GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ MATHEMATICA docx

I. GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ MATHEMATICA 1.Giới thệu sơ bộ về Mathematica Tác giả của Mathematica là Stephen Wolfram, người được xem là nhà sáng tạo quan trọng nhất trong lĩnh vực tính toán khoa học và kỹ thuật ngày nay. Ông sinh năm 1959 tại London và học tại các trường Eton, Oxford và Caltech. Ông xuất bản các công trình khoa học đầu tiên của mình ở tuổi 15 và năm 20 tuổi đã bảo vệ thành công học vị PhD về vật lý tại trường đại học Caltech. Ông bắt đầu phát triển Mathematica vào năm 1986. Mathematica là một hệ thống nhằm thực hiện các tính toán toán học trên máy tính điện tử. Nó là một tổ hợp các tính toán bằng ký hiệu, tính toán bằng số, vẽ đồ thị và là ngôn ngữ lập trình tinh vi Lần đầu tiên khi version 1 của Mathematica được phát hành, mục đích chính của phần mềm này là đưa vào sử dụng cho các ngành khoa học vật lý, công nghệ và toán học, nhưng cùng với thời gian Mathematica trở thành phần mềm quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học khác. Phiên bản đầu tiên của Mathematica được công bố ngày 23 tháng 6 năm 1988, công trình này được xem là thành tựu chính trong lĩnh vực khoa học tính toán. Phiên bản mới nhất hiện nay là 8.0. 2. Giao diện của mathematica Mathematica đưa ra một giao diện rất thân thiện với người sử dụng, được đặt tên là bản ghi (notebook- thường được gọi tắt là nb). Các bản ghi là dạng cửa sổ biểu diễn một lượt sử dụng Mathematica bao gồm đầy đủ các ghi chép cả về chương trình nguồn, cả về kết quả thực hiện trên cùng một bản ghi và được ghi lại dưới dạng một file riêng của Mathematica có đuôi là *.nb. Các bản ghi được tổ chức thành các ô (cell) một cách có trật tự và thứ bậc. Ta có thể nhóm một nhóm ô lại sao cho chỉ thấy ô đầu của nhóm ô đó (với số nhóm lồng tùy ý). Mathematica còn đưa ra một giao diện phụ là các bảng lệnh (Palettes) và các nút lệnh (Button). Người sử dụng chỉ cần nhấp chuột rất đơn giản và có thể tùy biến theo ý mình. II. MỘT SỐ LƯU Ý KHI SỬ DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA - Mathematica phân biệt chữ hoa và chữ thường. Những lệnh, hàm, các kí hiệu, các biến có sẵn trong Mathematica luôn được bắt đầu bằng chữ in hoa. Ví dụ: Plot, Cos, Sin,… Nếu tên chứa hai hay nhiều tên kết hợp thì kí tự đầu tiên của mỗi tên đều phải viết hoa. Ví dụ: FindRoot, FactorIteger, - Để thực hiện một lệnh trong Mathematica, ấn đồng thời hai phím “Shift + Enter”. - Có 4 loại móc được sử dụng trong chương trình Mathematica: + Cặp ngoặc ( ) dùng để chứa các biểu thức toán học. + Cặp ngoặc [ ] dùng đẻ chứa các đối số, biến số của lệnh, của hàm. + Cặp ngoặc { } dùng để liệt kê các miền cho đối số, liệt kê các công việc, dùng cho các mảng hoặc ma trận. + Cặp ngoặc [[ ]] được sử dụng khi gọi đến một phần tử của một ma trận. - Cách đặt biến bình thường như: a, b, c, x, y, z,…, không được dùng các chữ cái I, E, C, D, N để đặt tên biến. - Kết thúc một câu lệnh, nếu dùng dấu chấm phẩy (;) thì kết quả sẽ không hiển thị bên dưới. Ngược lại, nếu dùng dấu chấm phẩy (;) thì kết quả sẽ được hiển thị bên dưới. - Phân biệt giữa x =: 1,x = 1 và x == 1 + x =: 1 là lệnh gán giá trị 1 cho hằng số x. + x = 1 là lệnh gán giá trị 1 cho biến x (x có thể thay đổi giá trị trong khi thực hiện chương trình). + x == 1 là so sánh giữa giá trị vế trái là x có bằng giá trị vế phải là 1 hay không. III. CÁC PHÉP TOÁN VÀ CÁC HÀM CƠ BẢN 1. Các phép toán cơ bản Phép cộng: x+y Phép trừ: x-y Phép nhân: x*y, hoặc x y Phép chia: x/y 2. Một số hàm cơ bản Hàm số cơ bản Khai báo trong Mathematica Hàm số cơ bản Khai báo trong Mathematica x Abs[x] x Sqrt[x] hoặc x^(1/2) sin x Sin[x] cos x Cos[x] tgx Tan[x] cotg x Cot[x] arcsin x ArcSin[x] arccos x ArcCos[x] arctgx ArcTan[x] arccotgx ArcCot[x] log a x Log[a,x] ln x Log[x] x a a^x x e E^x hoặc Exp(x) IV. MỘT SỐ ĐỒ THỊ TRONG MATHEMATICA A. ĐỒ THỊ HAI CHIỀU 1. Cú pháp: Lệnh Plot[f,{x,x min ,x max }] : vẽ đồ thị hai chiều của hàm f(x) với x chạy từ x min đến x max . Ví dụ : Plot[Tan[x],{x,-3,3}]; -3 -2 -1 1 2 3 -40 -20 20 40 Lệnh Plot[{f 1 ,f 2 ,…},{ x,x min ,x max }] : vẽ đồng thời đồ thị của các hàm {f 1 ,f 2 ,…} với x chạy từ x min đến x max (dấu “;”được thêm vào cuối câu lệnh về đồ thị để không hiện ra các câu thông báo về đối tượng Graphics) Ví dụ : Plot[{Sin[x], Sin[2x], Sin[3x]}, {x, 0, 2 Pi}]; 1 2 3 4 5 6 -1 -0.5 0.5 1 Theo cách này ứng với mỗi trị số của x tính trực tiếp được trị số của hàm f , ta có tương ứng mỗi cặp điểm trên đồ thị. Một cách khác là tính ra một hàm số (có thể chỉ là biểu thức gần đúng) có biểu thức giải tích theo các biến chữ (gọi là hàm hiện) rồi mới thay giá trị x vào để tính giá trị cho f(x). Trình tự này thường được dùng cho các hàm nội suy, là các hàm không có biểu thức dạng giải tích. Nó được thể hiện bằng các lệnh: Plot[Evaluate[f],{x,xmin,xmax}] và Plot[Evaluate[Table[{f1, f2 }]],{x,xmin,xmax}]. Ví dụ : Plot[Evaluate[Table[BesselJ[n,x],{n,4}]], {x,0,10}]; 2 4 6 8 10 -0.2 0.2 0.4 0.6 Một lệnh khác theo loại này thường được dùng cho vẽ đồ thị nghiệm các phương trình vi phân giải gần đúng : Plot[y[x]/.nghiệm, {x, xmin, xmax}]. Ví dụ : In[1]:= NDSolve[{y'[x] == Sin[y[x]],y[0] == 1}, y, {x, 0, 4}] Out[1]= {{y→InterpolatingFunction[{{0.,4.