26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 65 Điểm cân bằng của hệ phi tuyến Điểm cân bằng của hệ phi tuyến Một điểm trạng thái x e được gọi là điểm cân bằng nếu như hệ đang ở trạng thái x e và không có tác động nào từ bên ngoài thì hệ sẽ nằm nguyên tại đó. Dễ thấy điểm cân bằng phải là nghiệm của phương trình: 0== == 0, ),( u u e xx xfx & Hệ phi tuyến có thể có nhiều điểm cân bằng hoặc không có điểm cân bằng nào. Điều này hoàn toàn khác so với hệ tuyến tính , hệ tuyến tính luôn luôn có 1 điểm cân bằng là x e = 0. ),( uxfx = & Xét hệ phi tuyến mô tả bởi phương trình trạng thái sau: 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 66 Điểm cân bằng của hệ phi tuyến Điểm cân bằng của hệ phi tuyến – – Thí dụ Thí dụ Thành lập PTTT. Đặt: = = )()( )()( 2 1 ttx ttx θ θ & PTTT mô tả hệ con lắc là: ))(),(()( t u t t x f x = & +−− = )( 1 )()(sin )( ),( 2 2 2 1 2 tu ml tx ml B tx l g tx uxf trong đó: Xét hệ con lắc mô tả bởi PTVP: m u l θ + − 0 )(sin)()( 2 tumgltBtml =++ θθθ &&& Xác đònh các điểm cân bằng (nếu có) 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 67 Điểm cân bằng của hệ phi tuyến Điểm cân bằng của hệ phi tuyến – – Thí dụ Thí dụ +−− = )( 1 )()(sin )( ),( 2 2 2 1 2 tu ml tx ml B tx l g tx uxf Điểm cân bằng phải là nghiệm của phương trình: 0== == 0, ),( u u e xx xfx & =−− = 0sin 0 2 2 1 2 ee e x ml B x l g x ⇒ = = π kx x e e 1 2 0 ⇒ Kết luận: Hệ con lắc có vô số điểm cân bằng: = 0 π k e x + = 0 )12( π k e x = 0 2 π k e x 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 68 Ổn đònh tại điểm cân bằng Ổn đònh tại điểm cân bằng Đònh nghóa: Một hệ thống được gọi là ổn đònh tại điểm cân bằng x e nếu như có một tác động tức thời đánh bật hệ ra khỏi x e và đưa đến điểm được x 0 thuộc lân cận nào đó của x e thì sau đó hệ có khả năng tự quay được về điểm cân bằng x e ban đầu. Chú ý: tính ổn đònh của hệ phi tuyến chỉ có nghóa khi đi cùng với điểm cân bằng. Có thể hệ ổn đònh tại điểm cân bằng này nhưng không ổn đònh tại điểm cân bằng khác. Điểm cân bằng ổn đònh Điểm cân bằng không ổn đònh Thí dụ: 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 69 O O Å Å n n đ đ ònh Lyapunov ònh Lyapunov Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả bởi PTTT: 0 ),( = = u uxfx & Giả sử hệ thống có điểm cân bằng x e = 0. (1) Hệ thống được gọi là ổn đònh Lyapunov tại điểm cân bằng x e = 0 nếu với ε > 0 bất kỳ bao giờ cũng tồn tại δ phụ thuộc ε sao cho nghiệm x(t) của phương trình (1) với điều kiện đầu x(0) thỏa mãn: 0,)( )0( ≥ ∀ < ⇒< tt ε δ xx 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 70 O O Å Å n n đ đ ònh tie ònh tie ä ä m ca m ca ä ä n Lyapunov n Lyapunov Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả bởi PTTT: 0 ),( = = u uxfx & Giả sử hệ thống có điểm cân bằng x e = 0. (1) Hệ thống được gọi là ổn đònh tiệm cận Lyapunov tại điểm cân bằng x e = 0 nếu với ε > 0 bất kỳ bao giờ cũng tồn tại δ phụ thuộc ε sao cho nghiệm x(t) của phương trình (1) với điều kiện đầu x(0) thỏa mãn: 0)(lim )0( t = ⇒< ∞→ txx δ 26 September 2006 â H. T. Hong - éHBK TPHCM 71 So sa So sa ự ự nh o nh o ồ ồ n n ủ ủ ũnh Lyapunov va ũnh Lyapunov va ứ ứ o o ồ ồ n n ủ ủ ũnh tie ũnh tie ọ ọ m ca m ca ọ ọ n Lyapunov n Lyapunov On ủũnh Lyapunov On ủũnh tieọm caọn Lyapunov 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 72 Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov Cho hệ phi tuyến phương trình trạng thái: ),( uxfx = & (1) Đònh lý: Nếu hệ thống tuyến tính hóa (2) ổn đònh thì hệ phi tuyến (1) ổn đònh tiệm cận tại điểm cân bằng x e . Nếu hệ thống tuyến tính hóa (2) không ổn đònh thì hệ phi tuyến (1) không ổn đònh tại điểm cân bằng x e . Nếu hệ thống tuyến tính hóa (2) ở biên giới ổn đònh thì không kết luận được gì về tính ổn đònh của hệ phi tuyến tại điểm cân bằng x e. Giả sử xung quanh điểm cân bằng x e , hệ thống (1) có thể tuyến tính hóa về dạng: u ~ ~ ~ BxAx += & (2) . thì hệ phi tuyến (1) ổn đònh tiệm cận tại điểm cân bằng x e . Nếu hệ thống tuyến tính hóa (2) không ổn đònh thì hệ phi tuyến (1) không ổn đònh tại điểm cân bằng x e . Nếu hệ thống tuyến. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 72 Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov Cho hệ phi tuyến phương trình trạng thái: ),( uxfx = & (1) Đònh lý: Nếu hệ thống tuyến. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 65 Điểm cân bằng của hệ phi tuyến Điểm cân bằng của hệ phi tuyến Một điểm trạng thái x e được gọi là điểm cân bằng nếu như hệ đang ở trạng thái x e và không có tác động nào