Lý thuyết mật mã - Chương 10 pot

Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 1 Chơng 10 CáC M XáC THựC 10.1 Mỏ ĐầU Ta đã dành nhiều thời gian để nghiên cứu các hệ mật đợc dùng để đảm bảo độ mật .Mã xác thực sẽ cung cấp phơng pháp bảo đảm tình toàn vẹn của bản tin,mghĩa là bản tin phải không bị can thiệp một cách bất hựp pháp và nó thực sự đợc gửi đi từ mày phát. Mục đích của chơng này là phải có đợc khả năng xá thực ngay cả khi có một đối phơng tích cực-Oscar là ngời có thể quan sát các bản tin trong kênh.Mục đích này có thể đạt đợc bằng cách thiết lập một khoa riêngK bằng cách để Alice và Bob chungchung một khoá bí mật trớc hki mỗi bản tin đợc gửi đi. Trong chơng này ta sẽ nghiên cứu đảm bảo xacs thực chứ không phải các mã đảm bảo độ mật.Trong mã này,khoá sẽ đợc dùng dể tính một mã xác thực cho phép Bob kiểm tra đợc tính xác thực của thông báo mà anh ta nhận đợc.Một ứng dụng khác của mã xác thực là để kiểm tra xem các số liệu trong một file lớn có bị can thiệp vào một cách hợp pháp hay không.Nhãn xác thực sẽ đợc lu cùng với số liệu:KHOá ĐƯẻc dùng để tạo và kiểm tra dấu xác thực đợc lu một cách tách bạch trong mộtvùngan toàn. Ta cũng sẽ chỉ ra rằng,về nhiều khía cạnh mã xác thực cũng tơng tự nh một sơ đồ chữ kí hoặc tơng tự nh một maw xác thực thông báo(MAC).Sự khác biệt chính là sự an toàn của một maw xác thực là không điều kiện biên,trong khi đó các sơ đồ chữ kí và MAC lại đợc nghiên cứu theo quan điểm độ an toàn tính toán.Cũng vậy,khi một maw xác thực (hoặc MAC) đợc dùng,một bản tin chỉ có thể đợc kiểm tra bởi ngời nhận hợp pháp.Trong khi đó baats cứ mỗi ai cũng có thể xác minh đợc chữ kí bằng cách dùng một thuật toán xác minh công khai. Bây giờ ta sẽ đa ra một định nghia hình thức cho thuật ngữ đợc sử dụng khi nghiên cứu các mã xác thực. Định nghĩa 10.1 Một mã xác thực là một bộ 4(S,R,K,C)thoả mãn các điều kiện sau : 1. S là tập hữu hạn các trạng thái nguồn có thể Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 2 2. A là tập hợp các nhãn xác thực có thể 3. K là một tập hữu hạn các khoá có thể (không gian khoá) 4. Với mỗi k K có một quy tắc xác thực e k : S R Tập bản tin đợc xác định bằng M=S R Nhận xét: Chú ý một trạng thái nguồn tơng đơng với một bản rõ.Một bản tin gồm một bản rõ với một nhãn xác thực kèm theo,một cách chính xác hơn có thể coi đó là là một bản tin đã đợc xác nhận.Một quy tắc xác thực không nhất thiết phải là hàm đơn ánh. Đẻê phát một thông báo (đã đợc kí).Alice và Bob phải tuân theo giao thức sau.Trớc tiên họ phải chộn một khoá ngẫu nhiên KK.