CHƯƠNG VI. LƯỢNG GIÁC Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau: a. A = sin 50° cos (–300°) b. B = sin 215° tan 21π 7 c. C = 4π π 4π 9π cos .sin .tan .cot 5 3 3 5 Bài 2. Cho 0° < α < 90°. Xét dấu của các biểu thức sau: a. sin (α + π/2) b. cos (α – 45°) c. cos (270° – α) d. cos (2α + 90°) e. sin (α + 270°) Bài 3. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức a. A = sin A + sin B + sin C b. B = sin A sin B sin C c. C = A B C cos .cos .cos 2 2 2 d. D = A B C tan tan tan 2 2 2 + + Bài 4. Cho biết một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại. a. cos a = 4/5; với 270° < a < 360°, tính các giá trị sin a, tan a, cot a b. sin a = 5/13; với π/2 < a < π, tính các giá trị cos a, tan a, cot a c. tan a = 3; với π < a < 3π/2, tính các giá trị sin a, cos a, cot a d. cot a = 2; với π < a < 3π/2, tính các giá trị sin a, cos a, tan a e. Cho cos α = –12/13; và π/2 < α < π. Tính sin 2α, cos 2α, tan 2α. f. Cho cot α = 2 và 0 < α < π/4 . Tính sin 2α, cos 2α, tan 2α. g. Cho sin 2α = –5/9 và π/2 < α < π. Tính sin α, cos α, tan α. h. Cho cos 2α = 5/13 và 3π/2 < α < 2π. Tính sin α, cos α, tan α. Bài 5. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức a. Tính cot a tan a A cot a tan a + = − với sin a = 3/5 và 0 < a < π/2 b. Tính 2 2 2 2 sin a 2sin a.cosa 2cos a B 2sin a 3sin a.cosa 4cos a + − = − + với cot a = –3 c. Tính 3 3 sin a 5cosa C sin a 2cos a + = − với tan a = 2 d. Tính cot a 3tan a D 2cot a tan a + = + với cos a = –2/3 Bài 6. Cho sin a + cos a = 5/4. Tính giá trị các biểu thức sau: a. A = sin a cos a b. B = sin³ a + cos³ a Bài 7. Cho tan a + cot a = 5. Tính giá trị các biểu thức sau: a. A = tan² a + cot ² a b. B = tan³ a + cot³ a Bài 8. Cho 4 4 3 3sin x cos x 4 + = . Tính A = sin 4 x + 3cos 4 x Bài 9. Cho 4 4 1 3sin x cos x 2 − = . Tính B = sin 4 x + 3cos 4 x Bài 10. Cho sin x + cos x = 1 5 . Tính sin x, cos x, tan x, cot x Bài 11. Cho tan x + cot x = 4. Tính sin x, cos x, tan x, cot x Bài 12. Rút gọn các biểu thức sau: a. A = cos (π/2 + x) + cos (3π + x) + sin (x + π/2) b. B = 2cos x – 3cos (π – x) + 5sin (7π/2 – x) + tan (π + x) c. C = 2sin (π/2 + x) + sin (5π – x) + sin (3π/2 + x) + cos (π/2 + x) d. D = cos (5π – x) – sin (3π/2 + x) + tan (3π/2 – x) + cot (3π – x) e. E = 2sin 2a sin 4a 2sin 2a sin 4a − + Bài 13. Tính giá trị các biểu thức a. sin( 328 ).sin 958 cos( 508 ).cos( 1022 ) A cot 572 tan( 212 ) − − − = − − ° ° ° ° ° ° b. B = cos 20° + cos 40° + cos 60° + + cos 160° + cos 180° c. C = cos² 10° + cos² 20° + cos² 30° + + cos² 180° d. D = sin 20° + sin 40° + sin 60° + + sin 360° Bài 14. Chứng minh các đẳng thức sau: a. sin 4 x + cos 4 x = 1 – 2cos² x sin² x b. sin 6 x + cos 6 x = 1 – 3cos² x sin² x c. sin 8 x + cos 8 x = 1 – 4sin² x cos² x + 2 sin 4 x cos 4 x d. (cot² x – cos² x)(tan² x – sin² x) = cos² x sin² x e. 1 + sin x + cos x + tan x = (1 + cos x)(1 + tan x) f. sin x cos x 1 2cos x 1 cos x sin x cosx 1 + − = − − + g. 2 2 4 2 2 2 2 tan a 1 cot a 1 tan a . 1 tan a cot a tan a cot a + + = + + h. 2 2 sin a cosa 1 cot a sin a cosa cosa sin a 1 cot a + − = − − − i. 2 2 sin a cos a 1 sin a.cosa 1 cot a 1 tan a − − = + + j. 2 2 sin a sin a cosa sin a cosa sin a cosa tan a 1 + − = + − − Bài 15. Cho 4 4 sin x cos a 1 a b a b + = + với a, b > 0. Chứng minh rằng 8 8 3 3 3 sin x cos x 1 a b (a b) + = + Bài 16. Rút gọn các biểu thức sau: a. A = (tan x + cot x)² – (tan x – cot x)² b. B = 2 2 2 2 2 2 cos x cos x.cot x sin x sin x.tan x + + c. C = (x sin a – y cos a)² + (x cos a + y sin a)² Bài 17. Chứng minh các biểu thức độc lập đối với x. a. A = (sin 4 x + cos 4 x – 1)(tan² x + cot² x + 2) b. B = 4 4 6 6 4 sin x 3cos x 1 sin x cos x 3cos x 1 + − + + − c. C = 2 2 2 2 2 2 tan x cos x cot x sin x sin x cos x − − + Bài 18. Cho tam giác ABC. Chứng minh: a. A B C sin cos 2 2 + = b. cos (A + B – C) = –cos 2C c. 3A B C cos sin 2A 2 − + + = − d. A B 2C 3C tan cot 2 2 + − = Bài 19. a. Tính tan (α + π/3) nếu sin α = 3/5 và π/2 < α < π b. Tính cos (π/3 – α) nếu sin α = –12/13 và 3π/2 < α < 2π c. Tính sin (a – b), cos (a + b), tan (a + b) biết sin a = 8/17, tan b = 5/12, 0 < a, b < π/2. d. Tính tan a + tan b, tan a, tan b nếu 0 < a, b < π/2; a + b = π/4 và tan a tan b = 3 – 2 2 . Từ đó suy ra giá trị a và b. Bài 20. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau: a. A = sin² 20° + sin² 90° + sin² 100° + sin² 140° b. B = tan 20° tan 80° + tan 80° tan 140° + tan 140° tan 20° c. C = cot 225 cot 79 .cot 71 cot 259 cot 251 °− ° + ° ° ° d. D = tan 15° + cot 15° Bài 21. Chứng minh a. 2sin(x y) tan x tan y cos(x y) cos(x y) + + = + + − b. π π 2π 2π tan x tan(x ) tan(x ) tan(x ) tan(x ) tan x 3 3 3 3 3 + + + + + + = − c. π π π 3π 2 cos(x )cos(x ) cos(x )cos(x ) (1 3) 3 4 6 4 4 − + + + + = − d. o o o o (cos70 cos50 )(cos230 cos290 )+ + o o o o (cos40 cos160 )(cos320 cos380 ) 0+ + + = e. 2 2 2 2 tan 2x tan x tan x.tan3x 1 tan 2x.tan x − = − Bài 22. Chứng minh a. 2tan a = tan(a + b) nếu sin b = sin a cos (a + b) b. tan a tan b = 1 3 − nếu cos (a + b) = 2cos (a – b) Bài 23. Cho tam giác ABC. Chứng minh a. sin C tan A tan B cosA.cosB = + với A, B ≠ 90°. b. tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C với ABC không là tam giác vuông c. cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1 d. A B B C C A tan .tan tan .tan tan .tan 1 2 2 2 2 2 2 + + = e. A B C A B C cot cot cot cot .cot .cot 2 2 2 2 2 2 + + = f. A B C A B C A B C A B C cos .cos .cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + Bài 24. Cho tam giác ABC. Chứng minh: a. tan A + tan B + tan C ≥ 3 3 với ABC nhọn b. tan² A + tan² B + tan² C ≥ 9 với ABC nhọn c. A B C tan tan tan 3 2 2 2 + + ≥ Bài 25. a. Tính cos 2x, sin 2x, tan 2x biết cos x = 5 13 − ; π < x < 3π/2 b. Tính cos 2x, sin 2x, tan 2x nếu tan x = 2 Bài 25. Tính giá trị của biểu thức. a. A = cos 20° cos 40° cos 60° cos 80° b. B = sin 10° sin 50° sin 70° c. π 4π 5π C cos .cos .cos 7 7 7 = d. D = cos 10° cos 50° cos 70° e. E = sin 6° sin 42° sin 66° sin 78° f. F = 2π 4π 8π 16π 32π cos .cos .cos .cos .cos 31 31 31 31 31 g. G = sin 5° sin 15° sin 25° sin 75° sin 85° h. H = cos 10° cos 20° cos 30° cos 70° cos 80° i. I = π 2π 3π 4π 5π 6π 7π cos cos cos cos cos cos cos 15 15 15 15 15 15 15 j. π π π J sin cos cos 16 16 8 = Bài 27. Chứng minh a. 2 3 n n n a a a a sin a P cos cos cos cos a 2 2 2 2 2 .sin 2 = = b. n π 2π nπ 1 Q cos .cos cos 2n 1 2n 1 2n 1 2 = = + + + c. 2π 4π 2nπ 1 R cos .cos cos 2n 1 2n 1 2n 1 2 = = − + + + Bài 28. Chứng minh các hệ thức: a. 3 3 1 sin x.cos x cos x.sin x sin 4x 4 − = b. 6 6 2 x x 1 sin cos cos x(sin x 4) 2 2 4 − = − c. π 1 sin 2x tan( x) 4 cos 2x + + = d. 2 cot x tan x sin 2x + = e. 1 1 1 1 1 1 x cos x cos 2 2 2 2 2 2 8 + + + = với 0 < x < π/2 Bài 29. Chứng minh: a. π π 4cos x.cos( x)cos( x) cos3x 3 3 − + = b. π π 4sin x.sin( x)sin( x) sin 3x 3 3 − + = Áp dụng tính: A = sin 10° sin 50° sin 70° và B = cos 10° cos 50° cos 70°. Bài 30. Biến đổi thành tích: a. 1 – 3 tan² x b. sin 2x + sin 4x + sin 6x c. 3 + 4 cos 4x + cos 8x d. sin 5x + sin 6x + sin 7x + sin 8x e. 1 + sin 2x – cos 2x – tan 2x f. cos 2x + sin 2x + 1 Bài 31. Rút gọn các biểu thức sau: a. cos7x cos8x cos9x cos10x A sin 7x sin8x sin9x sin10x − − + = − − + b. sin15x 2sin12x sin9x B cos15x 2cos12x cos9x + + = + + c. 2 1 cos x cos2x cos3x C cos x 2cos x 1 + + + = + − Bài 32. Tính giá trị của các biểu thức sau: a. π 7π B tan tan 24 24 = + b. B = 1 3 sin10 cos10 − ° ° c. C = tan 9° – tan 27° – tan 63° + tan 81° Bài 33. Tính giá trị của các biểu thức sau: a. A = π 7π 13π 19π 25π sin sin sin sin sin 30 30 30 30 30 b. B = 16 sin 10° sin 30° sin 50° sin 70° sin 90° c. C = 2π 4π 6π 1 cos cos cos 7 7 7 2 + + + d. D = 2( π 2π 3π cos cos cos 7 7 7 − + ) e. E = 2π 4π 6π 8π cos cos cos cos 5 5 5 5 + + + f. F = π 3π 5π 7π 9π cos cos cos cos cos 11 11 11 11 11 + + + + Bài 34. Chứng minh a. tan 20° – tan 40° + tan 80° = 3 3 b. tan 30° + tan 40° + tan 50° + tan 60° = 8 3 3 cos 20°. Bài 35. Tính các tổng sau: a. A = cos α + cos 3α + cos 5α + + cos (2n – 1)α; với α ≠ kπ b. B = π 2π 3π (n 1)π sin sin sin sin . n n n n − + + + + c. C = π 3π 5π (2n 1)π cos cos cos cos . n n n n − + + + d. D = 1 1 1 cosa.cos2a cos2a.cos3a cos4a.cos5a + + + với a = π/5 e. E = n 1 1 1 1 1 (1 )(1 )(1 ) (1 ) cos x cos 2x cos3x cos2 x − + + + + Bài 36. Tính n 2 n x x x P cos cos cos . 2 2 2 = ĐS: n n sin x x 2 sin 2 Bai 37. Tính 2 2 n 1 2 n 2 n n 1 a a a a a S tan .tan a 2 tan .tan 2 tan .tan 2 2 2 2 2 − − = + + + ĐS: n n n a S tan a 2 tan 2 = − Bài 38. Chứng minh các đẳng thức sau: a. 2 1 2sin 2x 1 tan 2x 1 sin 4x 1 tan 2x − + = − − b. 1 sin 2x cos2x tan 4x cos4x sin 2x cos2x − − = + c. tan 6x – tan 4x – tan 2x = tan 2x tan 4x tan 6x d. sin 7x 1 2cos 2x 2cos4x 2cos6x sin x = + + + e. cos 5x cos 3x + sin 7x sin x = cos 2x cos 4x Bài 39. Cho sin (2a + b) = 5 sin b. Chứng minh: 2 tan(a b) 3 tan a + = . Bài 40. Cho tan (a + b) = 3 tan a. Chứng minh: sin (2a + 2b) + sin 2a = 2 sin 2b. Bài 41. Cho tam giác ABC. Chứng minh: a. A B C sin A sin B sin C 4cos cos cos 2 2 2 + + = × × b. A B C cos A cos B cosC 1 4sin sin sin 2 2 2 + + = + c. sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C d. cos² A + cos² B + cos² C = 1 – 2 cos A cos B cos C e. sin² A + sin² B + sin² C = 2 + 2 cos A cos B cos C Bài 42. Tìm các góc của tam giác ABC biết B – C = π/3 và 2 sin B sin C = 1. Bài 43. Chứng minh điều kiện cần và đủ để ΔABC vuông là a. cos 2A + cos 2B + cos 2C = –1 b. b c a cosB cosC sin B.sin C + = Bài 44. Chứng minh điều kiện cần và đủ để ΔABC cân tại C là sin A sin B 1 (tan A tan B) cos A cos B 2 + = + + Bài 45. Chứng minh bất đẳng thức a. sin A + sin B + sin C ≤ 3 3 2 HD: cộng thêm sin (π/3) b. cos A + cos B + cos C ≤ 3/2 HD: cộng thêm cos (π/3) c. 8cos A cos B cos C ≤ 1 HD: Biến đổi cos A cos B cos C – 1/8 về dạng hằng đẳng thức. . (a – b) Bài 23. Cho tam giác ABC. Chứng minh a. sin C tan A tan B cosA.cosB = + với A, B ≠ 90°. b. tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C với ABC không là tam giác vuông c. cot A cot B + cot. 2 2 . Từ đó suy ra giá trị a và b. Bài 20. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau: a. A = sin² 20° + sin² 90° + sin² 100 ° + sin² 140° b. B = tan 20° tan 80° + tan 80° tan 140° + tan 140° tan. .cos 2 2 2 d. D = A B C tan tan tan 2 2 2 + + Bài 4. Cho biết một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại. a. cos a = 4/5; với 270° < a < 360°, tính các giá trị sin a,