Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 145 Tìm nghiệm của bài toán DE1a dạng tách biến u(r, ) = V(r)() Thế vào phơng trình (8.6.1) nhận đợc hệ phơng trình vi phân () + () = 0 (8.6.3) r 2 V(r) + rV(r) - V(r) = 0, với 3 (8.6.4) Phơng trình (8.6.3) có họ nghiệm riêng trực giao, tuần hoàn chu kỳ T = 2 k (x) = A k cosk + B k sink, k = k 2 với A k , B k 3, k Thay vào phơng trình (8.6.4) tìm họ nghiệm riêng độc lập và bị chặn V k (r) = C k r k với C k 3, k Suy ra họ nghiệm riêng độc lập của bài toán DE1a u 0 = a 0 , u k (r, ) = r k (a k cosk + b k sink) với a k = C k A k , b k = C k B k , k * Tìm nghiệm tổng quát của bài toán DE1a dạng chuỗi hàm u(r, ) = a 0 + + = + 1k kk k )ksinbkcosa(r (8.6.5) Thế vào điều kiện biên (8.6.2) u(R, ) = a 0 + + = + 1k kk k )ksinbkcosa(R = g() Nếu hàm g có thể khai triển thành chuỗi Fourier thì a 0 = 2 0 d)(g 2 1 , a k = 2 0 k dkcos)(g R 1 , b k = 2 0 k dksin)(g R 1 (8.6.6) Định lý Cho g C 1 ([0, 2], 3) thoả mn g(0) = g(2). Chuỗi hàm (8.6.5) với các hệ số a k và b k tính theo công thức (8.6.6) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán DE1a. Chứng minh Lập luận tơng tự nh bài toán CP1 Ví dụ Giải bài toán DE1 u = 0 với u(R, ) = 2Rsin Hàm g() = 2Rsin thoả mn các điều kiện của định lý. Theo công thức (8.6.6) a k = 0 và b k = 2R 2 0 k dksinsin R 1 = = 1 k0 1 k 2 với k * Suy ra nghiệm của bài toán u(r, ) = 2rsin 2y Kí hiệu u(z) = u(r, ) với z = re i D 0 Theo kết quả ở Đ8, chơng 3 suy ra bài toán DE1a có nghiệm theo công thức sau đây. u(z) = Re = + R|| d )(g z z i2 1 = Re = R|| d)(F i2 1 = ReI(z) (8.6.7) Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt Trang 146 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Giả sử trong hình tròn B(0, R) hàm g có các cực điểm khác không a k với k = 1 n Theo công thức tính tích phân Cauchy (4.7.6) ta có I(z) = ResF(z) + ResF(0) + = n 1k k )a(sFRe (8.6.8) Ví dụ Giải bài toán DE1 u = 0 với u(R, ) = 2Rsin Chuyển qua toạ vị phức g( ) = 2R i 2 1 (e i - e -i ) = 2 22 R i 1 và F( ) = 2 22 R z z i 1 + Ta có I(z) = Res[f, z] + Res[f, 0] = iz )Rz(2 22 + iz R2 2 = -2iz Suy ra nghiệm của bài toán u(z) = Re(-2iz) = 2y Bài toán DE1b Cho miền D = [ , R] ì [0, 2 ] và các hàm g, h C([0, 2 ], 3 ) Tìm hàm u C(D, 3 ) thoả mn phơng trình Laplace u(r, ) = 0 với (r, ) D 0 (8.6.9) và điều kiện biên u( , ) = g( ), u(R, ) = h( ) (8.6.10) Lập luận tơng tự bài toán DE1a, tìm nghiệm của bài toán DE1b dạng tách biến u(r, ) = V(r) ( ) Thay vào phơng trình (8.6.9) nhận đợc họ nghiệm riêng độc lập u 0 = a 0 + b 0 lnr u k (r, ) = (a k r k + b k r -k )cosk + (c k r k + d k r -k )sink với a k , b k , c k , d k 3 , k * Tìm nghiệm tổng quát của bài toán DE1b dạng chuỗi hàm u(r, ) = a 0 + b 0 lnr + + = +++ 1k k k k k k k k k ]ksin)rdr(ckcos)rbr[(a (8.6.11) Thế vào điều kiện biên (8.6.10) u( , ) = a 0 + b 0 ln + + = +++ 1k k k k k k k k k ]k sin) d (ck cos) b [(a = g( ) u(R, ) = a 0 + b 