Chơng 6. Lý Thuyết Trờng Trang 110 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Đ8. Trờng ống Trờng vectơ (D, F ) với F = {X, Y, Z} gọi là trờng ống nếu có trờng vectơ (D, G ) với G = {X 1 , Y 1 , Z 1 } sao cho F = rot G. Tức là X = z Y y Z 11 Y = x Z z X 11 Z = y X x Y 11 (6.8.1) Trờng vectơ G gọi là trờng thế vị của trờng vectơ F. Từ định nghĩa suy ra nếu F là trờng ống thì div F = div (rot G) = 0 (6.8.2) Có thể chứng minh rằng điều ngợc lại cũng đúng. Tức là chúng ta có kết quả sau đây. Định lý Trờng vectơ (D, F ) là trờng ống khi và chỉ khi div F = 0 Từ các kết quả ở trên suy ra ý nghĩa cơ học của trờng ống nh sau. 1. Trong trờng ống không có điểm nguồn div F = 0 2. Thông lợng qua mặt cong kín nằm gọn trong miền D luôn bằng không. = >< S dS,nF = dVdivF (6.8.3) 3. Thông lợng đi qua các mặt cắt của một luồng là nh nhau. Giả sử S là mặt trụ kín nh hình bên S = S 0 + S 1 + S 2 Trong đó S định hớng theo pháp vecto ngoài n S 0 định hớng theo pháp vecto n 0 ngợc hớng với trờng vectơ F, S 1 định hớng theo pháp vecto n 1 cùng hớng với trờng vectơ F. S 2 định hớng theo pháp vecto n 2 vuông góc với trờng vectơ F. Theo tính chất của trờng ống và tính cộng tính của tích phân 0 = >< S dS,nF = >< 0 S dS, 0 nF + >< 1 S dS, 1 nF + >< 2 S dS, 2 nF Từ đó suy ra >< 1 S dS, 1 nF = - >< 0 S dS, 0 nF = >< 0 S dS, 1 nF Hay nói cách khác thông lợng của trờng ống đi qua các mặt cắt là một hằng số. Trờng vectơ (D, F ) gọi là trờng điều hoà nếu nó vừa là trờng thế và vừa là trờng ống. Tức là có trờng vô hớng (D, u ) và trờng vectơ (D, G ) sao cho F = grad u = rot G (6.8.4) Từ đó suy ra F n 0 S 0 S n 2 S 1 n 1 Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Chơng 6. Lý Thuyết Trờng Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 111 u = div (grad u) = div (rot G) = 0 (6.8.5) Tức là hàm thế vị của trờng điều hoà là hàm điều hoà. Từ các kết quả ở trên suy ra ý nghĩa cơ học của trờng ống nh sau. 1. Trong trờng điều hoà không có điểm xoáy, điểm nguồn rot F = 0 và div F = 0 2. Hoàn lu dọc theo đờng cong kín nằm gọn trong miền D luôn bằng không. K = >< ds, TF = 0 3. Thông lợng qua mặt cong kín nằm gọn trong miền D luôn bằng không. = >< S dS,nF Bài tập chơng 6 1. Tìm đạo hàm tại điểm A theo hớng vectơ e của trờng vô hớng u = xy - z 2 a. A(1, 2, 3) và e{1, 1, 1} b. A(1, 1, 0) và e{0, 1, 1} c. A(1, 0, 1) và e là hớng phân giác trong của góc Oxy 2. Cho trờng vô hớng u = x 2 + y 2 - z 2 a. Tìm độ lớn và hớng của vectơ grad u tại điểm A(1, - 2, 1) b. Tìm góc giữa grad u(1, 1, 1) và grad u(1, -1, 0) c. Tìm điểm M sao cho grad u(M) đồng phơng với trục Oy 3. Cho trờng bán kính r = 222 zyx ++ a. Tìm e r với e{-1, 0, 1} b. Tìm grad r 1 và grad r 2 c. Tìm grad f(r) với hàm f là hàm có đạo hàm liên tục. 4. Tìm Divergence của các trờng vectơ F tại điểm A sau đây. a. F = {xy, yz, zx} và A(1, 1, 2) b. F = {xy 2 , yz 2 , zx 2 } và A(-2, 0, 1) c. F = {xyz, x + y + z, xy + yz + zx} và A(0, 1, 2) 4. Tìm Rotation của các trờng vectơ F tại điểm A sau đây. a. F = {x 2 y, y 2 z, z 2 x} và A(2, -1, 1) b. F = {yz, zx, xy} và A(1, 3, 2) c. F = {x 2 + y 2 , y 2 + z 2 , z 2 + x 2 } và A(-2, 3, 1) Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Chơng 6. Lý Thuyết Trờng Trang 112 Giáo Trình Toán Chuyên Đề 6. Chứng minh các đẳng thức sau đây. a. div (F ì G) = F rot G - G rot F b. rot (rot F) = grad (div F) - F 7. Cho (D, u) và (D, v) là các trờng vô hớng, r = 222 zyx ++ là trờng bán kính, còn hàm f là hàm có đạo hàm liên tục. Hy tính a. div (grad f(r)) b. div (u grad v) c. rot (grad rf(r)) 8. Tính thông lợng của trờng vectơ F qua mặt cong S. a. F = {x, y, z} qua phần mặt phẳng x + y + z = 1 trong góc phần tám thứ nhất b. F = {xy, yz, zx} qua phần mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 1 trong góc phần tám thứ nhất c. F = {xy, yz, zx} qua phần mặt parabole z = x 2 + y 2 và 0 z 1 d. F = {x, y, z} qua mặt cong kín z = x 2 + y 