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ANALYTIC SOLUTIONS OF ELASTIC TUNNELING PROBLEMS Phần 5 doc

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Section 5.3 Comparison to Yu’s Solution 37 -5 -4-3-2-101234 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 x/h - y/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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Figure 5.2: Displacements, scaled by 0.3µ γh 2 for ν = 0 and r/h = 0.7. (the horizontal constraint is imposed along the vertical axis of symmetry). For now, it is assumed that the stresses along the surface more than five times the tunnel depth away from the origin will be small enough to result in a higher so- called small strain stiffness of the ground (see, for example, [1]) which would severely limit the deformations beyond these points. It should be emphasized that the stresses are not affected by the choice of rigid body motion [23]. The computer program which has generated Figure 5.1 and Figure 5.2 can also be used to calculate the maximum errors in the normalized stresses along the surface, which are on the order of 1 × 10 −12 . The maximum errors in the normalized displacements along the tunnel are on the order of 1 ×10 −7 . These values correspond to the problem shown in Figure 5.1 and Figure 5.2. In addi- tion, a numerical integration of the tractions along the tunnel can be performed by the program. This integration has been performed after the superposition of the gravitational stresses (5.7) – (5.9). This results in a buoyant force (in terms of γh 2 ) after deformation which is on the order of 1 × 10 −17 , indicating that the complete solution is indeed in equilibrium, within computational accuracy. § 5.3 Comparison to Yu’s Solution The results of the calculation have also been compared to the solution byYu [45] for a rigid, buoyant tunnel in an infinite plane. Comparisons of the isotropic stress 1 2 (σ xx +σ yy ) and deviatoric stress  1 4 (σ yy − σ xx ) 2 + σ 2 xy are shown in Fig- ure 5.3 and Figure 5.4, respectively. It is clear from these plots that the stresses in the ground and around the tunnel are heavily influenced by the presence of a stress-free surface. The stress free surface is included in the exact solution presented in this chapter, but is absent from Yu’s solution. It is also apparent 38 Buoyancy of a Rigid Tunnel Chapter 5 -3-2-10123 -3 -2 -1 0 -3 -2 -1 0 x/h - y/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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Figure 5.3: Comparison between the exact solution (left-hand side) and Yu’s solution (right-hand side) for the incremental isotropic stresses in the case that ν = 0.5 and r/h = 0.25. The contours are given in increments of 0.0125γh. -3-2-10123 -3 -2 -1 0 -3 -2 -1 0 x/h - y/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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Figure 5.4: Comparison between the exact solution (left-hand side) and Yu’s solution (right-hand side) for the incremental deviatoric stresses in the case that ν = 0.5 and r/h = 0.25. The contours are given in increments of 0.0075γh. that both the isotropic and deviatoric stresses are very small at distances along the surface larger than three times the tunnel depth. This is in line with the choice for the fixed point in the solution at x/h =±5. It is interesting to note the magnitude of the deviatoric stresses on the sides of the tunnel. Plastic effects are likely to occur in these areas since Mohr’s Circle will be large there and will be located near the origin (as can be seen by noting that the zero stress lines intersect the tunnel near its axis Figure 5.3). It Section 5.3 Comparison to Yu’s Solution 39 should be noted, however, that Mohr’s circle will be shifted by addition of the initial stresses. The normalized displacements of the two solutions are shown in Figure 5.5. Again, the influence of the surface is apparent in the exact solution. As can be expected, the buoyancy force causes more movements along the surface in this case. This is due to the relative reduction of stiffness above the tunnel resulting from the absence of material above the surface. -3-2-10123 -3 -2 -1 0 -3 -2 -1 0 x/h - y/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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Figure 5.5: Comparison between the exact solution (left-hand side) and Yu’s solution (right-hand side) for the normalized displacements in the case that ν = 0.5 and r/h = 0.25. The displacements have been scaled by 0.8µ γh 2 . The stresses on the tunnels in the two solutions should converge for very deep tunnels. This is indeed the case, but the difference does not vanish until r/h < 0.01. Apparently, the effect of the surface is quite pronounced in these solutions. The differences between