Điều này đợc thuwc hiện một cách bí mật nh trong hệ mật khoá bi mật.Sau đó giả sử rằng Alice muốn gửi một trạng thái nguồn sS cho Bob trong một kênh không an toàn>Alice sẽ tính a=e k (s) và gửi bản tin (s,a)cho Bob.Khi nhận đợc (s,a) Bob tính a=e K (s).Nếu a=a thì Bob chấp nhận bản tin là xác thực,ngợc lại Bob sẽ loại bỏ nó. Ta sẽ nghiên cứu hai kiểu tấn công khác nhau mà Oscar có thể tiến hành.Trong cả hai loại này,Oscar sẽ làkẻ xâm nhập vào gia cuộc.Các phép tấn công này đợc mô tả nh sau: Giả mạo Oscar đa ra một bản tin (s,a) vào kênh và hi vọng nó sẽ đợc chấp nhận .Phơng pháp này đợc mô tả trong hình 10.1. Thay thế Oscar quan sát một bản tin trong (s,a)kênh ,sau đó anh ta biến đổi nó thành(s,a),trong đó s=s và hi vọng đợc Bob chấp nhận nh một bản tin xác thực .Bởi vậy anh ta tin sẽ lái đợc Bob đi tới trạng thái nguồn mới này.Phơng pháp này đợc mô tả nh hình 10.2. . Oscar Hình 10.1. Việc giả mạo bởi Oscar Oscar (s,a) Bob Hình 10.2 . Phép thay thế của Oscar. Alice (s,a) Oscar (s,a) Bob Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 3 Gắn với mỗi phơng pháp này là một xác xuất lừa bịp,là xác suất để Oscar thành công trong việc lừa Bob nếu anh ta (Oscar) tuân thủ một chiến lợc tối u .Các xác suất này đợc kí hiệu là Pd 0 (trờng hợp giả mạo)và Pd 1 (trờng hợp thay thế) .Để tình Pd 0 và Pd 1 ta cần phải xác định các phân bố xác suất trên S vàK.Các xác suất này đợc kí hiệu tơng ứng là p s và p k . Giả sử rằng Oscar đẵ biết mã xác thực và hai phân bố xác suất này.Chỉ có một thông tin mà Alice và Bob có nhng mà Oscar không đợc biết là giá trị của khoá K .Điều này tơng tự với cách mà chúng ta đã nghiên cứu độ an toàn không điều kiện của các hệ mật khoá bí mật. 10.2.Tính xác suất lừa bịp Trong phần này sẽ xét đến việc tính các xác suất lừa bịp.Ta bắt đầu về một mã xác thực. Ví dụ 10.1 Giả sử K=R=Z và K=Z 3 xZ 3 Với mỗi (i,j) K và mỗi s S ta xác định e k (s) =i.s+j mod 3 Để thuận tiện cho việc nghiên cứu ta dùng ma trận xác thực (ma trận này tạo bằng tất cả các giá trị e k (s)).Với mỗi khoá KK và với mỗi s S ta đặt nhãn xác thực e k (s) vào hàng K và cột s của một ma trận M kích thớc K xS .Mảng M đợc mô tả trên hình 10.3. Hình 10.3.Ma trận xác thực Khoá 0 1 2 (0,0) 0 0 0 (0,1) 1 1 1 (0,2) 2 2 2 (1,0) 0 1 2 (1,1) 1 2 0 (1,2) 2 0 1 (2,0) 0 1 2 (2,1) 1 0 2 (2,2) 2 1 0 Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 4 Giả sử rằng khoá đợc chọn một cách ngẫu nhiên,tức là p k (K)=1/9 đối với mọi KK. Ta không phải xác định phân bố xác suất p S vì trong thí dụ này nó khong có ý nghĩa gì. Trớc tiên xét cách tấn công giả mạo,Oscar sẽ chọn ra một trạng thái nguồn s và cố gắng phỏng ddoand\s một nhãn xác thực đúng.Kí hiệu K 0 là khoá đang sử dụng (mà Oscar không biết).