Luyện thi học sinh giỏi môn vật lý potx

B chuyển động sang phải với gia tốc a, còn vật nhỏ A được nốivới điểm C bằng một sợi dây không dãn được nâng lên theo đường dốc chính của một mặt trụ củavật B.. Bài 3: Trên mặt phẳng n

A Cơ học

1 Động học

Bài 1: Cho cơ hệ như hình vẽ B chuyển động sang phải với gia tốc a, còn vật nhỏ A được nốivới điểm C bằng một sợi dây không dãn được nâng lên theo đường dốc chính của một mặt trụ củavật B Mặt này có bán kính R

Giả sử tại thời điểm ban đầu vật A nằm trên sàn và đang đứng

yên, sợi dây luôn căng

Hãy tính vận tốc trung bình của vật A trong quá trình A đi từ sàn

lên đến điểm cao nhất của trụ B (điểm D)

.2.2.222

2 2

R R R

R IA

a

R a

R a

AD a

EF

t = 2 = 2 = 2.π2 = π

Bài 2: Môt chiếc ca nô xuất phát từ điểm A trên đường cái, ô tô này

cần đến điểm D (trên đồng cỏ) trong thời

gian ngắn nhất Biết AC=d;CD=l

Vận tốc ô tô chạy trên đường cái (v )lớn hơn vận tốc ô tô trên

x d

v

l x

1

2 2

v

l x

v

l x n x d x

⇒ ( )

1

1'

v x

1 x l v

nx

+

+

2 2 1

2 2

v

l x nx

1

v

n l d

Bài 3: Trên mặt phẳng nằm ngang có một cột trụ bán kính R thẳng đứng, người ta dùng một sợi

dây chỉ mảnh không dãn, khối lượng không đáng kể để nối một vật nhỏ với một điểm trên vành trụ,điểm này sát mặt phẳng ngang

Ban đầu vật nhỏ nằm yên trên mặt phẳng và dây

ở tư thế căng, lúc này chiều dài dây là L Truyền cho

vật vận tốc v0 hướng vuông góc với dây và vật chuyển

động trên mặt phẳng ngang cuốn dây vào trụ

Hỏi sau bao lâu dây cuốn hết trụ? Giả thiết

trong khi chuyển động dây luôn nằm ngang

Bỏ qua ma sát và bề dày của dây

L t

0

22

=

Vậy thời gian để dây cuốn hết trụ sẽ là:

R v

L t

Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa chúng trong quá trình

chuyển động và thời gian đạt được khoảng cách đó? Biết

khoảng cách ban đầu giữa chúng là lvà góc giữa hai đường

⇒ ( ) ( )2 2( 1 ) 2 cosα

2

2

1t v t l v t v t v

l

2 1 2

2 2 2

1

2 1

2 1cos2

)cos(

v v

v v

v v l t

++

+

=

αα

Và khoảng cách bé nhất giữa chúng lúc đó sẽ là:

a

d

4min

1

2 1

2

cos2

sin

v v

v v

lv

+

α

Bài 5: Có hai tàu A và B cách nhau một khoảng a đồng thời tàu A và B chuyển động với vận tốc

không đổi lần lượt là v và u (v>u) Tàu B chuyển động trên một đường thẳng (đường thẳng nàyvuông góc với đoạn thẳng nối các vị trí ban đầu của hai tàu, còn tàu A luôn hướng về tầu B

Hỏi sau bao lâu tàu A đuổi kịp tàu B ?

