2x 4/ 2sinx+cotx=2 sin2x+1 5/ 2 sin2x(sin x+cosx)=2 6/ (1+sin x)(1+cosx)=2 7/ 2 (sin x+cosx)=tanx+cotx 8/1+sin 3 2x+cos 3 2 x= 3 2 sin 4x 9/ * a* 3(cotx-cosx)-5(tanx-sin x)=2 9/b*: cos 4 x+sin 4 x-2(1-sin 2 xcos 2 x) sinxcosx-(sinx+cosx)=0 10/ sin cos 4sin 2 1x x x + = 11/ cosx+ 1 cos x +sinx+ 1 sin x = 10 3 12/ sinxcosx+ sin cosx x + =1 dang 5 Giải phơng trình bằng phơng pháp hạ bậc Công thức hạ bậc 2 cos 2 x= 1 cos2 2 x + ; sin 2 x= 1 cos2 2 x Công thức hạ bậc 3 cos 3 x= 3cos cos3 4 x x + ; sin 3 x= 3sin sin 3 4 x x Giải ph ơng trình 1/ sin 2 x+sin 2 3x=cos 2 2x+cos 2 4x 2/ cos 2 x+cos 2 2x+cos 2 3x+cos 2 4x=3/2 3/sin 2 x+ sin 2 3x-3 cos 2 2x=0 4/ cos3x+ sin7x=2sin 2 ( 5 4 2 x + )-2cos 2 9 2 x 5/ sin 2 4 x+ sin 2 3x= cos 2 2x+ cos 2 x với (0; )x 6/sin 2 4x-cos 2 6x=sin( 10,5 10x + ) với (0; ) 2 x 7/ cos 4 x-5sin 4 x=1 8/ 4sin 3 x-1=3- 3 cos3x 9/ sin 2 2x+ sin 2 4x= sin 2 6x 10/ sin 2 x= cos 2 2x+ cos 2 3x 11/ (sin 2 2x+cos 4 2x-1): sin cosx x =0 12/ 4sin 3 xcos3x+4cos 3 x sin3x+3 3 cos4x=3 ; 24 2 8 2 k k x = + + 13/ 2cos 2 2x+ cos2x=4 sin 2 2xcos 2 x 14/ cos4xsinx- sin 2 2x=4sin 2 ( 4 2 x )-7/2 ( 1x <3 ) 15/ 2 cos 3 2x-4cos3xcos 3 x+cos6x-4sin3xsin 3 x=0 16/ sin 3 xcos3x +cos 3 xsin3x=sin 3 4x 17/ * 8cos 3 (x+ 3 )=cos3x 18/cos10x+2cos 2 4x+6cos3xcosx=cosx+8cosxcos 2 3x 19/ sin 5 5sin x x =1 20 / cos7x+ sin 2 2x= cos 2 2x- cosx 21/ sin 2 x+ sin 2 2x+ sin 2 3x=3/2 22/ 3cos4x-2 cos 2 3x=1 Dang 6 : Ph ơng trình LG giải bằng các hằng đẳng thức * a 3 b 3 =(a b)(a 2 m ab+b 2 ) * a 8 + b 8 =( a 4 + b 4 ) 2 -2 a 4 b 4 * a 4 - b 4 =( a 2 + b 2 ) ( a 2 - b 2 ) * a 6 b 6 =( a 2 b 2 )( a 4 m a 2 b 2 +b 4 ) Giải ph ơng trình 1/ sin 4 2 x +cos 4 2 x =1-2sinx 2/ cos 3 x-sin 3 x=cos 2 x-sin 2 x 3/ cos 3 x+ sin 3 x= cos2x 4/ 4 4 sin cos 1 (tan cot ) sin 2 2 x x x x x + = + vô nghiệm 5/cos 6 x-sin 6 x= 13 8 cos 2 2x 6/sin 4 x+cos 4 x= 7 cot( )cot( ) 8 3 6 x x + 7/ cos 6 x+sin 6 x=2(cos 8 x+sin 8 x) 8/cos 3 x+sin 3 x=cosx-sinx Chuyờn : LG 5 9/ cos 6 x+sin 6 x=cos4x 10/ sinx+sin 2 x+sin 3 x+sin 4 x= cosx+cos 2 x+cos 3 x+cos 4 x 11/ cos 8 x+sin 8 x= 1 8 12/ (sinx+3)sin 4 2 x -(sinx+3) sin 2 2 x +1=0 Dang 7 : Ph ¬ng tr×nh LG biÕn ®æi vÒ tÝch b»ng 0 Gi¶i ph ¬ng tr×nh 1/ cos2x- cos8x+ cos4x=1 2/sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0 3/sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 4/sin 3 x+2cosx-2+sin 2 x=0 5/ 3sinx+2cosx=2+3tanx 6/ 3 2 sin2x+ 2 cos 2 x+ 6 cosx=0 7/ 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 8/ sin3 sin5 3 5 x x = 9/ 2cos2x-8cosx+7= 1 cos x 10/ cos 8 x+sin 8 x=2(cos 10 x+sin 10 x)+ 5 4 cos2x 11/ 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x 12/ 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 