Sử dụng Symbolic Toolbox trong Mathlab

Sử dụng Symbolic Toolbox trong Mathlab

28Chơng 2 : sử dụng symbolic math toolbox Đ1. Khái niệm chung Symbolic Math Toolboxes kết hợp tính toán bằng chữ vào môi trờng MATLAB.Các toolbox này bổ sung các tiện ích số và đồ thị với các kiểu tính toán toán học khác nhau. Tiện ích Nội dung Calculus đạo hàm,tích phân,giới hạn,tổng và chuỗi Taylor Linear Algebra nghịch đảo,định thức,giá trị riêng,phân tích và dạng chính tắc của ma trận. Simplification phơng pháp rút gọn các biểu thức đại số Solution of Equations giải bằng chữ và bằng số các phơng trình đại số và vi phân Variable-Precision Arithmetic đánh giá độ chính xác của các biểu thức đại số Transform biến đổi laplace,fourrier và z Special Mathematical Function các hàm toán học đặc biệt của các ứng dụng toán học kinh điển Động lực tính toán nằm dới các toolbox là nhân Maple,một hệ thống tính toán đợc phát triển đầu tiên ở trờng đại học Waterloo,Canada và sau đó tại Eidgenroessiche Technische Hochschule Zurich,Thuỵ sĩ.Maple đợc thơng mại hoá và hỗ trợ của công ty Waterloo Maple. Đ2. Khởi động toolbox 1. Các đối tợng chữ:Trong phần này chúng ta sẽ xem xét cách tạo và dùng các đối tợng chữ.Chúng ta cũng sẽ xem xét các biến chữ mặc định.Symbolic Math Toolbox định nghĩa một kiểu dữ liệu MATLAB mới gọi là đối tợng chữ hay sym.Bên trong,một đối tợng chữ là một cấu trúc số liệu mà nó lu biểu diễn chuỗi các kí tự.Symbolic Math Toolbox dùng các đối tợng chữ để biểu diễn các biến chữ,các biểu thức chữ,các ma trận chữ. 2. Tạo các biến và các biểu thức chữ:Lệnh sym cho phép ta xây dựng các biến và các biểu thức chữ.Ví dụ lệnh: x = sym('x') a = sym('alpha') tạo ra các biến chữ là x và và a với x là x và a là alpha. Giả sử ta muốn ta muốn dùng biến chữ để biểu diễn tỉ lệ vàng 251+=.Ta dùng lệnh: rho = sym('(1 + sqrt(5))/2') Bây giờ ta có thể thực hiên các phép toán khác nhau với rho.Ví dụ : f=rho^2-rho-1 f = (1/2+1/2*5^(1/2))^2-3/2-1/2*5^(1/2) Ta rút gọn biểu thức: simplify(f) 29 ans = 0 Bây giờ giả sử ta muốn giải phơng trình bậc 2 cbxaxf2++=.Phát biểu: f = sym('a*x^2 + b*x + c') gán biểu thức chữ ax2+bx+c cho biến f.Tuy nhiên trong trờng hợp này Symbolic Math Toolbox không tạo ra các biến tơng ứng với các số hạng a,b,c và x trong biểu thức.Để thực hiện các phép toán bằng chữ(ví dụ tích phân,đạo hàm,thay thế v.v) trên f ta phải tạo các biến một cách rõ ràng,nghĩa là cần viết: a = sym('a') b = sym('b') c = sym('c') x = sym('x') hay đơn giản là : syms a b c x Nói chung là ta có thể dùng sym hay syms để tạo các biến chữ nhng nên dùng syms để tiết kiệm thời gian. 2. Biến đổi giữa số và chữ: a. Tạo các biến thực và phức:Lệnh sym cho phép ta mô tả các thuộc tính toán học của các biến chữ bằng cách dùng tuỳ chọn real.Phát biểu: x = sym('x','real'); y = sym('y','real'); hay hiệu quả hơn: syms x y real z = x + i*y tạo ra biến chữ x và y có thuộc tính là số thực.