Section 6.1 Solution of the Problem 49 and ψ. The stresses and displacements due to buoyancy can be added later by superimposing the solution for the buoyant, rigid tunnel discussed in Chapter 5, and the gravitational stresses can be superimposed through use of (5.7) – (5.9). Mathematically, the boundary conditions along the tunnel are given in terms of the polar coordinates r and θ (see Figure 6.1) by the following equation: u r + iu θ = u g , (6.1) where u r is the displacement in the radial direction, u θ is the displacement in the tangential direction, and u g is the amount that the tunnel contracts in the radial direction due to ground loss (see Figure 6.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x y r h θ u g L h Figure 6.1: The ground loss problem. Equation (6.1) can be written in terms of the horizontal and vertical displace- ments u t +iv t along the tunnel periphery, which are needed for the solution in Chapter 4, by utilizing the following transformation (see [23]): u t + iv t = (u r + iu θ )e iθ = u g (cos θ + i sin θ). (6.2) After substituting the expressions cos θ = x r , sin θ = y + h r and x = z + z 2 ,y= z − z 2i (6.3) into (6.2) we obtain h g(z) = u t + iv t =−u g z + ih r , (6.4) where the function h g(z), defined in Chapter 4, represents the given displace- ments along the tunnel boundary in terms of the variable z. The conformal mapping (4.7) can now be substituted in (6.4), facilitating the transformation 50 The Ground Loss Problem Chapter 6 of the given displacements to the ζ -plane and the determination of the function G (ασ) given in (4.31). Substituting (4.7) for z and utilizing the relation ζ = ασ which is valid along the tunnel boundary L h yields h g m (ασ) =−iu g α − σ 1 − ασ . (6.5) Multiplication by 2µ(1 − ασ) finally gives G (ασ) =−2iµu g (α − σ). (6.6) The Fourier expansion of this expression is trivial and contains only the two terms (the other terms being equal to zero) A 0 =−2iµu g α and A 1 = 2iµu g σ. (6.7) The expansion given by (4.34) can now be calculated by using these values for A k and by setting the value of the resultant force equal to zero. This completes the solution for the ground loss problem in a linearly elastic half-plane with a circular tunnel. The result is given by (4.56) and (4.57). The solution can be normalized by setting the parameter P in Appendix B equal to 2µu g . It is clear from (6.7) that division by P = 2µu g will result in dimensionless coefficients which will be independent of µ and u g . The only components of the solution in Chapter 4 which are not dimensionless are the Fourier coefficients given by (6.7) and the resultant force, which in this case is equal to zero. It then follows from the discussion in Appendix B that dimensionless expressions for stresses and displacements will be obtained which will only depend on the parameters r/h and ν. The displacements will be given in terms of P/2µ = u g and the values for the stresses will be given in terms of P/h = 2µu g /h, as is evident from (B.24) – (B.26). Examination of the final solution shows that the displacements tend towards a constant value for large values of z. After adding a rigid body motion to the solution such that the displacements vanish at infinity, a certain rigid body dis- placement of the tunnel as a whole is obtained. It is found that this displacement is a downward displacement, see Figure 6.3 through Figure 6.5. § 6.2 Validation of the Solution The solution for the ground loss problem has been implemented in a computer program which can be used to generate plots of the normalized stresses and displacements. The plots can be visually inspected to confirm that the stresses vanish along the surface (see Figure 6.2) and that the tunnel does indeed contract uniformly (see Figure 6.3). It is noted that in Figure 6.2, as in all plots of stress contours in this thesis, the solid thin curves denote negative (compressive) stresses, the thick solid curves denote contours of zero stress, and the finely dotted curves denote positive Section 6.2 Validation of the Solution 51 -5 -4-3-2-101234 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 x/h - y/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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. Figure 6.2: The stresses σ yy (left-hand side) and σ xy (right-hand side) for ν = 0 and r/h = 0.7. The contour interval is 0.25µu g /h. (tensile) stresses. It is emphasized that in most cases such tensile stresses will be eliminated through superposition of the stresses due to gravity, (5.7) – (5.9). The plots in this chapter only show the incremental stresses due to ground loss. The initial stresses should be added to obtain the total stresses. -5 -4-3-2-101234 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 x/h - y/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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Figure 6.3: Displacements, scaled by 0 .15/u g for ν = 0 and r/h = 0.7. It is interesting to observe that the tunnel settles as a whole due to the uniform contraction around the cavity. This is clearly depicted in Figure 6.3, where the invert of the tunnel has remained practically fixed, and the crown has settled by approximately 2u g . 