13/ sin 2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3 14/ 2sin3x- 1 sin x =2cos3x+ 1 cos x 15/cos 3 x+cos 2 x+2sinx-2=0 16/cos2x-2cos 3 x+sinx=0 17/ tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx- 1 cos x )=0 18/sin2x=1+ 2 cosx+cos2x 19/1+cot2x= 2 1 cos 2 sin 2 x x − 20/ 2tanx+cot2x=2sin2x+ 1 sin 2x 21/cosx(cos4x+2)+ cos2x-cos3x=0 22/ 1+tanx=sinx+cosx 23/ (1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx 24/ 2 2 sin( ) 4 x π + = 1 1 sin cosx x + 25/ 2tanx+cotx= 2 3 sin 2x + 26/ cotx-tanx=cosx+sinx 27/ 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8 Dang 8 : Ph ¬ng tr×nh LG ph¶i thùc hiÖn c«ng thóc nh©n ®«i, h¹ bËc cos2x= cos 2 x- sin 2 x =2cos 2 x-1=1-2sin 2 x sin2x=2sinxcosx tan2x= 2 2 tan 1 tan x x − sinx = 2 2 1 t t+ ; cosx= 2 2 1 1 t t − + tanx= 2 2 1 t t− Gi¶i ph ¬ng tr×nh 1/ sin 3 xcosx= 1 4 + cos 3 xsinx 2/ cosxcos2xcos4xcos8x=1/16 3/tanx+2cot2x=sin2x 4/sin2x(cotx+tan2x)=4cos 2 x 5/ sin4x=tanx 6/ sin2x+2tanx=3 7/ sin2x+cos2x+tanx=2 8/tanx+2cot2x=sin2x 9/ cotx=tanx+2cot2x 10/a* tan2x+sin2x= 3 2 cotx b* (1+sinx) 2 = cosx Dang 9 : Ph ¬ng tr×nh LG ph¶i thùc hiÖn phÐp biÕn ®æi tæng_tÝch vµ tÝch_tæng Gi¶i ph ¬ng tr×nh 1/ sin8x+ cos4x=1+2sin2xcos6x 2/cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0 3/ sin 3 sin sin 2 cos2 1 cos 2 x x x x x − = + − t×m ( ) 0;2x π ∈ 4/ sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0 5/ sin5x+ sinx+2sin 2 x=1 6/ ( ) 3 cos2 cot 2 4sin cos cot 2 cos2 4 4 x x x x x x π π +     = + −  ÷  ÷ −     7/ tanx+ tan2x= tan3x 8/ 3cosx+cos2x- cos3x+1=2sinxsin2x Chuyên đề: LG 6 Phần 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích. Bài 1. Giải phương tình: sin 2 x + sin 2 3x = cos 2 2x + cos 2 4x (1). Giải Phương trình (1) tương đương với: 1 cos 2 1 cos6 1 cos 4 1 cos8 2 2 2 2 x x x x− − + + + = + ⇔ cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0 ⇔ 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0 ⇔ 2cos5x(cos3x+cosx) = 0 ⇔ 4cos5x.cos2x.cosx = 0 5 10 5 2 cos5 0 cos2 0 2 , ( , , ) 2 4 2 cos 0 2 2 π kπ π x x kπ x π π lπ x x kπ x k l n x π π x kπ x nπ   = + = +   =       ⇔ = ⇔ = + ⇔ = + ∈     =      = + = +     ¢ Bài 2. Giải phương trình: cos 6 x+sin 6 x = 2 ( cos 8 x+sin 8 x) (2). Giải Ta có (2) ⇔ cos 6 x(2cos 2 x−1) = sin 6 x(1−2sin 2 x) ⇔ cos2x(sin 6 x–cos 6 x) = 0 ⇔ cos2x(sin 2 x–cos 2 x)(1+sin 2 x.cos 2 x) = 0 ⇔ cos2x = 0 ⇔ 2 ,( ) 2 4 2 π π kπ x kπ x k= + ⇔ = + ∈¢ Bài 3: Giải phương trình: 6 3 4 8 2 cos 2 2 sin sin 3 6 2 cos 1 0x x x x+ − − = (3). Giải Ta có: 3 3 3 2 2 2 (3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin3 1 0 2cos .2cos cos3 2sin .2sin sin 3 2 (1 cos 2 )(cos 2 cos4 ) (1 cos 2 )(cos2 cos 4 ) 2 2 