Giáo trình đồ họa - Lesson 2 ppt

KHoa CNTT-DDHBK Hà nội hunglt@it-hut.edu.vn 0913030731 1 (c) SE/FIT/HUT 2002 Bài 2: Các giảithuật sinh các thực thể cơ sở Le Tan Hung hunglt@it-hut.edu.vn 0913030731 (c) SE/FIT/HUT 2002 2 Giảithuậtxâydựng các thựcthể cơ sở  Giảithuậtsinhđường thẳng – Line  Giảithuậtsinhđường tròn - Circle  Giảithuật VanAken sinh Ellipse  Giảithuậtsinhđagiác  Giảithuậtsinhkýtự (c) SE/FIT/HUT 2002 3 Rờirạchoáđiểm ảnh (Scan Conversion rasterization)  Là tiếntrìnhsinhcácđốitượng hình họccơ sở bằng phương pháp xấpxỉ dựatrênlưới phân giảicủamànhình  Tính chất các đốitượng cần đảmbảo:  smooth  continuous  pass through specified points  uniform brightness  efficient (c) SE/FIT/HUT 2002 4 Biểudiễn đoạnthẳng  Biểudiễntường minh (y-y1)/( x-x1) = ( y2-y1)/( x2-x1)1 y = kx + m  k = (y2-y1)/( x2-x1)  m = y1- kx1  Δy = k Δx  Biểudiễn không tường minh (y2-y1)x - (x2-x1)y + x2y1 - x1y2 = 0 hay rx + sy + t = 0  s = -(x2-x1 )  r = (y2-y1) và t = x2y1 - x1y2  Biểudiễnthambiến P(u) = P1 + u(P2 - P1) u [0,1] X = x1 + u( x2 - x1 ) Y = y1 + u( y2 - y1 ) m P(x 1 , y 1 ) P(x 2 , y 2 ) u (c) SE/FIT/HUT 2002 5 Thuật toán DDA (Digital Differential Analizer) Giảithuật DDA  Với 0 < k < 1 x i+1 = x i + 1 y i+1 = y i + k với i=1,2,3 Thuậttoán ddaline (x1, y1, x2, y2) x1, y1, x2, y2 : tọa độ 2 điểm đầucuối k : hệ số góc x,y,m :biến begin m =(x2-x1)/(y2-y1); x = x1; y = y1; k = 1/m; putpixel(x,y); while x<x2 begin x = x+1; y = y+k; putpixel(round(x),round(y)); end; end; Giảithuật thông thường DrawLine(int x1,int y1, int x2,int y2, int color) { float y; int x; for (x=x1; x<=x2; x++) { y = y1 + (x-x1)*(y2-y1)/(x2-x1) WritePixel(x, Round(y), color ); }} (c) SE/FIT/HUT 2002 6 Giảithuật Bresenham  1960 Bresenham thuộcIBM  điểmgầnvới đường thẳng dựa trên độ phân giai hưuhạn  loạibỏđược các phép toán chia và phép toán làm tròn như ta đãthấytronggỉai thuật DDA  Xét đoạnthẳng với 0 < k < 1 012 0 1 2 d2 d1 KHoa CNTT-DDHBK Hà nội hunglt@it-hut.edu.vn 0913030731 2 (c) SE/FIT/HUT 2002 7 Giảithuật Bresenham d 2 = y - yi = k(xi +1) + b - yi d 1 = yi+1 - y = yi + 1 - k(xi + 1) - b  If d 1 ≤ d 2 => y i+1 = yi + 1 else d 1 > d 2 => y i+1 = yi  D = d 1 -d 2 = -2k(xi + 1) + 2yi - 2b + 1  Pi = ΔxD = Δx (d 1 -d 2 ) d1 d2 x i x i +1 y i y i +1 (c) SE/FIT/HUT 2002 8 Pi = -2Δyxi + 2Δxyi + c P i+1 -P i = -2Δy(x i+1 - xi) + 2Δx(yi +1 -yi)  NếuPi ≤ 0 ⇒ yi +1 = yi + 1 Pi +1 = Pi - 2Δy + 2Δx  Nếu Pi > 0 ⇒ yi +1 = yi Pi +1 = Pi - 2Δy P 1 = Δx(d 1 -d 2 ) P 1 = -2Δy + Δx Giảithuật Bresenham (c) SE/FIT/HUT 2002 9 y i+1 M ( x i , y i ) x i x i+1 Giảithuật trung điểm-Midpoint  Jack Bresenham 1965 / Pitteway 1967  VanAken áp dụng cho việc sinh các đường thẳng và đường tròn 1985  Các công thức đơngiảnhơn, tạo đượccácđiểm tương tự như với Bresenham  d = F (xi + 1, yi + 1/2) là trung điểmcủa đoạn AB  Việc so sánh, hay kiểmtraM sẽđược thay bằng việc xét giá trị d.  