ANALYTIC SOLUTIONS OF ELASTIC TUNNELING PROBLEMS Phần 10 pdf

Section C.3 Fourier Expansion in the Transformed Plane 97 which can be derived from (4.8). Equation (C.6) can be converted into an expression for the function G  (ασ ), introduced in (4.31), by multiplying (C.6) by 2µ(1 −ασ). This gives −i α 3 µu o G  (ασ ) = c 1 σ 3 + c 2 σ 2 + c 3 σ + c 4 + c 5 σ −1 + c 6 σ −2 (1 − ασ) 2 (1 − ασ −1 ) 2 . (C.8) § C.3 Fourier Expansion in the Transformed Plane The next step in the solution is the conversion of G  (ασ ) into a Fourier series. This can be accomplished analytically by breaking the fraction on the right-hand side of (C.8) into partial fractions. Before this is possible, however, we must reduce the order of its numerator by long-hand division. This results in −i α 3 µu o G  (ασ ) = α 6 − 2α 4 − 3α 2 + 2 + α(1 + α 4 )σ + e 1 σ 3 + e 2 σ 2 + e 3 σ + e 4 (1 − ασ) 2 (α − σ) 2 , (C.9) where we have multiplied the remaining fraction on the right by (−σ) 2 /(−σ) 2 , and where e 1 = α(α 8 − 2α 6 + 4α 4 − 6α 2 + 3), e 2 =−α 10 − 4α 6 + 10α 4 − 3α 2 − 2, e 3 = α(2α 8 + 2α 6 − 6α 4 − 2α 2 + 4), e 4 = 2α 2 (−α 6 + α 4 + α 2 − 1). Breaking the last expression on the right-hand side of (C.9) into partial fractions gives e 1 σ 3 + e 2 σ 2 + e 3 σ + e 4 (1 − ασ) 2 (α − σ) 2 =− 3(1 − α 2 ) 2 1 − ασ + (1 − α 2 ) 3 (1 − ασ) 2 − α 3 (1 − α 2 ) 2 α − σ . (C.10) Utilizing the series expansions 1 1 − z = ∞  k=0 z k and 1 (1 − z) 2 = ∞  k=0 (k + 1)z k , (C.11) which converge for | z | < 1, combining coefficients of equal powers of σ , and converting the last term in (C.10) to the form of the first expansion in (C.11) by multiplying with (−σ −1 )/(−σ −1 ), we can finally write (C.9) as G  (ασ ) = ∞  k=−∞ A k σ k , (C.12) 98 The Ovalization Boundary Condition Appendix C where A k = iµu o          α −k−1 (1 − α 2 ) 2 if k ≤−1 −2α if k = 0 2α 2 (2 − α 2 ) if k = 1 α k−3 (1 − α 2 ) 2 [−3 + (k + 1)(1 − α 2 )] if k ≥ 2. This completes the expansion of the boundary function G  (ασ ), defined in (4.31), for the ovalization of a tunnel. The stresses and strains can be now be determined via (B.24), (B.25), and (B.26). BIBLIOGRAPHY [1] Atkinson, J.H. (2000) ‘Non-linear soil stiffness in routine design.’ Géotechnique 50(5), 487–508 [2] Attewell, P.B. (1977) ‘Ground movements caused by tunnelling in soil.’ In ‘Proceedings of the International Conference Large Gound Movements and Structures, Cardiff’ Pentech Press London pp. 812–948 [3] Brinkgreve, R.B.J., and P.A. Vermeer (1998) PLAXIS - Finite Element Code for Soil and Rock Analyses (Rotterdam: Balkema) [4] Carranza-Torres, C., and C. Fairhurst (1999) ‘The elasto-plastic response of underground excavations in rock masses that satisfy the Hoek-Brown failure criterion.’ International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences 36, 777–809 [5] Chen, Y.Z. (1994) ‘Multiple circular hole problem for an elastic half- plane.’ Computers & Structures 52(6), 1277–1281 [6] Churchill, R.V., and J.W. Brown (1990) Complex Variables and Applica- tions, fifth ed. (McGraw-Hill) [7] Detournay, E., and C.M. St. John (1988) ‘Design charts for a deep circular tunnel under non-uniform loading.’ Rock Mechanics and Rock Engineer- ing 21, 119–137 [8] Detournay, E., and C. Fairhurst (1987) ‘Two-dimensional elastoplastic analysis of a long, cylindrical cavity under non-hydrostatic loading.’ In- ternational Journal of Rock Mechanics and Mineral Science & Geome- chanics Abstracts 24(4), 197–211 [9] Duddeck, H. (1980) ‘Empfehlungen zur berechnung von Tunneln im Lockergestein.’ Die Bautechniek. (in German) [10] England, A.H. (1971) Complex Variable Methods in Elasticity (Wiley- Interscience) [11] Galin, L.A. (1946) ‘Plane elastic-plastic problem: Plastic regions around circular holes in plates and beams.’ Prikladnaya matematika i mekhanika 10, 365–386 [12] Gonzalez, C., and C. Sagaseta (2001) ‘Patterns of soil deformations around tunnels. Application to the extension of Madrid metro.’ Computers and Geotechnics 28(6-7), 445–468 [13] Gradshteyn, I.S., and I.M. Ryzhik (1994) Table of Integrals, Series, and Products, fifth ed. (San Diego, CA: Academic Press). Edited by A. Jeffrey 99 100 Bibliography [14] Hasebe, N., J. Qian, and Y.Z. Chen (1996) ‘Fundamental solutions for half plane with an oblique edge crack.’ Engineering Analysis with Boundary Elements 17, 263–267 [15] Jeffery, G.B. (1920) ‘Plane stress and plane strain in bipolar coordinates.’ Transactions of the Royal Society of London, Series A 221, 265–293 [16] Markushevich, A.I. (1977) Theory of Functions of a Complex Variable, second ed. (New York: Chelsea). Translated from the Russian by R.A. Silverman [17] Melan, E. (1932) ‘Der Spannungszustand der durch eine Einzelkraft im in- nern beanspruchten Halbscheibe.’ Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik 12, 343–346 [18] Mindlin, R.D. (1940) ‘Stress distribution around a tunnel.’ Transactions of the ASCE pp. 1117–1153 [19] (1948) ‘Stress distribution around a hole near the edge of a plate under tension.’Proceedings of the Society of Experimental Stress Analysis 5, 56–57 [20] Mogilevskaya, S.G. (2000) ‘Complex hypersingular integral equation for the piece-wise homogeneous half-plane with cracks.’ International Jour- nal of Fracture 102, 177–204 [21] Morgan, H.D. (1961) ‘A contribution to the analysis of stress in a circular tunnel.’ Géotechnique 11, 37–46 [22] Muir Wood, A.M. (1975) ‘The circular tunnel in elastic ground.’ Géotech- nique 25, 115–127 [23] Muskhelishvili, N. I. (1964) Some Basic Problems in the Mathematical Theory of Elasticity, second ed. (Groningen: Noordhoff). Translated from Russian by J.R.M. Radok [24] Peck, R.B. (1969) ‘Deep excavations and tunneling in soft ground.’ In ‘Proceedings of the 7th ICSMFE, Mexico City’ pp. 225–290 [25] Pender, M.J. (1980) ‘Elastic solutions for a deep circular tunnel.’ Géo- technique 30, 216–222 [26] Pinto, F. (1999) ‘Analytical methods to interpret ground deformations due to soft ground tunneling.’ Masters thesis, Massachusetts Institute of Technology [27] Qian, J., and N. Hasebe (1996) ‘An oblique edge crack and an internal crack in a semi-infinite plane acted on by concentrated force at arbitrary position.’ Engineering Analysis with Boundary Elements 18, 155–161 [28] Sagaseta, C. (1987) ‘Analysis of undrained soil deformation due to ground loss.’ Géotechnique 37, 301–320 [29] (1988) ‘Author’s reply to Schmidt.’ Géotechnique 38(4), 647–649 [30] (1998) ‘On the role of analytical solutions for the evaluation of soil deformations around tunnels.’ In Application of Numerical Methods to Geotechnical Problems, ed. A. Cividini number 397. In ‘CISM Courses and Lectures.’ (Vienna: Springer) pp. 3–24. Invited Lecture Bibliography 101 [31] Schmidt, B. (1988) ‘Discussion to Sagaseta (1987).’ Géotechnique 38(4), 647 [32] Schweiger, H.F. (2001) ‘Comparison of finite element results obtained for a geotechnical benchmark problem.’ In Computer Methods and Advances in Geomechanics, ed. Desai et al. Balkema pp. 697–702 [33] Sherman, D.I. (1961) ‘The elastic, heavy half-plane, weakened by holes of elliptic shape lying sufficiently close to its boundary.’ In Problems of Continuum Mechanics, Contributions in Honor of the Seventieth Birth- day of Academician N.I. Muskhelishvili, ed. J. R. M. Radoc and M. A. Lavrentiev SIAM Philadelphia, PA pp. 440–472 [34] Sokolnikoff, I.S. (1956) Mathematical Theory of Elasticity, second ed. (McGraw-Hill) [35] Strack, O.E., and A. Verruijt (2000) ‘A complex variable solution for the ovalization of a circular tunnel in an elastic half-plane.’In ‘GeoEng 2000, An International Conference on Geotechnical & Geological Engineering, Melbourne Australia’ Technomic Publishing Co. [36] (2002) ‘A complex variable solution for a deforming buoyant tunnel in a heavy elastic half-plane.’ International Journal for Numerical and Analytical Methods Geomechanics. In press [37] Timoshenko, S.P., and J.N. Goodier (1970) Theory of Elasticity, third ed. (McGraw-Hill) [38] Tsamasphyros, G., and P.S. Theocaris (1983) ‘Integral-equation solution for half planes bonded together or in contact and containing internal cracks or holes.’ Ingenieur-Archiv 53, 225–241 [39] Uriel, A.O., and C. Sagaseta (1989) ‘Selection of parameters for under- ground construction.’ In ‘Proceedings of the XIIth International Confer- ence on Soil Mechanics and foundation Engineering, Rio de Janeiro, Gen- eral Report, Session 9,’ vol. 4 pp. 2521–2551 [40] Verruijt, A., and J.R. Booker (1996) ‘Surface settlements due to deforma- tion of a tunnel in an elastic half plane.’ Géotechnique 46(4), 753–756 [41] (2000) ‘Complex variable analysis of Mindlin’s tunnel problem.’ In Developments in Theoretical Geomechanics - The John Booker Memorial Symposium, ed. D. W. Smith and J. P. Carter Balkema pp. 3–22 [42] Verruijt, A. (1997) ‘A complex variable solution for a deforming circular tunnel in an elastic half-plane.’ International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics 21, 77–89 [43] (1998) ‘Deformations of an elastic half plane with a circular cavity.’ International Journal of Solids and Structures 35(21), 2795–2804 [44] (2001) ‘An approximate solution for the stresses on a rigid tunnel.’In Proceedings of the International Symposium on Modern Tunneling Science and Technology, Kyoto, Japan, ed. T. Adachi and K. Tateyama Balkema pp. 73–76 [45] Yu, Y. (1952) ‘Gravitational stresses on deep tunnels.’ Journal of Applied Mechanics 19, 537–542 SAMENVATTING Analytische Oplossingen van Elastische Tunnelproblemen De methode der complexe variabelen voor het oplossen van tweedimension- ale lineair-elastische problemen wordt gebruikt om een aantal fundamentele oplossingen te vinden voor problemen gerelateerd aan tunnels. De methode wordt gebruikt om de algemene wiskundige representatie te vin- den voor problemen met resulterende krachten werkend op gaten in een halfvlak. Zulke problemen komen in de grondmechanica voor bij het ontgraven van tun- nels. Als tunnels worden ontgraven dan zwelt de grond onder de tunnel als gevolg van het weghalen van de grond binnen de tunnel. De zwel onder de tun- nel genereert een resulterende opdrijfkracht op de tunnel, die aanwezig is totdat de spanningen rondom de tunnel weer in evenwicht komen. De wiskundige rep- resentatie die afgeleid wordt in dit proefschrift vertoont bijna altijd oneindige verplaatsingen op het oneindige voor tweedimensionale problemen met resul- terende krachten die werken op gaten in een halfvlak. Het oneindige karakter van de verplaatsingen op het oneindige veroorzaakt door het ontgraven van tunnels leidt ertoe dat de verplaatsingen niet eenduidig bepaald kunnen worden. Er moet een punt worden gekozen waar de verti- cale verplaatsingen nul zijn. Voor de oplossingen in dit proefschrift wordt aangenomen dat de grond zich erg stijf gedraagt voor spanningen onder een bepaald niveau. Contouren van de spanningen worden gebruikt om het dichtste punt bij de tunnel te bepalen waar de spanningen onder dit niveau vallen. Als de spanningen voorbij dit punt steeds kleiner worden, dan kan dit punt gebruikt worden om de verplaatsingen vast te leggen. De keuze van dit punt heeft uiter- aard een grote invloed op de verplaatsingen, maar beïnvloedt de spanningen en rekken niet. Vervolgens wordt een algemene oplossing afgeleid voor een enkele ronde tunnel in een elastisch halfvlak, inclusief een resulterende kracht werkend op de tunnel. De randvoorwaarden voor dit probleem zijn dat de spanningen langs het oppervlak nul zijn, en dat de verplaatsingen langs de rand van de tunnel worden opgelegd. Deze algemene oplossing wordt in de rest van dit proefschrift gebruikt om drie fundamentele oplossingen te vinden voor tunnelproblemen: het probleem van een opdrijvende starre tunnel, het probleem van grondverlies rondom een tunnel, en het probleem van de ovalisatie van een ronde tunnel. 102 Samenvatting 103 Het probleem van een opdrijvende starre tunnel doet zich voor wanneer een zeer stijve tunnelmantel met een verwaarloosbaar gewicht (in vergelijking met het gewicht van het ontgraven grond) geplaatst wordt in een pas ontgraven tunnel. Het probleem wordt opgelost door aan te nemen dat de verplaatsingen op de rand van het gat constant zijn. Dit komt overeen met het geval dat er een grote hoeveelheid wrijving bestaat tussen de tunnelmantel en de grond. Uit de oplossing blijkt dat zulke ontgravingen tot een grote mate van zwel kunnen leiden, maar dat de mate van zwel sterk afhankelijk is van de keuze van het verticaal gefixeerde punt in de oplossing. Het probleem van grondverlies rondom een tunnel doet zich voor wanneer het tunnel graafproces of het plaatsen van een tunnelmantel de grond rondom de tunnel dichter opeen