Bài 12 -Sequences docx

08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 1 Module #12 - Sequences University of Florida Dept. of Computer & Information Science & Engineering COT 3100 Applications of Discrete Structures Dr. Michael P. Frank Slides for a Course Based on the Text Slides for a Course Based on the Text Discrete Mathematics & Its Applications Discrete Mathematics & Its Applications (5 (5 th th Edition) Edition) by Kenneth H. Rosen by Kenneth H. Rosen 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 2 Module #12 - Sequences Module #12: Dãy - Sequences Rosen 5 Rosen 5 th th ed., §3.2 ed., §3.2 ~9 slides, ~½ lecture ~9 slides, ~½ lecture 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 3 Module #12 - Sequences §3.2: Dãy, xâu & tổng Sequences, Strings, & Summations • Dãy giống như bộ n có thứ tự, khác là: Dãy giống như bộ n có thứ tự, khác là: – Mỗi phần tử trong dãy có liên kết một chỉ số. Mỗi phần tử trong dãy có liên kết một chỉ số. – Dãy có thể là vô hạn. Dãy có thể là vô hạn. • Xâu là dãy các ký hiệu từ một bảng chữ hữu Xâu là dãy các ký hiệu từ một bảng chữ hữu hạn. hạn. • Phép tổng là ký hiệu viết tắt của tổng các đối Phép tổng là ký hiệu viết tắt của tổng các đối tượng trong một dãy (có thể vô hạn). tượng trong một dãy (có thể vô hạn). 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 4 Module #12 - Sequences Các dãy - Sequences • Dãy Dãy { { a a n n } } được đồng nhất với hàm sinh được đồng nhất với hàm sinh f f : : S S → → A A đối với tập đối với tập con nào đó con nào đó S S ⊆ ⊆ N N và đối với tập và đối với tập A nào đó A nào đó . . – Thông thường ta có Thông thường ta có S S = = N N hoặc hoặc S S = = Z Z + + = = N N − − {0} {0} . . – Dãy có thể được tổng quát là tập được đánh chỉ số, trong đó tập Dãy có thể được tổng quát là tập được đánh chỉ số, trong đó tập S S không cần là tập con của không cần là tập con của N N . . • Đối với tập được đánh chỉ số, Đối với tập được đánh chỉ số, S S có thể không là tập số. có thể không là tập số. • Nếu Nếu f f là hàm sinh cho dãy là hàm sinh cho dãy { { a a n n } } , thì với , thì với n n ∈ ∈ S S , , ký hiệu ký hiệu a a n n chính là chính là f f ( ( n n ) ) , còn được gọi là phần tử thứ , còn được gọi là phần tử thứ n n của dãy của dãy . . – Chỉ số của Chỉ số của a a n n là là n n . (hoăc, hay dùng . (hoăc, hay dùng i i ) ) • Dãy thường được ký hiệu bằng cách liệt kê một vài phần Dãy thường được ký hiệu bằng cách liệt kê một vài phần tử đầu và/hoặc cuối, và sử dụng dấu ba chấm … tử đầu và/hoặc cuối, và sử dụng dấu ba chấm … – VD. VD. , “ , “ { { a a n n } = 0, 1, 4, 9, 16, 25, … } = 0, 1, 4, 9, 16, 25, … ” được dùng để ký hiệu ” được dùng để ký hiệu ∀ ∀ n n ∈ ∈ N N , , a a n n = = n n 2 2 . . 