Ôn toán (Nguyễn Đức Tuấn - ĐH Thủy Lợi Hà Nội) - 2 potx

Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 8 Chương 2: Phương trình lượng giác, mũ, logarit Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. Phương trình lượng giác cơ bản Khi gi ả i các ph ươ ng trình l ượ ng giác cu ố i cùng d ẫ n ñế n phép gi ả i các ph ươ ng trình l ượ ng giác c ơ b ả n. Ta c ầ n ghi nh ớ b ả ng sau ñ ây: Ph ươ ng trình ð i ề u ki ệ n có nghi ệ m ðư a v ề d ạ ng Nghi ệ m sinx = m 1 m 1 ≤ ≤ − sinx = sin α    π+α−π= π+α= 2kx 2kx cosx = m 1 m 1 ≤ ≤ − cosx = cos α α ± + k2 π tgx = m m ọ i m tgx = tg α α + k π cotgx = m m ọ i m cotgx = cotg α α + k π Ở b ả ng trên k nh ậ n m ọ i giá tr ị nguyên ( Z k ∈ ) . ðơ n v ị góc th ườ ng dùng là radian. ðể thu ậ n l ợ i cho vi ệ c ch ọ n α ta c ầ n nh ớ giá tr ị c ủ a hàm l ượ ng giác t ạ i các góc ñặ c bi ệ t. ðườ ng tròn l ượ ng giác s ẽ giúp ta nh ớ m ộ t cách rõ ràng h ơ n. Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 9 Ví dụ 1. Gi ả i ph ươ ng trình: a) sin3x = 2 2 ; b) sin(2x - 5 π ) = 1; c) sin( π x ) = 0. Ví dụ 2 . Gi ả i ph ươ ng trình: a) cos2x = cos 5 π ; b) cos(3x - 3 π ) = cos(x + 2 π ); c) cosx = sin(2x + 4 π ). Ví dụ 3 . Gi ả i ph ươ ng trình: 0) 3 8 xcos 3 (cos 2 = π − π . Ví dụ 4. Gi ả i ph ươ ng trình: )xsin3cos()xsincos( π = π Ví dụ 5 . Gi ả i ph ươ ng trình: 1)x2(sinxcos 22 =− II . Phương trình bậc nhất ñối với sinx và cosx: asinx + bcosx = c (1) , 0ba 22 ≠+ Chia hai v ế c ủ a ph ươ ng trình (1) cho 22 ba + , ta ñượ c: (1) ⇔ 222222 ba c xcos ba b xsin ba a + = + + + (2) ðặ t 22 ba a + = sin ϕ ; 22 ba b + = cos ϕ . Khi ñ ó ph ươ ng trình l ượ ng giác có d ạ ng: cos(x - ϕ ) = 22 ba c + (3) Ph ươ ng trình có nghi ệ m khi và ch ỉ khi: 222 22 cba1 ba c ≥+⇔≤ + Khi ñ ó t ồ n t ạ i [ ] π ∈ α ;0 sao cho 22 ba c cos + =α nên ta có: (1) ⇔ α = ϕ − cos)xcos( ⇔ π + α ± ϕ = 2kx ; Z k ∈ Ví dụ 6 . Gi ả i ph ươ ng trình: 2sin4x + 3 sinx = cosx. Ví dụ 7 . Cho ph ươ ng trình: sinx + mcosx = 1 a) Gi ả i ph ươ ng trình v ớ i m = - 3 . b) Tìm m ñể ph ươ ng trình vô nghi ệ m. Ví dụ 8 . Gi ả i ph ươ ng trình: 1xsin3xcosxsin32xcos 22 =++ Ví dụ 9 . Tìm α ñể ph ươ ng trình sau có nghi ệ m x ∈ IR: 2)xsin(xcos3 =α++ Ví dụ 10 . Gi ả i ph ươ ng trình: ).x8cosx6(sin3x6cosx8sin +=− Ví dụ 11 . Tìm m