Nếud > 0 điểmB đượcchọn, y i+1 = y i  nếud < 0 điểmA đượcchọn. ⇒ y i+1 = y i + 1  Trong trường hợp d = 0 chúng ta có thể chọn điểmbấtkỳ hoặc A, hoặcB. A M B (c) SE/FIT/HUT 2002 10 Bresenham’s Algorithm: Midpoint Algorithm  Sử dụng phương pháp biểudiễn không tường minh  Tạimỗi trung điểmcủa đoạnthẳng giá trịđượctínhlà:  Chúng ta gọi d i là biến quyết định củabướcthứ i 0= + + cbyax () () () iiii iiii iiii yxcbyax yxcbyax yxcbyax ,0 ,0 ,0 ⇒>++ ⇒<++ ⇒ = + + on line above line below line () cybxad iii + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +++= 2 1 1 (c) SE/FIT/HUT 2002 11 Bresenham’s Algorithm: Midpoint Algorithm  If d i > 0 then chọn điểm A⇒ trung điểmtiếptheosẽ có dạng: () bad cybxadyx i iiiii ++= + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +++=⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ + 2 3 2 2 3 ,2 1 (c) SE/FIT/HUT 2002 12 Bresenham’s Algorithm: Midpoint Algorithm  if d i < 0 then chọn điểm Bvà trung điểmmớilà  Ta có:  Ðiểm đầu () [] 2 2 1 1 2 1 ,1 b acbyax cybxadyx startstart startstartstartstartstart ++++= + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +++=⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ () ad cybxadyx i iiiii += + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +++=⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ + 2 1 2 2 1 ,2 1 Cx x y y xCc xxxb yyya startend startend + Δ Δ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ Δ= −=Δ−= −=Δ= where 2 0 b a ++= KHoa CNTT-DDHBK Hà nội hunglt@it-hut.edu.vn 0913030731 3 (c) SE/FIT/HUT 2002 13 Midpoint Line Algorithm dx = x_end-x_start dy = y_end-y_start d = 2*dy-dx x = x_start y = y_start while x < x_end if d <= 0 then d = d+(2*dy) x = x+1 else d = d+2*(dy-dx) x = x+1 y = y+1 endif SetPixel(x,y) endwhile initialisation choose B choose A (c) SE/FIT/HUT 2002 14 Giảithuật Bresenham's Midpoint  d = a(xi + 1) + b(yi + 1/2) + c  Nếu điểm đượcchọnlàB thiM sẽ tang theo x một đơnvị  d i+1 = F(xi +2, yi + 1/2) = a(xi +2) + b(yi + 1/2) + c  di = a(xi + 1) + b(yi + 1/2) + c  Nếu điểmA đượcchọnthi` M tăng theo 2 hướng x và y với cùng một đơnvị. di + 1 = F (xi + 2, yi+ 3/2)  = a(xi + 2) + b(yi +3/2) + c  di + 1 = di + a + b. ¾ Với a + b = dy - dx. d <= 0 B¾t ®Çu x = x1 ; y = y1; dx = x2 - x1; dy = y2 - y1; d = dy - dx/2; Putpixel (x ,y); x < x2 KÕt thóc d = d + dy d = d + dy - dx y = y + 1 yes no No yes x = x + 1 (c) SE/FIT/HUT 2002 15 Sinh đường tròn Scan Converting Circles  Implicit: f(x) = x 2 +y 2 -R 2  Explicit: y = f(x)  Parametric: 22 yRx=± − cos sin xR yR θ θ = = If f(x,y) = 0 then it is on the circle. f(x,y) > 0 then it is outside the circle. f(x,y) < 0 then it is inside the circle. Usually, we draw a quarter circle by incrementing x from 0 to R in unit steps and solving for +y for each step. - by stepping the angle from 0 to 90 - avoids large gaps but still insufficient. (c) SE/FIT/HUT 2002 16 Midpoint Circle Algorithm  Sử dụng phương pháp biểudiễn không tường minh trong giảithuật  Thựchiệngiảithuậttrên1/8 đường tròn và lấy đốixứng xho các góc còn lại.  