}},<>]}} In[2]:= Plot[Evaluate[ y[x] /. % ],{x, 0, 4}]; 1 2 3 4 1.5 2 2.5 3 2. Các tùy chọn của đồ thị hai chiều a. Các tùy chọn mặc định của đồ thị hai chiều - Một lệnh vẽ đồ thị của Mathematica có rất nhiều các tùy chọn bổ sung và ta có thể thay thế giá trị mặc định. Để liệt kê các tùy chọn và các giá trị mặc định gán sẵn ta dung lệnh Options[Plot]. Dạng tổng quát của nó là: Options[đối tượng] cho danh sách các tùy chọn và mặc định của đối tượng; hoặc Options[đối tượng, tùy chọn] cho danh sách đặt của tùy chọn trong đối tượng. - Ngoài ra có thể dùng các lệnh: + FullOptions[đối tượng, tùy chọn] cho mô tả tỷ mỹ nhất cách sắp đặt tùy chọn; + SetOptions[đối tượng,Options→value] đặt lại giá trị mặc định của lựa chọn options thành giá trị value. Ví dụ: Options[Plot] {AspectRatio 1 GoldenRatio ,AxesAutomatic, AxesLabelNone,AxesOriginAutomatic,AxesStyleAutomatic,BackgroundAuto matic,ColorOutputAutomatic,CompiledTrue,DefaultColorAutomatic,DefaultFo nt$DefaultFont,DisplayFunction$DisplayFunction,Epilog{},FormatType$For matType,FrameFalse,FrameLabel None,FrameStyleAutomatic,FrameTicksAut omatic,GridLinesNone,ImageSizeAutomatic,MaxBend10.,PlotDivision30.,Plot LabelNone,PlotPoints25,PlotRangeAutomatic,PlotRegionAutomatic,PlotStyle Automatic,Prolog{},RotateLabelTrue,TextStyle$TextStyle,TicksAutomatic} In[2]:= g = Plot[Sin[x], {x, 0, 2Pi}]; In[3]:= Options[g, PlotRange] Out[3]= {PlotRange→Automatic} In[4]:= FullOptions[g, PlotRange] Out[4]= {{−0.15708, 6.44026}, {−1.05, 1.05}} b. Các tùy chọn quan trọng Mathematica cho ta nhiều tùy chọn, dưới đây là một số tùy chọn quan trọng và cách đặt các tùy chọn của các lệnh vẽ đồ thị hai chiều. *Axes: là một tùy chọn của hàm vẽ đồ thị bao gồm có hay không có các trục tọa độ. Các giá trị của tùy chọn này bao gồm: + Axes→True: Hiển thị các trục tọa độ. + Axes→False: Không hiển thị các trục tọa độ. + Axes→{False,True}: Hiển thị một trục tọa độ, trục còn lại không hiển thị. Giá trị mặc định của tùy chọn là Automatic Ví dụ: Show[Graphics[Circle[{0,0},1], AspectRatio  Automatic, Axes  Automatic]]; *AxesLabel: Tùy chọn đặt tên cho các trục tọa độ. Các giá trị của tùy chọn bao gồm: + AxesLabel→None: Không đặt tên cho đồ thị. +AxesLabel→label: Đặt nhãn label cho trục dọc đối tượng đồ thị hai chiều. +AxesLabel→{“Truc x”,“Truc y”}: Đặt tên cho các trục tọa độ là Truc x và trruc y. Tên của các trục tọa độ sẽ được đánh dấu ở cuối các trục. Giá trị mặc định của tùy chọn là None. Ví dụ: Plot[Sin[x/2],{x,0,2 Pi},AxesLabel  {“Truc x”,“Truc y” *AxesOrigin: Lựa chọn trong đồ thị hai chiều xác định giao điểm của hai trục tọa độ. Các giá trị của đồ thị này bao gồm: + AxesOrigin→{x,y}: Xác định giao điểm của hai trục tọa độ tại điểm có tọa độ {x,y}. Giá trị mặc định của tùy chọn là điểm {0,0}. Đối với đồ thị đường viền và đồ thị mật độ, đặt AxesOrigin→Automatic thì điểm cắt của các trục tọa độ được đặt ở ngoài vùng đồ thị. Thí dụ để khảo sát tính đối xứng của hàm Sin[x] ta có thể thay đổi điểm cắt hai trục tọa độ để thấy rõ điều này. Plot[Sin[x],{x,0,2 Pi},AxesOrigin  {Pi,0}]; - Frame: Là khung viền quanh đồ thị. Các giá trị