Trong cùng một khoảng thời gian: khi con lắc I thực hiện được 15 dao động thì con lắc II thực hiện được 20 dao động.. Hỏi gia tốc trọng trường tại B tăng hay giảm bao nhiêu phần trăm s
Trang 1CON LẮC ĐƠN DẠNG 1: CHU KÌ CON LẮC ĐƠN
Chu kì con lắc đơn:
l
g
T =2π ,
n
t
T =
Tần số góc:
l
g
= ω
Ví dụ 1: Con lắc lò xo có chiều dài l dao động điều hòa với chu kì 1 T1 =1,5s, con lắc có chiều dài l 2
dao động điều hòa với chu kì T2 =0,9s Tính chu kì của con lắc chiều dài l 2 −l 1 tại nơi đó
Giải:
2 1 1
1 1
4
2
π
g
l
2 2 2
2 2
4
2
π
g
l
Con lắc có chiều dài l có: 2
2
4
2
π
g
l
4 4 4
2 2 2
2
2 1 2
2 2 2
2 1 2
2 2
l
π π
π
Ví dụ 2: Hai con lắc đơn dao động trên cùng mặt phẳng có hiệu chiều dài là 14(cm) Trong cùng một
khoảng thời gian: khi con lắc I thực hiện được 15 dao động thì con lắc II thực hiện được 20 dao động
a Tính chiều dài và chu kì của hai con lắc Lấy g =9,86(m/s2)
b Giả sử tại thời điểm t hai con lắc cùng qua vị trí cân bằng theo cùng chiều thì sau đó bao lâu cả hai con lắc cùng qua vị trí cân bằng theo cùng chiều như trên
Giải:
2 1
9
16 16
9 2
4 2
3 20
g
l g
l T T
Mặt khác ta có: l1 −l2 =14⇒l1 =32(cm); l2 =18(cm)
) ( 13 , 1 86 , 9
32 , 0 2
g
l
86 , 9
18 , 0 2
g
l
b Gọi thời gian cả hai con lắc cùng qua vị trí cân bằng theo cùng chiều (còn gọi là khoảng thời gian giữa hai lần trùng phùng liên tiếp), ta có:
2 2 1
N
∆ (với N và 1 N2 số dao động con lắc I và II thực hiện trong thời gian ∆t)
3
4 3
4
N N
T
Ta thấy khi con lắc I thực hiện được 4 dao động thì con lắc 2 thực hiện được 3 dao động
) ( 52 , 4 13 , 1 4
∆
⇒
Trang 2Ví dụ 3: Một con lắc đơn có chu kì 2(s) Nếu tăng chiều dài con lắc thêm 20,5(cm) thì chu kì dao động là 2,2(s) Tìm gia tốc trọng trường nơi làm thí nghiệm
Giải:
2 1 1
1 1
4 2
0 2
π π
g
l
2 2 2
2 2
21 1 4
2 2 2
π π
g
l
Mà 0,205 1,21 0,205 9,625( / 2)
2 2
1
π
π
Ví dụ 4: Một con lắc đơn chiều dài 99(cm) có chu kì dao động 2(s) tại A.
a Tính gia tốc trọng trường tại A
b Đem con lắc đến B, ta thấy con lắc thực hiện 100 dao động mất 199(s) Hỏi gia tốc trọng trường tại B
tăng hay giảm bao nhiêu phần trăm so với gia tốc trọng trường tại A
c Muốn con lắc dao động tại B với chu kì 2(s) thì ta phải làm như thế nào?
Giải:
a l =0,99m ; T A =2s ; g A =?
