Hằng đẳng thức (tiếp) ppsx

hằng đẳng thức ( Tiếp) a. mục tiêu: * Củng cố và nâng cao kiến thức về hằng đẳng thức * Tiếp tục rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về hằng đẳng thức * Tạo hứng thú cho HS trong quá trình học nâng cao môn toán b. hoạt động dạy học: I. Nhắc lại nội dung bài học: Những hằng đẳng thức đáng nhớ: Bình phơng một tổng: ( A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (1) Bình phơng một hiệu: ( A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2 (2) Hiệu hai bình phơng: A 2 B 2 = (A + B)(A B) (3) Lập phơng một tổng: (A + B) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (4) Lập phơng một hiệu: (A - B) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 (5) Tổng hai lập phơng: a 3 + b 3 = ( a + b )( a 2 ab + b 2 ) (6) Hiệu hai lập phơng: a 3 b 3 = ( a b )( a 2 + ab + b 2 ) (7) Bình phơng tổng ba hạng tử: (A + B + C) 2 = A 2 + B 2 + C 2 + 2(AB + AC + BC) II. Bài tập áp dụng: Hoạt động của GV Hoạt động của HS Bài 1: Rút gọn biểu thức: a) (x - 2) 3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3) Cho HS ghi đề, tiến hành bài giải Ta thực hiện phép tính nh thế nào? b) (x - 2)(x 2 - 2x + 4)(x + 2)(x 2 + 2x + 4) Ta nên thực hiện phép tính nh thế nào? Bài 2: Tìm x biết (x - 3)(x 2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1 Để tìm x ta làm thế nào? Bài 3: Viết biểu thức sau dới dạng tổng của ba bình phơng: A = (a + b + c) 2 + a 2 + b 2 + c 2 HS ghi đề, tiến hành bài giải 1HS lên giải a) (x - 2) 3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3) = = 5x - 8 HS thực hiện, 1HS lên giải b) (x - 2)(x 2 - 2x + 4)(x + 2)(x 2 + 2x + 4) = (x - 2)(x 2 + 2x + 4)(x + 2)(x 2 - 2x + 4) = (x 3 - 8)(x 3 + 8) = x 6 - 64 HS ghi đề, tiến hành bài giải Thực hiện phép tính, rút gọn vế trái 1HS lên bảng giải (x - 3)(x 2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1 x 3 - 27 - x(x + 2)(x - 2) = 1 x 3 - 27 - x(x 2 - 4) = 1 x 3 - 27 - x 3 + 4x = 1 4x = 28 x = 7 HS ghi đề, tìm cách giải Đại diện HS lên trình bày( Nếu không giải đợc thì theo Hd của GV) Cho HS suy nghĩ, tìm cách giải Nếu HS cha giải đợc thì gợi ý: Hãy triển khai, tách tổng trên thành ba tổng có dạng: A 2 + 2AB + B 2 Bài 4: Tính giá trị Bt khi biết giá tri Bt khác a) Cho x + y = 2; x 2 + y 2 = 10. Tính giá trị của Bt A = x 3 + y 3 Cho HS giải Viết A thành tích Để tính giá trị của A ta cần tính xy. Tính xy nh thế nào? Từ : x + y = 2; x 2 + y 2 = 10. Hãy tìm cách tính xy b) Cho a + b + c = 0 ; a 2 + b 2 + c 2 = 1 Tính giá trị của Bt: B = a 4 + b 4 + c 4 ? Để có a 4 + b 4 + c 4 ta làm thế nào? Nhiệm vụ bây giờ là làm gì? A = a 2 + b 2 + c 2 +2ab+2bc+ 2 ca+ a 2 + b 2 + c 2 = (a 2 + 2ab+ b 2 ) + (a 2 +2ac+ c 2 ) + (b 2 + 2bc+ c 2 ) = (a + b) 2 + (a + c) 2 + (b + c) 2 HS giải A = (x + y)(x 2 + y 2 - xy) = 2( 10 - xy) (1) HS suy nghĩ, tìm cách tính xy Từ x + y = 2 x 2 + y 2 + 2xy = 4 xy = - 3 (2) Thay (2) vào (1) ta có : A = 2(10 + 3) = 26 HS ghi đề Bình phơng Bt: a 2 + b 2 + c 2 = 1, ta có a 4 + b 4 + c 4 + 2(a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) = 