GIẢI TÍCH P - ADIC pdf

Giải tích p-adic Đặng Tuấn Hiệp Tháng 10 năm 2007 MỤC LỤC 1 Chuẩn trên trường 3 1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Chuẩn tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Chuẩn phi Archimedean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Tính chất cơ bản của chuẩn phi Archimedean . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Chuẩn trên Q 8 1.4 Xây dựng trường số p-adic Q p 9 1.4.1 Chuẩn trên Q p 10 1.4.2 Đồng dư trong Q p 11 1.4.3 Số nguyên p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Biểu diễn p-adic của số x trong Q p 11 1.6 BổđềHensel 14 1.7 Nhóm giá trò và trường thặng dư của Q p 15 1.8 Một số tính chất tôpô của Q p 15 1.8.1 Khoảng trong Q p 16 1.9 Bàitậpchương1 16 2 Xây dựng trường số phức p-adic C p 17 2.1 Chuẩn trên không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Trường Q p 17 2.3 Các tính chất cơ bản của C p 17 2.4 Bàitậpchương2 19 3 Hàm giải tích p-adic 21 3.1 Chuỗilũythừa 21 3.2 Hàmgiảitích 21 3.3 Vành các hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3.1 Các đònh nghóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3.2 Đònhlý 24 3.3.3 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.4 Đònh lý chuẩn bò Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.5 ĐagiácNewton 27 1 Đặng Tuấn Hiệp - Giải tích p-adic 2 3.6 Hàm phân hình p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.7 Bàitậpchương3 27 4 Lý thuyết Nevanlinna 30 Chương 1 Chuẩn trên trường 1.1 Các khái niệm cơ bản Đònh nghóa 1.1.1. Cho F là một trường, ánh xạ |.| : F → R được gọi là chuẩn trên F nếu nó thỏa mãn ba tính chất sau: i. |x|≥0; ∀x ∈ F và |x| =0⇔ x =0 ii. |xy| = |x||y|; ∀x, y ∈ F iii. |x + y|≤|x| + |y|; ∀x, y ∈ F Ví dụ. 1. Lấy F = Q, R, C ; với giá trò tuyệt đối thông thường là chuẩn. 2. Lấy F là trường tùy ý, ∀x ∈ F, ta đònh nghóa |x| =  1 nếu x =0 0 nếu x =0 là chuẩn tầm thường. Tính chất. 1. |1| =1 2. |x −1 | = 1 |x| ; ∀x =0 3. Nếu F là trường hữu hạn thì trên F có duy nhất một chuẩn là chuẩn tầm thường. 3 Đặng Tuấn Hiệp - Giải tích p-adic 4 1.1.1 Chuẩn tương đương Cho F là trường; |.| là chuẩn trên F . Khi đó, chuẩn |.| cảm sinh ra mêtric d(x, y)=|x −y|. Tôpô sinh bởi mêtric này được gọi là tôpô cảm sinh bởi chuẩn |.|. Đònh nghóa 1.1.2. Cho hai chuẩn |.| 1 , |.| 2 trên trường F . Ta nói |.| 1 và |.| 2 là tương đương với nhau khi và chỉ khi tôpô cảm sinh bởi hai chuẩn này là trùng nhau. Ký hiệu |.| 1 ∼|.| 2 Đònh lý 1.1.1 (Các điều kiện tương đương của chuẩn). Cho F là trường; với |.| 1 , |.