Với d i là giá trị của đường tròn tại một điểmbấtkỳ ta có ( ) ( ) 0 2 22 =−−+− ryyxx cc ( ) () () circle outside is , if 0 circleon is , if 0 circle inside is , if 0 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = < = ii ii ii i yx yx yx d (c) SE/FIT/HUT 2002 17 Midpoint Circle Algorithm  As with the line, we determine the value of the decision variable by substituting the mid-point of the next pixel into the implicit form of the circle:  If d i < 0 we choose pixel A otherwise we choose pixel B  Note: we currently assume the circle is centered at the origin () 2 2 2 2 1 1 ryxd iii − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −++= (c) SE/FIT/HUT 2002 18 Midpoint Circle Algorithm  Again, as with the line algorithm, the choice of A or B can be used to determine the new value of d i+1  If A chosen then next midpoint has the following decision variable:  Otherwise if B is chosen then the next decision variable is given by: () 32 2 1 2 2 1 ,2 2 2 2 1 ++= − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −++=⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ + ii iiiii xd ryxdyx () 522 2 3 2 2 3 ,2 2 2 2 1 +−+= − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −++=⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ + iii iiiii yxd ryxdyx KHoa CNTT-DDHBK Hà nội hunglt@it-hut.edu.vn 0913030731 4 (c) SE/FIT/HUT 2002 19 Midpoint Circle Algorithm  If we assume that the radius is an integral value, then the first pixel drawn is (0, r) and the initial value for the decision variable is given by:  Although the initial value is fractional, we note that all other values are integers. ⇒ we can round down: r rrrdr −= − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−+=⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 4 5 4 1 1 2 1 ,1 22 0 rd −=1 0 (c) SE/FIT/HUT 2002 20 Midpoint Circle Algorithm d = 1-r x = 0 y = r while y < x if d < 0 then d = d+2*x+3 x = x+1 else d = d+2*(x-y)+5 x = x+1 y = y-1 endif SetPixel(c x +x,c y +y) endwhile initialisation choose B choose A Translate to the circle center stop at diagonal ⇒ end of octant (c) SE/FIT/HUT 2002 21 Scan Converting Ellipses  2a is the length of the major axis along the x axis.  2b is the length of the minor axis along the y axis.  The midpoint can also be applied to ellipses.  For simplicity, we draw only the arc of the ellipse that lies in the first quadrant, the other three quadrants can be drawn by symmetry 22 22 22 (, ) 0Fxybxayab=+−= (c) SE/FIT/HUT 2002 22 Scan Converting Ellipses: Algorithm  Firstly we divide the quadrant into two regions  Boundary between the two regions is  the point at which the curve has a slope of -1  the point at which the gradient vector has the i and j components of equal magnitude 22 (, ) / / 2 2 g radFxy Fx Fy bx ay=∂ ∂ +∂ ∂ = +ijij A M tiep tuyen = -1 B gradient B C M i (c) SE/FIT/HUT 2002 23 Ellipses: Algorithm (cont.)  