4
99 , 0 4 4
2
2 2
2
s m T
l g
g
l T
A
A A
A = π ⇒ = π = π =
b Chu kì con lắc tại B: 1,99( )
100
199
s n
t
01 0 86
9 99
1
99 0 4
2
2 2
2
, g
g g g
g s
/ m , ,
, T
l
g
A
A B A B
B = π = π = ⇒ ∆ = − =
Vậy gia tốc trọng trường tại B tăng 1% so với gia tốc trọng trường tại A
76 , 9
86 , 9 99 , 0
'
'
g
g l l g
l g
l T
T
A
B A
B A
Vậy cần tăng chiều dây thêm đoạn: ∆l =l'−l =1−0,99=0,01(m)=1(cm)
Ví dụ 5: Tại một nơi trên mặt đất, một con lắc đơn dao động điều hòa Trong khoảng thời gian t∆ , con
lắc thực hiện được 60 dao động toàn phần, thay đổi chiều dài con lắc một đoạn 44(cm) thì cũng trong
khoảng thời gian ∆t, nó thực hiện 50 dao động toàn phần Tìm chiều dài ban đầu của con lắc
Giải:
Chu kì con lắc đơn ban đầu:
1
1
N
t g
l
Chu kì con lắc khi thay đổi:
2
2
N
t g
l
Lấy (1) chia (2) theo từng vế
36
25 60
50 )
2 (
) 1
1
2 2
=
=
⇔
N
N l
l
(3)
Từ (3)⇒l2 >l1⇒l2 =l1 +44 (4)
Giải hệ (3) và (4) ta được l1 =100(cm) và l2 =144(cm)
Trang 3DẠNG 2: BIẾN ĐỔI CHU KÌ CON LẮC ĐƠN
1 Chu kì con lắc thay đổi theo độ cao, độ sâu h so với mặt biển
• Chu kì con lắc khi đưa con lắc từ mặt đất lên độ cao h so với mặt nước biển:
Ở mặt đất:
g
l
T =2π với 2
R
GM
g =
Ở độ cao h:
' g
l '
T =2π với ( )2
h R
GM '
g
+
=
R
h T
T R
h R
h R g
g
T
'
'
• Chu kì con lắc khi đưa con lắc xuống độ sâu h so với mặt nước biển:
Ở mặt đất:
g
l
T =2π với g G R.D
3
4π
=
Ở độ sâu h:
' 2 '
g
l
T = π với g =G π(R−h)D
3
4 '
R
h T
T R
h h
R
R
T
T
2 2
1
1
=
∆
⇔ +
=
−
=
⇒
2 Chu kì con lắc thay đổi theo nhiệt độ
Ở nhiệt độ t : 1
g
l
T =2π 1 với l1 =l0(1+λt1); λ là hệ số nở dài
Ở nhiệt độ t : 2
g
l
T =2π 2 với l2 =l0(1+λt2)
( ) ( ) 2
1 1 2
1 2 1
2 1
2
1
1
+
+
=
t
t l
l
T
T
λ λ
λ λ
Áp dụng công thức gần đúng: (1+ε)n =1+nε
2 1
2 1 2
1
2 1
2 1
2
4
1 2
1 2
1 1 2
1 1 2
1
T
T t
t
T
T
λ λ
λ λ
−
+
=
Do giá trị 1 2
4
1
t t
λ rất nhỏ nên ta có thể bỏ qua
T
T t
t T
T
∆
=
∆
⇔
− +
=
2
1 2
1
1
1 1
2 1
2
3 Chu kì con lắc khi đưa con lắc từ mặt đất có nhiệt độ t lên độ cao h có nhiệt độ 1
Ở mặt đất, nhiệt độ t : 1
g
l
T =2π với 2
R
GM
g = ; l =l0(1+λt1)
Ở độ cao h, nhiệt độ t : 2
' g
'l '
T =2π với ( )2
h R
GM '
g
+
= ; 'l=l0(1+λt2)
Trang 4( 2 1) ( 2 1) ( 2 1)
1
2
2
1 2
1 1
2
1 1 1
1
1
t t R
h t t R
h T
' T t
t R
h t
t R
h R l
'l '
g
g
T
'
T
−
⋅ +
− +
+
=
⇔
+
= +
+
⋅
+
=
⋅
=
λ λ
Do giá trị ( 2 1)
2
1
t t R
h ⋅ λ − rất nhỏ nên ta có thể bỏ qua
( 2 1) ( 2 1)
2
1 2
1
R
h T
T t
t R
h
T
'
T
− +
=
∆
⇔
− +
+
≈
Chú ý:
0
>
∆T : Chu kì tăng, đồng hồ chạy chậm