52 The Ground Loss Problem Chapter 6 The programmed solution yields maximum errors in the normalized stresses σ yy h/2µu g and σ xy h/2µu g along the surface ranging from ±4×10 −13 for very shallow tunnels (r/h = 0.9) to ±2 × 10 −15 for deep tunnels (r/h = 0.01). The maximum errors of the components of the normalized displacements u t /u g and v t /u g along the tunnel boundary range from ±7 × 10 −8 for very shallow tunnels to ±8 × 10 −10 for deep tunnels. These values are for ν = 0, but the maximum errors for other values of ν appear to be within an order of magnitude of the errors given here. § 6.3 Comparison to Sagaseta’s Solution Sagaseta [28] presented an approximate solution for the ground loss problem in a half-plane made up of an incompressible material. His solution consists of three parts: the first is a singular point-sink solution corresponding to the contraction of point in an infinite plane, the second is an image of the first (obtained by reflecting the first solution across the surface of the half-plane), and the third solution is a Boussinesq stress distribution added to the surface to ensure that normal stresses along the surface of the half-plane are zero. The complete solution is approximate in the sense that the addition of the third part affects the displacements at the singular points, and thus along the tunnel boundary. The influence of the third part of the solution can be clearly seen in Figure 6.4 in which the exact solution is compared to Sagaseta’s solution. It appears that -3-2-10123 -3 -2 -1 0 -3 -2 -1 0 x/h - y/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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Figure 6.4: Comparison between the exact solution (left-hand side) and Sagaseta’s solution (right-hand side) for the normalized displacements in the case that ν = 0.5 and r/h = 0.7. The displacements have been scaled by 0.4/u g . Section 6.4 Stresses around the Tunnel 53 the surface load added by the Boussinesq solution has the effect of adding an additional compression the tunnel, as is to be expected. This results in a moderate over-prediction of the surface settlements when using Sagaseta’s solution for very shallow tunnels. For very deep tunnels the effect of the Boussinesq part of the approximate solution should become negligible and the complete solution should agree with the solution presented in this chapter. This is indeed the case, as can be observed in Figure 7.5, where a deeper tunnel with an r/h ratio of 0.3 is shown. 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Figure 6.5: Comparison between the exact solution (left-hand side) and Sagaseta’s solution (right-hand side) for the displacements in the case that ν = 0.5 and r/h = 0.3. The displacements have been scaled by 0.17/u g . though the results do not yet agree fully with each other, the differences have become negligible in this case. The difference vanishes to within machine accuracy for very deep tunnels (r/h<0.01). § 6.4 Stresses around the Tunnel The isotropic stresses 1 2 (σ xx +σ yy ) and deviatoric stresses 1 4 (σ yy − σ xx ) 2 + σ 2 xy are shown in Figure 6.6. It appears from Figure 6.6 that both the isotropic and deviatoric stresses around the tunnel are strongly affected by the presence of the stress-free surface. The isotropic stresses increase rapidly along the upper half of the tunnel, and the deviatoric stresses decrease rapidly, especially near the crown of the tunnel. It can also be seen from the contours of the isotropic and deviatoric stresses in Figure 6.6 that any plastic effects thatmay occur would probably beconcentrated around the bottom half of the tunnel. The deviatoric stresses are highest there 54 The Ground Loss Problem Chapter 6 -5 -4-3-2-101234 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 x/h - y/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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Figure 6.6: The isotropic stress (left-hand side) and deviatoric stress (right-hand side) for the case that ν = 0 and r/h = 0.7. The contour interval is 0.15µu g /h. and the isotropic stresses are lowest there. It should be taken into consideration, however, that these lower isotropic stresses may be offset by the higher isotropic stresses near the bottom of the tunnel resulting from gravity loading. § 6.5 Stresses on the Tunnel The radial and shear stresses σ rr and σ rt acting on the tunnel lining due to a contraction of the tunnel cavity are shown for different values of Poisson’s ratio and different relative tunnel depths in Figure 6.7 and Figure 6.8. The . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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Section 6.5 Stresses on the Tunnel 55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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It would appear that any radial shear stress present in the solution is due to the anti-symmetry introduced by the presence of the stress-free surface. It is also apparent from these plots that the radial and shear stresses acting on the tunnel lining are only moderately affected by the relative depth of the tunnel. The most noticeable effect in this regard is a fairly substantial reduction in the radial stress along the top of the tunnel. The tangential hoop stress σ tt is shown in Figure 6.9 for different values of Poisson’s ratio and different relative tunnel depths. One of the most noticeable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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stress around the tunnel as a function of ν. features of Figure 6.9 is that the hoop stress is constant for ν = 0. This effect is probably related to the effect seen in the case of the rigid buoyant tunnel, where the hoop stress vanishes completely for ν = 0. The hoop stress can only be generated directly by deformation of the tunnel lining, and indirectly through Poisson’s ratio by the radial and radial shear stresses. In the case of the rigid buoyant tunnel the hoop stresses vanish for ν = 0 because the tunnel does not deform and therefore does not directly generate a hoop stress. In the case of a pure contraction of the tunnel boundary, the uniform contraction directly 56 The Ground Loss Problem Chapter 6 generates a constant hoop stress, and for ν = 0 the stress remains constant as there is no additional indirect generation of hoop stress. § 6.6 Displacements along the Surface The scaled settlements, denoted by v/u g , for the ground loss problem are shown in Figure 6.10 for different values of Poisson’s ratio. -5 -4-3-2-101234 5 -4 -3 -2 -1 0 -4 -3 -2 -1 0 2 u g v x/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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One of the more prominent features of these curves is that the settlements increase substantially (by more than a factor of 1.5 for the maximum settlement for ν = 0 versus ν = 0.5) for smaller values of ν. This means that the volume of the settlement trough will be larger than the volume of ground loss around the tunnel, since these volumes are equal for incompressible ground with ν = 0.5. A similar, but even more amplified, behavior occurs for deeper tunnels, as can be seen in Figure 6.11. -5 -4-3-2-101234 5 -4 -3 -2 -1 0 -4 -3 -2 -1 0 10 u g v x/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ν = 0.5 ν = 0.25 ν = 0 Figure 6.11: Surface settlements as a function of ν for r/h = 0.1. Section 6.6 Displacements along the Surface 57 In Figure 6.11 the difference between the trough depths for different ν values has increased (to a factor of 2.0 between the maximum trough depth for ν = 0 and ν = 0.5). A possible interpretation of the increasing settlements for lower values of Poisson’s ratio is that undrained soil, which is incompressible, will react to ground loss around the tunnel according (nearly exactly) to the curves drawn for ν = 0.5. As the soil drains, or consolidates, the soil may settle progressively, according to the curves drawn for lower values of ν. These latter curves will not be as accurate as the curves for the undrained case, as linear elasticity becomes a poorer approximation for soil behavior for ν values smaller than 0.5. The scaled maximum trough depths v max /u g versus the tunnel radius to depth ratios have been plotted in Figure 6.12 for different values of ν. 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 r/h 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 v max u g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ν = 0 ν = 0.25 ν = 0.5 Figure 6.12: Maximum settlement as a function of r/h and ν. It appears from Figure 6.12 that there is an approximately linear relationship between the normalized maximum trough depth v max /u g and r/h, for values of r/h < 0.5. If ground loss around the tunnel is expected to be the predominant mode of deformation and the type of ground can be well characterized by linearly elastic behavior then this relationship can be used as a rule of thumb to determine the trough depth for tunnels with r/h < 0.5. A rule of thumb for 58 The Ground Loss Problem Chapter 6 pure ground loss could be written as v max u g ≈ 3.5(1 − ν) r h . for r/h < 0.5 (6.8) It should be emphasized that this rule of thumb is only valid for a uniform