của tùy chọn bao gồm: + Frame→True: Hiển thị khung viền. + Frame→None: Không hiển thị khung viền. Giá trị mặc định của tùy chọn là None. Thí dụ trong lệnh vẽ đồ thị hàm Sin[x 2 ], để đối chiếu các giá trị cực đại ta có thể sử dụng khung viền để thấy rõ. Plot[Sin[x^2],{x,0,3},Frame  True]; - GridLines: Dùng để vẽ các đường lưới cho mỗi chỗ đánh dấu trên trục tọa độ của đồ thị. Các giá trị của tùy chọn bao gồm: + GridLines→None: không hiển thị các đường lưới. + GridLines→Autonatic: Hiển thị đường lưới theo mặc định. Giá trị mặc định của tùy chọn là None. Ví dụ: Plot[Sin[x^2],{x,0,3},GridLines  Automatic]; - FrameLabel: Dùng để đặt tên cho khung. Các giá trị của tùy chọn gồm: + FrameLabel→None: Không đặt tên khung. + FrameLabel→{tên 1, tên 2, tên 3, tên 4}: Tên được đặt xung quanh 4 cạnh của khung theo chiều kim đồng hồ từ dưới lên. Giá trị mặc định của tùy chọn là None. Ví dụ: Plot[Sin[x],{x,0,2 Pi},Frame  True,FrameLabel  {Duoi,Trai,Tren,Phai},RotateLabel  False]; 0 1 2 3 4 5 6 Duoi -1 -0.5 0 0.5 1 Trai Tren Phai (Ở đây có bổ sung tùy chọn RotateLabel→False để không xoay tên theo chiều kim đồng hồ của khung). - PlotLabel: Đặt tên cho đồ thị. Các giá trị tùy chọn gồm: + PlotLabel→None: Không đặt tên cho đồ thị. + PlotLabel→StyleForm[ “nhãn”,dạng text,FontFamily→ “font”,FontSize→n]: Đặt tên cho đồ thị là nhãn với kiểu dạng text, font chữ là font, cỡ chữ n. Ví dụ: Plot[(Sin[x])^2/(2+(Cos[x])^2),{x,0,Pi},PlotLabel  StyleForm["Sin[x]^2/ (2+(Cos[x])^2)",FontSize  12]] 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Sin  x  ^2  2  Cos  x  ^2  - Ticks: Tùy chọn đánh dấu các điểm trên các trục tọa độ. Các giá trị của tùy chọn gồm: + Ticks→None: Không đánh dấu trên các trục. + Ticks→Automatic: Tự động đánh dấu trên các trục. + Ticks→{{xticks,…},{yticks,…}}: Tùy chọn đánh dấu trên các trục khác nhau. Ví dụ: Plot[Sin[x],{x,0,2Pi},Ticks  {{0,Pi/2,Pi,(3Pi)/2,2Pi},Automatic - PlotRange: Vẽ đồ thị cho khoảng tọa độ hiển thị. Các giá trị của tùy chọn gồm: + PlotRange→All: Hiển thị toàn bộ. + PlotRange→Automatic: Tự động hiển thị đồ thị. + PlotRange→{y min ,y max }: Hiển thị đồ thị trong khoảng tọa độ từ y min đến y max . + PlotRange→{{x min ,x max },{y min ,y max }}: Đồ thị hiển thị với x chạy từ x min đến x max, y chạy từ y min đến y max . Giá trị mặc định của tùy chọn là All. Ví dụ: Plot[Sin[x^2],{x,0,4},PlotRange  {{0,2},{0,1.2}}]; - PlotStyle: Kiểu vẽ của đồ thị bao gồm các hàm: + GrayLevel[i] cho độ xám i của đồ thị, 0 ≤ i ≤ 1, Plotstyle→GrayLevel[0] hiển thị màu đen, còn Plotstyle→GrayLevel[1] hiển thị màu trắng. + Thickness[r] cho độ dày r của đường đồ thị. + Dashing[r 1 , r 2 …] độ dài của các đường vạch chấm kế tiếp nhau. + RGBColor[r,g,b] cho màu của đồ thị bằng hàm màu, trong đó r,g,b là 0 hoặc Chẳng hạn RGBColor[1,0,0] cho