0 lnR + + = +++ 1k k k k k k k k k ]k sin)RdR(ck cos)RbR[(a = h( ) Nếu hàm g có thể khai triển thành chuỗi Fourier thì Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 147 a 0 + b 0 ln = 2 0 d)(g 2 1 a 0 + b 0 lnR = 2 0 d)(h 2 1 a k k + b k -k = 2 0 dkcos)(g 1 a k R k + b k R -k = 2 0 dkcos)(h 1 c k k + d k -k = 2 0 dksin)(g 1 c k R k + d k R -k = 2 0 dksin)(h 1 (8.6.12) Định lý Cho các hàm g, h C 1 ([0, 2], 3) thoả mn g(0) = g(2), h(0) = h(2). Chuỗi hàm (8.6.11) với các hệ số a k , b k , c k và d k xác định từ hệ phơng trình (8.6.12) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán DE1b. Đ7. Bài toán Dirichlet trong hình chữ nhật Bài toán DE2a Cho miền D = [0, l] ì [0, d] và hàm g a C([0, l], 3) Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace u = 2 2 2 2 y u x u + = 0 với (x, y) D 0 (8.7.1) và điều kiện biên u(x, 0) = g a (x), u(x, d) = u(0, y) = u(l, y) = 0 (8.7.2) Tìm nghiệm của bài toán DE2a dạng tách biến u(x, y) = X(x)Y(y) Thay vào phơng trình (8.7.1) đa về hệ phơng trình vi phân X(x) + X(x) = 0 Y(y) - Y(y) = 0 X(0) = X(l) = Y(d) = 0 với 3 (8.7.3) Bài toán (8.7.3) có họ nghiệm riêng độc lập X k (x) = A k sin x l k , Y k (y) = B k sh )yd( l k , k = 2 l k với k * Suy ra có họ nghiệm riêng độc lập của bài toán DE2a u k (x, y) = a k sh )yd( l k sin x l k với a k = A k B k 3, k * Tìm nghiệm tổng quát của bài toán DE2a dạng chuỗi hàm Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt Trang 148 Giáo Trình Toán Chuyên Đề u(x, y) = + =1k k )y,x(u = + = 1k k x l k sin)yd( l k sha (8.7.4) Thế vào điều kiện biên (8.7.2) u(x, 0) = + = 1k k x l k sin l dk sha = g a (x) Nếu hàm g a có thể khai triển thành chuỗi Fourier trên đoạn [0, l] thì a k = l 0 a xdx l k sin)x(g l dk lsh 2 (8.7.5) Định lý Cho hàm g a C 1 ([0, l], 3 ) thoả mn g a (0) = g a (l) = 0. Chuỗi hàm (8.7.4) với hệ số a k tính theo công thức (8.7.5) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán DE2a. Lập luận tơng tự nh trên, chúng ta giải các bài toán sau đây. Bài toán DE2b Cho miền D = [0, l] ì [0, d] và hàm g b C([0, d], 3 ). Tìm hàm u C(D, 3 ) thoả mn phơng trình Laplace u = 0 với (x, y) D 0 và điều kiện biên u(l, y) = g b (y), u(x, d) = u(0, y) = u(x, 0) = 0 Định lý Cho hàm g b C 1 ([0, d], 3 ) thoả mn g b (0) = g b (d) = 0. Bài toán DE2b có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức u(x, y) = + = 1k k y d k sinx d k shb với b k = d 0 b ydy d k sin)y(g d lk dsh 2 (8.7.6) Bài toán DE2c Cho miền D = [0, l] ì [0, d] và hàm g c C([0, l], 3 ). Tìm hàm u C(D, 3 ) thoả mn phơng trình Laplace u = 0 với (x, y) D 0 và điều kiện biên u(x, d) = g c (x), u(0, x) = u(x, 0) = u(l, y) = 0 Định lý Cho hàm g c C 1 ([0, l], 3 ) thoả mn g c (0) = g c (l) = 0. Bài toán DE2c có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức u(x, y) = + = 1k k x l k siny l k shc với c k = l 0 c xdx l k sin)x(g l dk lsh 2 (8.7.7) Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 149 Bài toán DE2d Cho D = [0, l] ì [0, d] và hàm g d C([0, d], 3). Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace u = 0 với (x, y) D 0 và điều kiện biên u(0, y) = g d (y), u(x, 0) = u(l, y) = u(x, d) = 0 Định lý Cho hàm g d C 1 ([0, d], 3) thoả mn g d (0) = g d (d) = 0. Bài toán DE2d có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức u(x, y) = + = 1k k y d k sin)xl( d k shd với d k = d 0 d ydy d k sin)y(g d lk dsh 2 (8.7.8) Bài toán DE2 Cho miền D = [0, l] ì [0, d], các hàm g 1 , g 3 C([0, l], 3) và g 2 , g 4 C([0, d], 3) Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace u = 0 với (x, y) D 0 và điều kiện biên u(x, 0) = g 1 (x), u(l, y) = g 2 (y), u(x, d) = g 3 (x), u(0, y) = g 4 (y) Tìm nghiệm của bài toán DE2 dới dạng u(x, y) = u 0 (x, y) + u â (x, y) + u b (x, y) + u c (x, y) + u d (x, y) Trong đó u (x, y) là nghiệm của bài toán DE2. Hàm u 0 (x, y) = A + Bx + Cy + Dxy (8.7.9) là nghiệm của bài toán DE sao cho u (x, y) triệt tiêu tại các đỉnh của hình chữ nhật. Do tính liên tục của hàm u(x, y) trên biên D u(0, 0) = g 4 (0) = g 1 (0) = A u(l, 0) = g 1 (l) = g 2 (0) = A + Bl u(l, d) = g 2 (d) = g 3 (l) = A + Bl + Cd + Dld u(0, d) = g 3 (0) = g 4 (d) = A + Cd Giải hệ phơng trình trên suy ra A = g 4 (0) = g 1 (0), B = l )0(g)l(g 11 , C = d )0(g)d(g 44 D = ld )0(g)l(g)0(g)l(g 1133 + = ld )0(g)d(g)0(g)d(g 4422 + (8.7.10) Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt Trang 150 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Thế vào điều kiện biên suy ra g a (x) = u a (x, 0) = g 1 (x) - g 1 (0) - l x (g 1 (l) - g 1 (0)) g c (x) = u c (x, d) = g 3 (x) - g 3 (0) - l x (g 3 (l) - g 3 (0)) g b (y) = u b (l, y) = g 2 (y) - g 2 (0) - d y (g 2 (d) - g 2 (0)) g d (y) = u d (0, y) = g 4 (y) - g 4 (0) - d y (g 4 (d) - g 4 (0)) (8.7.11) Kết hợp các công thức (8.7.4) - (8.7.8) nhận đợc công thức u(x, y) = u 0 (x, y) + + = + 1k kk x l k siny l k shc)yd( l k sha + + = + 1k kk y d k sin)xl( d k shdx d k shb (8.7.12) Định lý Cho các hàm g 1 , g 3 C 1 ([0, l], 3) và g 2 , g 4 C 1 ([0, d], 3) thoả mn g 4 (0) = g 1 (0), g 1 (l) = g 2 (0), g 2 (d) = g 3 (l), g 3 (0) = g 4 (d) Chuỗi hàm (8.7.12) với hàm u 0 (x, y) xác định theo các công thức (8.7.9) - (8.7.10) và các hệ số a k , b k , c k và d k xác định theo các công thức (8.7.5) - (8.7.8) trong đó các hàm g a , g b , g c và g d xác định theo công thức (8.7.11) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán DE2. Đ8. Bài toán Neumann Bài toán NE1 Cho miền D = [0, R] ì [0, 2] và hàm h C([0, 2], 3) Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace u = 2 2 2 u r 1 r u r rr 1 + = 0 với (r, ) D 0 (8.8.1) và điều kiện biên r u (R, ) = h( ) (8.8.2) Tìm nghiệm của bài toán NE1 dạng tách biến u(r, ) = V(r) ( ) Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 151 Thay vào phơng trình (8.8.1) nhận đợc hệ phơng trình vi phân () + () = 0 r 2 V(r) + rV(r) - V(r) = 0, 3 (8.8.3) Bài toán (8.8.3) có họ nghiệm riêng độc lập u 0 = a 0 , u k (r, ) = r k (a k cosk + b k sink) với a k = C k A k , b k = C k B k , k * Tìm nghiệm tổng quát của bài toán NE1 dạng chuỗi hàm u(r, ) = a 0 + + = + 1k kk k )ksinbkcosa(r (8.8.4) Thế vào điều kiện biên (8.8.2) r u (R, ) = + = + 1k kk 1k )ksinbkcosa(kR = h() Nếu hàm h có thể khai triển thành chuỗi Fourier thì a 0 = u(0, ) a k = 2 0 1k dkcos)(h Rk 1 , b k = 2 0 1k dksin)(h Rk 1 (8.8.5) Định lý Cho h C 1 ([0, 2], 3) thoả mn h(0) = h(2). Chuỗi hàm (8.8.4) với các hệ số a k và b k tính theo công thức (8.8.5) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán NE1. Lập luận tơng tự nh các bài toán DE2 chung ta giải các bài toán sau đây Bài toán NE2b Cho miền D = [0, l] ì [0, d] và hàm h b C([0, d], 3). Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace u = 2 2 2 2 y u x u + = 0 với (x, y) D 0 và các điều kiện biên u(x, d) = u(0, y) = u(x, 0) = 0, x u (l, y) = h b (y) Định lý Cho hàm h b C 1 ([0, d], 3). Bài toán NE2b có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức u(x, y) = + = 1k k y d k sinx d k shb với b k = d 0 b ydy d k sin)y(h d lk chk 2 (8.8.6) Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt Trang 152 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Bài toán NE2d Cho miền D = [0, l] ì [0, d] và hàm h d C([0, d], 3). Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace u = 0 với (x, y) D 0 và các điều kiện biên u(x, 0) = u(l, y) = u(x, d) = 0, x u (0, y) = h d (y) Định lý Cho hàm h d C 1 ([0, d], 3). Bài toán NE2d có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức u(x, y) = + = 1k k y d k sin)xl( d k shd với d k = d 0 d ydy d k sin)y(h d lk chk 2 (8.8.7) Bài toán NE2 Cho miền D = [0, l] ì [0, d] và các hàm g 1 , g 3 C([0, l], 3) và h 2 , h 4 C([0, d], 3) Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace u = 0 với (x, y) D 0 và các điều kiện biên u(x, 0) = g 1 (x), u(x, d) = g 3 (x) và x u (l, y) = h 2 (y), x u (0, y) = h 4 (y) Tìm nghiệm của bài toán NE2 dới dạng u(x, y) = u 0 (x, y) + u a (x, y) + u b (x, y) + u c (x, y) + u d (x, y) (8.8.8) Trong đó các hàm u a (x, y) và u c (x, y) là nghiệm của bài toán DE2a và DE2c, các hàm u b (x, y) và u d (x, y) là nghiệm của bài toán NE2b và NE2d, còn hàm u 0 (x, y) = A + Bx + Cy + Dxy (8.8.9) là nghiệm của bài toán DE sao cho u (x, y) triệt tiêu tại các đỉnh của hình chữ nhật Lập luận tơng tự nh bài toán DE2 suy ra A = g 1 (0) B = l )0(g)l(g 11 C = d )0(g)0(g 13 D = ld )0(g)0(g)l(g)l(g 1313 + (8.8.10) Thế vào điều kiện biên suy ra Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 153 g a (x) = g 1 (x) - g 1 (0) - l x (g 1 (l) - g 1 (0)) g c (x) = g 3 (x) - g 3 (0) - l x (g 3 (l) - g 3 (0)) h b (y) = h 2 (y) - (B + Dy) = h 2 (y) - l )0(g)l(g 11 - l )0(g)0(g)l(g)l(g d y 1313 + h d (y) = h 4 (y) - (B + Dy) = h 4 (y) - l )0(g)l(g 11 - l )0(g)0(g)l(g)l(g d y 1313 + (8.8.11) Kết