contraction of the tunnel cavity and for linearly elastic behavior. Equation (6.8) has not been verified with any practical cases. § 6.7 Comparison to a Finite Element Calculation The solution presented in thischapter has also been compared to a FiniteElement Method (FEM) calculation, using the program Plaxis, version 8.0 [3]. As was the case for the FEM comparison in the previous chapter, this comparison is not intended as a validation of the solution or as a validation of the program Plaxis, but is merely an illustration of the differences that may be encountered. A linearly elastic material model has again been chosen for the ground in the FEM calculation in order to afford for a more direct comparison to the exact solution. The elements chosen are 15-noded triangular elements. The tunnel is a solid linearly elastic cylinder, also modeled with 15-noded triangular elements. For the particular details of the FEM implementation in the program Plaxis, see [3]. The ground loss problem was calculated in Plaxis by determining the initial stresses for a weighted elastic medium containing a stiff, solid cylinder with the same weight as the surrounding material. The staged construction module was then used to apply a volume loss of 2.5% to the stiff material inside the tunnel, resulting in a uniform contraction of the tunnel cavity. The values of the parameters used are given in Table 6.1. Table 6.1: Parameters used in the FEM calculation for the ground loss problem. The abbreviations grnd and tunl refer to parameters for the ground and tunnel, respectively. Parameter value Parameter value r 4m E grnd 1000 kN/m 2 h 16 m ν grnd 0.25 x max 80 m γ grnd 16 kN/m 3 y max 80 m E tunl 1 ×10 10 ν tunl 0.499 γ tunl 16 kN/m 3 In the table, the values of x max and y max define the range of the FEM mesh in the horizontal and vertical directions, respectively. Note that the relative mesh size is larger than commonly used in geotechnical calculations. This has been done in order to minimize the effect of the boundaries on the stresses and displacements near the tunnel. [...]... completely fixed along its lower 60 The Ground Loss Problem Chapter 6 boundary The effects of the horizontal and vertical constraints in the FEM solution are not nearly as visible as in the case of the rigid buoyant tunnel (see Figure 5.13 and Figure 5.14) The ground loss solutions appear to match well in general The contours on the left and right-hand sides of Figure 6. 14 appear to be almost identical... identical The only difference is in the plot of the zero stress line near the bottom of the mesh This area appears to suffer from some minor numerical inaccuracies, but even here the general form and location of the contour appear to be correct § 6. 8 Chapter Summary In this chapter an analytical solution for the ground loss problem for a circular tunnel in a linearly elastic half-plane has been obtained and...Comparison to a Finite Element Calculation 59 Section 6. 7 The results of the calculations for the displacements are given in Figure 6. 13 and the contours of the horizontal shear stress σxy are shown in Figure 6. 14 x/ h -5 0 -1 -2 -3 -4 -5 -4 -3 -2 1 -1 2 3 4 5 ... - y/ h 0 -1 -2 -3 -4 -5 Figure 6. 14: Comparison between the exact solution (left-hand side) and a Finite Element Calculation (right-hand side) for contours of σxy , in increments of 1 kN/m2 The contours intersecting the outside edges have values of zero In this case ν = 0.25, r/ h = 0.25, and E = 1000 kN/m2 Along the right and left boundaries... validated It is seen from the solution that the volume of the settlement trough increases when the value of Poisson’s ratio decreases The maximum trough depth is found to be strongly dependant on Poisson’s ratio, and a simple formula was given for the maximum trough depth for tunnels whose depth is more than twice the tunnel radius An illustrative comparison of the solution and a Finite Element calculation... - y/ h 0 -1 -2 -3 -4 -5 Figure 6. 13: Comparison between the exact solution (left-hand side) and a Finite Element Calculation (right-hand side) for the actual displacements, magnified by a factor of 80 In this case ν = 0.25, r/ h = 0.25, and E = 1000 kN/m2 x/ h -5 0 -1 -2 -3 -4 -5 -4 -3 -2 -1 . Figure 6. 3 through Figure 6. 5. § 6. 2 Validation of the Solution The solution for the ground loss problem has been implemented in a computer program which can be used to generate plots of the. (r/h<0.01). § 6. 4 Stresses around the Tunnel The isotropic stresses 1 2 (σ xx +σ yy ) and deviatoric stresses 1 4 (σ yy − σ xx ) 2 + σ 2 xy are shown in Figure 6. 6. It appears from Figure 6. 6 that. directly 56 The Ground Loss Problem Chapter 6 generates a constant hoop stress, and for ν = 0 the stress remains constant as there is no additional indirect generation of hoop stress. § 6. 6 Displacements