màu đỏ, RGBColor[0,1,0] cho màu xanh lá cây, RGBColor[1,0,0] cho màu xanh nước biển. + Hue[h] hoặc Hue[h,s,b] cho độ hoe (sắc sáng). Thí dụ khi ta vẽ đồng thời hai hay nhiều đồ thị trên một hệ tọa độ, khi đó thật khó để nhận biết các đồ thị khác nhau. Ta có thể chọn màu hoặc độ dày của các đường đồ thị khác nhau là khác nhau để so sánh và nhận xét. Plot[{Sin[x],Sin[2x]},{x,0,2Pi},PlotStyle  {Thickness[0.004],Thickness[0.007]}]; 1 2 3 4 5 6 -1 -0.5 0.5 1 - Background: Tùy chọn cho màu của nền đồ thị. Ta đặt giá trị tùy chọn bằng các hàm như RGBColor[r,g,b], GrayLevel[i], Hue[h]. Giá trị mặc định của tùy chọn là Automatic. Ví dụ: Plot[Sin[x],{x,0,2Pi},Background  GrayLevel[0.5]]; -PlotPoints: Tùy chọn cho số điểm tối thiểu để lấy mẫu cho đồ thị. Giá trị mặc định của tùy chọn là 25. Ví dụ: Plot[Cos[20t]+Cos[24t],{t,Pi,3Pi}]; Trên đồ thị ta thấy, đoạn đầu tiên của đồ thị không được chính xác do số điểm lấy mẫu để vẽ đồ thị không đủ. Ta có thể khắc phục điều này với tùy chọn PlotPoints là 70. Ví dụ: Plot[Cos[20t]+Cos[24t],{t,Pi,3 Pi},PlotPoints  70]; Trên đây là những tùy chọn quan trọng cho vẽ đồ thị hai chiều, ngoài ra còn có các tùy chọn khác như: + AspecRatio: Tùy chọn cho tỷ lệ chiều cao/chiều rộng. Giá trị mặc định của nó là 1/GoldenRatio. + TextStyle: Kiểu mẫu cho text trong đồ thị gồm các dạng như: title, subtile, section,text…, mặc định là text. Đặt kiểu text bằng lệnh: TextStyle→dạng text. + DisplayFuntion: Tùy chọn về cách thể hiện đồ thị, Indentity là không hiển thị đồ thị. + Prolog hoặc Epilog: Vẽ thêm vào đồ thị một đối tượng đồ thị đơn giản trước hoặc sau đồ thị chính với mục đích đánh dấu hoặc so sánh. Đó có thể là Box[], Rectange[], Circle[]…giá trị mặc định của nó là None… Các tùy chọn của các lệnh vẽ đồ thị có rất nhiều nhưng giá trị của các tùy chọn chỉ giới hạn trong một số ít: Automatic có sử dụng các thuật toán đã tích hợp sẵn, None không bao gồm tùy chọn này, All bao gồm hiển thị toàn bộ , True thực hiện mặc định đã đặt, False không thực hiện tùy chọn. 3. Đồ thị hai chiều nâng cao Mathematica không chỉ hộ trợ vẽ từng đồ thị của mỗi hàm số với những tùy chọn như trên, mà nó còn hỗ trợ them nhiều chức năng khác trong hiệu ứng hình ảnh. Ta có thể vẽ nhiều đồ thị cùng một lúc, bố trí lại để phục vụ cho các mục đích khác, hoặc có thể tìm nghiệm của một phương trình từ đồ thị mà nếu giải trực tiếp bằng thuật toán thì sẽ gặp nhiều khó khăn. [...]