0
<
∆T : Chu kì giảm, đồng hồ chạy nhanh
0
=
∆T : Đồng hồ chạy đúng
Thời gian đồng hồ chạy nhanh (chậm) trong một ngày đêm là:
( )s
T
T
3600
24
2
⋅
∆
=
θ , thường T2 ≈T1 nên 24.3600( )
1
s T
T ⋅
∆
= θ
4 Chu kì con lắc thay đổi khi đem con lắc từ nơi này sang nơi khác (g thay đổi một lượng rất
nhỏ)
Khi con lắc ở vị trí A:
g
l
T =2π
Khi con lắc ở vị trí B:
' g
l '
T =2π với g '=g+∆g
g
g T
T g
g g
g '
g
g
T
'
∆ +
=
=
⇒
2
1 2
1 1 1
1
Chú ý:
Khi cả nhiệt độ và g thay đổi lượng rất nhỏ, kết hợp dạng 2 và 3 ta có:
g
g t
T
T = ∆ − ⋅∆
∆
2
1 2
1α
5 Chu kì con lắc khi chiều dài dây treo thay đổi một đoạn rất nhỏ
Khi dây treo có chiều dài l : 1
g
l
1 =2π
Khi dây có chiều dài l : 2
g
l
1 1
1 1
1
2
1
2
2
1 2
1 1 1
l
l T
T l
l l
l l
l
T
⇒
Chú ý: Khi cả l và g thay đổi một lượng rất nhỏ, kết hợp dạng 3 và 4 ta có:
g
g l
l T
T = ⋅∆ − ⋅∆
∆
2
1 2
1
Ví dụ 1: Con lắc đồng hồ chạy đúng ở mặt đất, khi đưa con lắc lên độ cao h=1 km,6( ) thì một ngày đêm đồng hồ chạy nhanh chậm bao nhiêu? Biết bán kính trái đất R=6400 km( )
Giải:
Trang 5Ta có: 0 0
6400
6
1 > ⇒∆ >
=
=
R
h T
T
Chu kì tăng, đồng hồ chạy chậm Thời gian đồng hồ chạy chậm trong một ngày đêm là:
) ( 6 , 21 86400 6400
6 , 1 86400 3600
24
1
s R
h T
T
=
⋅
=
⋅
=
⋅
∆
=
θ
Ví dụ 2: Con lắc đồng hồ chạy đúng ở mặt đất, khi đưa con lắc xuống độ sâu h=640 m( ) so với mặt nước biển thì sau một ngày đêm đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu? Biết bán kính trái đất
)
(
6400 km
R=
Giải:
6400 2
64 , 0
2 = > ⇒∆ >
=
∆
T R
h T
T
Chu kì tăng, đồng hồ chạy chậm Thời gian đồng hồ chạy chậm trong một ngày đêm là:
s R
h T
T
32 , 4 86400 6400
2
64 , 0 86400 2
3600
⋅
∆
=
θ
Ví dụ 3: Ở mặt đất một con lắc đơn có chu kì T =2 s( ) Biết khối lượng Trái đất gấp 81 lần khối lượng Mặt trăng và bán kính Trái đất gấp 3,7 lần bán kính Mặt Trăng Tìm chu kì con lắc khi đưa con lắc lên Mặt trăng
Giải:
Chu kì con lắc khi ở Trái đất:
g
l
T =2π với 2
R
GM
g =
Chu kì con lắc khi ở Mặt trăng:
' 2 '
g
l
2
81
7 , 3 '
R
GM
g =
) ( 86 , 4 2 43 , 2 43 , 2 ' 43 , 2 7 , 3
81 '
'
g
g
T
⇒
Vậy chu kì con lắc khi ở mặt trăng là: 4,86(s)
Ví dụ 4: Một đồng hồ quả lắc chỉ đúng giờ vào mùa nóng khi nhiệt độ trung bình là 32°C Con lắc của
đồng hồ có thể xem là con lắc đơn và có chiều dài ở C0° là l0 =1(m) Hệ số nở dài của con lắc
1 5
10
λ Vào mùa lạnh nhiệt độ trung bình là 17°C Hỏi đồng hồ sẽ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu sau 12h?