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 5 Module #12 - Sequences Sequence Examples • Some authors write “the sequence Some authors write “the sequence a a 1 1 , , a a 2 2 , … , … ” ” instead of instead of { { a a n n } } , to ensure that the set of indices is , to ensure that the set of indices is clear. clear. – Be careful: Our book often leaves the indices Be careful: Our book often leaves the indices ambiguous. ambiguous. • An example of an infinite series: An example of an infinite series: – Consider the series Consider the series { { a a n n } = } = a a 1 1 , , a a 2 2 , … , … , where , where ( ( ∀ ∀ n n ≥ ≥ 1) 1) a a n n = = f f ( ( n n ) = 1/ ) = 1/ n n . . – Then, we have Then, we have { { a a n n } = 1, 1/2, 1/3, … } = 1, 1/2, 1/3, … 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 6 Module #12 - Sequences Ví dụ về lặp Example with Repetitions • Giống bộ, nhưng không giống tập hợp, dãy có thể Giống bộ, nhưng không giống tập hợp, dãy có thể chứa các đối tượng lặp của cùng một phần tử. chứa các đối tượng lặp của cùng một phần tử. • Xst dãy Xst dãy { { b b n n } } = = b b 0 0 , , b b 1 1 , … , … (lưu ý 0 là chỉ số) trong (lưu ý 0 là chỉ số) trong đó đó b b n n = ( = ( − − 1) 1) n n . . – Vậy, Vậy, { { b b n n } } = 1, = 1, − − 1, 1, 1, 1, − − 1, … 1, … • Lưu ý có lặp của 1 và -1! Lưu ý có lặp của 1 và -1! – Dãy Dãy { { b b n n } } là dãy vô hạn các số 1 và là dãy vô hạn các số 1 và − − 1, chứ không phải 1, chứ không phải tập 2 phần tử tập 2 phần tử {1, {1, − − 1} 1} . . 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 7 Module #12 - Sequences Nhận biết dãy Recognizing Sequences • Đôi khi, bạn được cho một số phần tử đầu của Đôi khi, bạn được cho một số phần tử đầu của dãy, dãy, – Và bạn được yêu cầu tìm hàm sinh ra dãy, Và bạn được yêu cầu tìm hàm sinh ra dãy, – Hoặc thủ tục để tính dãy. Hoặc thủ tục để tính dãy. • Examples: What’s the next number? Examples: What’s the next number? – 1,2,3,4,… 1,2,3,4,… – 1,3,5,7,9,… 1,3,5,7,9,… – 2,3,5,7,11, 2,3,5,7,11, 5 (the 5th smallest number >0) 11 (the 6th smallest odd number >0) 13 (the 6th smallest prime number) 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 8 Module #12 - Sequences Rắc rối nhận biết dãy • Như bạn đã biết, các bài toán này được dùng nhiều để kiểm tra IQ, Như bạn đã biết, các bài toán này được dùng nhiều để kiểm tra IQ, nhưng … nhưng … • Bài toán tìm hàm sinh mà chỉ cho trước một số phần tử ban đầu Bài toán tìm hàm sinh mà chỉ cho trước một số phần tử ban đầu không là bài toán đặt chuẩn không là bài toán đặt chuẩn . . – Vì có thể có vô hạn các hàm tính toán được mà có cùng một sô phần tử ban Vì có thể có vô hạn các hàm tính toán được mà có cùng một sô phần tử ban đầu. đầu. • Ta giả thiết ẩn rằng tìm hàm đơn giản nhất như vậy, nhưng Ta giả thiết ẩn rằng tìm hàm đơn giản nhất như vậy, nhưng – Ta định nghĩa khách quan thế nào là đơn giản của hàm số? Ta định nghĩa khách quan thế nào là đơn giản của hàm số? • Ta có thể định nghĩa đơn giản là ngược lại của phức tạp, nhưng Ta có thể định nghĩa đơn giản là ngược lại của phức tạp, nhưng – Nhưng có rất nhiều định nghĩa phức tạp phù hợp khác nhau, và đây đang là Nhưng có rất nhiều định nghĩa phức tạp phù hợp khác nhau, và đây đang là lĩnh vực nghiên cứu