| 2 là hai chuẩn trên F , các khẳng đònh sau tương đương 1. |x| 1 < 1 ⇔|x| 2 < 1; ∀x ∈ F. 2. |x| 1 ≤ 1 ⇔|x| 2 ≤ 1; ∀x ∈ F . 3. Tồn tại c>0 sao cho |x| 1 = |x| c 2 ; ∀x ∈ F 4. Dãy {x n } là dãy Cauchy đối với chuẩn |.| 1 ⇔ dãy {x n } là dãy Cauchy đối với chuẩn |.| 2 . 5. |.| 1 ∼|.| 2 Chứng minh. 1. ⇒ 2. Với mọi x ∈ F, x =0; ta có |x| 1 > 1 ⇔|1/x| 1 < 1 ⇔|1/x| 2 < 1 ⇔|x| 2 > 1. Do đó |x| 1 ≤ 1 ⇔|x| 2 ≤ 1; ∀x ∈ F, x =0, với x =0hiển nhiên. 2. ⇒ 1. Với x =0hiển nhiên. Với mọi x ∈ F, x =0; ta có |x| 1 ≥ 1 ⇔|1/x| 1 ≤ 1 ⇔|1/x| 2 ≤ 1 ⇔|x| 2 ≥ 1. Do đó |x| 1 < 1 ⇔|x| 2 < 1; ∀x ∈ F, x =0 1. ⇒ 3. • Nếu chuẩn |.| 1 là chuẩn tầm thường thì chuẩn |.| 2 cũng là chuẩn tầm thường. Thật vậy, với mọi x ∈ F, x =0ta có |x| 1 =1. Nếu |x| 2 > 1 thì |1/x| 2 < 1 ⇒|1/x| 1 < 1 (mâu thuẫn) Nếu |x| 2 < 1 thì |x| 1 < 1 (mâu thuẫn) Do đó |x| 2 =1hay |.| 2 là chuẩn tầm thường. Vậy |.| 1 ≡|.| 2 • Nếu |.| 1 không là chuẩn tầm thường thì tồn tại x 0 ∈ F sao cho |x 0 | 1 > 1,do đó |x 0 | 2 > 1. Đặt a = |x 0 | 1 và b = |x 0 | 2 . Khi đó, ∀x ∈ F, x =0ta viết |x| 1 = a y ,y= log a |x| 1 . Ta sẽ chứng minh |x| 2 = b y . Thật vậy, lấy m n >yta có |x| 1 = a y <a m n = |x 0 | m n 1 ⇒|x n | 1 < |x m 0 | 1 ⇒|x n /x m 0 | 1 < 1 ⇒|x n /x m 0 | 2 < 1 ⇒|x| 2 <b m n Đặng Tuấn Hiệp - Giải tích p-adic 5 cho m n → y ta được |x| 2 ≤ b y . Tương tự nếu lấy y> m n , thì ta được |x| 2 ≥ b y . Vậy |x| 2 = b y . Do đó |x| 1 = a y =(b y ) log b a = |x| c 2 ; với c = log b a>0 Với x =0hiển nhiên đẳng thức trên cũng thỏa mãn. 3. ⇒ 4. Dãy {x n } là dãy Cauchy đối với chuẩn |.| 1 khi và chỉ khi |x n − x m | 1 → 0 khi m, n →∞ ⇔|x n − x m | 1/c 1 → 0 khi m, n →∞với c>0 ⇔|x n −x m | 2 → 0 khi m, n →∞ ⇔ Dãy {x n } là dãy Cauchy đối với chuẩn |.| 2 . 4. ⇒ 1. Giả sử |x| 1 < 1 ta cần chứng minh |x| 2 < 1. Từ giả thiết |x| 1 < 1 ta suy ra x n → 0 đối với chuẩn |.| 1 . Do đó {x n } là dãy Cauchy đối với |.| 1 hay {x n } là dãy Cauchy đối với |.| 2 . Điều này có nghóa là (x n+1 − x n ) → 0 đối với chuẩn |.| 2 hay x n (x −1) → 0 đối với chuẩn |.| 2 . Do đó |x n | 2 |1 −x| 2 → 0. Mà |1 −x| 2 =0suy ra |x n | 2 → 0 hay |x| 2 < 1. 3. ⇒ 5. Gọi τ 1 ,τ 2 lần lượt là tôpô được cảm sinh từ chuẩn |.| 1 , |.| 2 . Lấy A ∈ τ 1 , ∀x ∈ A thì tồn tại B 1 (x, r) ⊂ A. Khi đó y ∈ B 1 (x, r) ⇔|y − x| 1 <r⇔|y − x| 1/c 1 <r 1/c ⇔|y −x| 2 <r 1/c ⇔ y ∈ B 2 (x, r 1/c ) ⇔ B 1 (x, r)=B 2 (x, r 1/c ) Điều này có nghóa là tồn tại B 2 (x, r 1/c ) ⊂ A. Do đó A ∈ τ 2 . Vậy τ 1 ≡ τ 2 5. ⇒ 1. Giả sử |x| 1 < 1 suy ra |x n | 1 → 0.Do|.| 1 ∼|.| 2 nên |x n | 2 → 0. Suy ra |x| 2 < 1 1.2 Chuẩn phi Archimedean Đònh nghóa 1.2.1. Cho F là trường và |.