Giải:
1 5 2
1 =32°C ; t =17°C ; =2.10− K−
2
1 2
1
1 2 1
<
−
=
∆
=
T
T
λ
λ Chu kì giảm nên đồng hồ chạy nhanh Thời gian đồng hồ chạy
nhanh trong 12h là: 123600
1
T
T ⋅
∆
=
2
1 3600
1
s t
t T
∆
θ
Ví dụ 5: Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ tại một nơi ngang mặt biển, có g =9,86(m/s2) và nhiệt độ
C
t1 =30° Thanh treo quả lắc nhẹ, làm bằng kim loại có hệ số nở dài λ =2.10− 5K− 1 Đưa đồng hồ lên
cao 640(m) so với mặt nước biển, đồng hồ lại chạy đúng Hãy giải thích hiện tượng và tính nhiệt độ ở độ
cao ấy Coi trái đất hình cầu, bán kính R=6400 km( )
Trang 6Đưa đồng hồ lên cao 0,64km so với mặt nước biển, đồng hồ lại chạy đúng vì: khi đưa đồng hồ lên cao
gia tốc trọng trường giảm nên chu kì tăng nhưng ở trên cao nhiệt độ giảm Sự tăng chu kì do độ cao được bù trừ với sự giảm chu kì do nhiệt độ nên chu kì con lắc không thay đổi nên đồng hồ vẫn chạy đúng
Ở mặt đất, nhiệt độ t : 1
g
l
T =2π với 2
R
GM
g = ; l =l0(1+λt1)
Ở độ cao h, nhiệt độ t : 2
' g
'l '
T =2π với ' ( )2
h R
GM g
+
= ; 'l=l0(1+λt2)
Để đồng hồ chạy đúng khi ở độ cao h thì
( )2
2
2 2
h R
R l
'l g
' g l
'l g
l '
g
'l T
' T
+
=
⇔
=
⇔
=
⇔
R
h t
t R
h t
t R
h t
t R
h t
1 1
2 1 1
2 1 1
1 1
1
1
1 2 1
2
1 1 2
2
1
+
=
+
+
λ
λ
C R
h t
6400 10 2
64 , 0 2 30
2
5 1
Ví dụ 6: Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ tại Hà Nội (T =2s), ở nhiệt độ trung bình bằng 20°C gồm
vật nặng m và thanh treo mảnh, nhẹ bằng kim loại có hệ số nở dài λ =2.10−5K−1 Đưa đồng hồ vào thành phố Hồ Chí Minh có nhiệt độ trung bình 30°C thì đồng hồ chạy nhanh hay chậm so với Hà Nội
và nhanh chậm mỗi ngày bao nhiêu? Biết gia tốc trọng trường ở thành phố Hồ Chí Minh là
) /
(
787
,
9
g = và ở Hà nội là g =9,793(m/s2)
Giải:
Đưa đồng hồ từ Hà Nội vào thành phố Hồ Chí Minh do nhiệt độ và gia tốc trọng trường g thay đổi nên
đồng hồ sẽ chạy sai
Xét sự thay đổi chu kì theo nhiệt độ:
Ở Hà Nội nhiệt độ t : 1
g
l
T =2π 1
Ở TP Hồ Chí Minh nhiệt độ t : 2
g
l
1
1
2 1
2 1
l
l T
T t l
Áp dụng công thức gần đúng: (1+ε)n =1+nε t
T
T t
T
2
1 2
1 1
1 1
2
Xét sự thay đổi chu kì theo gia tốc trọng trường g:
Ở Hà Nội:
g
l
T =2π
Ở TP Hồ Chí Minh:
' g
l '
T =2π với g '=g+∆g
g
g T
T g
g g
g '
g
g
T
'
∆ +
=
=
⇒
2
1 2
1 1 1
1
Trang 7Vậy độ biến đổi chu kì của con lắc khi đưa từ Hà Nội vào thành phố Hồ Chí Minh là:
( ) ( ) 40610 0
793 9
793 9 787 9 2
1 20 30 10 2 2
1 2
1 2
=
,
, ,
g
g t
T
⇒Chu kì tăng, nên đồng hồ chạy chậm trong một ngày đêm là:
) ( 35 86400 86400
1 2
s T
T T
∆
=
θ
Ví dụ 7: Con lắc của một đồng hồ coi như một con lắc đơn Đồng hồ chạy đúng khi ở mặt đất Ở độ cao