Đặc biệt: f = x^2 + y^2 thực sự là số không âm.Nh vậy z là biến phức và các lệnh: conj(x) conj(z) expand(z*conj(z)) cho kết quả: return the complex conjugates of the variables x x - i*y x^2 + y^2 Lệnh conj là toán tử tạo số phức liên hợp. Để xóa thuộc tính real của x ta dùng lệnh: syms x unreal hay: x = sym('x','unreal') Lệnh clear x không xoá thuộc tính số real của x. b. Tạo các hàm trừu tợng:Nếu ta muốn tạo một hàm trừ tợng(nghĩa là một hàm không xác định) f(x) cần dùng lệnh: f = sym('f(x)') Khi này f hoạt động nh là f(x) và có thể xử lí bằng các lệnh toolbox.Ví dụ để tính vi phân bậc 1 ta viết: 30df = (subs(f,'x','x+h') - f)/'h' hay syms x h df = (subs(f,x,x+h)-f)/h trả về: df = (f(x+h)-f(x))/h ứng dụng này của hàm sym sẽ rất hữu ích trong biến đổi Fourrier,Laplace và z. c. Dùng sym để truy cập các hàm của Maple:Ta có thể truy cập hàm giai thừa k! của Maple khi dùng sym. kfac = sym('k!') Để tính 6! hay k! ta viết: syms k n subs(kfac,k,6) ans = 720 subs(kfac,k,n) ans = n! hay nếu tính 12! ta cũng có thể viết: prod(1:12) d. Ví dụ tạo ma trận chữ: Một ma trận vòng là ma trận mà hàng sau có đợc bằng cách dịch các phần tử của hàng trớc đi 1 lần.Ta tạo một ma trận vòng A bằng các phần tử a,b và c: syms a b c A = [a b c; b c a; c a b] kết quả: A = [ a, b, c ] [ b, c, a ] [ c, a, b ] Do A là ma trận vòng tổng mỗi hàng và cột nh nhau: sum(A(1,:)) ans = a+b+c sum(A(1,:)) == sum(A(:,2)) % This is a logical test. ans = 1 Bây giờ ta thay A(2,3) bằng beta và b bằng alpha: syms alpha beta A(2,3) = beta; A = subs(A,b,alpha) A = [ a, alpha, c] [ alpha, c, beta] [ c, a, alpha] 31Tỳ ví dụ này ta tháy dùng các đối tợng chữ cũng tợng tự nh dùng số trong MATLAB. e. Biến chữ mặc định:Khi dùng các hàm toán học,việc chọn các biến độc lập thờng rất rõ ràng.Ví dụ xem bảng sau: Hàm toán học Lệnh MATLAB f = xn f = x^n g = sin(at+b) g = sin(a*t+b) h = Jv(z) h = besselj(nu,z) Nếu ta tìm đạo hàm của các hàm này nhng không mô tả biến độc lập(nghĩa là đạo hàm theo biến nào) thì kết quả là :f = nxn-1 , g' = acos(at + b), và h' =J v (z)(v/z)-Jv+1(z). Nh vậy các biến độc lập là x , t và z.MATLAB hiểu các biến độc lập là các chữ thờng và nằm ở cuối bảng chữ cái nh x , y , z.Khi không tháy các chữ cái này,MATLAB sẽ tìm chữ gần nhất và coi đó là biến độc lập.Các biến khác nh n,a,b và v đợc coi là hằng hay thông số.Tuy nhiên ta có thể lấy đạo hàm của f theo n bằng cách viết rõ biến độc lập ra.Ta dùng các lệnh sau để tạo ra các hàm: syms a b n nu t x z f = x^n; g = sin(a*t + b); h = besselj(nu,z); Để đạo hàm hàm f ta viết: diff(f); ans = x^n*n/x Trong ví dụ trên x là biến độc lập.Nếu muốn tính đạo hàm của f theo n ta cần viết: diff(f,n) ans = x^n*log(x) 4. Tạo các hàm toán học bằng chữ: a. Dùng các biểu thức chữ:Các lệnh: syms x y z r = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) t = atan(y/x) f = sin(x*y)/(x*y) tạo ra các biểu thức chữ r , t và f.Ta có thể dùng các lệnh diff,int,subs hay các lệnh Symbolic Math Toolbox khác để xử lí các biểu thức nh vậy. b. Tạo các M-file:M-file cho phép ta dùng các hàm tổng quát hơn.Ví dụ ta muốn tạo ra hàm sinc = sin(x)/x ta sẽ viết một M-file có nội dung nh sau: function z = sinc(x) %SINC The symbolic sinc function % sin(x)/x. This function % accepts a sym as the input argument. if isequal(x,sym(0)) z = 1; else z = sin(x)/x; end 32Ta có thể mở rộng các ví dụ nh vậy cho các hàm và biến khác nhau. Đ3. Tính toán 1. Đạo hàm:Ta tạo biểu thức chữ: syms a x f = sin(a*x) Vậy thì: df = diff(f) tính đạo hàm của hàm f(x) theo x.kết quả là: df = cos(a*x)*a Để tính đạo hàm của f theo a ta viết: dfa = diff(f,a) kết quả: dfa= cos(a*x)*x Hàm toán học Lệnh MATLAB f = xn f = nxn-1 f = x^n diff(f) hay diff(f,x) g = sin(at+b) g = acos(at+b) g = sin(a*t+b) diff(g) hay diff(g,t) h = Jv(z) h = Jv(z)(v/z) - Jv+1(z) h = besselj(nu,z) diff(h) hay diff(h,z) Để tính đạo hàm bậc 2 của f theo x và a ta viết: diff(f,2) ans = - sin(a*x)*a^2 diff(f,x,2) ans = - sin(a*x)*x^2 Hàm diff có thể dùng đối số là ma trận.Trong trờng hợp này đạo hàm đợc thực hiện trên từng phần tử.Ví dụ: syms a x A = [cos(a*x),sin(a*x);-sin(a*x),cos(a*x)] kết quả: A = [ cos(a*x), sin(a*x)] [-sin(a*x), cos(a*x)] lệnh : dy = diff(A) cho kết quả: dy = [ -sin(a*x)*a, cos(a*x)*a] 33[ -cos(a*x)*a, -sin(a*x)*a] Ta có thể vec tơ theo vec tơ hàng.ta khảo sát biến đổi từ toạ độ Euclid(x,y,z) sang tạo độ cầu (r,,) thực hiện bằng các công thức:x = rcoscos, y = rcossin và z= rsin.Để tính ma trận Jacobi J của phép biến đổi này ta dùng hàm jacobian.Đinh nghĩa toán học của J là: ),,r()z,y,x(J= Để dễ viết ta dùng kí tự l thay cho và f thay cho .Các lệnh: syms r l f x = r*cos(l)*cos(f); y = r*cos(l)*sin(f); z = r*sin(l); J = jacobian([x; y; z], [r l f]) cho ta kết quả: J = [ cos(l)*cos(f), -r*sin(l)*cos(f), -r*cos(l)*sin(f) ] [ cos(l)*sin(f), -r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*cos(f)] [ sin(l), r*cos(l), 0] và lệnh : detJ = simple(det(J)) cho: detJ = -cos(l)*r^2 Chú ý là đối số thứ nhất của hàm jacobian phải là vec tơ cột và đối số thứ hai là vec tơ hàng.Hơn nữa do định thức của ma trận Jacobian là biểu thức lợng giác khá phức tạp nên ta dùng lệnh simple để thay thế và rút gọn. Bảng sau tổng hợp hàm diff và hàm jacobian Toán tử toán học Lệnh MATLAB f = exp(ax + b) syms a b x f = exp(a*x + b) dxdf diff(x) hay diff(f,x) dadf diff(f,a) adfd22 diff(f,a,2) r = u2 + v2 t = arctan(v/u) syms r t u v r = u^2 + v^2 t = atan(v/u) )v,u()t,r(J= J = jacobian([r ; t],[u , v]) 2. Giới hạn:Đạo hàm của một hàm là giới hạn sau đây nếu nó tồn tại : 34h)x(f)hx(flim)x(f0h+= Symbolic Math Toolbox cho phép giới hạn của một hàm một cách trực tiếp hơn.Lệnh: syms h n x dc = limit( (cos(x+h) - cos(x))/h,h,0 ) cho kết quả: dc = -sin(x) và : limit( (1 + x/n)^n,n,inf ) cho: ans = exp(x) minh hoạ 2 trong số các giới hạn quan trọng của toán học:đạo hàm(trong trờng hợp cosx) và hàm mũ.Trong khi nhiều giới hạn : )x(flimax là hai phía(nghĩa là kết quả nh nhau cho dù x tiến tới bên phải hay bên trái của a) lại có những hàm giới hạn phải và trái khác nhau.Do đó 3 giới hạn: x1lim,x1lim,x1lim0x0x0x+ cho 3 kết quả khác nhau : không xác định , - và + Trong trơng hợp không tồn tại gới hạn Symbolic Math Toolbox trả về kết quả NaN.Ví dụ: limit(1/x,x,0) % Equivalently, limit(1/x) cho: ans = NaN Lệnh: limit(1/x,x,0,'left') cho: ans = -inf Lệnh: limit(1/x,x,0,'right') cho: ans = inf Nh vậy limit(f) tơng đơng với limit(f,x,0).Bảng sau cho các giới hạn: Hàm toán học Lệnh MATLAB )x(flim0x limit(f) )x(flimax limit(f,x,a) hay limit(f,a) )x(flimax limit(f,x,a,left) 35)x(flimax+ limit(f,x,a,right) 3. Tích phân: a. Các vấn đề chung:Nếu f là một biểu thức chữ thì int(f) tìm một biểu thức khác F sao cho diff(F) = f.Nh vậy int(f) cho ta tích phân bất định của f.Tơng tự nh đạo hàm int(f,v) lấy tích phân theo biến độc lập v.Ta có bảng sau: Hàm toán học Lệnh MATLAB 1nxdxx1nn+=+ int(x^n) hay int(x^n,x) =201dx)x2sin( int(sin(2*x),0,pi/2) hay int(sin(2*x),x,0,pi/2) g = cos(at+b) += )batsin(a1dt)t(g g = cos(a*t + b) int(g) hay int(g,t) )z(Jdz)z(J01= int(besselj(1,z) hay int(besselj((1,z),z) Khi MATLAB không tìm đợc tích phân nó viết kại lệnh đã nhập vào. b. Tích phân với hằng số thực:Một trong các vấn đề khi tính tích phân là giá trị của các thông số.Ta xét hàm 2)kx(e.Hàm này rõ ràng là có giá trị dơng với mọi k và x và có dạng hình chuông.Giá trị của hàm tiến đến 0 khi x với mọi số thực k.Ta lấy ví dụ 21k= và vẽ đồ thị của hàm bằng các lệnh: syms x k = sym(1/sqrt(2)); f = exp(-(k*x)^2); ezplot(f) Tuy nhiên nhân Maple không coi k2 và x2 là những số dơng mà chỉ là các biến hình thức,không có thuộc tính toán học.Do vậy khi tính dxe2)kx( bằng các lệnh: syms x k; f = exp(-(k*x)^2); int(f,x,-inf,inf) % Equivalently, inf(f,-inf,inf) kết quả sẽ là: Definite integration: Can't determine if the integral is convergent. Need to know the sign of --> k^2 Will now try indefinite integration and then take limits. Warning: Explicit integral could not be found. ans = 36int(exp(-k^2*x^2),x= -inf inf) Trong phần sau chúng ta sẽ xét cách làm cho MATLAB hiểu rằng k là số thực và do đó coi k2 là số dơng. c. Các biến thực theo sym:Chú ý là Maple không thể xác định đợc dấu của k2.Vậy chúng ta giải quyết khhó khăn này nh thế nào ?Câu trả lời là làm cho k trở thành số thực bằng dùng lệnh sym.Một đặc điểm có ích của sym gọi là tuỳ chọn real cho phép ta khai báo k là biến thực.Do vậy tích phân trên hoàn toàn tính đợc trong toolbox nhờ các lệnh: syms k real % Be sure that x has been declared a sym. int(f,x,-inf,inf) kết quả là: ans = signum(k)/k*pi^(1/2) Chú ý là k bây giờ là đối tợng chữ trong vùng làm việc của MATLAB và là biến thực trong vùng làm việc của Maple.Khi nhập lệnh: clear k ta chỉ xoá đợc k trong vùng làm việc của MATLAB.Muốn là cho k không còn là số thực trong vùng làm việc của Maple ta phải dùng lệnh: syms k unreal. Ta có bảng sau: Hàm toán học Lệnh MATLAB kxe)x(f= syms k x f = exp(-k*x) dx)x(f int(f) hay int(f,x) dk)k(f int(f,k) 10dx)x(f int(f,0,1) hay int(f,x,0,1) 2)kx(e)x(g= syms k x real g=exp(-(k*x)^2) dx)x(g int(g,-inf,inf) hay int(g,x,-inf,inf) 4. Tính tổng:Ta có thể tính tổng biểu thức chữ khi chúng tồn tại bằng cách dùng lệnh symcum.Ví dụ chuỗi : +++2231211 cho tổng là 2/6 còn chuỗi : 1 + x2 + x3 +. . . cho tổng là 1/(1-x).Các tổng đợc tính nh sau: syms x k s1 = symsum(1/k^2,1,inf) s2 = symsum(x^k,k,0,inf) s1 = 371/6*pi^2 s2 = -1/(x-1) 5. Chuỗi Taylor:Cho hàm f(x).Phát biểu: T = taylor(f,8) cho kết quả: T = 1/9+2/81*x^2+5/1458*x^4+49/131220*x^6 là khai triển Taylor của f(x) lân cận x = 0(khai triển MacLaurin) có chứa 8 số hạng khác 0.Phát biểu: syms x g = exp(x*sin(x)) t = taylor(g,12,2) tạo ra khai triển Taylor của f(x) tại x = 2 và chứa đến 12 số hạng khác 0.Ta vẽ các hàm này lện cùng một đồ thị để tháy đợc khả năng xấp xỉ của chuỗi Taylỏ với hàm thực g: xd = 1:0.05:3; yd = subs(g,x,xd); ezplot(t, [1,3]); hold on; plot(xd, yd, 'r-.') title('Xap xi Taylor '); legend('Ham','Taylor') Tiếp đó ta dùng lệnh: pretty(T) để in kết quả dới dạng các biểu thức toán học dễ đọc. 6. Các ví dụ khác:Ta xét hàm: xcos451)x(f+= Các lệnh: syms x f = 1/(5+4*cos(x)) lu biểu thức chữ định nghĩa hàm f(x). 1 1.5 2 2.5 3123456xXap xi TaylorHam Taylor [...]... hoàn toàn tính đợc trong toolbox nhê c¸c lƯnh: syms k real % Be sure that x has been declared a sym. int(f,x,-inf,inf) kÕt qu¶ là: ans = signum(k)/k*pi^(1/2) Chú ý là k bây giờ là đối tợng chữ trong vùng làm việc của MATLAB vµ lµ biÕn thùc trong vïng lµm viƯc cđa Maple.Khi nhập lệnh: clear k ta chỉ xoá đợc k trong vùng làm việc của MATLAB.Muốn là cho k không còn là số thực trong vùng làm việc... -6+(11+(-6+x)*x)*x 1.1+2.2*x+3.3*x^2 11/10+(11/5+33/10*x)*x 29 ans = 0 Bây giờ giả sử ta muốn giải phơng trình bậc 2 cbxaxf 2 ++= .Phát biểu: f = sym('a*x^2 + b*x + c') gán biểu thức chữ ax 2 +bx+c cho biến f.Tuy nhiên trong trờng hợp này Symbolic Math Toolbox không tạo ra các biến tơng ứng với các số hạng a,b,c và x trong biểu thức.Để thực hiện các phép toán bằng chữ(ví dụ tích phân,đạo hàm,thay... 62 Symbolic Math Toolbox lµ 2 2 dx yd . BiÕn phơ thc lµ biến đợc xử lí bởi D và biến độc lập mặc định là t.Nh vậy tên các biến kí tự không đợc có D.Có thể dùng biến đọc lập khác bằng cách chỉ ra nó nh là thông số cuối cùng trong lệnh dsolve.Điều kiện đầu có thể mô tả nh là một phơng trình phụ.Nếu điều kiện đầu không có,nghiệm sẽ chứa các hằng số tích phân C1,C2 v.v.Cú pháp của dsolve đợc mô tả trong. .. lÖnh sau: subs(v,a,10) sÏ thay c¸c biÕn a trong v b»ng sè 10: [ -(10+S-b)/(10-c), -(10-S-b)/(10-c), 1] [ -(b-c-S)/(10-c), -(b-c+S)/(10-c), 1] [ 1, 1, 1] Chú ý là các biểu thức có S không bị ảnh hởng gì cả,nghĩa là biến a trong S không đợc thay bằng 10.Hàm subs là hàm hữu ích để thay thế nhiều giá trị của nhiều biến trong một biểu thức.Ta xem S.Giả sử ngoài việc thay a =10 ta cũng muốn thay giá... về kết quả khác nhau.Dạng: simple(f) hiển thị dạng ngắn nhất.Ví dụ: syms x simple(cos(x)^2 + sin(x)^2) ans = 1 Trong mét sè trờng hợp,áp dụng simple 2 lần để nhận đợc hiệu quả rút gọn cao hơn.Ví dụ: syms a f = (1/a^3+6/a^2+12/a+8)^(1/3); simple(simple(f)) cho ta: 1/a+2 Trong khi lÖnh : syms a simple(f) cho ta: (2*a+1)/a Hàm simple đặc biệt có hiệu quả trên các biểu thức lợng giác.Sau... Gi¶ sử ta muốn thay biểu thức khá dài: (b^2-b*a-c*b-c*a+a^2+c^2)^(1/2) trong v vµ E.Tr−íc hÕt ta dïng subexpr: v = subexpr(v,'S') cho ta kÕt qu¶: S = (b^2-b*a-c*b-c*a+a^2+c^2)^(1/2) v = [ -(a+S-b)/(a-c), -(a-S-b)/(a-c), 1] [ -(b-c-S)/(a-c), -(b-c+S)/(a-c), 1] [ 1, 1, 1] Sau đó thay S vào E: E = subs(E,S,'S') E = [ S, 0, 0] [ 0, -S, 0] [ 0, 0, b+c+a] Bây giờ giả sử. .. trị nào đó của x. Symbolic Math Toolbox cung cÊp mét sè hµm dùng để biến đổi các biểu thức đại số và lợng giác thành các biểu thức đơn giản hơn.Chúng gồm: collect,expand, horner, factor, simplify, và simple. a.collect:Phát biểu: collect(f) xem f nh một đa thức gồm các biến chữ x và gộp tất cả các hệ cùng bậc của x.Đối số thứ 2 của chỉ rõ biến định gộp nếu có nhiều iến trong biểu thc.Sau đây... -108 + 12 (12 a + 81) Lệnh pretty thừa kế khái niệm %n(n là một số nguyên) từ Maple để định nghĩ biểu thức con gặp hiều lần trong đối tợng chữ.Hàm subexpr cho phép ta lu các biểu thức con này cũng nh các đối tợng chữ đợc viết trong biểu thức con.Các biểu thức con đợc lu trong một ma trận cột gäi lµ sigma. TiÕp tơc vÝ dơ cđa ta: r = subexpr(s) cho ta sigma = -108+12*(12*a^3+81)^(1/2) r =... thì viết: [f,g] = dsolve('Df=3*f+4*g, Dg =4*f+3*g', 'f(0) = 0, g(0) = 1') f = exp(3*t)*sin(4*t) g = exp(3*t)*cos(4*t) Bảng sau mô tả một vài ví dụ và cú pháp của Symbolic Math Toolbox. 47 [ -1/12*sigma^(1/3)+a/sigma^(1/3)-1/2*i*3^(1/2)*(1/6*sigma^(1/3)+2*a/sigma^(1/3))] ta thÊy r»ng subexpr t¹o biÕn signma rg vùng làm việc của MATLAB. b.subs:Ta tìm giá trị riêng... tính dấu chấm động của Maple. Ta cũng có thể tính các giá trị riêng của ma trận chữ,nhng nghiệm dạng gần nhau là rất hiếm.Biến đổi Givens đợc tạo ra nh là luỹ thừa của ma trận ban đầu. Các lệnh Symbolic Math Toolbox: syms t A = sym([0 1; 1 0]); G = expm(t*A) cho: [ cos(t), sin(t)] [ -sin(t), cos(t)] TiÕp theo lƯnh: g = eig(G) t¹o ra: g = [ cos(t)+(cos(t)^2-1)^(1/2)] [ cos(t)-(cos(t)^2-1)^(1/2)] . 28Chơng 2 : sử dụng symbolic math toolbox Đ1. Khái niệm chung Symbolic Math Toolboxes kết hợp tính toán bằng chữ vào môi trờng MATLAB.Các toolbox này. động toolbox 1. Các đối tợng chữ :Trong phần này chúng ta sẽ xem xét cách tạo và dùng các đối tợng chữ.Chúng ta cũng sẽ xem xét các biến chữ mặc định.Symbolic