1 a 4 + b 4 + c 4 = 1 - 2(a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) (1) Tính: 2(a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) Để có (a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) ta phải làm gì? Khi đó ab + bc + ca = ? a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 = ? Từ đây, làm thế nào để tính giá trị của Bt B Bài 5: Cho a = 2n 1 1 ; b = n 1 1 1 và c = n 6 6 Chứng minh rằng: A = a + b + c + 8 là một số chính phơng Để chứng minh một tổng là một số chính phơng, ta cần c/m gì? ta phải bình phơng Bt: (ab + bc + ca) Ta bình phơng Bt: a + b + c = 0, ta có: (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca) = 0 ab + bc + ca = 1 2 (ab + bc + ca) 2 = 1 4 a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 + 2(a + b + c) abc = 1 4 a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 = 1 4 (2) Thay (2) vào (1) ta có: B = 1 - 2. 1 4 = 1 - 1 2 = 1 2 HS ghi đề, tìm cách giải Để chứng minh một tổng là một số chính phơng, ta cần c/m nó bằng bình phơng của một số A = 2n 1 1 + n 1 1 1 + n 6 6 + 8 A = a + b + c + 8 = ? Ta có: n n 9 11 1 (11 1) 9 . Viết thành luỹ thừa 10? Bài 6: Tồn tại hay không các số x, y, z thoã mãn đẳng thức: x 2 + 4y 2 + z 2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0 Hãy biến đổi vế trái đẳng thức thành dạng tổng các bình phơng? Có nhận xét gì về hai vế của đẳng thức? Ta có kết luận gì? = 9 9 ( 2n 1 1 ) + 9 9 ( n 1 1 1 ) + 6( n 1 1 ) + 8 = 2n 10 1 9 + n 1 10 1 9 + 6. n 10 1 9 + 8 = 2n n 1 n 10 10 10 64 9 = 2n n 10 16.10 64 9 = 2 2 2 n n 1 10 8 100 08 33 36 3 3 x 2 + 4y 2 + z 2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0 (x 2 - 4x+ 4)+(4y 2 +4y+1)+(z 2 - 8z +16)+ 2 = 0 (x - 2) 2 + (2y + 1) 2 + (z - 4) 2 + 2 = 0 Rõ ràng, vế trái của đẳng thức là một số dơng với mọi x, y, z; còn vế phải bằng 0 Vậy không tồn tại các số x, y, z thoã mãn đẳng thức: x 2 + 4y 2 + z 2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0 Ta có thể nói : Biểu thức A = x 2 + 4y 2 + z 2 - 4x + 4y - 8z + 23 có giá trị nhỏ nhất là 2 khi x = 2 ; y = 1 2 và z = 4 Bài tập về nhà Bài 1: Rút gọn biểu thức: a) (y - 2)(y + 2)(y 2 + 4) - (y + 3)(y - 3)(y 2 + 9) b) 2(x 2 - xy + y 2 )(x - y)(x 2 + xy + y 2 )(x + y) - 2(x 6 - y 6 ) Bài 2: a) Cho x - y = 1. Tính giá trị Bt: A = x 3 - y 3 - 3xy b) Cho x + y = a + b; x 2 + y 2 = a 2 + b 2 . Tính x 3 + y 3 theo a và b Bài 3: Chứng minh rằng Nếu a + b + c = 0 thì a 3 + b 3 + c 3 = 3 abc . hằng đẳng thức ( Tiếp) a. mục tiêu: * Củng cố và nâng cao kiến thức về hằng đẳng thức * Tiếp tục rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về hằng đẳng thức * Tạo hứng thú. x, y, z thoã mãn đẳng thức: x 2 + 4y 2 + z 2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0 Hãy biến đổi vế trái đẳng thức thành dạng tổng các bình phơng? Có nhận xét gì về hai vế của đẳng thức? Ta có kết. của đẳng thức là một số dơng với mọi x, y, z; còn vế phải bằng 0 Vậy không tồn tại các số x, y, z thoã mãn đẳng thức: x 2 + 4y 2 + z 2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0 Ta có thể nói : Biểu thức