CÔNG THỨC VIÈTE VÀ ỨNG DỤNG doc

Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010 454 CÔNG THỨC VIÈTE VÀ ỨNG DỤNG VIÈTE’S FORMULA AND ITS APPLICATIONS SVTH: Vũ Hứa Hạnh Nguyên Lớp 07ST, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm TÓM TẮT Mục đích của đề tài này là trình bày các ứng dụng của công thức Viète trong chương trình Toán bậc Phổ thông. ABSTRACT The aim of this topic is to present the applications of Viète’s formula in high – school mathematics. 1. Mở đầu Đa thức là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong đại số nói riêng và Toán học nói chung. Bài toán tìm nghiệm của đa thức đã được các nhà Toán học quan tâm nghiên cứu trong nhiều thế kỉ. Mặc dầu lời giải của bài toán này cho đến nay chỉ mới tìm được đối với các đa thức bậc nhỏ hơn 5, nhưng nhiều tính chất về nghiệm của đa thức đã được phát hiện. Một trong những tính chất đó là mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của đa thức, nó được thể hiện bằng một công thức mang tên nhà Toán học người Pháp – công thức Viète ( Francois Viète 1540 – 1603 ). Ứng dụng của công thức Viète khá phong phú và hiệu quả. Trong chương trình Toán học bậc phổ thông, học sinh được học công thức Viète đối với tam thức bậc hai, tuy nhiên với một thời lượng không nhiều và chỉ ở một mức độ nhất định. Nhằm mục đích nghiên cứu, tìm hiểu và hệ thống hóa lại một cách đầy đủ các ứng dụng của công thức Viète trong chương trình Toán bậc phổ thông, tôi chọn đề tài nghiên cứu khoa học của mình là: “ Công thức Viète và ứng dụng ”. 2. Đa thức và công thức Viète 2.1. Đa thức đối xứng 2.1.1. Định nghĩa Giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị, 1 ( , , ) n f x x là một đa thức của vành 1 , , n A x x . Ta bảo 1 ( , , ) n f x x là một đa thức đối xứng của n ẩn nếu 1 2 (1) (2) ( ) ( , , , ) ( , , , ) nn f x x x f x x x với mọi phép thế 1 2 (1) (2) ( ) ( ) in in (1) (2) ( ) ( , , , ) n f x x x suy ra từ 1 ( , , ) n f x x bằng cách thay trong 1 ( , , ) n f x x 1 x bởi Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010 455 (1) x ,…, n x bởi ()n x . 2.1.2. Đa thức đối xứng cơ bản Trong vành 12 , , n A x x x , các đa thức 12 1 1 k k k i i i i i n x x x , k = 1, .n là các đa thức đối xứng, gọi là các đa thức đối xứng cơ bản. Các đa thức đối xứng cơ bản đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết các đa thức đối xứng. 2.1.3. Định lý Giả sử 1 ( , , ) n f x x 12 , , n A x x x là một đa thức đối xứng khác 0. Thế thì có một và chỉ một đa thức 12 ( , , , ) n h x x x 12 , , n A x x x sao cho: 1 ( , , ) n f x x = 12 ( , , , ) n h trong đó 1 , 2 , …, n là các đa thức đối xứng cơ bản. 2.2. Định lý Viète Cho đa thức P(x) Cx , với C là trường số phức. 21 0 1 2 1 ( ) nn nn P x a a x a x a x a x , ( n a 0 ), n 1, và 12 , , , n x x x là n số phức ( không nhất thiết phải hoàn toàn phân biệt nhau ). Khi đó 12 , , , n x x x là n nghiệm của P(x) khi và chỉ khi chúng thỏa mãn hệ điều kiện sau: 12 12 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 3 1 1 1 0 12 1 , , ( 1) , 1 , ( 1) . k k n n ni i n n n n i j i j n n k nk k i i i i i i n n n n n n i i n a x x x x a a x x x x x x x x a a x x x k n a a x x x x a Công thức ở trên được gọi là công thức Viète. 3. Ứng dụng của công thức Viète Mục này dành cho nghiên cứu các ứng dụng của công thức Viète vào việc giải những bài toán sơ cấp. Sau đây là một vài ví dụ minh họa. Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010 456 3.1. Ví dụ 1 Trên mặt phẳng tọa độ xét ba điểm 11 ( ; )A x y , 22 ( ; )B x y , 33 ( ; )C x y với 1 2 3 ,,x x x là ba nghiệm phân biệt của phương trình 3 3 1 0xx và 42 6 4 6 i i i i y x x x , 1,3i . Chứng minh rằng gốc tọa độ O là trọng tâm của tam giác ABC . Giải Gọi 00 ( ; )G x y là trọng tâm tam giác ABC . Khi đó: 1 2 3 0 1 2 3 0 , 3 . 