ñể ph ươ ng trình sau có nghi ệ m       π ∈ 2 ;0x : cos2x – msin2x = 2m – 1 Ví dụ 12 . Gi ả i ph ươ ng trình: sin8x – cos6x = 3 (sin6x + cos8x). Ví dụ 13 . Gi ả i ph ươ ng trình: 0 4 1 xsinx4cos.xcosx4cos 22 =+−− Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 10 III. Phương trình ñẳng cấp, phương trình ñối xứng ñối với sinx và cosx 1) Phương trình ñẳng cấp bậc cao ñối với sinx và cosx: Khái niệm: M ộ t ph ươ ng trình sau khi bi ế n ñổ i v ề cosx, sinx mà ở t ấ t c ả các s ố h ạ ng có t ổ ng s ố m ũ c ủ a cosx và c ủ a sinx ho ặ c ñề u là s ố t ự nhiên ch ẵ n ho ặ c ñề u là s ố t ự nhiên l ẻ thì ph ươ ng trình ñ ó ñượ c g ọ i là “ ñẳ ng c ấ p” ñố i v ớ i cosx và sinx. G ọ i k là s ố l ớ n nh ấ t trong các t ổ ng s ố m ũ nói trên ñượ c g ọ i là b ậ c c ủ a ph ươ ng trình. Cách giải : - Xét tr ườ ng h ợ p cosx = 0 th ử vào ph ươ ng trình - Khi 0xcos ≠ chia hai v ế ph ươ ng trình cho cos k x sau ñ ó ñặ t ẩ n ph ụ t = tgx. Ví dụ 14. Gi ả i ph ươ ng trình: 2sin 3 x = cosx Ví dụ 15 . Gi ả i ph ươ ng trình: xsin2) 4 x(sin 3 = π + Ví dụ 16 . Tìm m ñể ph ươ ng trình có nghi ệ m: msin2x + cos2x + sin 2 x +m = 0. Ví dụ 17: Tìm m ñể ph ươ ng trình sau có ñ úng hai nghi ệ m x n ằ m trong kho ả ng       ππ − 2 ; 2 : 3sin 4 x – 2(m+2)sin 2 x.cos 2 x + (1 – m 2 )cos4x = 0. 2) Phương trình ñối xứng sinx và cosx: Khái niệm: M ộ t ph ươ ng trình sau khi bi ế n ñổ i v ề cosx, sinx mà các s ố h ạ ng có ch ứ a t ổ ng (cosx ± sinx ) ho ặ c ch ứ a tích cosx.sinx ñượ c g ọ i là ph ươ ng trình ñố i x ứ ng ñố i v ớ i cosx và sinx. Ví d ụ ph ươ ng trình: 0cxsin.xcosb)xsinx(cosa = + + ± . Cách giải: ðặ t t = sinx + cosx, ta có 2t ≤ . Khi ñ ó: sinx.cosx = 2 1t 2 − N ế u ñặ t t = sinx - cosx, ta có 2t ≤ . Khi ñ ó: sinx.cosx = 2 t1 2 − Ví dụ 18 . Cho ph ươ ng trình: sinx.cosx = 6 ( sinx + cosx + m). a) Gi ả i h ệ ph ươ ng trình v ớ i m = - 1. b) Tìm m ñể ph ươ ng trình có nghi ệ m. Ví dụ 19 . Gi ả i ph ươ ng trình: x2sin 2 3 xcosxsin1 33 =++ Ví dụ 20. Gi ả i ph ươ ng trình: x4sin 2 3 x2cosx2sin1 33 =++ Ví dụ 21 . Tìm m ñể ph ươ ng trình sau có nghi ệ m       ππ ∈ 4 3 , 4 x : .mxsinxcos 33 =+ Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 11 IV. Phương trình ñưa về dạng tích Các ph ươ ng trình l ượ ng giác không có d ạ ng nh ư nh ữ ng ph ươ ng