những đóng góp mới trong phơng pháp ma trận chuyển tiếp để tính thanh v hệ thanh dạng dải gS. vũ đình lai Bộ môn Sức bền vật liệu - ĐH GTVT Tóm tắt: Phơng pháp ma trận chuyển tiếp l phơng pháp rất hiệu quả để tính thanh hoặc siêu thanh dạng dải. Để giải những thanh cong không gian, trớc đây, chúng tôi đã đề ra những ma trận tuyển nhằm mục đích tổ chức việc tính toán, thiết lập công thức tính vec tơ trạng thái dới dạng tờng minh. Trong công trình ny, chúng tôi tiếp tục hon thiện phơng pháp bằng cách khai thác triệt để các mảng trong ma trận nút. Điều ny lm cho thuật toán đơn giản hơn nhiều. Summary: New contribution in the Matrix transfert method. Transfert matrix method is the most effective method in the caculating of a strip shape bar or superbar. Before, we have proposed different types of select matrix in order to separating the condition and unknown components, that permits to establish the formula of the state vector in explicite form. In this article, our method is more perfected by thorough exploiting all partioned matrices in the point matrix. Finally our new algorithm for the calculating of the state vector is more simple. 1. vi nét về ý tởng hon thiện phơng pháp Phơng pháp ma trận chuyển tiếp (MTCT) là một trong những phơng pháp giải tích cơ bản để tính hệ thanh. Nó đặc biệt có hiệu quả khi tính thanh dạng dải (thẳng, cong, không gian). ứng dụng vào bài toán ổn định, dao động, nó cho phép giải một loạt các trờng hợp phức tạp. Đợc hình thành từ giữa thế kỷ trớc, phơng pháp MTCT đã đợc nhiều tác giả phát triển theo những hớng khác nhau và đã thu đợc nhiều kết quả [1, 2, 3, 4, 5]. Trớc đây, sử dụng phơng pháp này để nghiên cứu thanh cong phức tạp, chúng tôi đã đa ra những ma trận tuyển (ẩn và điều kiện) nhằm mục đích tổ chức việc thiết lập các phơng trình tính toán [6, 7, 8, 9]. Việc này làm cho phơng pháp trở thành đơn giản, vectơ trạng thái của thanh đợc viết dới dạng tờng minh bằng một công thức. Trong một chuyên đề giới thiệu gần đây, chúng tôi đã giới thiệu vectơ trạng thái của thanh bất kỳ có dạng: 'a011i1iiaii WNL LN)s(KLW)s(K)s(W = = (1) trong đó: = bj 1n dj 1 aj 1n djaba TTTTTTW (2) Trong công trình này, với ý tởng hoàn thiện phơng pháp bằng cách giảm bớt các ma trận xuất phát tức là giảm công chuẩn bị, đã khai thác thêm các mảng cha đợc sử dụng hết trong ma trận nút, đồng thời sử dụng các phơng trình cân bằng tĩnh - động liên quan đến khái niệm các mômen bậc cao. Chúng tôi đã không sử dụng đến các ma trận tuyển điều kiện T d từ đó công thức tính véc tơ trạng thái đợc đơn giản hơn nhiều. ii. các véc tơ v ma trận xuất phát Trong các phơng pháp tính dùng MTCT ngoài những ẩn ở đầu trái (gốc xuất phát để tính toán) còn có ẩn ở những liên kết ngoài cứng và liên kết trong trơn. Những giá trị không biết ở đầu phải (nút cuối thanh) thờng đợc tính ra trong bớc 2 của việc giải bài toán. Trong thuật toán mới để đồng thời giải quyết thuận tiện trờng hợp khi ở nút cuối có liên kết đàn hồi, các giá trị không biết tại đây dù trờng hợp nào cũng đợc coi là ẩn và đợc tính trong bớc 1. Nh vậy số ẩn n của hệ bao giờ cũng lớn hơn hoặc bằng 2 lần số k của bài toán n = 2k + m, trong đó m là số ẩn ở giữa hai nút đầu và cuối. Trong quan hệ trên, k là số lợng các yếu tố nội lực hoặc