PHÁƯN I: CÅ HC HÃÛ VÁÛT RÀÕN CHỈÅNG I: TORSÅ , GỌC Å LE, VI PHÁN VẸC TÅ. §1. TORSÅ. 1.Hãû vẹc tå. - i V r âàût âiãøm cọ giạ i A n,1i;i =∆ . - () 3 RDN,MV ∈∈ r 2.Cạc pháưn tỉí rụt gn ca hãû. a)Vẹc tå täøng håüp. () ∑ ∫ += D i dVNVVIR r r Trong âọ: () () () () ∫∫∫∫∫∫∫ ++= VDLS dVNVdSNVdLNVdVNV r r rr b)Trỉåìng mä men. () () ∑ ∫ ∧+∧= D iihe dVNVMNVAMMM r r r r I R v he M r l pháưn tỉí rụt gn ca hãû tải âiãøm M. 3.Trỉåìng mä men. Cho . Ta cọ cäng thỉïc: 3 21 RM,M ∈ () () IRMMMMMM hehe ∧+= 1212 rr Hãû qu: 1.Nãúu () () 2 he 1he12 MMMMRMM =⇒λ= r 2. 21 M,M ∀ . Nãúu nhán vä hỉåïng 12 MM u uuuuuur ta cọ: () () 211he212he MM.MMMM.MM rr = vç ( ) 1212 MMRMM ⊥∧ r 3.Báút biãún ca hãû. () () R.MMR.MM 1he2he r r r r = Têch vä hỉåïng R&M h r r khäng phủ thüc vo âiãøm M. 4.Âënh nghéa Torså. a)Hãû tỉång âỉång: Hai hãû vẹc tå tỉång âỉång våïi nhau nãúu chụng cọ cng trỉåìng mämen nhỉ nhau Hãû1 Hãû2 () () MMMM:M 2he1he r r =∀ Hay nọi cạch khạc: nọ cng tạc dủng cå hc. b)Âënh nghéa: Mäüt pháưn tỉí ca khäng gian cọ tỉì cạc pháưn tỉí thu gn ca hãû vẹc tå (vẹctå täøìng håüp v trỉåìng mämen) v cạc quan hãû tỉång âỉång ca nọ gi l Torså. 5.Cạc âënh l. Âënh l 1: Nãúu hai hãû tỉång âỉång thç chụng cọ cng vẹc tå täøng håüp nhỉ nhau. Âënh l 2: Âiãưu kiãûn cáưn v â âãø hai hãû tỉång âỉång nãúu chụng cọ cng cạc pháưn tỉí thu gn tải 1 âiãøm nhỉ nhau. Âënh l 3: Âiãưu kiãûn cáưn v â âãø hai hãû tỉång âỉång nãúu chụng cọ cng mämen tải 3 âiãøm khäng thàóng hng nhỉ nhau. 6.Cạc phẹp tênh âäúi våïi hãû. a)Täøng ca hãû. 2121 , RRRRR r r r r r +=⇒ () () () () () MMMMMMMMMM 2121 , r r r rr +=⇒ b)Nhán våïi âải lỉåüng vä hỉåïng. () () () MMMM,RR 11 r r r r λ=λ= M. ∀ 7.Cạc vê dủ cå såí. a)Hãû tảo tỉì 1 vẹc tå. V r , ta cọ () VMAMM,VR r r r r ∧== b)Ngáùu. Hãû tảo tỉì 2 vẹc tå m täøng ca chụng bàòng 0. 0RVV 12 =⇒−= rr r v () () RMMMMMM r r r ∧+= 1212 ta cọ: () () MMMMM 12 rrrr == §2. THU GN HÃÛ VẸC TÅ. Cho hãû vẹc tå báút k ta âi tçm 1 hãû tỉång âỉång, m âån gin ráút nhiãưu so våïi hãû â cho. 1.Âënh l. Mäüt hãû báút k tỉång âỉång våïi 1 hãû gäưm 1 ngáùu v 1 vẹc tå. 2.Cạc hãû täúi gin (suy biãún). a)Hãû tỉång âỉång våïi 1 ngáùu: nãúu 0R = r b)Hãû tỉång âỉång våïi 1 vẹc tå duy nháút, nãúu () 0R&0R.0M ≠= r r r c)Hãû tỉång âỉång våïi hãû räùng. (hay 0 r ) Âiãưu kiãûn cáưn v â âãø hãû tỉång âỉång våïi hãû räùng l cạc pháưn tỉí thu gn âäưng thåìi bàòng 0 () () 00M;0R == rr 3.Trủc trung tám. Cho hãû vẹc tå báút k biãút cạc pháưn tỉí thu gn ca nọ tải 1 âiãím 0 l . () 0M&R rr Ta s tçm nhỉỵng âiãøm ⇒ ⊥ ∈ RmfM r sao cho () () () R0M R 1 M0RMM 2 r r r r ∧−=⇒≡ . Âiãưu ny chỉïng t ràòng âiãøm M thüc màût phàóng tha mn âiãưu kiãûn ca bi toạn. Váûy âỉåìng thàóng âi qua R//&M r gi l trủc trung tám ca hãû. 4.Mä t trỉåìng mä men. a)Trỉåìng håüp täøng quạt. () 0R.0M;0R ≠≠ r r r () () RA00MAM r r r ∧+= Ngỉåìi ta chỉïng minh ràòng,nhỉỵng âỉåìng tạc dủng ca lỉûc ca trỉåìng nhỉ trãn l nhỉỵng âỉåìng xồõn äúc. b)Hãû tỉång âỉång våïi 1 vẹc tå. Nãúu () 00M = r c)Hãû tỉång âỉång våïi 1 ngáùu. Nãúu () constM0M == r r d)Hóỷ tổồng õổồng vồùi hóỷ rọựng. () 0M0M == r r 5)Tờch vọ hổồùng cuớa hai Torsồ. a)ởnh nghộa: Cho 2 Torsồ: [] () () [] () () 0M,R:T&0M,R:T 222111 r r rr goỹi goỹi tờch vọ hổồùng. [][] 21 T.T [][] () )0(.0. 122121 MRMRTT rrrr += b)Caùc tờnh chỏỳt. -Giao hoaùn. -Phỏn phọỳi. -Kóỳt hồỹp Đ3. GOẽC LE. 1.ởnh nghộa. Cho 2 hóỷ toỹa õọỹ óử caùc vuọng goùc0 1 xyz vaỡ vaỡ caùc veùc tồ õồn vở 1111 zyx0 ( ) kji r r r ,, vaỡ ),,( 111 kji r rr Goỹi D giao tuyóỳn cuớa 2 mỷt phúng bồới veùc tồ õồn vở xy0&yx0 1111 u r Goỹi: ( ) s1111 Z0u0,x0 = ( ) u0z0,z0 ii111 = ( ) z0x0,u0 11 = () ,, goỹi goùc le cuớa hóỷ so vồùi () Txyz0 1 () 11111 Tzyx0 goỹi laỡ goùc tión õọỹng. goỹi laỡ goùc chổồng õọỹng. goỹi laỡ goùc quay rióng. Caùc goùc le ,, cho ta õởnh õổồỹc vở trờ cuớa T so vồùi 1 T óứ bióỳn õọứi tổỡ TT 1 ta thổỷc hióỷn 3 lỏửn quay caùc truỷc vaỡ goùc theo sồ õọử sau () () () zyx0 k,quay uvz0 2 u,quay zuy0 1 k,quay zyx0 1 111 1111 1 1111 TRRT r r r Vồùi: 11 jsinicosu r r r += 111 jcosisinV r r r += 11 ksinVcosV r r r += §4.VI PHÁN VẸC TÅ. Cho âäúi våïi hãû qui chiãúu T. () tV r 1.Âảo hm theo thåìi gian. () () () () () () () Tdt Vd tz ty tx T tz ty tx tV / ' ' ' r r ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⇒∈ 2.Cạc phẹp tênh âảo hm. a) T dt Ud UU T dt Ud dt UUd / / )( 2 12 121 r rr rrr += b) dt Ud UU dt Ud dt UUd 2 12 121 )( r rr r r r ∧+∧= ∧ c) () T dt Ud T dt Ud UU T dt UUd /// 21 21 21 r r r & r & rr µλµλ µλ +++= + 3.Âënh l. Nãúu l 3 vẹc tå cå såí ca hãû qui chiãúu T, âảo hm theo tham säú t so våïi hãû qui chiãúu täưn tải vẹc tå v chè 1 m thäi l k,j,i rrr 1 T 1 /T T ω r sao cho: i Tdt id TT r r r ∧= 1 / 1 / ω j Tdt jd TT r r r ∧= 1 / 1 / ω k Tdt kd TT r r r ∧= 1 / 1 / ω Nãúu t: l thåìi gian thi ω r gi vẹc tå (váûn täúc gọc) quay tỉïc thåìi ca T so våïi . 