| là chuẩn trên F . Khi đó chuẩn |.| được gọi là chuẩn phi Archimedean nếu nó thỏa mãn thêm điều kiện iii'. |x + y|≤max{|x|, |y|}; ∀x, y ∈ F Ví dụ. 1. Chuẩn tầm thường trên trường F là chuẩn phi Archimedean. Đặng Tuấn Hiệp - Giải tích p-adic 6 2. Nếu F là trường hữu hạn thì mọi chuẩn trên F đều là chuẩn tầm thường. Do đó, mọi chuẩn trên trường hữu hạn F đều là phi Archimedean. 3. Cho p là số nguyên tố. Khi đó ∀x ∈ Q,x=0được biểu diễn dưới dạng x = p a m n ; với a, m, n ∈ Z; n =0; (m, p)=1, (n, p)=1 Ký hiệu a = ord p (x) Qui ước ord p (0) = ∞ Bổ đề 1.2.1. Cho p là số nguyên tố. Khi đó ∀x, y ∈ Q ta có i. ord p (xy)=ord p (x)+ord p (y) ii. ord p (x + y) ≥ min{ord p (x),ord p (y)} Lấy ρ ∈ (0, 1). Khi đó chuẩn |.| : Q → R xác đònh bởi |x| =  ρ ord p (x) nếu x =0 0 nếu x =0 là chuẩn phi Archimedean trên Q Lấy ρ 1 ,ρ 2 ∈ (0, 1) và gọi |.| 1 , |.| 2 tương ứng là hai chuẩn được xác đònh theo ρ 1 ,ρ 2 . Khi đó |.| 1 ∼|.| 2 . Thật vậy ∀x ∈ Q,x=0 |x| 1 = ρ ord p (x) 1 =(ρ ord p (x) 2 ) log ρ 2 ρ 1 = |x| c 2 ; với c = log ρ 2 ρ 1 > 0 Lấy ρ = 1 p , ta có chuẩn |.| p : Q → R xác đònh bởi |x| p =  p −ord p (x) nếu x =0 0 nếu x =0 là chuẩn phi Archimedean trên Q. Ta hay gọi là chuẩn p-adic trên Q. Đònh lý 1.2.1 (Các điều kiện của chuẩn phi Archimedean). Cho F là trường với e là phần tử đơn vò và |.| là chuẩn trên F. Các điều kiện sau đây là tương đương. 1. Chuẩn |.| là chuẩn phi Archimedean. 2. |2|≤1, với 2=2.e = e + e. 3. |n|≤1, với n = n.e = e + e + ···+ e    n 4. Tập N = {n = n.e | n ∈ N} bò chặn. Đặng Tuấn Hiệp - Giải tích p-adic 7 Chứng minh. 1. ⇒ 2. Ta có |2| = |e + e|≤max{|e|, |e|} =1 2. ⇒ 3. Nếu n ∈ N thì n = a 0 + a 1 2+···+ a s 2 s . Trong đó a i ∈{0, 1}, ∀i =0, 1, ,s; a s =1. Suy ra |a i |≤1, ∀i =0, 1, ,s. Do đó |n| = |a 0 + a 1 2+···+ a s 2 s |≤|a 0 | + |a 1 ||2| + ···+ |a s ||2 s | ≤ 1+1+···+1=s +1 Mặt khác, ta có 2 s ≤ n<2 s+1 Suy ra s +1≤ log 2 n +1 Do đó |n|≤log 2 n +1 Khi đó, với mọi số nguyên dương k, ta có |n k |≤log 2 n k +1=k log 2 n +1≤ k(log 2 n +1) Suy ra |n|≤k 1/k (log 2 n +1) 1/k Cho k →∞, ta sẽ có |n|≤1 3. ⇒ 4. Hiển nhiên. 4. ⇒ 1. Giả sử tập N bò chặn, tồn tại a ∈ R sao cho |n|≤a; ∀n ∈ N. Khi đó |x + y| n = |(x + y) n | = | n  k=0 C k n x k y n−k | ≤ n  k=0 |C k n ||x| k |y| n−k ≤ n  k=0 a|x| k |y| n−k ≤ (n +1)a(max{|x|, |y|}) n Suy ra |x + y|≤ n √ n +1 n √ a max{|x|, |y|} Cho n →∞thì n √ n +1 n √ a → 1. Do đó |x + y|≤max{|x|, |y|} Vậy |.| là chuẩn phi Archimedean. Đặng Tuấn Hiệp - Giải tích p-adic 8 1.2.1 Tính chất cơ bản của chuẩn phi Archimedean Mệnh đề 1.2.1 (Nguyên lý tam giác cân). Cho |.