Giải:

Ta gắn hệ trục xy0 trùng với mặt phẳng nước và trục 0x

cùng phương chiều với chuyển động của tàu B , còn tàu A

nằm trên phần dương của trục 0y ở vị trí ban đầu có toạ độ là

cos

v dt

dy v

v dt

dx v

y x

Lấy vế chia vế hai phương trình trên và ta rút ra:

dt

dy dt

dy dt

dy dt

α2sin

−

= (4)

v dt

Thay dt từ (5) vào (4):

α

αsin

d dy

y v

u=

hay

α

αsin

d y

dy v

d y

dy v

a

y v u

=

+

=

2tan1

2tan2sin

2α

α

u v

u

a

y a

tan2

tan

21αα

và

αsin

y a

y v

a

u v

u t

a

y d a

y a

y v

a dt

u v

a t

1

11

12hay

t = 2 2

u v

av

−

Vậy sau thời gian 2 2

u v

av

− tàu A sẽ đuổi kịp tầu B.

Bài toán đuổi bắt có nhiều dạng khác nhau, phương pháp đa năng để giải các loại bài toán này

chính là phương pháp “vi phân” Tuy nhiên còn có những phương pháp đặc biệt để giải chúng, các

bạn có thể tham khảo cuốn “Lãng mạn toán học” của giáo sư Hoàng Quý có nêu ra một trong những phương pháp đặc biệt đó để giải bài toán sau:

Có hai tàu A và B cách nhau một khoảng a đồng thời tàu A và B chuyển động cùng vận tốc Tàu

B chuyển động trên một đường thẳng (đường thẳng này vuông góc với đoạn thẳng nối các vị trí banđầu của hai tàu), còn tàu A luôn hướng về tầu B

Hỏi sau một thời gian đủ lâu thì hai tàu chuyển động trên cùng một đường thẳng và khoảng cáchgiữa chúng không đổi Tính khoảng cách này ?

Sau va chạm :

( )

2 1

2 2 1 2 1 ' 1

2

m m

v m v m m v

2

m m

m m

+

−

( )

1 2 1

1 2

1

1 1 2 1 2 ' 2

22

v m m

m m

m

v m v m m v

+

=+

+

−

Nhận thấy v1’,v2’ đều dương, chứng tỏ sau va cham chúng chuyển động cùng chiều ox

Gọi điểm va chạm lần 2 cách tường một đoạn x, thời gian giữa 2 lần va cham là :

'

x d v

x d

t = − = +

(do sau va chạm vào tường của m2 thì nó vẫn có vận tốc như cũ nhưng đã đổi hướng '

1

''

v =− Thế v1’ và v2’ từ trên vào (1) ta suy ra :

x = d

m m

m m

2 1

2 1

d d d

a Vận tốc và gia tốc của hạt theo thời gian

b Vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ vị trí x = 0 đến vị trí x

Giải:

dt

dx x a

v= =

v =

Bài 8: Ném một viên đá từ điểm A trên mặt phẳng nghiêng với vận tốc v0 hợp với mặt phẳng

ngang một góc β =600, biết α =300 Bỏ qua sức cản của không khí

a Tính khoảng cách AB từ điểm ném đến điểm viên đá rơi

b Tìm góc ϕ hợp bởi phương véc tơ vận tốc và phương ngang ngay sau viên đá chạm mặtphăng nghiêng và bán kính quỹ đạo của viên đá tại B

)1(

cos

2 0

0

gt t v

y

t v

x

β

β

Khi viên đá rơi xuống mặt phẳng nghiêng:

)3(cos

α

α

l y

l x

T hế (3) vào (1) ta rút ra t thế vào (2) và đồng thời thế (4) vào (2) ta rút ra :

α

αββ

α

β

2

2 0

cos

)cos.sincos

(sincos2

β2

2 0cos

)sin(

.cos2

v

= Khi vật chạm mặt phẳng nghiêng :

α cosα

3

2cos

2 0

g

v l

hay β cosα

3

2.cos

2 0 0

g

v t

Vận tốc theo phương oy tại B:

v y =v0sinβ−gt

323

2

0

v v

v

v y = β − =−

⇒tan =ϕ

312

320

v y 0 nên lúc chạm mặt phẳng nghiêng v hướng xuống.