the solutions are shown for two different relative tunnel depths in Figure 5.6, from which it can be seen that the two solutions indeed converge for deeper tunnels, but not very fast, as for r/h = 0.1 the difference is still some 10%. In Figure 5.6 positive (tensile) stresses are drawn outside the circle and negative (compressive) stresses are drawn inside the circle (this convention will be adopted for all plots of the stresses on the tunnel). It appears that the radial stress σ rr has tensile values above the tunnel for shallow tunnels in the exact solution. Some insight in this phenomenon can be gained by observing that there is a tensile zone of stress near the surface in the isotropic stresses generated by the exact solution depicted in Figure 5.3. This tensile zone moves closer to the tunnel for shallower tunnels and comes in contact with the tunnel for r/h values around 0.5 for ν = 0.5 and around 0.4 for ν = 0. This effect is not present in Yu’s solution, where the stresses are 40 Buoyancy of a Rigid Tunnel Chapter 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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It appears that the value of Poisson’s ratio ν has only a moderate effect on the stresses on the tunnel, especially for deeper tunnels. In fact, for very deep tunnels the differences in the radial and shear stresses for different values of ν vanish entirely. For shallow tunnels, smaller values of ν generate larger values for the stresses acting on the tunnel. This is most apparent for the radial stresses shown in the upper left-hand corner of Figure 5.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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Section 5.5 Displacements along the Surface 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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The hoop stress σ tt around the tunnel shows more sensitivity to Poisson’s ratio ν, as is shown in Figure 5.9. It is interesting to note that for ν = 0 the hoop stress vanishes completely for all ratios r/h of the tunnel radius to depth. This may be due to the fact that the boundary conditions for a completely rigid tunnel do not directly affect the hoop stress, as would be the case if the tunnel deformed. In the case of a rigid tunnel it appears that the hoop stress is only indirectly related to the boundary conditions via Poisson’s ratio. It is also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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tunnel as a function of ν. apparent from Figure 5.9 that the value of Poisson’s ratio plays a much larger role in the magnitude of the hoop stress than the relative tunnel depth. § 5.5 Displacements along the Surface The amplified vertical displacements v along the surface are shown in Fig- ure 5.10 and Figure 5.11 (for the exact solution). The amount of heave appears to depend strongly on the value of Poisson’s ratio: the amount of heave for ν = 0 is roughly 50% more than for ν = 0.5. It would appear that this is due to 42 Buoyancy of a Rigid Tunnel Chapter 5 an effective reduction in stiffness of the ground above the tunnel for low values of Poisson’s ratio, as can also be observed in the reduction of the hoop stress for low values of ν in Figure 5.9. -5 -4-3-2-101234 5 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 4.3µ γh 2 v x/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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for r/h = 0.1. The change in the shape of the displacement curves along the surface is not strongly affected by Poisson’s ratio. Changes in Poisson’s ratio tend only to amplify the displacements. The shape of the displacement curve is, however, somewhat affected by the relative depth of the tunnel, as can be seen by compar- ing Figure 5.10 and Figure 5.11. The heave appears to be of a more localized nature (relative to the depth of the tunnel) for deeper tunnels, and has much smaller values. The maximum heave v max as a function of the relative tunnel depth is given in Figure 5.12 for two different choices of the point of vertical constraint (which fixes the rigid body motion) in the solution. It is apparent from these plots that the amount of heave is strongly dependant on the choice of the point at which the vertical displacements are assumed to vanish. For the two choices in Figure 5.12 the difference is approximately a factor of two for tunnels with r/h < 0.5. Based on the moderate extent Section 5.5 Displacements along the Surface 43 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 r/h 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 2µ γh 2 v max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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In the upper graph the point of vertical constraint is at x/h = 5 on the surface, and in the lower graph it is at x/h = 2. 