ócả sẽ thành công trong việc đánh lừa Bob nếu anh ta phỏng đoán a 0 =e K0 (s).Tuy nhiên với bất kì sS và aR dễ dàng thấy rằng ,chỉ có đúng 3(chứ không phải là 9)quy tắc xác thực KK sao cho e k (s) =a.(Nói cách khác mỗi kí hiệu chỉ xuất hiện 3 lần trong mỗi cột của ma trận xác thực ).Bởi vậy dẫn tới Pd 0 =1/3. Phân tích phép thay thế có phức tạp hơn một chút.Giả sử Oscar đã quan sát đợc trên kênh 1 bản tin (0.0).Nhờ đó anh ta đã biết một thông tin nào đó về khoá:anh ta biết rằng : K 0 {(0,0),(1,0),(2,0)} Bây giờ ,giả sử Oscar thay bản tin (0,0) bằng bản tin (1,1).Khi đó anh ta sẽ lừa bịp thành công khi và chỉ khi K 0 =(1,1) ,xác suất để K 0 là khoá bằng 1/3 vì khoá nằm trong tập {(0,0),(1,0),(2,0)}. Có thể thực hiện một phân tích tơng tự đối với bất kì một phép thay thế nào mà Oscar tiến hành.Nói chung nếu Oscar quan sát một bản tin (s,a) và thấy nó bằng một bản tin bất kì (s,a) trong đó s=s thì anh ta sẽ đánh lừa đợc Bob với xác suất 1/3.Ta có thể thấy rõ điều này nh sau .Việc quan sát đợc (s,a) sẽ hạn chế khóa và một trong ba khả năng.Trong khi đó với một phép chọn (s,a) chỉ có một khoá chứ không phải ba khoá có thể )theo quy tắc a là nhãn xác thực của s. Bây giờ ta sẽ thảo luận cách tính toán tổng quát cho các xác suất lừa bịp.Trớc tiên ta hãy xát Pd 0 .Cũng nh trên K 0 là khoá đợc chọn bởi Alice và Bob.Với sS và aR ta xác định payoff(s,a)là xác suất để Bob chấp nhận bản tin (s,a) là bản tin xác thực .Dễ dàng thấy rằng : Payoff(s,a) = prob(a=e K (s)) = K K (ek(s) = a) p K (K) Nghĩa là payoff(s,a) đợc tính bằng cách chọn các hàng của ma trận xác thực có phần tử a nằm trong cột s và lấy tổng xác suất của các khoá K tơng ứng. Để cơ hội thành công là lớn nhất.Oscar phỉa chọn (s,a) sao cho payoff(s,a) là cực đại .Bởi vậy: Pd 0 =max{payoff(s,a): sS.aR} (10.1) Chú ý rằng Pd 0 không phụ thuộc vào phân bố xác suất p S Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 5 Việc tính Pd 1 có khó hơn một chút và nó có thể phụ thuộc vào p S .Trớc tiên ta sẽ xét bài toán sau:Giả sử Oscar quan sát đợc thông báo (s,a) trong kênh.Oscar sẽ thay (s,a) bằng một bản tin (s,a) nào đó ,trong đó ss.Khi đó,với s,sS ,ss và a,aR ta định nghĩa payoff(s,a;s,a) là xác suất để phép thay thế (s,a) bằng (s,a) thành công(để đánh lừa Bob) .Khi đó có thể tính nh sau : Payoff(s,a;s,a) =prob(a=e Ko (s)a=e Ko (s)) = ))(( ))()'('( seaprob seaseaprob K KK = = = Tử số của phân số này đợc tính bằng cách chọn các hàng của ma trận xác thực có giá trị a trong cột s và giá trị a trong cột svà lấy tổng các xác suất của các khoá tơng ứng.Vì Oscar muốn tăng cực đại cơ hội đánh lừa Bob nên anh ta tính : P S = max{payoff(s,a;s,a);sS,ss,aR} Đại lợng p,kí hiệu để Oscar đánh lừa Bob bằng một phép thay thế khi đã quan sát đợc bản tin (s,a) trên kênh. Bây giờ phải làm thế nào để tính để tinhs xác suất lừa bịp Pd 1 ?Rõ ràng là ở đây ta ta phải tính trung bình các giá trị của lợng p S theo các xác suất p M (s,a) quan sát các bản tin trên kênh.Nghĩa là Pd 1 đợc tính bằng : Pd 1 = (S,a) M p M (s,a).p M (10.2) Phân bố xác suất p M nh sau: P M (s,a) =p s (s)x p K (as) =p S (s)x (K K; ek(s)=a) p K (K) =p S (s)xpayoff(s,a) Trong ví dụ 10.1: Payoff(s,a) =1/3 Với s,a,s,a,ss .Bởi vậy Pd 1 =1/3 đối với mọi phân tố xác suất p S (nói chung Pd 1 phụ thuộc vào p S ). Trong ví dụ sau đây sẽ xét việc tính Pd 0 và Pd 1 . Ví dụ 10.2: Xét ma trận trên hình 10.4Giả sử các phân bố xác suất trên S và K là: P S (i)=1/4 1 i 4 và p K (1)=1/2 ; p K (2)=p K (3)=1/4 Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 6 Hình 10.4 Ma trận xác thực Khoa 1 2 3 4 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 3 1 2 2 1 Các giá trị payoff(s,a) nh sau : Payoff(1,1) =3/4 Payoff(1,1) =1/4 Payoff(2,1) =1/2 Payoff(2,2) =1/2 Payoff(3,1) =3/4 Payoff(3,2) =1/4 Payoff(4,1) =1/4 Payoff(4,2) =3/4 Bởi vậy Pd 0 =3/4 .Chiến lợc đánh lừa tối u của Oscar là đa một thông báo bất kì trong số các thông báo (1,1),(3,1) hoặc (4,2) vào kênh. Bây giờ ta sẽ chuyển sang tính Pd 1 .Trớc hết ta đa các giá trị khác nhau của payoff(s,a;s,a). (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) (3,1) (3,2) (4,1) (4,2) (1,1) (1,2) 2/3 0 1/3 1 2/3 1 1/3 0 1/3 1 2/3 0 (2,1) (2,2) 1 1/2 0 1/2 0 1/2 1 1/2 0 1/2 1 1/2 (3,1) (3,2) 2/3 1 1/3 0 2/3 0 1/3 1 0 1 1 0 (4,1) (4,2) 1 2/3 0 1/3 0 2/3 1 1/3 0 1 1 0 Nh vậy ta có p 1.1 =2/3,p 2.2 =1/2,p 3.3 =1 với mọi giá trị s,a khác .Khi đó việc đánh giá Pd 1 sẽ trở nên rất đơn giản:Pd 1 =7/8.Chiến lợc thay thế tối u của Oscar là: (1,1) (2,1) (1,2) (2,2) (2,1) (1,1) (2,2) (1,1) (3,1) (4,2) (3,2) (1,1) (4,1) (1,1) (4,2) (3,1) Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 7 Chiến lợc này thực sự dẫn đến Pd 1 =7/8 Việc tính toán Pd 1 trong ví dụ 10.2 dễ hiểu nhng khá dài dòng .Trên thực tế có thể đơn giản hóa việc tính Pd 2 dựa trên nhận xét là ta đã thực hiện việc chia cho đại lợng payoff(s,a) khi tính P s,a và sau đó Lại nhân với payoff(s,a) khi tính Pd 1 .Dĩ nhiên