At the next midpoint, if a 2 (y p -0.5)<=b 2 (x p +1), we switch region 1=>2  In region 1, choices are E and SE  Initial condition: d init = b 2 +a 2 (-b+0.25)  For a move to E, d new = d old +Delta E with Delta E = b 2 (2x p +3)  For a move to SE, d new = d old +Delta SE with Delta SE = b 2 (2x p +3)+a 2 (-2y p +2)  In region 2, choices are S and SE  Initial condition: d init = b 2 (x p +0.5) 2 +a 2 ((y-1) 2 -b 2 )  For a move to S, d new = d old +Delta s with Delta s = a 2 (-2y p +3)  For a move to SE, d new = d old +Delta SE with Delta SE = b 2 (2x p +2)+a 2 (-2y p +3)  Stop in region 2 when the y value is zero. (c) SE/FIT/HUT 2002 24 Ký tự Bitmap  Trên cơ sỏđịnh nghĩamỗikýtự với một font chư cho trướclàmột bitmap chữ nhậtnhỏ  Font/typeface: set of character shapes  fontcache  các ký tự theo chuỗiliêntiếp nhau trong bộ nhớ  Dạng cơ bản  (thường N, nghiêng I, đậm B, nghiêng đậmB+I)  Thuộctính  Also colour, size, spacing and orientation ab KHoa CNTT-DDHBK Hà nội hunglt@it-hut.edu.vn 0913030731 5 (c) SE/FIT/HUT 2002 25 Cấutrúcfont chữ Typedef struct { int leftx, int width; } Char location; //Vị trí củatext Typedef struct { CacheId; Heiglit; // Độ rộng chữ CharSpace; // Khoảng cách giữacáckýtự Charlocation Table [128]; } fontcache (c) SE/FIT/HUT 2002 26 Ký tự vector  Xây dựng theo phương pháp định nghĩa các ký tự bởi đường cong mềm bao ngoài của chúng.  Tốnkémnhấtvề mặt tính toán  Chất lượngcao (c) SE/FIT/HUT 2002 27 So sánh  Đơngiảntrôngviệcsinhkýtự ( copypixel)  Lưutrữ lớn  Các phép biến đổi (I,B, scale) đòi hỏilưutrữ thêm  Kích thước không dổi  Phứctạp(Tínhtoánphương trình)  Lưutrữ gọnnhẹ  Các phép biến đổidựa vào các công thứcbiến đổi  Kích thướcphụ thuôc vào môi trường ( ko có kích thướccố định) (c) SE/FIT/HUT 2002 28 Giải thuật đường quét sinh đa giác Polygon Scan Conversion  Tồn tại rất nhiều giải thuật sinh đa giác.  Mỗi giải thuật phục vụ cho 1 loại đa giác nhất định:  some algorithms allow triangular polygons only  others require that the polygons are convex and non self- intersecting and have no holes triangular convex non-convex self-intersecting religious (c) SE/FIT/HUT 2002 29 Polygon Scan Conversion  Polygon scan conversion là giải thuật chung kinh điển cho các loại khác nhau  Cho mỗi đoạn thẳng quét, chúng ta xác định các cạnh của đa giác cắt đoạn thẳng compute spans representing the interior portions of the polygons along this scan-line and fill the associated pixels.  This represents the heart of a scan-line rendering algorithm used in many commercial products including Renderman and 3D Studio MAX. (c) SE/FIT/HUT 2002 30 Polygon Scan Conversion  Dùng giảithuật (trung điểm) để xác định các điểmbiênchomỗi đagiác theo thứ tự tăng củax.  Các diểmphải:  Không bị chia sẻ bởicácđagiáclân cận  Các đagiácchỉ toàn các điểmcạnh( điểmbiên)  Đảmbảocácđagiácchiasẻđiểm biên mà không chia sẻ các điểm ảnh bên trong của mình. KHoa CNTT-DDHBK Hà nội hunglt@it-hut.edu.vn 0913030731 6 (c) SE/FIT/HUT 2002 31 Polygon Scan Conversion  Thủ tục chung:  Xác định giao của đường thẳng quét với cạnh đa giác  Sắp xếp các giao điểm theo mức độ tăng dần của x value  Điền các điểm ảnh vào giữa cặp các điểm x  Need to handle 4 cases to prevent pixel sharing:  if intersection has fractional x value, do we round up or down? • if inside (on left of span) round up, if outside (on right) round down  what happens if intersection is at an integer x value? • if on left of span assume its interior otherwise exterior  how do we handle shared vertices? • ignore pixel associated with y max of an edge  how do we handle horizontal edges? • handled as a result of previous rule (lower edges not drawn) (c) SE/FIT/HUT 2002 32 Polygon Scan Conversion rounded down for A rounded up for B integer x value is on right = exterior y max not included horizontal edge removed (c) SE/FIT/HUT 2002 33 Polygon Scan Conversion  Determining intersections with polygon edges is expensive  rather than re-computing all intersections at each iteration, use incremental calculations  i.e. if we intersect edge e on scan-line i then it is likely we will intersect the edge on scan-line i+1 (this is known as edge-coherence)  Assume slope of the edge > 1 (other edges obtained via symmetries)  incremental DDA calculation was:  slope m is given by  note that numerator and denominator are integral ⇒ we can use integer DDA. m xxyy iiii 1 ,1 11 +=+= ++ ( ) () startend startend xx yy m − − = (c) SE/FIT/HUT 2002 34 Giảithuật đường quét Scan-Line Algorithm  The scan-line algorithm uses edge-coherence and incremental integer calculations for maximum efficiency:  Tạobảng edge table (ET) tậpcủacáccạnh đagiáctheothứ tự giá trị y min của chúng  Tạobảng active edge table (AET) tậpcáccạnh giao vớI đoạnthẳng quét scan-line  Trong tiến trình quét các cạnh sẽ chuyểntừ ET ra AET.  Các cạnh sẽởtrong AET cho đến khi giá trị y max củacạnh đạt tới = scanline  Lúc nay cạnh sẽ bị loạirakhỏiAET. (c) SE/FIT/HUT 2002 35 Edge Table (ET) Note: line (8,6) → (13,6) has been deleted according to the scan rules y max x min numerator denominator scan-line (0,0) (15,15) 5 31 − =⇒ m (c) SE/FIT/HUT 2002 36 Active Edge Table (AET) y max current x denominator AET = current numerator round up round down KHoa CNTT-DDHBK Hà nội hunglt@it-hut.edu.vn 0913030731 7 (c) SE/FIT/HUT 2002 37 Scan-Line Algorithm y = y of first non empty entry in ET AET = null repeat move all ET entries in slot y to AET sort AET entries according to x min fill spans using pairs of AET entries for all AET members if y max = y then remove from AET y = y+1 for all AET members update numerator if numerator>denominator numerator=numerator-denominator x = x+1 until AET and ET empty . SE/FIT/HUT 20 02 4 Biểudiễn đoạnthẳng  Biểudiễntường minh (y-y1)/( x-x1) = ( y2-y1)/( x2-x1)1 y = kx + m  k = (y2-y1)/( x2-x1)  m = y 1- kx1  Δy = k Δx  Biểudiễn không tường minh (y2-y1)x - (x2-x1)y. by: () 32 2 1 2 2 1 ,2 2 2 2 1 ++= − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −++=⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ + ii iiiii xd ryxdyx () 522 2 3 2 2 3 ,2 2 2 2 1 +−+= − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −++=⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ + iii iiiii yxd ryxdyx KHoa CNTT-DDHBK. (x2-x1)y + x2y1 - x1y2 = 0 hay rx + sy + t = 0  s = -( x2-x1 )  r = (y2-y1) và t = x2y1 - x1y2  Biểudiễnthambiến P(u) = P1 + u(P2 - P1) u [0,1] X = x1 + u( x2 - x1 ) Y = y1 + u( y2 - y1 ) m P(x 1 ,