sôi động. lĩnh vực nghiên cứu sôi động. • Vậy, các câu hỏi này chưa trả lời khách quan được! Vậy, các câu hỏi này chưa trả lời khách quan được! – Tuy nhiên, tôi vẫn yêu cầu các bạn trả lời (Vì những người khác cũng vậy) Tuy nhiên, tôi vẫn yêu cầu các bạn trả lời (Vì những người khác cũng vậy) 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 9 Module #12 - Sequences Xâu trên thực tế là gì? • Sách nói “dãy hữu hạn” dạng Sách nói “dãy hữu hạn” dạng a a 1 1 , , a a 2 2 , …, , …, a a n n được gọi là xâu ( được gọi là xâu ( strings) strings) , , – Nhưng xâu vô hạn đôi khi cũng được xét đến. Nhưng xâu vô hạn đôi khi cũng được xét đến. • Xâu thường hạn chế là dãy gồm các ký hiệu lấy Xâu thường hạn chế là dãy gồm các ký hiệu lấy trong bảng chữ hữu hạn, và đánh chỉ số từ 0 hoặc 1. trong bảng chữ hữu hạn, và đánh chỉ số từ 0 hoặc 1. – Nhưng cũng có những hạn chế khác bổ sung. Nhưng cũng có những hạn chế khác bổ sung. • Mặt khác, độ dài của xâu hữu hạn là số các chữ của Mặt khác, độ dài của xâu hữu hạn là số các chữ của nó (hoặc số các chỉ số khác nhau). nó (hoặc số các chỉ số khác nhau). 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 10 Module #12 - Sequences Xâu, hình thức hơn Strings, more formally • G/s G/s Σ Σ là tập hữu hạn các ký hiệu, tức là bảng chữ là tập hữu hạn các ký hiệu, tức là bảng chữ . . – Xâu Xâu s s trên bảng chữ trên bảng chữ Σ Σ là dãy bất kỳ các ký hiệu là dãy bất kỳ các ký hiệu { { s s i i } } , , s s i i ∈Σ ∈Σ , , thường được đánh chỉ số bởi thường được đánh chỉ số bởi N N hoặc hoặc N N − − {0} {0} . . • Nếu Nếu a a , , b b , , c c , … , … là ký hiệu, thì xâu là ký hiệu, thì xâu s s = = a a , , b b , , c c , … , … có thể có thể được viết dạng được viết dạng abc… abc… (t (t ức là không cần dấu phảy) ức là không cần dấu phảy) . . • Xâu Xâu s s là xâu hữu hạn và là xâu hữu hạn và t t là xâu bất kỳ, thì ghép nối là xâu bất kỳ, thì ghép nối s s với với t t , viết là , viết là st st , , – Đây đơn giản là xâu gồm các ký hiệu theo thứ tự của Đây đơn giản là xâu gồm các ký hiệu theo thứ tự của s s , được , được nối tiếp bởi các ký hiệu theo thứ tự của nối tiếp bởi các ký hiệu theo thứ tự của t t . . [...]...Module #12 - Sequences Tiếp về các khái niệm trên xâu • Độ dài |s| của xâu hữu hạn s là số các vị trí của nó (tức là số các giá trị chỉ số i) • Nếu s là xâu hữu hạn và n∈N, – Thì sn ký hiệu ghép nối n bản sao . nhưng … nhưng … • Bài toán tìm hàm sinh mà chỉ cho trước một số phần tử ban đầu Bài toán tìm hàm sinh mà chỉ cho trước một số phần tử ban đầu không là bài toán đặt chuẩn không là bài toán đặt chuẩn . . – Vì. (c)2001-2003, Michae l P. Frank 8 Module #12 - Sequences Rắc rối nhận biết dãy • Như bạn đã biết, các bài toán này được dùng nhiều để kiểm tra IQ, Như bạn đã biết, các bài toán này được dùng nhiều để. Frank 2 Module #12 - Sequences Module #12: Dãy - Sequences Rosen 5 Rosen 5 th th ed., §3.2 ed., §3.2 ~9 slides, ~½ lecture ~9 slides, ~½ lecture 08/14/14 (c)2001-2003, Michae l P. Frank 3 Module #12 -