chuyển vị trên mặt cắt của bài toán, thí dụ: - Thanh thẳng bị uốn phẳng ngang k = 2 - Thanh thẳng bị uốn ngang + kéo, nén k = 3 - Thanh không gian phẳng (uốn + xoắn) k = 3 - Thanh không gian k = 6 - v.v Dới đây giới thiệu các dạng véc tơ và ma trận đợc sử dụng trong phơng pháp. Những đại lợng này, có cái đã đợc trình bày trong các tài liệu nghiên cứu về phơng pháp ma trận chuyển tiếp, thí dụ ma trận nhịp L i , có cái do chúng tôi đã đề xuất trớc đây, thí dụ các ma trận tuyển T a T b . Tuy nhiên, để đảm bảo tính hệ thống, chúng tôi vẫn nhắc lại cùng với những đại lợng mới hoàn thiện, đặc biệt là ma trận nút N i . Véc tơ ẩn w a là véc tơ ghi các ẩn từ nút đầu đến nút cuối. Kích thớc: n w a = { ẩn nút 0 (k) (m) gian trun nút các ẩn yể u tạo g ẩn nút n (k) } Véc tơ tu n biết T b có kích thớc (n + k + 1) và cấ nh sau: T a có kích thớc (n + nh sau (xem hình bên) t đầu (nút 0). T a = T b = {0 0 0 0 1} Véc tơ tuyển biết k + 1)*n và cấu tạo . Trong đó mảng AD phụ thuộc dạng liên kết nú 0 00 1 0 10 0 01 0 0AD 2k n - k +1 Véc tơ ẩn tính toán W a có kích thớc (n + k + 1). (k) n nút (m)ẩn gian W a = {ẩn nút 0 (2k) tru nút các ẩn ng 1} Nh vậy theo W a = T b + T a W a Ma trận nhịp L i có kích thớc (n + k + 1 tơ trạng thái gồm 2k thành phần ở đầu (trái) một đoạn L i = định nghĩa: ) 2 . Tác dụng của ma trận nhịp là chuyển véc thanh đến cuối (phải) đoạn thanh đó, thể hiện bằng mảng C đồng thời cộng thêm ảnh hởng của các yếu tố phân bố đợc ghép vào bởi mảng b. Ma trận nhịp có dạng sau đây: 10 0 1 . . 1 1 0 b0C ấu tạo mảng C phụ thuộc nghiệm các phơng trình vi phân cơ bản đoạn thanh giải ra với các h thớc (n + k + 1) 2 . 1 N i = 0 Ma trận nút có những mảng với các tá sa 2k 2k C điều kiện đầu đoạn. Ma trận nút N i có kíc Dạng tổng quát của ma trận nút nh sau: Đ A B 1 N i = G . . 1 0 1 c dụng u đây: Mảng Đ (2k) 2 . Mảng này có tác dụng chuyển véc tơ trạng thái từ bên trái nút sang bên phải nút. . Mảng này có tác dụng đa các yếu tố chuyển vị cỡng bức (v, ), mômen tập trung t (trừ nút đầu, ở đấy các ẩn đã đợc ở nút đầu). Việc gửi thực hiện bằng ày ở nút cuối giảm đi k giò Nếu liên kết tại nút là đàn hồi thì mảng này đợc thêm phản lực liên kết ngoài đa vào nhờ độ cứng c v , - c ; hoặc đợc thêm số gia chuyển vị do có liên kết trong đàn hồi đa vào nhờ độ mềm f v , - f . Mảng B hoặc lực (M, P) tại nút vào véc tơ trạng thái bên phải nút. Mảng A. Mảng này có tác dụng đa các yếu tố ẩn tại nú đa vào nhờ mảng AD) vào véc tơ trạng thái bên phải nút. Mảng G. Đây là mảng gửi các điều kiện (không để điều kiện việc chuyển số 1 của một dòng đến cột tơng ứng với loại điều kiện. Vì điều kiện của nút cuối cùng không cần gửi vào mảng G nên mảng n ng. Nó có kích thớc m*(n + k + 1) và cấu tạo nh sau: 10 00 01 00 1 00 1 00 Nh vậy kích thớc ma trận nút cuối N n có kích thớc n*(n + k + 1). đợc dới dạng tờng minh iii. công thức cơ bản véc tơ ẩn tính toán W a . Chuyển tiếp véc tơ này cùng các thông số chuy (4) trong đó: n = N n L n của (6) Thay W a bằng (3), ta đợc: n (T b + T a W a ) = 0 (7) Vì việc sử dụng phơng pháp ma trận chuyển tiếp cho phép viết yếu tố cần tính, nên việc chuẩn bị các véc tơ ma trận xuất phát trở thành công việc chủ yếu. Trong thực tế có thể lập catalô các mảng giới thiệu ở trên để ngời làm toán có