2(cos2 cos 2 cos4 ) 2 cos 2 (1 cos 4 ) 2 2 2 cos2 .cos 2 cos 2 4 2 8 ⇔ − + − = ⇔ + = ⇔ + + + − − = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± + x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x π x x x x ,( )∈¢kπ k Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số: Bài 4. Giải phương trình lượng giác: 8 8 17 sin cos 32 x x+ = (4). Giải Ta có (4) 4 4 4 2 1 cos 2 1 cos 2 17 1 17 (cos 2 6cos 2 1) 2 2 32 8 32 x x x x − +     ⇔ + = ⇔ + + =  ÷  ÷     Chuyên đề: LG 7 Đặt cos 2 2x = t, với t∈[0; 1], ta có 2 2 1 17 13 2 6 1 6 0 13 4 4 2 t t t t t t  =  + + = ⇔ + − = ⇔   = −   Vì t∈[0;1], nên 2 1 1 cos4 1 1 cos 2 2 2 2 2 x t x + = ⇔ = ⇔ = ⇔cos4x = 0 ⇔ 4 ,( ) 2 8 4 π π π x kπ x k k= + ⇔ = + ∈¢ Bài 5. Giải phương trình lương giác: 2sin 3 x – cos2x + cosx = 0 (5) Giải Ta có (5) ⇔ 2(1− cos 2 x)sinx + 2 – 2 cos 2 x + cosx – 1 = 0 ⇔ (1− cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) − 1] = 0 ⇔ (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0 cos 1 2 ,( ) 2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*) x x kπ k x x x x = ⇔ = ∈  ⇔  + + + =  ¢ Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | | 2t ≤ , khi đó phương trình (*) trở thành: 2t + t 2 – 1 + 1 = 0 ⇔ t 2 + 2t = 0 0 sin -cos ,( ) 2 ( 4 t π x x x nπ n t lo =  ⇔ ⇔ = ⇔ = − + ∈  = −  ¢ ¹i) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 4 π x nπ= − + ; 2 , ( , ) x kπ n k= ∈¢ Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức. Bài 6. Giải phương trình: |sin | cos x π x= (6). Giải Điều kiện: x ≥ 0 Do | sin | 0,x ≥ nên |sin | 0 1 x π π≥ = , mà |cosx| ≤ 1. Do đó 2 2 2 0 | sin | 0 ,( ) (6) 0 | cos | 1 ,( ) k n x kπ k π n x x kπ k x x nπ x nπ x x nπ n +   = =   = =  = = ∈   ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔      = = = = = ∈        ¢ ¢ (Vì k, n ∈ Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số. Bài 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: 2 1 cos 2 x x− = . Giải Đặt 2 ( )=cos 2 x f x x + . Dễ thấy f(x) = f(−x), x∀ ∈¡ , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét với x ≥ 0. Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = −cosx+1, ∀x≥0 ⇒ f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0 ⇒ f(x) đồng biến với x≥0 . Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình. Bài 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng 0; 2 π    ÷   thoả mãn phương trình: 2 2 sin cos 2 n n n x x − + = . Giải Đặt f(x) = sin n x + cos n x, ta có : f’(x) = ncosx.sin n-1 x – nsinx.cos n-1 x. = nsinx.cosx(sin n-2 x – cos n-2 x) Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng 0; 2 π    ÷   , ta có minf(x) = f 4 π    ÷   = 2 2 2 n− Vậy x = 4 π là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. BÀI TẬP Giải các phương trình sau: Chuyên đề: LG 8 1. cos 3 x+cos 2 x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: 2 ; 2 2 x k x n π π π = = + 2. tanx.sin 2 x−2sin 2 x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất) HD: Chia hai vế cho sin 2 x ĐS: ; 2 4 3 x k x n π π π π = − + = ± + 3. 