Lực hướng tâm tại B:

R

v m mg

F ht = cosϕ= 2

ϕcos

2 0 2 2 2 2

v v

2 02

Bài 9: Một người đứng ở sân ga nhìn ngang đầu toa thứ nhất của một đoàn tàu bắt đầu chuyển

động nhanh dần đều Toa thứ nhất vượt qua người ấy sau thời gian t 1

Hỏi toa thứ n đi qua người ấy trong thời gian bao lâu?

Biết các toa có cùng độ dài là S, bỏ qua khoảng nối các toa

2 1

t

∆t = ( n− n−1)t1

Bài 10: Một chất điểm chuyển động từ A đến B cách A một đoạn s Cứ chuyển động được 3 giây

thì chất điểm lại nghỉ 1 giây Trong 3 giây đầu chất điểm chuyển động với vận tốc

s

m

v0 =5 Trong các khoảng 3 giây tiếp theo chất điểm chuyển động với vận tốc 2vo, 3v0, … , nv0

Tìm vận tốc trung bình của chất điểm trên quảng đường AB trong các trường hợp :

a Khi s 315= m⇒7,5n(n+1) = 315 ⇔ n n==6−7 (loại giá trị n=-7)

Thời gian chuyển động:

v=13,7(m/s)

b Khi s 325= m:

Thời gian đi 315 mét đầu là 23 giây

Thời gian đi 10 mét cuối là :

0.29( )

5.7

10101

s v

325++

=

v

v = 13,38(m/s)

Bài 11 : Hai vật chuyển động với vận tốc không đổi trên hai đường thẳng vuông góc với nhau cho

v1 = 30m/s , v2 = 20m/s Tại thời điểm khoảng cách giữa hai vật nhỏ nhất thì vật một giao điểm củaquỹ đạo đoạn S1 = 500m, hỏi lúc đó vật hai cách giao điểm trên một đoạn S2 là bao nhiêu?

2 2 1 1

v v

d v d v t

+

+

=

⇒Khi đạt được khoảng cách ngắn nhất giữa hai vật thì :

2

2 1

2 1 1 2 2 2 2

2 1

2 2 1 1 1 1

1

)(

v v

d v d v v v

v

d v d v v

S2 =d2 − 2

2

2 1

1 2 2 1 1 2

2

2 1

2 2 1 1 2

)(

v v

d v d v v v

v

d v d v v

+

−

=+

+

⋅

)(75020

500302

1 1

v

S v

S =− ⋅ =− ⋅ =− Vậy lúc hai vật có khoảng cách ngắn nhất thì vật thứ hai cách giao điểm trên một

đoạn S2 = 750m

Bài 12: Một chiếc côngtenơ đặt sao cho mặt trên nằm ngang được cần cẩu cẩu lên thẳng đứng lên

cao với gia tốc a = 0,5m/s2 Bốn giây sau khi rời mặt đất người ngồi trên mặt côngtenơ ném một hòn

đá với vận tốc v0 = 5,4m/s theo phương làm với mặt phẳng ngang côngtenơ góc α =300

a Tính thời gian từ lúc ném đá đến lúc nó rơi xuống mặt đất Biết côngtenơ

cao h = 6(m)

b Tính khoảng cách từ nơi đá chạm đất đến vị trí ban đầu của tấm bê tông

(coi như một điểm) lấy g = 10m/s2

2 2

m t

a

H + ⋅ = +− ⋅ = Vận tốc của người lúc đó:

s

m t

a

v1 = =0,5.4=2 Gọi v là vận tốc của viên đá đối với người thì vận tốc→0

viên đá đối với đất :

Chọn trục oxy như hình vẽ gắn vào mặt đất Phương trìn chuyển động của viên đá theophương oy:

2sin

10

2

gt t v

y= + β⋅ − với v= v x2 +v2y =6,65(m/s)

vậy: y=10+4,7⋅t−5t2

Lúc đá rơi xuống đất: y = 0 ⇒ 10+4,7⋅t−5t2 =0

⇒ ≈t 2s

b Khoảng cách từ nơi đá rơi đến vị trí ban đầu của côngtenơ:

L=v x t =4,7.2= 9 , 4m

Bài 13: Người ta đặt một súng cối dưới một căn hầm có độ sâu h Hỏi phải đặt súng cách

vách hầm một khoảng l bao nhiêu so với phương ngang để tầm xa S của đạn trên mặt đất là lớnnhất? Tính tầm xa này biết vận tốc đầu của đạn khi rời súng là v 0

2 0

gt t v

y= α⋅ − Phương trình vận tốc:

v g

t v

v x = y ⇒ = α − α ⋅

(1) Hơn nữa ta phải có sau thời gian này:

sin

)2(cos

2 0

0

h

gt t v

l t v

h y

l x

αα

1cos

v

gh

−

=αThế vào (4):

= 02 (sinαcosα −cos2α)

g

v l

2

14

1

0

4 0

2 2 2

0

v

gh v

h g g

=

0

2 0

2 0 0

0

2 0

2 0

2

12

12

12

12

1

v

gh v

gh v

gh v

v v g

v

gh v

gh

2 02

1()2

1

0 2 0

2 0

2 0

gh v

gh v

v A

⇒Smax = ( )

g

v v gh g

0 2 0

14

1

0

4 0

2 2 2

0

v

gh v

h g g

gh

1.2

0 2 0

Bài 14: Một chất điểm chuyển động chậm dần trên một đường thẳng với một gia tốc mà độ lớn w

phụ thuộc vận tốc theo định luật w=a v trong đó a là một hằng số dượng Tại thời điểm ban đầuvận tốc của hạt bằng v0

Hỏi quảng đường mà hạt đi được cho đến khi dừng lại và thời gian đi quảng đường ấy ?

adt dt

dv v a dt

dv v a w

0 0

4.t a t v

a v

= ∫ = ∫ − + ⋅

0 )

2

0

2 2 0 0

2

0

)4.(

v a v a

dt t

a t v a v vdt

S

⇒S = 2

3 0

3

2

v a

b Từ (*) ta có thời gian đi quảng đường ấy: t = 2 v0

Bài 15: Ở mép của một chiếc bàn chiều cao h, có một quả

cầu đồng chất bán kính R = 1(cm) (R≤h) Đẩy cho tâm 0

của quả cầu lệch khỏi đường thẳng đứng đi qua A, quả cầu

rơi xuống đất vận tốc ban đầu bằng 0 Tính thời gian rơi và

tầm xa của quả cầu(g = 10m/s2)

v gR

3

2

=Giai đoạn tiếp theo vật như một vật bị ném xiên với góc α và với vận tốc ban đầu:

v gR

3

2

=Theo đề bài R<<h do vậy ban đầu ta xem 0≡A

1.sin

.cos

gt t v y

t v x

αα

Khi chạm đất y=h, nên:

v t+ gt2 =h

2

1.sinα

α

gR v

vào phương trình trên ta tìm được:

−

=

)(0

33

5410

10

.33

5410

10

2

1

loai g

gh gR

gR t

g

gh gR

gR t

Vậy sau t =

g

gh gR

gR

.33

5410

2

v x

S= = α =

g

gh gR

gR

.33

5410

10

227

2

++

Bài 16: Một chất điểm chuyển động chạm dần trên bán kính R sao cho tại mỗi điểm gia tốc tiép

tuyến và gia tốc pháp tuyến luôn có độ lớn bằng nhau Tại thời điểm ban đầu t=o, vận tốc của chấtđiểm đó là v 0

Hóy xỏc định:

a Vận tốc của chất điểm theo thời gian và theo quóng đường đi được

b Gia tốc toàn phần theo vận tốc và quóng đường đi được

dv a

R

dt v

dv =

−

⇔ 2 (1) Lấy tớch phõn 2 vế ta cú:

R

t v v R

dt v

dv t

v v

2

11

0

⇒ =v

t R v

dv =

−

⇒ (2) (ds = vdt )

Lấy tích phân 2 vế phương trỡnh (2):

R

s v

v R

ds v

dv S v v

Gia tốc toàn phần theo quóng đường đi được:

a = 2

2 2 0

Bài 17: Hai vũng trũn bỏn kớnh R, một vũng đứng yên, vũng cũn lại chuyển động tịnh tiến sát

vũng kia với vận tốc v0 Tính vận tốc của điểm cắt C giữa hai vũng trũn khi khoảng cỏch giữa hai

tõm 0102 =d.

Giải:

Chọn gốc thời gian t = 0 lỳc 2 vũng trũn bắt đầu tiếp xúc ngoài

Tại một thời điểm nào đó sau gốc thời gian thỡ ta cú

phương trỡnh chuyển động của điểm C :

0 1

21cos

1sin

220

R

d R

R R

AC

y

d t v R AD

2

2

2 d R y

d x

0 2

2

0

42

.4

2.2

'22

'21

d R

v d d

R

dd v

v d v

Cy Cx

( )2

2 2 0

2 0 2

42

dv v

v v

−+

=

⇒

⇒ v=

2 2

0

R v

−

Bài 18: Hai vật cách nhau 100m chuyển động trên một đường thẳng đến gập nhau với vận tốc

lần lượt là v1 =5m/s; v2 =5m/s, trong khoảng 2 vật trên đoạn thẳng mà chúng chuyển động cómột vật nhỏ luôn chuyển động thẳng đều với vận tốc v = 30 m/s cùng chuyển động trên đườngthẳng mà 2 vật (1) và (2) chuyển động Mỗi khi vật trên đến gặp vật (1) hoặc vật (2) thỡ vận tốccủa nú sẽ đổi hướng ngược trở lại và coi như vẫn giũ nguyên độ lớn vận tốc của nó Hỏi khi vật(1) và vât (2) gặp nhau thỡ quóng đường vật nhỏ đi được có tổng chiều dài là bao nhiêu?

Bài 19: Ở mép đĩa nằm ngang bán kinh R có đặt một đồng tiền Đĩa quay với vận tốc ω =βt (

β là gia tốc góc không đổi) Tại thời điểm nào đồng tiền sẽ văng ra khỏi đĩa Nếu hệ số ma sáttrượt giữa đồng tiền và đĩa là µ .

dv

a t = = β =β Gia tốc toàn phần:

Ta có:

F msn =ma=m β4R2t4 +β2R2 = mβR β2t4 +1

Vật có thể nằm trên đĩa nếu lực ma sát nghỉ tối đa bằng lực ma sát trượt:

F msn ≤ F mst

hay mβR β2t4 +1 ≤ mgµ

⇒ 1 ( 2 2 1)

2 2 2

⇒ t = 1 2 2 1

2 2

β

µ −1>0 ⇔ >

2 2

2 2

µ > ) vật sẽ văng ra khỏi đĩa

Bài 20: Một người đi xe đạp lượn tròn trên một sân nằm ngang có bán kính R Hệ số ma sát chỉ

phụ thuộc vào khoảng cách r từ tâm của sân theo quy luật 

(hệ số ma sát ở tâm của sân)

Xác định bán kính của đường tròn tâm 0 mà người đi xe đạp có thể lượn với vận tốc cực đại? Tínhvận tốc đó ?

Giải:

Giả sử người đó đang đi trên quỹ đạo tròn với bán kính r với vận tốc v Ta phải xác định vmax

và giá trị này đạt được khi r bằng bao nhiêu.