hợp các công thức (8.7.4), (8.7.6), (8.8.6), (8.8.7) và (8.8.8) suy ra công thức u(x, y) = u 0 (x, y) + + = + 1k kk x l k siny l k shc)yd( l k sha + + = + 1k kk y d k sin)xl( d k shdx d k shb (8.8.12) Định lý Cho các hàm g 1 , g 3 C 1 ([0, l], 3) và g 2 , g 4 C 1 ([0, d], 3) thoả mn a g (0) = h d (0), a g (l) = h b (0) và c g (0) = h d (d), c g (l) = h b (d) Chuỗi hàm (8.8.12) với hàm u 0 (x, y) xác định theo các công thức (8.8.9) - (8.8.10) và các hệ số a k và c k xác định theo các công thức (8.7.5) và (8.7.7) còn các hệ số b k và d k xác định theo các công thức (8.8.6) và (8.8.7) với các hàm g a , g c , h b và h d xác định theo công thức (8.8.11) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán NE2. Bài tập chơng 8 Giải các bài toán Cauchy 1. t u = a 2 2 2 x u u t=0 = 2 x xe 2. t u = a 2 2 2 x u + 3xt 2 u t=0 = sinx 3. t u = a 2 2 2 x u + xe -t u t=0 = cosx 4. t u = a 2 2 2 x u + te -x u t=0 = sinx Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt Trang 154 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Giải các bài toán giả Cauchy 5. t u = a 2 2 2 x u + xsint u t=0 = sinx, u(0, t) = 0 6. t u = a 2 2 2 x u + tsinx u t=0 = xcosx, u(0, t) = e t 7. t u = a 2 2 2 x u + te -x u t=0 = cosx , x u (0, t) = sint 8. t u = a 2 2 2 x u + xe -t u t=0 = sinx , x u (0, t) = cost Giải các bài toán hỗn hợp sau đây 9. t u = a 2 2 2 x u u t=0 = x(l - x), u(0, t) = u(l, t) = 0 10. t u = a 2 2 2 x u + tsinx u t=0 = sinx, u(0, t) = u(l, t) = 0 11. t u = a 2 2 2 x u + tcosx u t=0 = cosx , u(0, t) = 0, u(l, t) = t 12. t u = a 2 2 2 x u + 3xt 2 u t=0 = 0, u(0, t) = 0, u(l, t) = Asint 13. t u = a 2 2 2 x u + (1 - x)e t u t=0 = 1, u(0, t) = e t , u(l, t) = 0 14. t u = a 2 2 2 x u + xe t u t=0 = 2x, u(0, t) = 0, u(l, t) = e t Giải bài toán Dirichlet trong hình tròn 15. u = 0 với (r, ) [0, 2] ì [0, 2] và u r=2 = x 2 - xy + 2 16. u = 0 với (r, ) [0, 2] ì [0, 2] và u(2, ) = A + Bsin 17. u = 0 với (r, ) [0, 1] ì [0, 2] và u(1, ) = sin 3 18. u = 0 với (r, ) [0, 1] ì [0, 2] và u(1, ) = cos 4 19. u = 0 với (r, ) [0, R] ì [0, 2] và u(R, ) = 0 Giải bài toán Dirichlet trong hình vành khăn 20. u = 0 với (r, ) [1, 2] ì [0, 2] và u(1, ) = A, u(2, ) = B 21. u = 0 với (r, ) [1, 2] ì [0, 2] và u(1, ) = 1 + cos 2 , u(2, ) = sin 2 22. u = 0 với (r, ) [0, R] ì [0, ] và u(r, 0) = u(r, ) = 0, u(R, ) = A Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . . 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 1 45 Tìm nghiệm của bài toán DE1a dạng tách biến u(r, ) = V(r)() Thế vào phơng trình (8.6.1) nhận đợc hệ phơng trình vi phân (). V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 151 Thay vào phơng trình (8.8.1) nhận đợc hệ phơng trình vi phân () + () = 0 r 2 V(r) + rV(r) -. = u(0, y) = u(l, y) = 0 (8.7.2) Tìm nghiệm của bài toán DE2a dạng tách biến u(x, y) = X(x)Y(y) Thay vào phơng trình (8.7.1) đa về hệ phơng trình vi phân X(x) + X(x) = 0 Y(y) - Y(y)