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại) ĐS: 7 ; ; . 4 4 12 12 x k x n x m π π π π π π = ± + = − + = + 4. |sinx−cosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS: 2 x k π = . 5. 4(sin3x−cos2x)=5(sinx−1) (ĐHL HN) ĐS: 2 ; 2 ; 2 ; 2 x k x n x l π π α π π α π = + = + = − + với 1 sin 4 α = − . 6. sinx−4sin 3 x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: 4 x k π π = + . 7. sin 3 sin 2 .sin 4 4 x x x π π     − = +  ÷  ÷     ; (Học Viện BCVT) ĐS: 4 2 x k π π = + 8. sin 3 x.cos3x+cos 3 x.sin3x=sin 3 4x HD: sin 2 x.sinx.cos3x+cos 2 x. cosx.sin3x=sin 3 4x ĐS: 12 x k π = . 9. 1 1 7 4sin 3 sin 4 sin 2 x x x π π   + = −  ÷     −  ÷   ĐS: 4 8 5 8 x k x k x k π π π π π π −  = +   −  = +    = +   10. 3 3 2 2 sin 3 cos sin cos 3sin cosx x x x x x− = − HD: Chia hai vế cho cos 3 x ĐS: x = 3 k π π − + , 4 x k π π = ± + 11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS: 2 2 ( ) 4 3 x k x k k π π π π = + ∨ = ± + ∈ ¢ 12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1). Giải (1) ⇔2sinxcosx+2cos 2 x–1=1+sinx–3cosx. ⇔2cos 2 x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0. ⇔2cos 2 x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0. Đặt t=cosx, ĐK 1t ≤ , ta được: 2t 2 +(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. ∆=(2sinx+3) 2 +3.2.(sinx+2)=(2sinx+5) 2 . ⇒ ( ) 1 1 2 cos 2 sin - 2 t x t x  =  ⇒ =  =   loaïi …(biết giải) 13. 2sinx+cotx=2sin2x+1. HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin 2 x–sinx+cosx=0. Đặt t=sinx, ĐK 1t ≤ . 2(1–2cosx)t 2 –t+cosx=0 … ∆=(4cosx–1) 2 . 14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0. HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0. (sinx+cosx) 2 +(sinx+cosx)+2(cos 2 x–sin 2 x)=0. (sinx+cosx) 2 +(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp … 15. Giải phương trình lượng giác: ( ) 2 cos sin 1 tan cot 2 cot 1 x x x x x − = + − Giải Chuyên đề: LG 9 Điều kiện: ( ) cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0 cot 1 x x x x x x + ≠   ≠   Từ (1) ta có: ( ) 2 cos sin 1 cos .sin 2 2 sin sin cos2 cos cos 1 cos sin 2 sin x x x x x x x x x x x x − = ⇔ = + − 2sin .cos 2 sinx x x⇔ = ( ) 2 2 4 cos 2 2 4 x k x k x k π π π π  = +  ⇔ = ⇔ ∈   = − +   ¢ So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là ( ) 2 4 x k k π π = − + ∈¢ 16. Giải phương trình: ( ) 4 4 sin cos 1 tan cot sin 2 2 x x x x