| là chuẩn phi Archimedean trên trường F. Nếu |x|= |y| thì |x + y| = max{|x|, |y|}. Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta giả sử |x| > |y |. Khi đó, ta có |x| = |x + y − y |≤max{|x + y|, |y|} ≤ max{|x|, |y|} = |x| Suy ra |x| = max{|x + y|, |y|} Mà |x| > |y| nên |x| = |x + y|. Vậy |x + y| = max{|x|, |y|}. Mệnh đề 1.2.2. Cho |.| là chuẩn phi Archimedean trên trường F. Nếu dãy {x n }→x =0thì tồn tại n 0 ∈ N sao cho |x n | = |x|, ∀n ≥ n 0 Chứng minh.Vìx =0nên |x| > 0 và do {x n }→x nên tồn tại n 0 ∈ N sao cho |x n −x| < |x|; ∀n ≥ n 0 . theo nguyên lý tam giác cân, ta có |x n | = |x n −x + x| = max{|x n −x|, |x|} = |x|; ∀n ≥ n 0 1.3 Chuẩn trên Q Đònh lý 1.3.1 (Đònh lý Ostrowski). Mọi chuẩn không tầm thường |.| trên Q đều tương đương với chuẩn giá trò tuyệt đối thông thường hoặc chuẩn |.| p , với p là số nguyên tố nào đó. Chứng minh. 1. Nếu |2| > 1 thì |.| là chuẩn Archimedean. Lấy n ∈ N, giả sử n = a 0 + a 1 2+···+ a s 2 s , trong đó a i ∈{0; 1} và 2 s ≤ n<2 s+1 ; |2| =2 a , a = log 2 |2|. Ta có |n|≤|a 0 | + |a 1 ||2| + ···+ |a s ||2| s ≤ 1+2 a + ···+2 as ≤ 2 as C ≤ n a C Suy ra |n k |≤n ka C ⇒|n|≤n a C 1/k Cho k →∞ta được |n|≤n a Mặt khác, do 2 s ≤ n<2 s+1 nên ta có |2 s+1 | = |n +2 s+1 − n|≤|n| + |2 s+1 −n| Suy ra |n|≥|2 s+1 |−|2 s+1 − n|≥2 (s+1)a −(2 s+1 − n) a ≥ 2 (s+1)a −2 sa Do đó |n|≥2 (s+1)a C  ≥ n a C  Đặng Tuấn Hiệp - Giải tích p-adic 9 Suy ra |n k |≥n ka C  ⇒|n|≥n a C 1/k Cho k →∞ta được |n|≥n a . Vậy |n| = n a ; ∀n ∈ N. Do đó |x| = |x| a ; ∀x ∈ Q 2. Nếu |2|≤1 thì |.| là chuẩn phi Archimedean. Từ giả thiết |2|≤1 ta có |n|≤1; ∀x ∈ N. Do đó |.| là chuẩn không tầm thường nên tồn tại n ∈ N ∗ sao cho |n| < 1. Gọi p =0là số tự nhiên bé nhất thỏa mãn |p| < 1. Khi đó p là số nguyên tố. Lấy q = p là số nguyên tố, ta sẽ chứng minh |q| =1. Giả sử |q| < 1,vì(p k ,q k )=1nên tồn tại u, v ∈ Z sao cho up k + vq k =1. Ta có 1=|1| = |up k + vq k |≤|u||p k | + |v||q k |≤|p k | + |q k | Cho k →∞ta được 1 ≤ 0 (vô lý). Vậy |q| =1. Lấy n ∈ N, giả sử n = p m p m 1 1 p m 2 2 p m i i . ta có |n| = |p| m =  ( 1 p  log 1 p |p| ] m =  1 p  m log 1 p |p| =  1 p m  C = |n| C p trong đó C = log 1 p |p|. Do đó |x| = |x| C p ; ∀x ∈ Q 1.4 Xây dựng trường số p-adic Q p Từ đònh lý Oxtropski, ta thấy một chuẩn không tầm thường trên Q là giá trò tuyệt đối thông thường |.|, hoặc là chuẩn phi Archimedean |.| p . Mặt khác, ta biết rằng làm đầy đủ Q theo |.| ta thu được trường số thực R. Do đó nếu ta làm đầy đủ Q theo |.| p ta cũng sẽ thu được trường mới mà ta gọi là trường các số p-adic Q p . Cụ thể cách xây dựng như sau: Ký hiệu S là tập tất cả các dãy Cauchy hữu tỷ theo chuẩn |.