)
(
2
,
3 km nếu muốn đồng hồ vẫn chạy đúng thì phải thay đổi chiều dài con lắc như thế nào? Biết bán kính
trái đất R=64000 km( )
Giải:
Ở mặt đất:
g
l
T =2π với 2
R
GM
g =
Ở độ cao h:
' g
l '
T =2π với ( )2
h R
GM '
g
+
=
Để đồng hồ chạy đúng khi ở độ cao h thì
g
g l
l g
l g
l T
'
' 2
1 6400
2 , 3 2 2
2 1 1
2
2
−
=
−
=
−
=
∆
⇔
−
≈
+
= +
=
⇔
R
h l
l R
h R
h h
R
R
l
l
Vậy cần phải giảm chiều dài dây một đoạn bằng
1000
1 chiều dài ban đầu
DẠNG 3: CHU KÌ CON LẮC KHI CÓ LỰC LẠ TÁC DỤNG
Khi chưa có lực lạ F
Ở vị trí cân bằng: P+T=0⇔T=−P=−m g
Chu kì con lắc:
g
l
T =2π
Khi có lực lạ F
Ở vị trí cân bằng: P+T+F=0⇔T=−(P+F)
Đặt P'=P+F=m g'(*)
Ta coi con lắc dao động trong trong trọng lực hiệu
Do đó chu kì con lắc là:
' 2 '
g
l
T = π
Khi lực F cùng chiều với P: (Hình a)
Từ (*)
m
F g g F P
Khi lực F ngược chiều với P: (Hình b)
Từ (*)
m
F g g F P
T
P
F
T
F
P
Trang 8Khi lực F⊥P: (Hình c)
Từ (*)⇒P'2=P2 +T2
2
+
=
⇔
m
F g
α
cos
g =
Với α là góc hợp bởi dây treo và phương
thẳng đứng và
P
F
= α
tan
Các loại lực lạ F
Lực quán tính: Fqt =−m a
• Fqt ngược chiều với a
• a cùng chiều chuyển động khi vật chuyển động nhanh dần
• a ngược chiều chuyển động khi vật chuyển động chậm dần
Lực điện trường: F=q E
• F cùng chiều E khi q>0
• F ngược chiều E khi q<0
Lực Acsimet: FA =DVg
Trong đó
• D là khối lượng chất lỏng (hay chất khí) bị chiếm chỗ
• V là thể tích vật chiếm chỗ
• g là gia tốc trọng trường
Ví dụ 1: Con lắc đơn dài l =1 m( ), vật nặng khối lượng m=50(g) mang điện tích q=−2.10−5(C),
) /
(
86
,
9 m s2
g= Đặt con lắc vào vùng điện trường E có độ lớn E =25(V/cm) Tính chu kì con lắc khi:
a E có hướng thẳng đứng hướng xuống
b E có hướng thẳng đứng hướng lên
c E có hướng nằm ngang
Giải:
Lực điện trường tác dụng lên quả cầu tích điện q có độ lớn: F = q E=2.10− 5.2500=0,05(N)
a E có hướng thẳng đứng hướng xuống:
do q<0 nên lực điện trường F có hướng thẳng đứng hướng lên trên nên E ngược chiều P
05 , 0
05 , 0 86 , 9
m
F g
86 , 8
1 2 ' 2
g
l
b E có hướng thẳng đứng hướng lên:
do q<0 nên lực điện trường F có hướng thẳng đứng hướng lên trên nên E cùng chiều P
F
P
T
α
Hình c
Trang 9Ta có gia tốc hiệu dụng: 10,86( )
05 , 0
05 , 0 86 , 9
m
F g
86 , 10
1 2 ' 2
g
l
d Khi E có hướng nằm ngang ⇒F⊥P
Ta có gia tốc hiệu dụng: ' 9,862 1 9,91( / 2)
2
2
m
F g
91 , 9
1 2 ' 2
g
l
Ví dụ 2: Một con lắc đơn được treo vào trần một thang máy tại nơi có g =9,86(m/s s) Khi thang máy đứng yên thì chu kì con lắc là 2 s Tìm chu kì con lắc khi:( )
a Thang máy đi lên nhanh dần đều với gia tốc 1,14(m/s2)
b Thang máy đi lên đều