... ContourPlot[Sin[x y],{x,-1,1},{y,-1,1},ContourLines->False] 1 0.5 0 -0.5 -1 0 0.5 1 *ContourStyle: tùy chọn về vẽ kiểu cho các đường viền Style có thể là các hàm: Dashing, Hue, Thickness ContourStyle->style: quy định về kiểu cho tất cả các đường viền ContourStyle->{{style1},{style2},…}: quy định cụ thể về kiểu cho mỗi đường viền; với stylei được sử dụng theo chu kì Ví dụ: ContourPlot[Sin[x y],{x,-1,1},{y,-1,1},ContourStyle->{{RGBColor[1,0,0]},... DensityPlot[Sin[1/(x y)],{x,-2,2},{y,-2,2}] 2 1 0 -1 -2 -2 -1 0 1 2 3 Các tùy chọn quan trọng *Mesh: là tùy chọn về vẽ đường lưới trong Density Plots Mesh->False: không vẽ đường lưới Giá trị mặc định: Mesh->True: vẽ đường lưới Ví dụ: DensityPlot[Sin[1/(x y)],{x,-2,2},{y,-2,2},Mesh->False] 2 1 0 -1 -2 -2 -1 0 1 2 * MeshStyle->style: tùy chọn về vẽ kiểu cho đường lưới trong Density Plots Style có thể là các hàm:... ký gồm hai cuộn láy tia theo hai phương vuông góc với nhau có điện trường thay đổi theo quy luật: x = A xCos(ωxt + φx) và y = AyCos(ωy + φy) Tổng hợp của hai dao động vuông góc này cho ta một đường công theo tham số t gọi là đường Lissajous Dưới đây là đồ thị tổng hợp khi xét trong một trường hợp cụ thể Ví dụ: ParametricPlot[{Cos[5t],Sin[3t]},{t,0,2 Pi},AspectRatioAutomatic]; 1 0.5 -1 -0.5 0.5 1 -0.5... 5,PlotRangeAutomatic,PlotRegionAutomatic,Prolog{},RotateLabelTrue,TextS tyle$TextStyle,TicksAutomatic} *Ví dụ: ContourPlot[Sin[x y],{x,-1,1},{y,-1,1}] 1 0.5 0 -0.5 -1 -1 -0.5 0 0.5 1 -0.5 0 0.5 1 3 Các tùy chọn quan trọng *Contours: là tùy chọn về việc quy định cụ thể cho các đường viền Contours->n: chọn n đường nét cách đều nhau giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Giá trị mặc định n = 10 Contours->{z1,z2,…}: quy định cụ... cho đồ thị, chỉ có độ xám Giá trị tuỳ chọn của mặc định là True Ví dụ: Show[f,Lighting->False] cao 2 1 0 -1 -2 0 10 8 6 4 2 4 dai rong 2 6 8 10 0 ViewPoint: Tuỳ chọn của đồ thị ba chiều cho ta tuỳ chọn về điểm mà từ đó ta thấy đồ thị.Giá trị mặc định của tuỳ chọn này là {1.3,-2.4,2} Ta có thể đặt lại giá trị của tuỳ chọn bằng cách: ViewPoit->{x,y,z} Ví dụ: Nhìn từ phía trước từ điểm có toạ độ x=0,y=-2,z=0... list1,list2,… Với cấu trúc lệnh này có các tùy chọn: + PlotJoined: đường liên kết các điểm dữ liệu Mặc định là False + PlotStyle: định dạng Style cho đường liên kết bao gồm các hàm 5 Đồ thị hai chiều động Mathematica cho phép thực hiện các hiệu ứng hoạt họa trên màn hình bằng cách cho chạy một dãy các đối tượng đồ thị kế tiếp nhau Để có hiệu ứng hoạt họa động ta phải thực hiện các thao tác sau: - Trước . I. GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ MATHEMATICA 1 .Giới thệu sơ bộ về Mathematica Tác giả của Mathematica là Stephen Wolfram, người được xem là nhà sáng tạo quan trọng nhất trong lĩnh. một lượt sử dụng Mathematica bao gồm đầy đủ các ghi chép cả về chương trình nguồn, cả về kết quả thực hiện trên cùng một bản ghi và được ghi lại dưới dạng một file riêng của Mathematica có đuôi. 15 và năm 20 tuổi đã bảo vệ thành công học vị PhD về vật lý tại trường đại học Caltech. Ông bắt đầu phát triển Mathematica vào năm 1986. Mathematica là một hệ thống nhằm thực hiện các tính