trình ñ ã trình bày ở các m ụ c tr ướ c, ng ườ i ta th ườ ng ngh ĩ t ớ i phân tích chúng thành nh ữ ng ph ươ ng trình c ơ b ả n. Vi ệ c phân tích thành tích th ự c ch ấ t là ñ i tìm th ừ a s ố chung c ủ a các s ố h ạ ng có trong ph ươ ng trình. ðể làm ñượ c ñ i ề u ñ ó, chúng ta c ầ n ph ả i thành th ạ o các công th ứ c l ượ ng giác, các h ằ ng ñẳ ng th ứ c ñạ i s ố ñ áng nh ớ và c ũ ng c ầ n ph ả i có kinh nghi ệ m nhìn nh ậ n m ố i quan h ệ gi ữ a các s ố h ạ ng có trong ph ươ ng trình. • Th ử các nghi ệ m ñặ c bi ệ t nh ư 1xsin ± = , 2 1 xsin ±= , 1xcos ± = , 2 1 xcos ±= và ph ươ ng trình có ch ứ a th ừ a s ố (cosx ± sinx). S ử d ụ ng ñẳ ng th ứ c sin 2 x + cos 2 x = 1. • Dùng các công th ứ c bi ế n ñổ i nh ư h ạ b ậ c, bi ế n ñổ i t ổ ng thành tích , bi ế n ñổ i tích thành t ổ ng, hàm s ố l ượ ng giác c ủ a hai góc có liên quan ñặ c bi ệ t. Chú thêm m ộ t s ố bi ế n ñổ i sau ñ ây: x 2 sin 2 tgxgxcot =+ , x2gcot2tgxgxcot = − , x 2 sin 1 x2gcotgxcot =− • ðặ t các nhân t ử chung (nhân t ử chung suy ra t ừ nghi ệ m ñ ã th ử ñượ c). Tham kh ả o thêm b ả ng h ọ các bi ể u th ứ c có nhân t ử chung. f(x) Biểu thức chứa thừa số f(x) sinx sin2x, tgx, tg2x, cosx sin2x, tg2x, cotgx, 1+cosx 2 x cos 2 , 2 x gcot 2 , sin 2 x, tg 2 x 1-cosx 2 x sin 2 , 2 x tg 2 , sin 2 x, tg 2 x 1+sinx cos 2 x, cotg 2 x, ) 2 x 4 (cos 2 − π , ) 2 x 4 (sin 2 + π 1-sinx cos 2 x, cotg 2 x, ) 2 x 4 (cos 2 + π , ) 2 x 4 (sin 2 − π sinx+cosx cos2x, cotg2x, 1+ sin2x, 1+ tgx, 1+ cotgx, tgx - cotgx sinx-cosx cos2x, cotg2x, 1 - sin2x, 1 - tgx, 1 - cotgx, tgx - cotgx Ví dụ 1 .Gi ả i ph ươ ng trình: cos3x – 2cos2x + cosx = 0 . Ví dụ 2 .Gi ả i ph ươ ng trình: sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x = 2 3 Ví dụ 3. Gi ả i ph ươ ng trình: cos3x.cos4x + sin2x.sin5x = 2 1 ( cos2x + cos4x). Ví dụ 4 .Gi ả i ph ươ ng trình: 2sin 3 x + cos2x + cosx = 0 Ví dụ 5 .Gi ả i ph ươ ng trình: sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx) Ví dụ 6. Gi ả i ph ươ ng trình: x2sin1 tgx1 tgx1 += − + Ví dụ 7 .Gi ả i ph ươ ng trình       − π =− 2 x 4 sin4x2sinx4cos.xsin 22 . Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 12 Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT I. Các kết quả cơ bản 1) Hàm số mũ: y = a x , .1a0 ≠ < • T ậ p xác ñị nh: IR. • T ậ p giá tr ị : IR + . ( ñồ th ị luôn n ằ m phía trên tr ụ c hoành) • Khi a > 1 hàm s ố ñồ ng bi ế n. Khi 0 < a < 1 hàm s ố ngh ị ch bi ế n. • D ạ ng ñồ th ị : 2) Hàm số logarit: y = log a x , .1a0 ≠ < a) Các tính ch ấ t: • T ậ p xác ñị nh: IR * (x > 0 ). • T ậ p giá tr ị : IR • Khi a > 1 hàm s ố ñồ ng bi ế n. Khi 0 < a < 1 hàm s ố ngh ị ch bi ế n. • D ạ ng ñồ th ị : Chú ý: Trong các b ấ t ph ươ ng trình m ũ , logarit, c ơ s ố a l ớ n h ơ n hay bé h ơ n 1 quy ế t ñị nh chi ề u c ủ a b ấ t ph ươ ng trình. Vì v ậ y ph ả i chú ý ñế n chi ề u c ủ a b ấ t ph ươ ng trình trong quá trình bi ế n ñổ i. Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 13 b)Các công thức chú ý: • blog a có ngh ĩ a    ≠< > ⇔ 1a0 0b • alog blog blog c c a = ( Công th ứ c ñổ i c ơ s ố v ớ i 0b > , 1a0 ≠ < , 1c0 ≠ < ). • blog n m blog a m a n = ( V ớ i b > 0 và 1a0 ≠ < ) • |b|log.k2blog a k2 a = v ớ i Z k ∈ . II. Các phương trình, bất phương trình có dạng cơ bản 1) Phương trình mũ: Cho .1a0 ≠ < D ạ ng 1:    = > ⇔= blog)x(f 0b ba a )x(f D ạ ng 2: ba )x(f < (v ớ i b > 0)           > <<    < > ⇔ blog)x(f 1a0 blog)x(f 1a a a D ạ ng 3: ba )x(f > - N ế u 0b ≤ b ấ t ph ươ ng trình nghi ệ m ñ úng v ớ i m ọ i x thu ộ c t ậ p xác ñị nh c ủ a b ấ t ph ươ ng trình. - N ế u b > 0, khi ñ ó b ấ t ph ươ ng trình t ươ ng ñươ ng v ớ i:           < <<    > > blog)x(f 1a0 blog)x(f 1a a a D ạ ng 4:           > <<    < > ⇔< )x(g)x(f 1a0 )x(g)x(f 1a aa )x(g)x(f Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 14 2)Phương trình logarit D ạ ng 1: b a a)x(fb)x(flog =⇔= . D ạ ng 2:           > <<    << > ⇔< b b a a)x(f 1a0 a)x(f0 1a b)x(flog D ạ ng 3:           << <<    > > ⇔> b b a a)x(f0 1a0 a)x(f 1a b)x(flog D ạ ng 4:           << <<    << > ⇔< )x(f)x(g0 1a0 )x(g)x(f0 1a )x(glog)x(flog aa Ví dụ 1. Cho ph ươ ng trình: 1mm 5 1 24 3x4x 2 +−=       +− a)Gi ả i ph ươ ng trình khi m = 1. b)Tìm m ñể ph ươ ng trình có 4 nghi ệ m phân bi ệ t. Ví dụ 2 . Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình: 2)3x8x5(log 2 x >+− Ví dụ 3. Tìm m ñể ph ươ ng trình sau có hai nghi ệ m phân bi ệ t: x)m99(log 3x 2 =+ Ví dụ 4 . Gi ả i ph ươ ng trình: 0)x2cosx(coslog)xsinx(coslog x 1x = + + − Ví dụ 5. Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình: [ ] 1)729(loglog x 3x ≤− Ví dụ 6. Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình: )x3(log)x5(log 3 1 3 1 −<− Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 15 III. Các phương trình, bất phương trình không cơ bản • Ph ả i ñặ t ñ i ề u ki ệ n. • Nh ữ ng bài toán có tham s ố , ñặ t ẩ n ph ụ ph ả i tìm t ậ p xác ñị nh c ủ a ẩ n m ớ i. • Nh ữ ng bài toán ph ươ ng trình, b ấ t ph ươ ng trình m ũ , logarit mà ẩ n x v ừ a ở s ố m ũ c ủ a l ũ y th ừ a, v ừ a ở h ệ s ố , th ườ ng chuy ể n v ề vi ệ c phân tích thành th ừ a s ố , nh ẩ m nghi ệ m và ch ứ ng minh nghi ệ m duy nh ấ t ñố i v ớ i ph ươ ng trình; xét d ấ u c ủ a tích ñố i v ớ i b ấ t ph ươ ng trình. • Khi bài toán ph ứ c t ạ p, có nh ữ ng ph ầ n t ử gi ố ng nhau hay nhân t ử gi ố ng nhau ta có th ể ñặ t ẩ n ph ụ ñể ñư a bài toán tr ở lên ñơ n gi ả n h ơ n. Ví dụ 7 . Gi ả i ph ươ ng trình: 1x1x2xx 9 4 1 4.69 3 1 4.3 +++ −=+ Ví dụ 8. Gi ả i ph ươ ng trình: xxx 6242.33.8 +=+ Ví dụ 9. Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình: 3 )x5(log )x35(log a 3 a > − − (v ớ i 1a0 ≠ < ). Ví dụ 10 . Gi ả i ph ươ ng trình: 2 9 3 32 27 )3x(log 2 1x log)6x5x(log −+       − =+− Ví dụ 11 . Gi ả i ph ươ ng trình: 0)2xlg(lg)xlg(lg 3 =−+ Ví dụ 12 . Gi ả i ph ươ ng trình: x2x)3x2x5(log.x3x2x5log.x 22 6 1 2 6 2 +=−−−−− Ví dụ 13. Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình: )3x(log 2 1 2xlog6x5xlog 3 1 3 1 2 3 +>−++− Ví dụ 14. Gi ả i ph ươ ng trình: 1)x7(log)1x(log)1x(log 2 1 2 1 2 1 = − − + + − Ví dụ 15 . Gi ả i ph ươ ng trình: 25)1x(lg)1x(lg 3224 =−+− Ví dụ 16. Gi ả i ph ươ ng trình: 4)21x23x6(log)x4x129(log 2 3x2 2 7x3 =+++++ ++ Ví dụ 17 . Tìm m ñể ph ươ ng trình sau ñ ây có hai nghi ệ m trái d ấ u: 01m4)4m2(16)3m( xx =++−++ . sinx sin2x, tgx, tg2x, cosx sin2x, tg2x, cotgx, 1+cosx 2 x cos 2 , 2 x gcot 2 , sin 2 x, tg 2 x 1-cosx 2 x sin 2 , 2 x tg 2 , sin 2 x, tg 2 x 1+sinx cos 2 x, cotg 2 x, ) 2 x 4 (cos 2 − π ,. ) 2 x 4 (sin 2 + π 1-sinx cos 2 x, cotg 2 x, ) 2 x 4 (cos 2 + π , ) 2 x 4 (sin 2 − π sinx+cosx cos2x, cotg2x, 1+ sin2x, 1+ tgx, 1+ cotgx, tgx - cotgx sinx-cosx cos2x, cotg2x, 1 - sin2x,. 2 9 3 32 27 )3x(log 2 1x log)6x5x(log −+       − =+− Ví dụ 11 . Gi ả i ph ươ ng trình: 0)2xlg(lg)xlg(lg 3 =−+ Ví dụ 12 . Gi ả i ph ươ ng trình: x2x)3x2x5(log.x3x2x5log.x 22 6 1 2 6 2 +=−−−−−