c Thang máy đi lên chậm dần đều với gia tốc 0,86(m/s2)
Giải:
Chu kì con lắc khi thang máy đứng yên:
g
l
Con lắc đặt trong thang máy chuyển động với gia tốc a sẽ chịu thêm lực quán tính có độ lớn: F qt =ma
a Khi thang máy đi lên nhanh dần đều với gia tốc 1,14(m/s2):
Do thang máy chuyển động nhanh dần đều nên gia tốc a cùng chiều chuyển động (hướng lên), mà Fqt
ngược chiều a⇒ Fqt hướng xuống ⇒Fqt cùng chiều P
Ta có, gia tốc hiệu dụng: ' qt 9,86 1,14 11( / s)
s m a
g m
F g
Chu kì của con lắc:
' 2 '
g
l
Lập tỉ số
)
1
(
)
2
(
11
86 , 9 2 ' '
'
s T
g
g T
T
=
=
⇒
=
b Khi thang máy chuyển động đều: a=0⇒T =2(s)
c Khi thang máy đi lên chậm dần đều với gia tốc 0,86(m/s2):
Do thang máy chuyển động chậm dần đều nên gia tốc a cùng ngược chuyển động (hướng xuống), mà
qt
F ngược chiều a⇒ Fqt hướng lên ⇒Fqt ngược chiều P
Ta có gia tốc hiệu dụng: " g a 9,86 0,86 9(m/s2)
m
F g
Chu kì của con lắc:
'' 2 ''
g l
Trang 10Lập tỉ số
)
1
(
)
3
(
9
86 , 9 2 '' ''
''
s T
g
g T
Ví dụ 3: Một con lắc đơn dài l=1 m( ), quả nặng khối lượng m=400 g( )mang điện tích q=−4.10−6(C)
a Khi vật ở vị trí cân bằng bền, người ta truyền cho nó vận tốc v , vật dao động điều hoà quanh vị trí 0
cân bằng này Tìm chu kì dao động của con lắc, lấy g =10(m/s2)
b Đặt con lắc vào vùng không gian có điện trường đều (có phương trùng với phương của trọng lực) thì chu kì dao động của con lắc là 2,04(s Xác định hướng và độ lớn của điện trường.)
Giải:
10
1 2
g
l
b Khi con lắc đặt vào điện truờng đều E, con lắc chịu tắc dụng của lực điện trường F=q E
Ở vị trí cân bằng: P+T+F=0⇒T'=−(P+F)
Ta coi con lắc dao động trong trọng lực hiệu dụng: P ' mg= ', với 'g là gia tốc trọng trường hiệu dụng
⇒ Chu kì của con lắc là:
' 2 '
g
l
T = π
Do T'>T nên
m
E q g g g
F
⇒ ngược chiều P mà q<0 nên E ngược chiều F Vậy E cùng chiều P (hay E có hướng thẳng đứng hướng xuống )
10 4
4 , 0 04
, 2
1 4 10 '
4 '
6 2
2 2
2 2
2
m V q
m T
l g
E m
E q g T
l
=
⋅
−
=
⋅
−
=
⇔
−
π
Ví dụ 4: Có ba con lắc cùng chiều dài dây treo, cùng khối lượng Con lắc thứ nhất và con lắc thứ hai mang điện tích q và 1 q , con lắc thứ ba không mang điện tích Chu kì dao động điều hoà của chúng 2
trong điện trường có phương thẳng đứng lần lượt là T , 1 T và 2 T với 3 1 3
3
1
T
3
2
T
T = Tính q và 1
2
q biết rằng 7,4.10 8( )
2
Giải:
Khi đặt con lắc vào điện trường đều E, con lắc chịu tác dụng của lực điện trường F=q E
Ở vị trí cân bằng: P+T+F=0⇒T'=−(P+F)
Ta coi con lắc dao động trong trọng lực hiệu dụng: P ' mg= ', với 'g là gia tốc trọng trường hiệu dụng
⇒ Chu kì của con lắc là:
' 2 '
g
l
T = π
Do E cùng phương với P nên:
m
qE g
g'= +