x + = + Giải ( ) 4 4 sin cos 1 tan cot sin 2 2 x x x x x + = + (1) Điều kiện: sin 2 0x ≠ 2 1 1 sin 2 1 sin cos 2 (1) sin 2 2 cos sin x x x x x x −   ⇔ = +  ÷   2 2 1 1 sin 2 1 1 2 1 sin 2 1 sin 2 0 sin 2 sin 2 2 x x x x x − ⇔ = ⇔ − = ⇔ = Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 17. Giải phương trình: 2 2 2sin 2sin tan 4 x x x π   − = −  ÷   . Giải Pt⇔ 2 2 2sin 2sin tan 4 x x x π   − = −  ÷   (cosx )0≠ 2 1 cos 2 cos 2sin .cos sin 2 x x x x x π     ⇔ − − = −  ÷       ⇔ (1–sin2x)(cosx–sinx) = 0 ⇔ sin2x = 1 hoặc tanx = 1. 18. Giải phương trình: ( ) ( ) 3 sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3cos sinx 3 3 0x x c x c x x+ − − + − − = . Giải 3 2 3 2 sin 2 (cos 3) 2 3.cos 3 3.cos2 8( 3.cos sin ) 3 3 0 2sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3 cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0 x x x x x x x x x x x x x x + − − + − − = ⇔ + − − + + − − = 0)sincos3(8)sincos3(cos.6)sincos3(cos2 2 =−+−−−−⇔ xxxxxxxx 2 2 ( 3 cos sin )( 2cos 6cos 8) 0 tan 3 3 cos sin 0 cos 1 cos 3cos 4 0 cos 4 ( ai) x x x x x x x x x x x ⇔ − − − + =  =  − =  ⇔ ⇔ =   + − =    =  lo , 3 2 x k k x k π π π  = +  ⇔ ∈  =  Z 19. Giải phương trình: cosx=8sin 3 6 x π   +  ÷   Giải cosx=8sin 3 6 x π   +  ÷   ⇔ cosx = ( ) 3 3 sin cosx x+ ⇔ 3 2 2 3 3 3 sin 9sin cos 3 3sin cos cos cos 0x x x x x x x+ + + − = (3) Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm (3) ⇔ 3 2 3 3 tan 8tan 3 3 tan 0x x x+ + = tan 0 x x k π ⇔ = ⇔ = Chuyên đề: LG 10 [...]... 2m ≤ 2 + 4 2 ⇔ −2 2 ≤ m ≤ 2 2 −−−−−−−−−−o0o−−−−−−−−−− PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009 KHỐI A cos 3x + sin 3 x   = cos 2 x + 3 1 Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2π) của phương trình: 5  sin x + 1 + 2sin 2 x ÷   Giải ĐS: x = (Khối A_2002) π 5π ;x = 3 3 2 Giải phương trình: cot x − 1 = Giải Chuyên đề: LG cos 2 x 1 + sin 2 x − sin 2 x 1 + tan x 2 12 (Khối A_2003) π +... 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx Giải ĐS: x = Chuyên đề: LG (Khối D_2008) 18 2π π + k 2π , x = + k π , ( k ∈ Z) 3 4 24 Giải phương trình (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx Giải ĐS: x = ± (CĐ_A_B_D_2009) π 5π + kπ , x = + k π , ( k ∈ Z) 12 12 25 Giải phương trình 3 cos 5 x − 2 sin 3 x cos 2 x − sin x = 0 Giải ĐS: x = ĐS: x = π π π π + k , x = − + k , ( k ∈ Z) 18 3 6 2 −Hết− Chuyên đề: LG 19 (Khối D_2009) ...20 Giải phương trình lượng giác: Giải 2 ( cos x − sin x ) 1 = tan x + cot 2 x cot x − 1 cos x.sin 2 x.sin x ( tan x + cot 2 x ) ≠ 0  Điều kiện:  cot x ≠ 1  1 2 ( cos x − sin x ) cos x.sin 2 x ⇔ = 2 sin x cos x cos x −1 sin... (Khối A_2005) ) 2 cos 6 x + sin 6 x − sin x cos x 2 − 2 sin x =0 (Khối A_2006) Giải 5π + k 2π ( k ∈ Z) 4 2 2 5 Giải phương trình: 1 + sin x cos x + 1 + cos x sin x = 1 + sin 2 x ĐS: x = ( ) ( ) Giải Chuyên đề: LG 13 (Khối A_2007) π π + k π , x = + k 2π , x = k 2π ( k ∈ Z) 4 2 1 1  7π  + = 4 sin  − x÷ 3π  sin x   4  sin  x − ÷ 2   ĐS: x = − 6 (Khối A_2008) Giải −π −π 5π + kπ , x = + kπ , x =... sin x ) ( 1 − sin x ) ĐS: x = (Khối A_2009) Giải ĐS: x = − π 2π +k , ( k ∈ Z) 18 3 KHỐI B 8 Giải phương trình sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x Giải ĐS: x = k π π ; x = k , ( k ∈ Z) 9 2 Chuyên đề: LG 14 (Khối B_2002) 9 Giải phương trình cot x − tan x + 4 sin 2 x = 2 sin 2 x (Khối B_2003) Giải π + k π , ( k ∈ Z) 3 2 10 Giải phương trình 5sin x − 2 = 3 ( 1 − sin x ) tan x Giải ĐS: x = ± (Khối... 6 6 11 Giải phương trình 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0 Giải ĐS: x = ĐS: x = ± (Khối B_2005) 2π + k 2π ( k ∈ Z) 3 x  12 Giải phương trình: cot x + sin x 1 + tan x tan ÷ = 4 2  Giải Chuyên đề: LG (Khối B_2006) 15 π 5π + kπ ; x = + k π , ( k ∈ Z) 12 12 13 Giải phương trình: 2 sin 2 2 x + sin 7 x − 1 = sin x Giải ĐS: x = (Khối B_2007) π 2π 5π 2π +k ;x = +k , ( k ∈ Z) 18 3 18 3 14 Giải... + cos x sin 2 x + 3 cos 3 x = 2 ( cos 4 x + sin x ) Giải (Khối B_2008) ĐS: x = ĐS: x = (Khối B_2009) π 2k π π + , x = − − 2 k π , ( k ∈ Z) 42 7 6 KHỐI D 16 Tìm x∈[0;14] cos3x−4cos2x+3cosx−4=0 Giải Chuyên đề: LG (Khối D_2002) 16 π 3π 5π 7π ;x = ;x = ;x = 2 2 2 2 π 2 2  x 2 x =0 17 sin  − ÷tan x − cos 2 2 4 Giải ĐS: x = (Khối D_2003) π + k π , ( k ∈ Z) 4 18 Giải phương trình ( 2 cos x − 1) ( 2 sin... x Giải ĐS: x = π + k 2π , x = − ĐS: x = ± (Khối D_2004) π π + k 2π , x = − + k π , ( k ∈ Z) 3 4 π  π 3  4 4 19 Giải phương trình: cos x + sin x + cos  x − ÷sin  3 x − ÷ − = 0 4  4 2  Giải Chuyên đề: LG 17 (Khối D_2005) π + k π , ( k ∈ Z) 4 20 Giải phương trình: cos3x+cos2x−cosx−1=0 Giải ĐS: x = (Khối D_2006) 2π + k 2π , ( k ∈ Z) 3 2 x x  21 Giải phương trình  sin + cos ÷ + 3 cos x = 2 2... 4sin 3 x sin x = 2 ( cos 2 x − cos 4 x ) ; Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = π  π   π   * 4 cos  3x − ÷cos  x + ÷ = 2 cos  2 x − ÷ + cos 4 x  = 2 ( sin 2 x + cos 4 x ) 4 4 2      Chuyên đề: LG 11 π  1 π  1  2  * cos  2 x + ÷ = 1 + cos  4 x + ÷ = ( 1 − sin 4 x ) 4  2 2 ÷ 2    Do đó phương trình đã cho tương đương: 1 1 2 ( cos 2 x + sin 2 x ) + sin 4 x + m − = 0 (1) 2 . Chuyên đề: LƯỢNG GIÁC Phần 1: CÔNG THỨC A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Hệ thức LG cơ bản 2 2 2 2 sin cos 1 sin tan cos 2 1 . tan2x= tan3x 8/ 3cosx+cos2x- cos3x+1=2sinxsin2x Chuyên đề: LG 6 Phần 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích. Bài 1. Giải. trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương