Hội những người ôn thi đại học Khối A LÊ TUẤN ANH KĨ NĂNG SUY LUẬN HƯỚNG GIẢI KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG Bài viết sẽ trình bày một số hướng tiếp cận 1 bài toán hình giải tích Oxy. Trước hết ta cần nhớ lại những điều sau đây: Đối với 1 bài toán Oxy thì có 2 dạng thường gặp: +Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng, đường cong thỏa mãn điều kiện cho trước. +Dạng 2: Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước. Và “công thức” chung cho 2 dạng này như sau: +Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng, đường cong thỏa mãn điều kiện cho trước. .Nếu là đường thẳng thì ta cần xác định ĐIỂM MÀ ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA và VTPT (hoặc VTCP) của đường thẳng đó. Hoặc cũng có thể đường thẳng là giao điểm của 2 đường cong (2 đường tròn, 2 elip, đường tròn và elip) lúc này ta viết phương trình 2 đường con đó xong rồi TRỪ THEO VẾ sẽ được phương trình đường thẳng cần viết. .Nếu là đường tròn thì ta cần xác định tâm và bán kính của đường tròn đó, lưu ý các vấn đề về khoảng cách (ví dụ khoảng cách từ tâm đến dây cung,…) và các tính chất liên quan đến đường tròn (góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau thì bằng nhau, hình chiếu vuông góc của tâm lên dây cung chính là trung điểm của đoạn nối dây cung đó,…) +Dạng 2: Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước .Tìm trực tiếp: giải hệ 2 phương trình chứa điểm cần tìm. .Tìm gián tiếp: tham số hóa tọa độ điểm cần tìm. Sau đó dựa vào giả thiết để giải tìm tham số đó. Và từ bài toán trong hình học phẳng ta có thể áp dụng giải bài toán trong trường hợp hệ trục tọa độ không gian Oxyz. Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD, biết đỉnh B(3;4) và phương trình cạnh AC là x−y+2=0. Tìm tọa độ các đỉnh A, C, D, với điểm A có hoành độ bé hơn 3. Hội những người ôn thi đại học Khối A LÊ TUẤN ANH *Suy luận: trước khi bắt tay vào giải 1 bài toán, ta để ý xem hình đề bài cho là hình gì để từ đó gợi nhớ đến các tính chất liên quan. Cụ thể, trong bài này ta có 1 hình vuông, đã nhắc tới hình vuông thì không thể không nhớ tới hình có 4 cạnh, 4 góc bằng nhau; hai đường chéo bằng và vuông góc nhau;… Một điều nữa là ta chú ý đến tính chất đối xứng của nó cũng như các đường tròn nội, ngoại tiếp hình vuông. Dùng đường tròn ngoại tiếp để tìm tọa độ các đỉnh. Bây giờ ta sẽ nêu hướng giải bài toán theo 2 cách: lấy đối xứng và dùng đường tròn ngoại tiếp. Cách 1: lấy đối xứng. Theo đề bài mình đã có phương trình đường chéo AC và tọa độ B. Rất dễ thấy D là điểm đối xứng của B qua AC, nhớ lại cách tìm điểm đối xứng với 1 điểm qua 1 đường thẳng: +Viết phương trình đường thẳng đi qua B và vuông góc AC (tức phương trình DB). +Tìm tọa độ giao điểm I của AC và BD (I cũng là tâm hình vuông). +Khi đó I là trung điểm BD, có B tìm được D. Bây giờ ta tìm điểm A hoặc C. Bây giờ ta nhớ lại câu nói ở đầu bài, để tìm tọa độ 1 điểm thì có 2 cách: trực tiếp hoặc gián tiếp. Ở đây ta chọn cách tham số hóa tọa độ điểm cần tìm. Vì A thuộc đường thẳng x-y+2=0 nên A(a;a+2). Xong, kế tiếp là dựa vào dữ kiện đề cho mà tìm a. Đề không cho thêm tính chất gì ngoài ABCD là hình vuông. Vậy mình khai thác tính chất hình vuông. AB 2 =BC 2 =CD 2 =DA 2 , rõ ràng chỉ cần đẳng thức này là tìm được a. Có A ta dễ dàng tìm C (I là trung điểm AC). *Cách 2: dùng đường tròn ngoại tiếp (C) Rõ ràng I là tâm, bán kính R=IB=d(I;AC) Khi đó (C) giao với AC tại A và C, có (C) có phương trình AC ta tìm được A và C. Hội những người ôn thi đại học Khối A LÊ TUẤN ANH *Nhận xét: ví dụ này khá đơn giản vì đề chủ yếu cho dựa trên các tính chất cơ bản của hình vuông. Bây giờ nếu là hệ trục Oxyz thì liệu nó có đơn giản vậy không? Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD, biết đỉnh B(3;4;1) và phương trình cạnh AC là x/1=(y-1)/2=(z+1)/-1. Tìm tọa độ các đỉnh A, C, D? *Suy luận: vẫn gọi I là tâm hình vuông, nhưng làm sao để tìm I =>Viết phương trình BD=>Phải có VTCP của BD=>Tìm làm sao?=> Giải bài toán nhỏ: “Viết phương trình đường thẳng BD qua B(3;4;1) và vuông góc với AC: x/1=(y-1)/2=(z+1)/-1” =>Lấy E(0;1;-1) là điểm thuộc AC; khi đó VTCP của BD chính là tích có hướng của vectoBE và VTCP của AC. =>Có phương trình BD tìm được I =>Tìm A,C,D? =>Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R=IB=>Giao của (S) và AC là A và C; giao của (S) và BD là B và D. Thế là xong! *Lưu ý: hầu như 1 bài toán hình Oxy khi cho trong không gian Oxyz thì cách giải không khác mấy, duy chỉ có 3 điểm khác lớn nhất đó chính là: +Lưu ý việc lấy tích có hướng khi tìm VTCP của đường thẳng; +Tích vô hướng của VTPT của 1 mặt phẳng và 1 đường thẳng thuộc mặt phẳng đó bằng 0. +Thay vì viết phương trình đường tròn, ta viết phương trình mặt cầu. Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A. Phương trình các cạnh AB, BC lần lượt là: 2x+y−1=0 và x+4y+3=0.Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC *Suy luận: viết phương trình BH? =>Có B, tìm VTPT hoặc VTCP của BH. Bây giờ mình khai thác dữ liệu đề bài: đề cho tam giác cân và vấn đề mình cần giải quyết liên quan đến đường cao. Nhắc đến tam giác cân ta nhớ các tính chất 2 cạnh bằng nhau, 2 góc kề 1 đáy bằng nhau; nhắc đến đường cao mình nhớ đến quan hệ vuông góc, BH vuông AC do đó khi tìm được VTPT của AC thì cũng tìm được VTCP của BH. Gọi );( ban là VTPT của đường thẳng chứa cạnh AC. Có phương trình AB và AC; liên hệ với tính chất 2 góc B và C bằng nhau ata có phương trình: Hội những người ôn thi đại học Khối A LÊ TUẤN ANH 022312 0444031 4.56 .41 .4.1 41.12 1.41.2 ˆ cos ˆ cos 22 22 22222222 baba baba baba ba ba BCACBA *Với a=2b: chọn b=1 thì a=2, VTPT của AC có tọa độ (2;1) đó cũng chính là VTCP của BH. Có B ta viết được phương trình BH. *Với 31a=-22b: chọn b=1 thì a=-22/33, ta cũng viết được phương trình BH. Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC cân tại A. Phương trình các cạnh AB, BC lần lượt là 2 2 1 5 1 1 :)(; 1 1 2 2 1 1 :)( 21 zyx d zyx d . Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC Vẫn ý tưởng cũ, ta sẽ đi tìm VTCP của đường thẳng chứa cạnh AC của tam giác. Gọi );;( cban là VTCP của AC. VTCP của AB và BC lần lượt là: )2;1;1();1;2;1( 21 nn Vì tam giác ABC cân tại A nên: (*)263 .6 2 6.6 221 ˆ cos ˆ cos 222 222 cbacba cba cba BCACBA Hội những người ôn thi đại học Khối A LÊ TUẤN ANH Nếu dừng lại ở đây ta không tìm được trọn vẹn a,b,c. Nhớ lại bài ví dụ 2, ta sử dụng thêm 1 tính chất nữa là 3 đường thẳng AB,BC,CA cùng thuộc 1 mặt phẳng, tức là VTPT của mặt phẳng (ABC) vuông góc với VTCP của đường thẳng đi qua AC. VTPT của mặt phẳng ABC là: )1;1;1(3)3;3;3(];[ 21 nnt Vì AC thuộc (ABC) nên: (**)00. cbant Từ (*) và (**) cho c=1 thì: 1 2613 22 ba baba Dùng phương pháp thế 2;1 aa Có a tìm được b. Từ đó ta có VTCP của đường thẳng AC. Nhưng từ đây chưa thế suy ra VTCP của đường cao BH. Dễ thấy VTCP của BH chính là tích có hướng của 2 vecto: VTCP của AC và VTPT của (ABC). *Như vậy qua bài toán này ta chú ý thêm 1 chi tiết nữa là VTPT của 1 mặt phẳng thì vuông góc với VTCP của tất cả các đường thẳng thuộc mặt phẳng đó. Bài 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang cân ABCD có diện tích bằng 45/2, đáy lớn CD nằm trên đường thẳng x−3y−3=0. Biết hai đường chéo AC,BD vuông góc với nhau tại I(2;3). Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC, biết điểm C có hoành độ dương. *Suy luận: viết phương trình CB? => phải có tọa độ C và B. Khai thác giả thiết: ta có 4 dữ kiện (1): ABCD là hình thang; (2): AC vuông BD; Hội những người ôn thi đại học Khối A LÊ TUẤN ANH (3): Diện tích hình thanh ABCD bằng 45/2. (4): Tọa độ I(2;3) và phương trình CD: x-3y-3=0 Suy luận: Với (1): ta cần chú ý đến những tính chất song song cũng như các định lý về 2 đường thằng song song; đặc biệt khi đề cho thêm diện tích hay độ dài đoạn thẳng,… thì xác suất ta tính toán là rất lớn. Với (2): ta chú ý đến các tam giác vuông AIB; CID (các tính chất trung tuyến,…) Với (3):nhớ lại công thức tính diện tích hình thang (hoặc tứ giác): S=1/2.(đáy lớn+đáy bé).chiều cao hoặc: S=1/2.sin(AB,CD).tổng 2 đường chéo Với (4): ta tính được khoảng cách từ I đến CD, có thể viết phương trình đường tròn để tìm A,B,C,D,… Bây giờ ta bắt đầu tính toán: Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB,CD. Khi đó MN vuông AB,CD; IM=IA=IB (trung tuyến tam giác vuông AIB); IN=ND=NC 5210);( IDICCDIdIN Đường tròn (C) tâm I(2;3), bán kính R=IC có phương trình: 20)3()2( 22 yx Khi đó CD là giao tuyến của đường thẳng CD: x-3y-3=0 và (C) hay nói cách khác, tọa độ C,D là nghiệm của hệ phương trình: 1 1 1 20)3()2( 33 2 22 y y y yx yx Vì hoành độ C dương nên C(6;1) và D(0;-1) Bây giờ ta tìm B. Thay vì viết phương trình đường tròn tâm I, bán kính R’=IB nhưng do không có phương trình AB nên ta khó tính được R’. Tuy nhiên vẫn còn 1 dữ kiện ta chưa khai thác: AB//CD =>Dùng định lý Talet để tính IB=>Có ID và IB ta lập được hệ thức vecto liên hệ giữa vectoIB và vectoIC Thật vậy, vì AB//CD nên: IM IN IB ID (*) Có IM, giờ tìm IN. Sử dụng dữ kiện cuối cùng: diện tích hình thang ABCD Hội những người ôn thi đại học Khối A LÊ TUẤN ANH IBID IB ID INMNIM MNMNINIMMNINIMMNCDABMNS 22(*) 2 10 2 103 ).()22.(. 2 1 ).(. 2 1 2 45 2 Với );4;2( ID suy ra: 5 3 )3(24 )2(22 B B B B y x y x Với B(3;5) và C(6;1) ta viết được phương trình BC là: 4x+3y-27=0. *Nhận xét: qua bài này ta cũng cần ghi nhớ thêm một số điều +Nếu đề bài cho các số liệu về độ dài đoạn thẳng, bán kính, diện tích, chu vi,… thì chắc chắc sẽ có tính toán trước đó. +Gặp đường thẳng song song thì thử xem có thể dùng Talet lập tỉ lệ để tính toán hay chứng minh đẳng thức, đặc tính hình học hay không. +Việc lập tỷ lệ giữa 2 đoạn thẳng đôi khi khá cần thiết, bởi vì dựa vào tỷ lệ đó ta có thể suy ra tỷ lệ vecto để lập hệ giải như bài này. Ví như trong tam giác ABC trọng tâm G, trung tuyến AM thì ta có: AG=2GM rồi suy ra: vectoAG= 2.vectoGM,… +Lại 1 lần nữa ta dùng giao điểm của đường tròn và 1 đường khác để giải tìm tọa độ điểm. Bây giờ thử xét qua hình học Oxyz xem sao Bài 6. Trong không gian Oxyz, cho hình thang cân ABCD có diện tích bằng 45/2, đáy lớn CD nằm trên đường thẳng (d) (cho phương trình (d) trước). Biết hai đường chéo AC,BD vuông góc với nhau tại I (cho tọa độ I). Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC, biết điểm C có hoành độ dương. Bài này ta chỉ nêu hướng giải. Bài này cách giải không khác bài 5. Vẫn là tìm C,D thông qua hệ là giao tuyến của đường thẳng CD và 1 mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R=IB. Có khác chăng là khác công thức tính khoảng cách từ I tới CD và thay vì viết đường tròn thì mình viết phương trình mặt cầu. Vẫn dựa vào tính chất song song của hình thang lập tỷ lệ IB/ID rồi suy ra hệ thức vecto tương tự. Tìm được B thì dễ dàng viết phương trình BC. HẾT. . những người ôn thi đại học Khối A LÊ TUẤN ANH KĨ NĂNG SUY LUẬN HƯỚNG GIẢI KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG Bài viết sẽ trình bày một số hướng tiếp cận 1 bài toán hình giải tích Oxy. Trước hết. thiết để giải tìm tham số đó. Và từ bài toán trong hình học phẳng ta có thể áp dụng giải bài toán trong trường hợp hệ trục tọa độ không gian Oxyz. Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông. độ bé hơn 3. Hội những người ôn thi đại học Khối A LÊ TUẤN ANH *Suy luận: trước khi bắt tay vào giải 1 bài toán, ta để ý xem hình đề bài cho là hình gì để từ đó gợi nhớ đến các tính chất