Đối với hệ quy chiếu cố định gắn ở tâm 0 lực tác dụng lên vật là lực ma sát đóng vai trò lựchướng tâm và từ đó ta có:

µN =ma ht

hay

r

v m mg R

0

R

g gr

v =µ − µĐây là một tam thức bậc hai ẩn r với hệ số =− 0 <0

R

g

Giá trị của v2đạt lớn nhất khi:

g r

0

0

Lúc đó:

42

2

0

2 0

0 2 2

max

gR R

R

g R g v

a Chứng minh rằng vận tốc của vật giảm dần theo hàm số bậc nhất của đường đi

b Tính quảng đường mà vật đi được cho tới lúc dừng

kv=

− hay dt

m

k v

dv =−

Nguyên hàm hai vế: ∫ =− ∫dt+c

m

k v

m

k

v=− +ln

m

k

e v

v= 0 −Quảng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ 0 →t :

S =∫ds=∫t vdt

0

S = v0 e dt

t t m

mv −

.0

k

mv k

mv

S = 0 −

Bài 22: Cho cơ hệ như hình vẽ Lúc đầu hệ cân bằng, bàn nhận được

gia tốc a theo phương ngang như hình vẽ Tính gia tốc

của M đối với mặt đất, biết hệ số ma sát trượt giữa M và sàn là µ.

a là gia tốc của M đối với bàn 0

a là gia tốc của bàn đối với đất

• Phương trình chuyển động của vật m:

=

=

=

)3(cos

sin

)2(

0 2

2 2

ma T mg

F

g

a mg

ma P

F tg

qt

qt

αα

α

Từ (3) suy ra:

masinα +mgcosα −T =ma0 (4)

Từ (1) và (4) suy ra:

1 sin cos (5)

0

M m

mg ma

N Ma a

+

++

sin

2 2 2

2

a

g a g a

tg

tg

+

=+

=+

=α

αα

1

11

1cos

2 2 2

Và N1 =Mg (8)

Thế (6), (7), (8) vào (5) ta rút ra:

M m

g a m Mg Ma

a

+

++

g a m Mg Ma

a a

+

++

µ

a M =

M m

mg Mg g

a m

Bài 23: Cho cơ hệ như hình vẽ Hệ số ma sát giữa M và m là µ1,

giữa M và sàn là µ2 Tìm độ lớn của lực F nằm ngang:

a Đặt lên m để m trượt trên M

b Đặt lên M để M trượt khỏi m

N N

ma F

1 2

1 1

M

F F a g M m P P N N N

Ma F

2 2

1 2 1

2 2

)(

=+

F >( 1− 2)( + )

Với điều kiện: a1 >0⇔F >µ1mg

Vậy đáp số của bài toán này:

g M

m M m F

1

2 1µ

µµ

ma

F ms

1 1

1 1

m

N m

F

a ms

1 1 1 1

⇒ Phương trình chuyển động của vật M:

=+

Ma F

F

F ms ms

)(

2 1 2 1

2 2

1

M

F F F

a ms1 ms2 2

mg F

F

ms

ms ms

2 2

1 ' 1 1µ

µ)

M

F F

F ms ms

1 2 1'

F

1 2

µµ

Điều kiện (2) bao hàm trong điều kiện (1)

Do vậy kết quả bài toán :

F > (µ1 +µ2)(m+M)g

Bài 24: Cho cơ hệ như hình vẽ

Tìm gia tốc của m1 và biện luận kết quả tìm được

Bỏ qua mọi ma sát

Khối lượng ròng rọc và dây nối bằng không

Giải:

Chọn chiều dương như hình vẽ

Phương trình định luật II Newton cho vật:

)2(

)1(

2

2 2 2 2

2 2 2

1

1 1 1 1

1 1 1

0 0 0

0

m

T P a a

m T P

m

T P a a

m T P

m

T a a

m T

Giả sử ròng rọc quay ngược chiều kim đồng hồ

Gọi S0, S1, S2 là độ dời của m0, m1, m2 so với ròng rọc A

S’ là độ dời của m1, m2 so với ròng rọc B

0 2

0 1

22

'

'

a a a S S S S S S

S S S

=+

⇒

=+

Rút ra:

g

m m m

2

12

122

2 1 0

++

=

1 1

1

1

1 1

2

m

T g m

T g m m

T g m

⇒Hay :

( 4 1 1 )

2

2 1 0 1

1

m m m m

g g

a

++

−

=