1 T (Tỉû chỉïng minh). Vê dủ: (trong trỉåìng quay quanh 1 trủc). Tçm vẹc tå quay tỉïc thåìi quanh 1 trủc. Cho T v v 1 T ;kk j r r = gi ( ) x0,x0g 111 =α k Tdt kd Tdt kd TT r r r r ∧=== 1 / 1 1 0 // ω 1/ 1 kk TT rr r ωωω ==⇒ 11 jsinicosi r r α+α= jikiTjji Tdt id T rr r r r r & r & r & r ωωωααααα =∧=∧==+−= 1 1 /cossin / α = ω ⇒ & v 1/ 1 kk TT r & r & r ααω == 4.Cäng thỉïc so sạnh cạc âảo hm. Cho kzjyixV:TV rrr rr ++=∈ Khi âọ 111 //// Tdt kd z Tdt jd y Tdt id xkzjyix Tdt Vd r r r r & r & r & r +++++= ()() () kTzjTyiTx Tdt Vd TTT r r r r r r r +++= 111 /// / () kzjyixT Tdt Vd T r rr r r +++= 1 / / Vỏỷy VT Tdt Vd Tdt Vd T r r rr += 1 1 / // 5.Hóỷ thổùc Saclồ. Cho n hóỷ quy chióỳu . n21 T, ,T,T Theo cọng thổùc trón ta coù: VT Tdt Vd Tdt Vd T r r r r += 1 21 / // 2 VT Tdt Vd Tdt Vd T r r r r += 2 32 / // 3 VT Tdt Vd Tdt Vd nT nn n r r r r += 1 1 / // Mỷt khaùc ta coù: VT Tdt Vd Tdt Vd n T n r r r r += 1 1 / // () 0// // 1121 32 =+++ VTTTT nn TnTTT r r rrr 1211 / /// 21 TTTT TnTnTT nnn r rrr + + + = 6.Aẽp duỷng. a)Nóỳu gỏửn chỏỳt nhau, vỏỷy 21 T&T 0/ 1 2 =T T r vaỡ 21 // Tdt Vd Tdt Vd r r = b) 12 // 21 TT TT rr = c)Tờnh veùc tồ quay tổùc thồỡi laỡ haỡm caùc goùc le. 1121 //// 12 TRRT RRTT r r r r + + = maỡ kR T r & r = 2 / uR R r & r = 1 / 2 11 / 1 kT R r & r = Vỏỷy kukT T r & r & r & r ++= 11 / CHặNG II: CHUYỉN ĩNG HOĩC. Đ1. TRặèNG VN TC. 1.Trổồỡng vỏỷn tọỳc. a)ởnh nghộa. Cho õióứm M bỏỳt kyỡ vaỡ hóỷ qui chióỳu , gọỳc 1 T 1 0 () 1 1 / / 1 Tdt MOd MV TS = s m Nóỳu MG (S) () 1 1 / / 1 Tdt MOd MV TS = b)Cọng thổùc. () () MOOVMV TTTSTS 1/// 111 += r Trổồỡng hồỹp õỷc bióỷt: Lỏỳy ; vỗ () ST ' () ST&T ' nón 0/ ' =T T r ; theo Hóỷ thổùc Sarlồ; Ta coù 11 // TT ST r r = vỏỷy () () MOOVMV TSTSTS 1/// 111 += 2.Trổồỡng gia tọỳc. a)ởnh nghộa. () () 1 / 1 2 1 2 / / / 1 1 Tdt MdV Tdt MOd M T T == b)Cọng thổùc. () () () OMOM Tdt d OM TSTS TS TT ++= 11 1 11 // 1 / // / Đ2. TRặèNG HĩP CHUYỉN ĩNG. 1.Hồỹp vỏỷn tọỳc. Cọỹng thổùc vỏỷn tọỳc õióứm vồùi 2 hóỷ qui chióỳu T&T 1 ta coù: () () OM Tdt OMd OVMV TTTT ++= 111 / 1 // / hay: () () () OMMVOVMV TTTTT ++= 111 //// () () () MVMVMV TTTT 11 /// += () () () () () () MVMVMVMVMVMV eTTrTaT === 11 /// ;; Ta cọng thổùc lỏỷp vỏỷn tọỳc: () () () MVMVMV era += 2.Hồỹp gia tọỳc. () () 1 / 1 2 1 2 / / / 1 1 Tdt MdV Tdt MOd M T T == Ta