2 , 0 z 1 e. F = {x 3 , y 3 , z 3 } qua mặt cong kín x 2 + y 2 + z 2 = 1 f. F = {xy 2 , x 2 y, z} qua mặt cong kín z = 4 - x 2 - y 2 và 0 z 4 9. Tính hoàn lu của trờng vectơ F dọc theo đờng cong . a. F = {x, y, z} theo đờng xoắn ốc x = a cost, y = a sint, z = bt với t [0, /2] b. F = {xy, yz, zx} theo đoạn thẳng nối hai điểm A(a, 1, 1) và B(2, 4, 8) c. F = {-y, x, 0} theo đờng cong kín (x - 2) 2 + y 2 = 1 và z = 0 d. F = {x 3 , y 3 , z 3 } theo đờng cong kín x 2 + y 2 + z 2 = 1 và x + y + z = 1 e. F = {xy 2 , x 2 y, z} theo đờng cong kín z = x 2 + y 2 và z = x + y Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 113 Chơng 7 Phơng trình truyền sóng Đ1. Phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 Cho miền D 3 2 và các hàm a, b, c : D 3. Phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 với hai biến độc lập có dạng nh sau a(x, y) 2 2 x u + 2b(x, y) yx u 2 + c(x, y) 2 2 y u = F(x, y, u, x u , y u ) (7.1.1) Kí hiệu (x, y) = b 2 (x, y) - a(x, y)c(x, y) với (x, y) D 1. Nếu (x, y) D, (x, y) > 0 thì phơng trình (7.1.1) có dạng hyperbole 2. Nếu (x, y) D, (x, y) = 0 thì phơng trình (7.1.1) có dạng parabole 3. Nếu (x, y) D, (x, y) < 0 thì phơng trình (7.1.1) có dạng ellipse Giả sử ánh xạ : D , (x, y) (, ) với J(x, y) = xyyx 0 (7.1.2) là phép đổi biến từ miền D vào miền . Theo công thức đạo hàm hàm hợp x u = x u x u + , y u = y u y u + 2 2 x u = 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 x u x u x u xx u 2 x u + + + + yx u 2 = yx u yx u yx u xyyx u yx u 22 2 22 2 2 + + + + + 2 2 y u = 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 y u y u y u yy u 2 y u + + + + Thay vào phơng trình (7.1.1) nhận đợc a 1 (, ) 2 2 u + 2b 1 (, ) u 2 + c 1 (, ) 2 2 u = F 1 (, , u, u , u ) Trong đó a 1 (, ) = a(x, y) 2 x + 2b(x, y) yx + c(x, y) 2 y Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Chơng 7. Phơng Trình Truyền Sóng Trang 114 Giáo Trình Toán Chuyên Đề b 1 (, ) = a(x, y) yx + b(x, y) + xyyx + c(x, y) yx c 1 (, ) = a(x, y) 2 x + 2b(x, y) yx + c(x, y) 2 y Suy ra 1 (, ) = 2 1 b - a 1 c 1 = (x, y)J 2 (x, y) Tức là chúng ta có định lý sau đây. Định lý Phép đổi biến không suy biến không làm thay đổi dạng của phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2. Nếu và là các nghiệm riêng độc lập của phơng trình a(x, y) 2 x + 2b(x, y) yx + c(x, y) 2 y = 0 (7.1.3) thì a 1 (x, y) = b 1 (x, y) = c 1 (x, y) = 0. Khi đó phơng trình (7.1.1) có dạng chính tắc u 2 = F 1 (, , u, u , u ) Giả sử (x, y) là một nghiệm riêng không tầm thờng của phơng trình (7.1.3). Chúng ta có ( x , y ) (0, 0) không giảm tổng quát có thể xem y 0. Khi đó phơng trình (x, y) = C xác định hàm ẩn y = y(x) có đạo hàm y(x) = - x / y . Thay vào phơng trình (7.1.3) nhận đợc phơng trình vi phân a(x, y)y 2 - 2b(x, y)y + c(x, y) = 0 với a(x, y) 0 (7.1.4) gọi là phơng trình đặc trng của phơng trình (7.1.1) 1. Nếu (x, y) = b 2 (x, y) - a(x, y)c(x, y) > 0 thì phơng trình (7.1.4) có nghiệm thực y = dx )y,x(a )y,x()y,x(b + C Đổi biến + = y - dx )y,x(a )y,x()y,x(b và - = y - + dx )y,x(a )y,x()y,x(b Đa về dạng chính tắc của phơng trình hyperbole 2 2 u - 2 2 u = F 2 (, , u, u , u ) (7.1.5) 2. Nếu (x, y) = b 2 (x, y) - a(x, y)c(x, y) = 0 thì phơng trình (7.1.4) có nghiệm kép Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 x u x u x u xx u 2 x u + + + + yx u 2 = yx u yx u yx u xyyx u yx u 22 2 22 2 2 + + + + + 2 2 y u = 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 y u y u y u yy u 2 y u + + + + . 0 (7.1 .2) là phép đổi biến từ miền D vào miền . Theo công thức đạo hàm hàm hợp x u = x u x u + , y u = y u y u + 2 2 x u = 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 x u x u x u xx u 2 x u + + + + . y, z} qua phần mặt phẳng x + y + z = 1 trong góc phần tám thứ nhất b. F = {xy, yz, zx} qua phần mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 1 trong góc phần tám thứ nhất c. F = {xy, yz, zx} qua phần mặt parabole