| p . Trên S ta xác đònh một quan hệ tương đương như sau: {x n }∼{y n }⇔ lim n→∞ |x n − y n | p =0 Ta gọi Q p là tập hợp tất cả các lớp tương đương theo quan hệ trên và ta trang bò cho Q p hai phép toán cộng và nhân như sau: • Phép cộng {x n } + {y n } = {x n + y n } Phần tử không là 0= {0} Phần tử đối của x = {x n } là −x = {−x n }. Ta có (Q p , +) là một nhóm Abel. [...]... bp−2 + · · · + Cp |p k k Vì |b |p ≤ cn+1 ≤ c nên |Cp bp−k−1 |p = |Cp |p |bp−k−1 |p ≤ |bp−k−1 |p ≤ cp−k−1 ≤ c ; ∀k = p 1 0, 1, , p − 2 và |Cp |p = |p| p = 1 /p ≤ c Do đó 1 p 1 |bp−1 + Cp bp−2 + · · · + Cp |p ≤ c Suy ra |ap n+1 − 1 |p ≤ cn+2 Vậy ta đã chứng minh được |ap − 1 |p ≤ cn+1 , với 0 < c < 1 Do đó n n n lim |ap − 1 |p = 0 ⇒ lim ap = 1 n→∞ n→∞ (b) ⇒ (a) n n Giả sử limn→∞ ap = 1 ⇒ ∃n : |ap − 1 |p. .. (p − 1)(logp n + 1) ordp (n!) 1 ≤ ≤ n (p − 1) n p 1 23 Đặng Tuấn Hi p - Giải tích p- adic Chuyển qua giới hạn ta được: 1 ordp (n!) = n p 1 lim n→∞ Suy ra n r = lim n→∞ Xét |z |p = p 1 1 p : ta cần kiểm tra ⇔ |n! |p = p limn→∞ n p 1 p n! ordp (n!) n 1 = p 1 p n 1 p → 0 ⇔ | p n! |p → 0 n − Sn Sn n − →∞⇔ →∞ p 1 p 1 p 1 Thế nhưng, ta có với nk = pk thì Snk = 1 → ∞ Vậy chuỗi phân kỳ 1 Kết luận: ez : D(0, p. .. < 1 Đặt x = a − 1, ta cần chứng minh |x |p < 1 Giả sử |x |p ≥ 1, ta có n n 1 1 > |(x + 1 )p − 1 |p = |xp + Cpn xp n −1 n p + · · · + Cpn −1 x |p Vì |x |p ≥ 1 nên với mọi k = 1, 2, , pn − 1, ta có k |Cpn xp n −k k |p = |Cpn |p |xp n −k |p < |x |p p n −k ≤ |x |p p n Theo nguyên lý tam giác cân ta phải có n 1 1 > |xp + Cpn xp n −1 n n p + · · · + Cpn −1 x |p = |x |p ≥ 1 p Suy ra 1 > 1 (vô lý) Ta đã chứng minh... 1 |p , 1 /p} , khi đó 0 < c < 1 Ta sẽ chứng minh bằng p n quy n p khẳng đònh sau |ap − 1 |p ≤ cn+1 Với n = 0, ta có |a − 1 |p ≤ c, điều này luôn đúng do cách xác đònh c n Giả sử, ta đã có |ap − 1 |p ≤ cn+1 n+1 Ta cần chứng minh |ap − 1 |p ≤ cn+2 n Đặt b = ap − 1, suy ra |b |p ≤ cn+1 ≤ c Khi đó |ap n+2 n − 1 |p = |(ap )p − 1 |p = |(b + 1 )p − 1 |p 1 p 1 = |bp + Cp bp−1 + · · · + Cp b |p 1 p 1 = |b |p |bp−1 + Cp... vò là không compact, hay mọi quả cầu trong Cp đều không compact Vậy Cp không compact đòa phương 8 Cp có lực lượng continum, nhưng số hình cầu trong Cp là đếm được 2.4 Bài t p chương 2 1 Gọi C+ = {z ∈ Cp : |z − 1 |p < 1} là t p h p các phần tử dương của Cp Chứng minh p các khẳng đònh sau là tương đương (a) a ∈ C+ p (b) limn→∞ ap = 1 n (c) ap ∈ C+ p 20 Đặng Tuấn Hi p - Giải tích p- adic Giải (a) ⇒ (b)... đầy đủ Q để thu được Qp thì t p giá trò của chuẩn |. |p vẫn giữ nguyên là {pn |n ∈ Z} ∪ {0} 1.4.2 Đồng dư trong Qp Với a, b ∈ Qp, ta nói a ≡ b (mod pn ) ⇔ |a − b |p ≤ p n Nếu a, b ∈ Z thì đònh nghóa đồng dư trong Qp sẽ trùng với đònh nghóa đồng dư thông thường trên t p h p số nguyên Z 1.4.3 Số nguyên p- adic T p h p Zp = {a ∈ Qp : |a |p ≤ 1} cùng với ph p cộng và ph p nhân trong Qp l p thành một vành Vành... |a |p| m + · · · + Cm am−2 + am−1 |p = 0 19 Đặng Tuấn Hi p - Giải tích p- adic i Ta lại có (m, p) = 1 nên |m |p = 1 và do |a |p < 1 nên ta cũng có |Cm ai−1 |p = i |Cm |p |a|i−1 ≤ |a |p < 1 , ∀i = 2, , m Do đó, ta phải có p m−1 |m + · · · + Cm am−2 + am−1 |p = 1 Suy ra |a |p = 0 ⇒ a = 0 ⇒ z = 1 Ta g p sự mâu thuẫn Vậy |z − 1 |p = 1 Bây giờ, ta sẽ đi chứng minh Cp không compact đòa phương Đặt √ m I= 1 (m ,p) =1... này được gọi là vành các số nguyên p- adic T p h p tất cả các phần tử khả nghòch của vành Zp là Z∗ = {x ∈ Zp : 1/x ∈ Zp } = {x ∈ Zp : |x |p = 1} p Các phần tử của Z∗ còn được gọi là các đơn vò p- adic p 1.5 Biểu diễn p- adic của số x trong Qp Ta đã biết rằng, nếu x ∈ Qp thì ta có thể viết x = {xn } với {xn } là dãy Cauchy nào đó trong Q Tuy nhiên nếu x là một số nguyên p- adic thì ta có thể chọn đại diện... D(0, p 1 p ) −→ Cp ∞ z −→ n=0 là hàm giải tích trên D(0, p 1 1 p zn n! ) 3.3 Vành các hàm giải tích 3.3.1 Các đònh nghóa • Vành các đa thức: n ai z i : ai ∈ Cp} Cp[z] = {f = i=0 • Vành các chuỗi lũy thừa hình thức: ∞ an z n : an ∈ Cp } Cp [[z]] = {f = n=0 Các ph p toán: Cho ∞ ∞ an z f= n ; n=0 { Ph p cộng: bn z n g= n=0 ∞ (an + bn )z n f +g = n=0 24 Đặng Tuấn Hi p - Giải tích p- adic { Ph p nhân: ∞... ≤ bi ≤ p − 1 với i = 0, 1, 2, Khi đó với mỗi a ∈ Zp ta có a = {b0 + b1 p + · · · + bi−1 pi−1 } 14 Đặng Tuấn Hi p - Giải tích p- adic Theo bổ đề (1.5.1), ta có thể viết a dưới dạng a = b0 + b 1p + · · · + bn pn + · · · Công thức này được gọi là biểu diễn p- adic của a trong Zp Nếu x ∈ Qp bất kỳ, |x |p = pm với m ∈ Z thì ta sẽ nhân x với một số pm sao cho số x = xpm thỏa mãn |x |p = 1 Sau đó p dụng đònh . Số nguyên p- adic T p h p Z p = {a ∈ Q p : |a| p ≤ 1} cùng với ph p cộng và ph p nhân trong Q p l p thành một vành. Vành này được gọi là vành các số nguyên p- adic. T p h p tất cả các phần tử khả. = |p| m =  ( 1 p  log 1 p |p| ] m =  1 p  m log 1 p |p| =  1 p m  C = |n| C p trong đó C = log 1 p |p| . Do đó |x| = |x| C p ; ∀x ∈ Q 1.4 Xây dựng trường số p- adic Q p Từ đònh lý Oxtropski,. vành Z p là Z ∗ p = {x ∈ Z p :1/x ∈ Z p } = {x ∈ Z p : |x| p =1} Các phần tử của Z ∗ p còn được gọi là các đơn vò p- adic. 1.5 Biểu diễn p- adic của số x trong Q p Ta đã biết rằng, nếu x ∈ Q p thì