44 Buoyancy of a Rigid Tunnel Chapter 5 of the incremental isotropic and deviatoric stresses shown in Figure 5.3 and Figure 5.4, the choice of a point of vertical constraint at x/h = 2 may well be more realistic than the choice at x/h = 5, as the stresses have largely dissipated at twice the tunnel depth. The extent of influence of the isotropic and deviatoric stresses is, however, somewhat dependant on the relative depth of the tunnel. In addition, the choice for the point of vertical constraint may be dependant on other modes of deformation and other parameters as well (see the discussion in Chapter 8). It is clear, however, that moving the point of vertical constraint closer to the tunnel will result in smaller amounts of heave. In addition, it will also affect the relationships between the amounts of heave for different values of ν, especially for lower values of r/h, as is evident from the graph on the bottom of Figure 5.12. It is also noted from Figure 5.12 that there is a nonlinear relationship between the normalized maximum heave and r/h, and that the maximum amount of heave is clearly dependant on the value of Poisson’s ratio. § 5.6 Comparison to a Finite Element Calculation The solution presented in this chapter has been compared to a Finite Element Method (FEM) calculation, using the program Plaxis, version 8.0 [3]. This comparison is not intended as a validation of the solution or as a validation of the program Plaxis, but is merely an illustration of the differences that may be encountered. A linearly elastic material model has been chosen for the ground in the FEM calculation in order to afford for a more direct comparison to the exact solution. The elements chosen are 15-noded triangular elements. The tunnel is a stiff, but weightless, solid linearly elastic cylinder, also modeled with 15-noded triangular elements. For the particular details of the FEM implementation in the program Plaxis, see [3]. The buoyant, rigid tunnel problem was calculated in Plaxis by computing the initial stresses with the same elastic material inside the tunnel as outside the tunnel. The staged construction module was then used to replace the material inside the tunnel with a very stiff, but weightless, solid circular cylinder. The values of the parameters used are given in Table 5.1. Table 5.1: Parameters used in the FEM calculation for a rigid, buoyant tunnel. The abbreviations grnd and tunl refer to parameters for the ground and tunnel, respectively. Parameter value Parameter value r 4m E grnd 1000 kN/m 2 h 16 m ν grnd 0.25 x max 80 m γ grnd 16 kN/m 3 y max 80 m E tunl 1 ×10 15 ν tunl 0.499 γ tunl 0 kN/m 3 Section 5.6 Comparison to a Finite Element Calculation 45 In the Table 5.1, the values of x max and y max define the range of the FEM mesh in the horizontal and vertical directions, respectively. Note that the relative mesh size is larger than commonly used in geotechnical calculations. This has been done in order to minimize the effect of the boundaries on the stresses and displacements near the tunnel. The results of the calculations for the displacements are given in Figure 5.13, and the results for the stresses are given in Figure 5.14. -5 -4 -3 -2 -1 -5 -4 -3 -2 -1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figure 5.13: Comparison between the exact solution (left-hand side) and a Finite Ele- ment Calculation (right-hand side) for the actual displacements, magnified by a factor of 5. The parameters used in the solutions are given in Table 5.1. Along the right and left boundaries the FEM mesh is constrained horizontally but is free to move vertically. The mesh is completely fixed along its lower boundary. It can be expected that the best overall match of the displacements will be achieved by choosing a point of vertical constraint in the exact solution which corresponds to the center of the fixed boundary in the FEM mesh. In the exact solution shown in Figure 5.13 a rigid body motion was added such that the vertical displacements are zero at the point (x/h =−2.5,y/h =−5.0). The effects of the horizontal and vertical constraints in the FEM solution can be clearly seen be comparing the displacements of the two solutions near the boundaries. However, aside from these discrepancies, the solutions appear to match well. It should be emphasized that depth of the fixed mesh at the bottom of the FEM solution has a similar effect on the vertical displacements, or heave, as the choice of the point of vertical constraint in the exact solution. This must be taken into consideration when constructing FEM meshes for excavation problems, and meshes will usually be less deep than the one used here. Several methods can be considered to achieve realistic results, such as using constitutive models for 46 