laat komen (volumeverlies). In de oplossing wordt aangenomen dat de grond op een uniforme wijze dichter opeen komt. De oplossing toont dat de zakkingstrog voor dit probleem breder is dan in de prak- tijk vaak wordt gemeten. Uit de oplossing blijkt dat voor de meeste gevallen het volume van de zakkingstrog groter is dan het volumeverlies rondom de tun- nel. Een eenvoudige formule wordt gegeven voor de maximale diepte van de zakkingstrog voor tunnels waarvan de diepte meer dan tweemaal de straal van de tunnel bedraagt. Uit de oplossing blijkt ook dat de tunnel zelf zakt als gevolg van het grondverlies rondom de tunnel. Het ovalisatieprobleem doet zich voor als de beginspanningen in de onder- grond ongelijk zijn in verticale en horizontale richting. In de oplossing wordt aangenomen dat de oneffenheid van de spanningen veroorzaakt dat de tunnel van een cirkel vervormt naar een ovaal. Uit de oplossing blijkt dat de zak- kingstrog veel nauwer is dan voor het probleem van grondverlies rondom de tunnel. Een eenvoudige formule wordt gegeven voor de maximale diepte van de zakkingstrog voor tunnels waarvan de diepte meer dan tweemaal de straal van de tunnel bedraagt. De drie hiervoor behandelde fundamentele oplossingen worden in het proef- schrift samengenomen om te illustreren hoe deze gebruikt kunnen worden voor het voorspellen van zakkingstroggen. Het blijkt dat het meenemen van opdrijf- effecten in de oplossingen een sterk versmallend effect kan hebben op de vorm van de zakkingstrog. Het niet meenemen van het opdrijfeffect is wellicht een reden dat de in de praktijk gemeten zakkingstroggen vaak smaller zijn dan uit de theorie zou volgen. O.E. Strack, Analytic Solutions of Elastic Tunneling Problems. Ph.D. Thesis, Delft University of Technology. Delft University Press, 2002. ABOUT THE AUTHOR Otto Erik Strack was born in The Hague, The Netherlands in 1971. His family immigrated to the United States of America in 1974, and he grew up in St. Paul Minnesota. From 1992 to 1998 he attended the University of Minnesota, where he graduated cum laude with a Bachelor’s Degree in Geological Engineering. During his undergraduate career he focused on geo-environmental engineer- ing, water resources engineering, and the Analytic Element Method (AEM) for modeling groundwater flow. While completing his undergraduate degree he worked for Strack Consulting Incorporated as a software developer. There he designed the C++/FORTRAN user interface for the company’s groundwa- ter program MLAEM (which has been used for modeling projects such as the Dutch national groundwater model NAGROM and theYucca mountain project). In addition, he worked on several modeling projects and tutored participants in the annual AEM short course given by the company. After graduating from the University of Minnesota Erik chose to specialize in soil mechanics and decided to continue his academic career at Delft University of Technology with Professor Arnold Verruijt. There he focused on analytic solutions of elastic tunneling problems, which resulted in this thesis. During his graduate work Erik taught several undergraduate courses and advised two masters students in their thesis work. He has presented his work at two interna- tional conferences and was an invited speaker at Professor Verruijt’s retirement symposium. Erik has ongoing interests in tunneling problems and the Analytic Element Method, as well as in Object-Oriented programming. He is also interested in the direct simulation of granular-fluid systems and will be studying this topic as a post-doctorate researcher at Sandia National Laboratories in Albuquerque, New Mexico. . smaller zijn dan uit de theorie zou volgen. O.E. Strack, Analytic Solutions of Elastic Tunneling Problems. Ph.D. Thesis, Delft University of Technology. Delft University Press, 2002. ABOUT THE. Basic Problems in the Mathematical Theory of Elasticity, second ed. (Groningen: Noordhoff). Translated from Russian by J.R.M. Radok [24] Peck, R.B. (1969) ‘Deep excavations and tunneling in soft. D.I. (1961) ‘The elastic, heavy half-plane, weakened by holes of elliptic shape lying sufficiently close to its boundary.’ In Problems of Continuum Mechanics, Contributions in Honor of the Seventieth