là hai phép tính này loại bỏ nhau.Giả sử định nghĩa : q s,a =max{ AassSsKp asekasekKK K == ',',':)( 'Ư})'(,)(:{ } Với mọi s,a. Khi đó có công thức đơn giản hơn sau: 10.3.Các giới hạn tổ hợp Ta đã thấy ràng độ an toàn của một mã xác định đợc đo bằng Các xác xuất lừa bịp . Bởi vậy cần xây dựng các mã sao cho các xác Xuất này nhỏ tới mức có thể .Tuy nhiên những khía canh khác cũng Rất qoan trọng .Ta xem xét một số vấn đề cấn qoan tâm trong mã xác thực . 1.Các xác xuất lừa bịp Pd 0 và Pd 1 phải đủ nhỏ để đạt đợc mức an toàn mong muốn . 2.số các trạng thái nguồn phải đủ lớn để có thể truyền các thông tin cần thiết bằng cách gán một nhãn xác thực vào một trạng thái nguồn . 3. Kích thớc của không gian khóa phải đợc tối thiểu hóa và các giá trị của khóa phải truyền qua một kênh an toàn (Cần chú ý rằng phải thay đổi khóa sau mỗi lần truyền tin giống nh khi dùng OTP). Trong phần này sẽ xác địinh giới hạn dới đối với các xác suất lừa bịp và chúng đợc tính theo các tham số của mã.Hãy nhớ lại rằng ta đã định nghĩa mã xác thực là một bộ bốn (S,R,K,E).Trong phần này ta sẽ ký hiệu R=l Giả sử cố định một trạng thái nguồn sS.Khi đó có thể tính : a R payoff(s,a)= a R (K K :ek(s)=a} p K (K) = K K p K (K) =1 Bởi vậy với mỗi sS,tồn tại một nhãn xác thực a(s) sao cho : Payoff(s,a(s))1/l. Dễ dàng rút ra định lý sau: Đinh lý 10.1 Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 8 Giả sử (S,R,K,E) là một mã xác thực .Khi đó Pd 0 1/l trong đó l= R .Ngoài ra Pd 0 =1/l khi và chỉ khi : {K K :ek(s)=a} p(K)=1/l (10.4) với mỗi s S,a R. Baauy giờ ta sẽ chuyển sang phơng pháp thay thế .Giả sử cố định s,a và s ,ss .Ta có: { 1 )( )( )( )( ),;','( })(:{ })(: '' })(:{ }')'(,)(:{ == = = = = == asekKK K asekKK K RaRa asekKK K asekasekKK K Kp Kp Kp Kp asaspayoff Nh vậy tồn tại một nhãn thực a (s ,s,a) sao cho : Payoff(s ,a (s ,s,a) :s,a)1/l Định lý sau sẽ rút ra kết quả : Định lý10.2 Giả sử (S,R,K,E) là một mã xác thực .Khi đó Pd 1 >=1/l trong đó L= R .Ngoài ra Pd 1 1/l khi và chỉ khi : l Kp Kp asekKK K asekasekKK K /1 )( )( })(:{ }')'(,)(:{ = = == Với mỗi s,s S,s=s ,a,a R Chứng minh Ta có : Pd 1 = (s,a) M p M (s,a).p s,a (s,a) M p M (s,a)/l = 1/l Ngoài ra dấu bằng chỉ tồn tại khi và chỉ khi p s,a =1/l với mỗi (s,a) .Tuy nhiên điều kiện này lại tơng đơng với điều kiện : Payoff(s ,a ;s,a)=1/l với mọi (s,a). Định lý 10.3 Giả sử (S,R,K,E) là một mã xác thực trong đó l= R .Khi đóPd 0 =Pd 1 =1/l khi và chỉ khi : 2 }')'(,)(:{ /1)( lKp asekasekKK K = == (10.6) Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 9 Vớ mọi s,s S,a,a