3 x x x x y y y y Áp dụng định lý Viète đối với phương trình bậc ba 3 3 1 0xx (1), ta có: 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 0, (2) 3, 1. x x x x x x x x x x x x Từ (2) 1 2 3 0 0 3 x x x x . Ta có: 4 4 4 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) 6( ) 4( ) 18y y y x x x x x x x x x (3) Vì i x ( 1,3i ) là nghiệm của (1) nên: 3 3 1 0 ii xx , 1,3i 3 31 ii xx , 1,3i 42 3 i i i x x x , 1,3i . Suy ra: 4 4 4 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3( ) ( )x x x x x x x x x (4) Thay (4) vào (3) ta có: 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3( ) 3( ) 18y y y x x x x x x 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1 3 ( ) 2( ) 18x x x x x x x x x ( 3).6 18 0 1 2 3 0 0 3 y y y y . Do vậy: 00 ( ; )G x y = (0; 0) G O. 3.2. Ví dụ 2 Cho đa thức 1 0 1 1 ( ) nn nn P x a x a x a x a với n 3. Biết rằng đa thức có n nghiệm thực và 0 1a , 1 an , 2 2 2 nn a . Hãy xác định các hệ số a i với i = 3, n . Giải Giả sử 1 x , 2 x , , n x là n nghiệm thực của đa thức P(x). Theo định lý Viète thì: 1 1 0 n i i a xn a , 2 2 1 0 2 ij i j n a nn xx a . Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010 457 Ta có: 22 1 1 1 ( ) 2 nn i i i j i i i j n x x x x = 2 2 2 2 nn nn , 22 1 1 1 ( 1) 2 2 0 n n n i i i i i i x x x n n n n . Suy ra: 10 i x , 1,in 1 i x , 1,in . Do đó, đa thức P(x) có dạng: 0 1 2 ( ) ( )( ) ( ) n P x a x x x x x x = 1.( 1) n x . 0 ( ) ( 1) ( 1) n n n i i i n i P x x C x . Suy ra các hệ số của đa thức là: ( 1) n i i in aC , 0,in . 3.3. Ví dụ 3 Tìm 7 (4 15) , với x là phần nguyên của số thực x, chỉ số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Giải Đặt 1 4 15x , 2 4 15x , ta có: 12 12 8, . 1. xx xx Theo định lý Viète thì 1 x , 2 x là hai nghiệm của phương trình: 2 8 1 0xx . Đặt 12 nn n S x x , *nN . Khi đó, theo công thức liên hệ giữa n S và các hệ số của phương trình bậc hai, ta có: 11 S 8 0 n nn SS , *nN 11 S8 n nn SS , *nN . Ta có: 00 0 1 2 S x x = 2, 1 1 2 S x x = 8, 2 1 0 8S S S = 8.8 – 2 = 62, 3 2 1 8S S S = 8.62 – 8 = 488, 4 3 2 8S S S = 8.488 – 62 = 3842, 5 43 8S S S = 8.3842 – 488 = 30248, 5 64 8S S S = 8.30248 – 3842 = 238142, 75 6 8S S S = 8.238142 – 30248 = 1874888. Mà: 77 2 0 (4 15) 1x 7 2 10x 7 2 1874888 1 187488 1874888x 7 7 2 1874887 1874888Sx 7 1 1874887 1874888x . Hay 7 1874887 (4 15) 1874888 . Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010 458 Suy ra: 7 (4 15) = 18. 4. Kết luận Trong khuôn khổ một đề tài nghiên cứu khoa học của sinh viên, đề tài chỉ tập trung nghiên cứu các ứng dụng của công thức Viète đối với đa thức bậc hai, bậc ba, một số ứng dụng đối với đa thức bậc cao, và đã thực hiện được các kết quả sau: 1. Tìm hiểu và hệ thống hóa các ứng dụng của công thức Viète đối với tam thức bậc hai, cụ thể là có 18 ứng dụng cùng với các ví dụ minh họa. 2. Tổng hợp được 10 ứng dụng của công thức Viète đối với đa thức bậc ba được thể hiện thông qua các ví dụ minh họa. 3. Một số ứng dụng của công thức Viète đối với đa thức bậc lớn hơn 3. 4. Nội dung đề tài sẽ là một tài liệu tham khảo tốt cho học sinh Phổ thông, cũng như những ai quan tâm đến công thức Viète và các ứng dụng của nó. Hy vọng rằng các kết quả của đề tài còn tiếp tục được mở rộng và hoàn thiện hơn nhằm phục vụ cho việc dạy và học thuộc chương trình Toán bậc Phổ thông. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] XV Cônhiagin, G.A.Tônôian, I.F. Sarưgin, (1996), Các đề thi vô địch Toán các nước, Nhà xuất bản Giáo dục. [2] Nguyễn Hữu Điển (2006), Đa thức và ứng dụng, Nhà xuất bản Giáo dục. [3] Nguyễn Văn Mậu (2002), Đa thức đối xứng và phân thức hữu tỉ, NXB Giáo dục. [4] Hoàng Xuân Sính (1998), Đại số đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục. . đủ các ứng dụng của công thức Viète trong chương trình Toán bậc phổ thông, tôi chọn đề tài nghiên cứu khoa học của mình là: “ Công thức Viète và ứng dụng ”. 2. Đa thức và công thức Viète 2.1 x x k n a a x x x x a Công thức ở trên được gọi là công thức Viète. 3. Ứng dụng của công thức Viète Mục này dành cho nghiên cứu các ứng dụng của công thức Viète vào việc giải những bài. các ứng dụng của công thức Viète đối với đa thức bậc hai, bậc ba, một số ứng dụng đối với đa thức bậc cao, và đã thực hiện được các kết quả sau: 1. Tìm hiểu và hệ thống hóa các ứng dụng của công