coù: () () () () () MVOMOM Tdt d OMM TTTTTTT TT TTTT //// 1 / /// 111 1 11 2 / ∧+∧∧+∧++= ωωω ω γγγ gi: () () MM aT γγ = 1 / () () MM rT γγ = / () () () MOMOM Tdt d O eTTTT TT TT γωω ω γ =∧∧+∧+ 11 1 1 // 1 / / / () () MMV cTTT γω =∧ // 1 2 Váûy ta cäng thỉïc håüp gia täúc: () () () () MMMM cera γγγγ ++= §3. CẠC DẢNG CHUØN ÂÄÜNG ÂÀÛC BIÃÛT CA VÁÛT RÀÕN. 1.Chuøn âäüng quay quanh 1 trủc cäú âënh. L chuøn âäüng vẹc tå quay tỉïc thåìi cọ 1 hỉåïng cäú âënh. u TT r λω = 1 / , u r vẹc tå âån vë. 2.Chuøn âäüng dỉìng (äøn âënh). L chuøn âäüng ca (S) so hãû qui chiãúu , nãúu 1 T () constAV TT = 1 / 1 TA ∈ ∀ ; khäng phủ thüc thåìi gian m phủ thüc vë trê ca A.Hay nọi cạch khạc Váûn täúc ca cạc thüc váût (S) tải 1 thåìi âiãøm nhỉ nhau. Cọ tênh cháút: const Tdt d TT TT == 1 1 / 1 / ,0 / ω ω so T&T 1 nãúu →= 0 1 / TT ω chuøn âäüng tênh tiãún. 3.Chuøn âäüng song phàóng. a)Âënh nghéa. () TS ∈ chuøn âäüng so hãû qui chiãúu gi l chuøn âäüng song phàóng nãúu 1 T 11 TPTP ∈≡∈ b)Tám quay tỉïc thåìi. I gi tám quay tënh tiãún nãúu () 0 1 / =IV TT (viãút tàõt C.I.R) I täưn tải v duy nháút åí mäùi thåìi âiãøm. Cáúu trục hçnh hc: âäúi våïi TM ∈ ∀ ta cọ: () () IMIVMV TTTTTT ∧+= 111 /// ω , vç () 0 1 / =IV TT () IMMV TTTT ∧=⇒ 11 // ω c)Làn khäng trỉåüt. CHặNG III: ĩNG HOĩC. Đ1. TORS ĩNG HOĩC. 1.Vở trờ khọỳi tỏm. Xeùt hóỷ chỏỳt õióứm. taỷo nón vỏỷt rừn. m: khọỳi lổồỹng cuớa hóỷ. Ta coù : = dmm ởnh nghộa: Goỹi G laỡ khọỳi lổồỹng cuớa hóỷ nóỳu = dmOMOGm 2.Vỏỷn tọỳc khọỳi tỏm. () === dm Tdt Md Tdt dmMd Tdt Gd mGVm T / 0 / 0 / 0 / (vỗ m=const) () () dmMVGVm TT = // 3.ởnh nghộa Torsồ. Goỹi () GVm T/ laỡ õọỹng lổồỹng cuớa 1 chỏỳt õióứm. () () == GVmdmGVQ TTT /// Veùc tồ õọỹng lổồỹng thu goỹn () () = dmMVPMP TT // Veùc tồ mọ men õọỹng lổồỹng thu goỹn õọỳi vồùi õióứm P. Hai õaỷi lổồỹng thu goỹn () PQ TT // & goỹi Torsồ õọỹng hoỹc (hay Torsồ õọỹng lổồỹng cuớa hóỷ T ). 4.Mọ men õọỹng hoỹc cuớa vỏỷt rừn õỷc bióỷt taỷi 1õióứm. a)ởnh nghộa ma trỏỷn quaùn tờnh. () () ( ) == SS TSTTS dmOMOMdmMVOMO /// hay () { } () [] { } TSTS OIO // = b)Tờnh chỏỳt: Ma trỏỷn quaùn tờnh coù tờnh õọỳi xổùng õọỳi vồùi hóỷ qui chióỳu trổỷc quan: jj j i = Vồùi ( ) = S jj j i dmeOMeOM r r c)Tờnh ma trỏỷn quaùn tờnh. () [] = CDE DBF EFA 0I ( ) () ( ) cbab0.acba r r r r r r r r r = Trong õoù: () [] () dmMeMdmeMeMA SS == 2 1 2 11 0.000 rrr () dmM0.eM0B S 2 2 2 = r =C ( ) [ ] ( ) ( ) dme.m0M0.edmeM0eM0F SS 2122 == r r r r ( ) [ ] dmeM0eM0D S 32 = r r ( ) [ ] = S f3 dmeM0eM0E r r Cho () z,y,xM () [] () dmzydmxzyxA S 22 S 2222 +=++= goỹi mọ men quùan tờnh cuớa hóỷ õọỳi vồùi truỷc x cuớa hóỷ õọỳi vồùi truỷc y. () dmxzB S 22 += cuớa hóỷ õọỳi vồùi truỷc z. () += S 22 dmyxC () () () dmzxE;dmyzD;dmxyF SSS === goỹi laỡ quaùn tờnh. d)ởnh lyù Huyghens. Cho hóỷ truỷc Gxyz : bióỳt ma trỏỷn quaùn tờnh. Hóỷ truỷc Gxyz//xyz0 Vồùi ZZGZ;YyGy;XXGx + = + = + = . Goỹi caùc phỏửn tổớ cuớa ma trỏỷn quaùn tờnh taỷi G GGG F, ,B,A caùc phỏửn tổớ cuớa ma trỏỷn quaùn tờnh taỷi 0. 000 F, ,B,A Ta coù cọng thổùc sau: () 2 G 2 GG0 zymAA ++= , tổồng tổỷ 0 B 0 C GGGGGGGGG ymxFFxmzEEzmyDD + = + = + = 000 ;; e)Caùc phỏửn tổớ cuớa ma trỏỷn quaùn tờnh õọỳi vồùi vỏỷt cồ tờnh õọỳi xổùng. *Mỷt õọỳi xổùng () () 0Z;0ED;y0xG;y0x G === *Coù 2 mỷt õọỳi xổùng () 0FED;y0Gz0y&y0x === *Coù õọỳi xổùng tión tióỳn (quay quanh truỷc z0 ): BA&0FED ==== *Vỏỷt laỡ 1 õộa ( Z0 mỷt phúng õộa) () BACdmyxC;dmxB;dmyA SSS 2222 +=+=== f)Hóỷ truỷc quaùn tờnh chờnh. () [] = C00 0B0 00A 0I Hóỷ truỷc quaùn tờnh chờnh taỷi 0. 0EFD === 5.Torsồ õọỹng hoỹc vaỡ tọứng hồỹp chuyóứn õọỹng. Muỷc õờch: Chuùng ta õi so saùnh Torsồ õọỹng hoỹc cuớa hóỷ õọỳi vồùi 2 hóỷ qui chióỳu khaùc nhau. a)ởnh lờ Kọnic. 11 /// TTTT QQQ += () () () PPP TTTT 11 /// += 1 1 / / / TT T T Q Q Q : tổồng õọỳi : tuyóỷt õọỳi : theo ởnh lyù: Mọ men õọỹng lổồỹng õọỳi vồùi khọỳi tỏm cuớa 1 hóỷ so hóỷ qui chióỳu bũng Mọ men õọỹng lổồỹng cuớa õióứm õoù cuớa 1 hóỷ so hóỷ qui chióỳu T. Nóỳu chuyóứn õọỹng T so :laỡ tởnh tióỳn. 1 T 1 T () () GG TT // 1 = b)Tờnh mọmen õọỹng lổồỹng. *Mọ men õọỹng lổỷc cuớa vỏỷt rừn chuyóứn õọỹng: () P TS 1 / Cho ( chuyóứn õọỹng so sao cho coù 1 õióứm 0 cọỳ õởnh ) S 1 T () { } () [] { } 11 // TSTS OIO = vaỡ theo cọng thổùc tởnh trổồỡng mọ men () () () GVPmOP TTSTS 111 /// 0 += Aẽp duỷng ởnh luỏỷt Kọnic: () () GG KSTS // 1 = () { } () [] { } KSKS GIG // = vỗ K tởnh tióỳn so 1 T nón 1 // TSKS = Vỏỷy () { } () [] { } 11 // TSTS GIG = () () () GVPGmPP TTSTS 11 // += *Mọ men õọỹng lổồỹng cuớa hóỷ vỏỷt rừn. Nóỳu hóỷ laỡ hóỷ vỏỷt rừn : khi õọỹ U n 1i i S = = () () = = n i TST PP i 1 // 11 Baỡi tỏỷp. Tờnh () ? 1/ 1 O TS Trổồùc hóỳt tờnh ma trỏỷn quaùn tờnh õọỳi vồùi G xyz () [ GI ] Do õọỳi xổùng vaỡ BA,0FED ==== A2BAC = + = Tờnh à=à= 0 3 2 3 a a4dyyQ22A vỗ 3 ma Aa4m 2 2 =à=