R,s s Chứng minh Các phơng trình (10.4)và (10.5) boa hàm phơng trình (10.6).Ngợc lại , phơng trình (10.6) kéo theo các phơng trình (10.4) và(10.5). Nừu các khóa là đồng khả năng thì ta nhận đợc hệ quả sau: Hệ quả 10.4: Giả sử (S,R,K,e) là một mã xác thực ,trong đó l=R và các khoá chọn đồng xác suất.Khi đó Pd 0 =Pd 1 =1/l khi và chi khi : {KK :e K (s)=a,e K (s)=a}=K/l 2 (10.7) Với mọi s,sS,ss,a,aR. 10.3.1.Các mạng trực giao Trong phần này ta xét các mối liên quan gia các mã xác thực và các cấu trúc tổ hợp đợc gọi là các mảng trực giao.Trớc tiên ta sẽ đa ra các định nghĩa: Định nghĩa 10.2: Một mạng trực giao 0A(n,k, )là một mảng kích thớc n 2 xk chứa n kí hiệu sao cho trong hai cột bất kì của mảng mỗi cặp trong n 2 cặp kí hiệu chỉ xuất hiện trong đúng hàng. Các mạng trực giao là các cấu trúc đã đợc nghiên cứu kĩ trong lí thuyets thiết kế tổ hợp và tơng đơng với các cấu trúc khác nh các hình vuông Latinh trực giao hỏi các lới Trong hình 10.5 ta đa ra một mảng trực giao 0A(3.3.1) nhận đợc từ ma trận xác thực ở hình 10.3. Hình 10.5. 0A(3.3.1) 012 201 120 102 021 210 222 111 000 Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 10 Có thể dùng một mảng trực giao bất kì 0A(n,k,) để xây dựng một mã xác thực có Pd 0 =Pd 1 =1/n nh đợc nêu trong định lí sau: Định lí 10.5. Giả sử có một mảng trực giao 0A(n,k, ).Khi đó cùng tồn tại một mã xác thực (S,A,K,E).trong đó S =k, R =n, K = n 2 và Pd 0 =Pd 1 =1/n. Chứng minh: Hãy dùng mỗi hàng của mảng trực giao làm một quy tắc xác thực với xác suất nh nhau bằng 1/(n 2 ).Mối liên hệ tơng ứng gia mảng trực giao và mã xác thực đợc cho ở bảng dới đây.Vì phơng trình (10.7) đợc thoả mãn nên ta có thể áp dụng hệ quả 10.4 để thu đợc một mã xác thực có các tính chất đã nêu. Mảng trực giao Mã xác thực Hàng Quy tắc xác thực Cột Trạng thái nghuồn Kí hiệu Nhãn xác thực 10.3.2.Phơng pháp xây dựng và các giới hạn đối với các 0A Giả sử ta xây dựng một mã xác thực từ một 0A(n,k,).Tham số n sẽ xác định số các nhãn (tức là độ an toàn của mã).Tham số k xác định số các trạng thái nguồn mà mã có thể thích ứng.Tham số chỉ quan hệ tới số khoá (là n 2 ).Dĩ nhiên trờng hợp =1là trờng hợp mong muốn nhất tuy nhiên ta sẽ thấy rằng đôi khi cần phải dùng các mảng trực giao có lớn hơn.Giả sử ta muốn xây dựng một mã xác thực ới tập nguồn xác định S và có một mức an toàn xác định (tức là để Pd 0 < và Pd 1 <).Khi đó mảng trực giao thích hợp phải thoả mãn các điều kiện sau: 1. n 1/ 2. k S.(Xét thấy có thể loại một hoặc một số cột khỏi mảng trực giao và mảng kết quả vẫn còn là một mảng trực giao,bởi vậy không đòi hỏi k=S). 