Buoyancy of a Rigid Tunnel Chapter 5 -5 -4 -3 -2 -1 -5 -4 -3 -2 -1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 x/h - y/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figure 5.14: Comparison between the exact solution (left-hand side) and a Finite Ele- ment Calculation (right-hand side) for contours of σ xy , in increments of 2 kN/m 2 . The contours intersecting the right and left edges have values of zero. The parameters used in the solutions are given in Table 5.1. ground which allow a stiffer E modulus to be used for unloading (for example, the hardening soil model in Plaxis, see [3]). It is also possible to add layers of increasing stiffness in the lower parts of the mesh or to use different material models for different parts of the underground (see, for example, [32]). Contours of the horizontal shear stress σ xy are shown in Figure 5.14. From these contours it is clear that the solutions match well for points close to the tunnel, but progressively diverge for points further away from the tunnel. This again seems to be an effect of the restrained boundaries of the FEM mesh. § 5.7 Chapter Summary In this chapter an analytical solution for a rigid buoyant tunnel in a linearly elastic half-plane has been obtained and validated. In the solution the tunnel lining is considered to have negligible weight, and the buoyancy force is set equal to the weight of the excavated material. When the solution is compared to a previously published solution for a very deep tunnel, it appears that the stress-free surface has a large effect on the displacements and stresses around the tunnel, even for relatively deep tunnels. The solution exhibits singular displacements at infinity, a property which is an artifact of the buoyancy force acting on the hole. This property of the solution means that the displacements are dependant on an arbitrary rigid body motion, which is set by choosing a point in the plane at which the vertical displacements are constrained. The choice of this point has a large effect on the amount of heave along the surface. An [...]... numerical calculation of the coefficients of a Laurent expansion of the complex potentials The approach used to obtain the solution discussed in this chapter is essentially the same as the one used by Verruijt, the difference being that a fully analytical solution method has been found for the computation of the coefficients of the complex potentials, as discussed in Chapter 4 § 6.1 Solution of the Problem... loss One of the first to address the ground loss problem explicitly for relatively shallow tunnels was Sagaseta [28] Sagaseta developed his solution for a uniform convergence of an incompressible soil, and included the effects of the stress-free surface in an approximate fashion Later Verruijt and Booker [40] extended Sagaseta’s solution to compressible soils through use of the theory of linear elasticity...Section 5. 7 Chapter Summary 47 illustrative comparison of the solution and a Finite Element calculation shows some effect of the FEM boundary constraints along the edges of the mesh Chapter 6 THE GROUND LOSS PROBLEM During the excavation of a tunnel, the ground may converge towards the excavation face This occurs when the... the surface is free of stress and that the tunnel boundary undergoes a certain amount of contraction We will make use of the general solution presented in Chapter 4 In order to focus on the incremental stresses and displacements caused by ground loss, the buoyancy force in the general solution is set to zero The result is that the solution consists entirely of the Laurent expansions of the complex potentials... causing the ground to move towards the points of lower pressure A similar process occurs when a tunnel lining is placed inside an excavated hole, and the size of the lining is somewhat smaller than the original size of the hole In this case as well, the ground will converge towards the lining, filling the gap between the lining and the excavated hole This convergence of material towards a tunnel during and . Displacements along the Surface 43 0.00 0. 25 0 .50 0. 75 1.00 r/h 0.00 0. 25 0 .50 0. 75 1.00 1. 25 1 .50 1. 75 2.00 2. 25 2 .50 2. 75 2µ γh 2 v max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figure 5. 12 the difference is approximately a factor of two for tunnels with r/h < 0 .5. Based on the moderate extent Section 5. 5 Displacements along the Surface 43 0.00 0. 25 0 .50 0. 75 1.00 r/h 0.00 0. 25 0 .50 0. 75 1.00 1. 25 1 .50 1. 75 2.00 2. 25 2 .50 2. 75 2µ γh 2 v max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ν = 0 ν = 0. 25 ν = 0 .5 0.00 0. 25 0 .50 0. 75 1.00 r/h 0.00 0. 25 0 .50 0. 75 1.00 2µ γh 2 v max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ngày đăng: 07/08/2014, 04:21

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