3. đợc tối thiểu hoá ,tuỳ thuộc vào các điếu kiện trên đợc thoả mãn Trớc tiên xét các mảng trực giao có =1 .Với một giá trị n cho trớc ,ta cần làm cực đại hoá số cột,sau đây là một số điều kiện cần để tồn tại . [...]... (.n 1) .n 2 1 và do đó : ( (-1 )k(k-1)+k(n-1)(n 2-1 )(k(n-1))2 Khai triển ta có: 2kn2-k.n 2-2 n2+2n3-k+k+-n2kn 2-2 kn+k hay: -2 n2+2n3kn2+k-+n-2kn hoặc 2(n3-n2)(k(n-1)2+n-1) Cuối cùng,chia hai vế cho (n-1) ta có : n2k(n-1)+1 Đây chính là giới hạn cần tìm Kết quả sau thiết lập sự tồn tại của một lớp vô hạn các mảng trực giao đạt đợc giới hạn nêu trên với đấu = Định lí 10. 10 Giả sử p là một số nguyên tố và... có không gian nghiệm (d-2) chiều.Nghĩa là số các nghiệm (số các hàng trong đó x nằm ở cột b và y ở cột c)bằng pd-2 theo mong muốn Ta sẽ làm một ví dụ nhỏ minh hoạ cách xây dựng này: Ví dụ 10. 3 Giả sử lấy p=2,d=3,khi đó ta sẽ xây dựng một 0A(2,7,2).Ta có : R={000,001, 010, 011 ,100 ,101 , 110, 111} và C={001, 010, 011 ,100 ,101 , 110, 111} Ta nhận đợc kết quả là mảng trực giao nh trên hình 10. 6 Trang 14 Vietebooks... vậy ta có: H(KM)-H(K)=logn-logn2=-logn=logPd0 Nh vậy giới hạn thoả mãn với dấu = Nừu ta quan sát đợc hai bản tin (đợc tạo ra theo cùng một khoá và các trạng thái nguồn khác nhau )thì số các khoá có thể giảm xuống còn .Lập luận tơng tự nh trên ta thấy rằng H(KM2)=log.Khi đó: H(KM)-H(K)=log-logn =-logn=-Pd1 Nh vậy giới hạn này đợc thoả mãn với dấu = 10. 5.các chú giải và tài liệu dẫn Các mã xác thực đợc... biểu mà không chứng minh Định lí 10. 2 Giả sử (S,A,K,E) là một mã xác thực ,trong đó A=n và Pd0=Pd1=1/n.Khi đó Kk(n-1)+1.Hơn nữa K=k(n-1)+1 khi và chỉ khi có một mảng trực giao 0A(n,k,),ở đây S=k,=(k(n-1)+1)/n2 và pK(K)=1/(k(n-1)+1) với mọi khoá KK Nhận xét.Chú ý rằng định lí 10. 10 tạo ra một lớp vô hạn các mảng trực giao đạt đợc giới hạn ở định lí 10. 12 với dấu = 10. 4.các giới hạn entropy Trong phần... trực giao 0A(p.(pd-1)/(p-1).pd-2 Trang 13 Vietebooks Nguyn Hong Cng Chứng minh: Kí hiệu (ZP)d là không gian véc tơ chứa tất cả bộ d trên ZP.Ta sẽ xây dựng A (là một 0A(p,(pd-1)/(p-1),pd-2) trong đó các hàng và các cột đợc lập chỉ số theo các véc tơ trong (ZP)d.Các phần tử của A sẽ là các phần tử của ZP.Tập hợp các hàng đợc xác định là R=(Zp)d):tập các cột là : C = {(c1 cd)(Zp)d: j,0jd-1 ,c1= =cj=0,cj+1=1}... đề (10. 8) ta có: rR1 x r2 (k (.n 1)) 2 .n 2 1 và bởi vậy : rR1 x r ( x r 1) (k (.n 1)) k ( n 1) n 2 1 Mặt khác,trong một cặp cột cho trớc bất kì,cặp đợc sắp (0,0) xuất hiện trong đúng hàng Vì có k(k-1)cặp các cột đợc sắp nên dẫn đến số lần xuất hiện của cặp đợc sắp (0,0) trong các hàng của R đúng bằng (-1 )k(k-1).Bởi vậy ta có: (-1 )k(k-1) (k ( n 1)) 2 k (.n 1) .n 2 1 và do đó : ( (-1 )k(k-1)+k(n-1)(n 2-1 )(k(n-1))2... thực hiện trong trờng Z).Nhng hệ này có nghiệm duy nhất: i=(a-b)(x-y)4mod p j=a-y.x mod p Bởi vậy ta có một mảng trực giao Nhận xét rằng một 0A(n,n,1) bất kì có thể mở rộng thêm một cột để tạo thành 0A(n,n+1,1)(xem các bài tập ).Vì thế dùng định lí 10. 7 có thể nhận đợc vô hạn các 0A đạt đợc giới hạn của định lí 10. 6 với dấu bằng Định lí 10. 6 cho biết rằng >1 nếu k>n+1.Ta sẽ chứng minh một kết quả tổng... hai biểu thức biểu thị H(K,S,A) ta có: -H(A,S)=H(KA,S)-H(K) Tuy nhiên thông báo m=(s,a) đợc xác định gồm một trạng thái nguồn và một trạng thái nhãn xác thực(nghĩa là M=SxA).Bởi vậy: H(KA,S)=H(KM) Định lí đợc chứng minh Sau đây ta sẽ chỉ đa ra mà không chứng minh giới hạn tơng tự cho Pd1 Định lí 10. 4 Giả sử rằng (S,A,K,E) là một mã xác thực Khi đó LogPd1H(KM2)-H(KM) Cần phải xác định giới hạn entropy... Pd0 Định lí 10. 13 Giả sử (S,R.K,E) là một mã xác thực Khi đó LogPd0H(KM)-H(K) Chứng minh: Từ phơng trình (10. 1) ta có : Pd0 max{payoff(s,a):sS,aR} Vì giá trị cực của payoff(s,a) phải lớn hơn trung bình các trọng số của chúng nên ta nhận đợc: Pd0sS,aRpM(s,a)payoff(s,a) Nh vậy thoe bất đẳng thức Jensen(dịnh lí (2.5) ta có : LogPd0logsS,aRpM(s,a)payoff(s,a) sS,aRpM(s,a)log payoff(s,a) Theo phần 10. 2: PM(s,a)=ps(s)x... đề 10. 8 Giả sử b1 bm là các số thực.Khi đó: n n m =1 m =1 m b12 ( b1 ) 2 Chứng minh áp dụng bất đẳng thức Jensen(Định lí 2.5) với f(x)=-x2 và a1=1/m.1im.Hàm f là liên tục là và lõm.Vì thế ta nhận đợc : b12 m b1 m m i =1 i =1 m 2 Từ đây dễ dàng rút ra kết quả mong muốn Định lí 10. 9 Giả sử tồn tại một 0A(n,k,).Khi đó k (n 1) + 1 n2 Chứng minh Cho A là một 0A(n,k,) trên tập kí hiệu X={0,1 n-1},trong . ( (-1 )k(k-1)+k(n-1)(n 2 -1 )(k(n-1)) 2 Khai triển ta có: 2 kn 2 -k.n 2 - 2 n 2 + 2 n 3 -k+k+-n 2 kn 2 -2 kn+k hay: - 2 n 2 + 2 n 3 kn 2 +k-+n-2kn hoặc 2 (n 3 -n 2 )(k(n-1) 2 +n-1) Cuối. 0A(2,7,2). 100 1011 0011 110 0101 101 11 1100 0 0 1100 11 1100 110 1 0101 01 0000000 10. 3.3Đặc trng của m xác thực . Cho tới giờ ta đã nghiên cứu các mã xác thực nhận đợc từ các mảng. R={000,001, 010, 011 ,100 ,101 , 110, 111} và C={001, 010, 011 ,100 ,101 , 110, 111} Ta nhận đợc kết quả là mảng trực giao nh trên hình 10. 6 Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 15 Hình 10. 6.Một 0A(2,7,2). 100 1011 0011 110 0101 101 11 1100 0 0 1100 11 1100 110 1 0101 01 0000000