thể tra và chuẩn bị dữ liệu một cách dễ dàng, thí dụ xem [10]. Giả sử bài toán n ẩn, ển vị và lực đã biết nhận đợc ở các nút thông qua mảng B hoặc ở các đoạn thanh thông qua mảng b đến bên phải nút cuối cùng n ta đợc véc tơ: n W a N n-1 N 1 L 1 N 0 (5) Véc tơ (4) gồm (2k + m) thành phần, trong đó 2k thành phần ở các dòng trên là thành phần véc tơ trạng thái bên phải nút cuối. Đấy là những tổng mômen các bậc của các yếu tố tĩnh - động của thanh đối với mặt cắt phải của nút cuối cùng. Những mômen bậc cao này triệt tiêu (xem [11]). Còn m thành phần ở dới từ 2k + 1 đến n là những điều kiện (thành phần triệt tiêu của véc tơ trạng thái) ở các nút trung gian. Vì vậy ta có phơng trình: n W a = 0 Từ đó, rút ra véc tơ ẩn tính toán W a đơ (8) Để minh hoạ việc sử dụng phơ t lập cá n giản hơn nhiều so với (2): W a = T b ( n T a ) -1 n T b ng pháp MTCT dạng mới, dới đây là thí dụ về việc thiế c ma trận Hình 1. Giải hệ vẽ trên hình 1. ở đây, n = 5, k = 2. w a = { v 0 0 R 1 v 3 3 } == 1 0 0 0 0 0 0 0 T 00000 10000 01000 00100 00000 00000 00010 00001 T ba 10000000 01000000 00100000 00010001 00001000 00000100 00000010 00000001 N 10000000 01000000 00100000 00010000 00001000 M00001c0 00000010 00000001 N 1 10 0 = = 00010000 P000100c 00000100 01000010 00100001 N 10000000 01000000 00100000 00010000 00001000 M0000100 00000f10 00000001 N 3v 3 2 2 2 = = iv. kết luận Nh ở trên đã trình bày công thức véc tơ ẩn (8) đã đợc hoàn thiện bằng cách khai thác hết các mảng của ma trận nút, do đó thuật toán tính thanh có thể nói là tối giản. Với công thức cơ bản này hoàn toàn có thể mở rộng cho các loại thanh và siêu thanh dạng dải, thanh cong không gian có hoặc không có nền đàn hồi, các bài toán ổn định, dao động của những thanh này Tài liệu tham khảo [1] Albigès M., Coin A., Journet H. Etude des structures par la méthode matricielle. Eyrolles. Paris, 1 969. [2] Géry P. M., Calgaro J. A. Les matrices - transfert dans le calcul des structures. Eyrolles. Paris. 1973. méthode des matrices transfert. Annales de L Institute technique des bâtiments et des tr kva. 1972. [6 ] V. Đ. Lai. Ma trận chuyển tính thanh cong không gian. Tập san KHKT Giao thông vận tải. 5 - 1978. 0. [3] Lacroix R. La avaux publics. 1967, 20, N 0 231 232, 345 364. [4] Pestel E. C., Leckie F. A. Matrix methods in Elastomechanics. Mc Graw - Hill Book Company Inc. New York. 1963. [5] Ponomariev K. K. Raxchet elementov kontrukxhij x primeneniem Ehxh VM. Masinoxtroenie. Mox [7] V. Đ. Lai. Tính thanh cong không gian liên tục bằng ma trận chuyển. Thông tin KHKT trờng ĐHGT Đờng sắt và Đờng bộ. 4 - 1978. [8] V. Đ. Lai. Tính thanh cong không gian liên tục dới tác dụng của nhiệt độ thay đổi. Thông tin KHKT trờng ĐHGT Đờng sắt và Đờng bộ. 4 1978. [9] V. Đ. Lai. Ma trận chuyển ảnh hởng của tải trọng phân bố trên thanh cong không gian. Thông tin KHKT trờng ĐHGT Đờng sắt và Đờng bộ. 1 198 [10] Ivovich V. A. Perekhodnue matrixhu v dinamike uprugikh xixtem. Masinoxtroenie. Moxkva. 1957. [11] V. Đ. Lai. Về phơng pháp tính chuyển vị của dầm thẳng bằng các mômen bậc cao. Thông báo các Trờng Đại học Xây dựng và GTVT. Bộ Đại học và Trung học chuyên nghiệp. Hà Nội. 1 - 1971 Ă . những đóng góp mới trong phơng pháp ma trận chuyển tiếp để tính thanh v hệ thanh dạng dải gS. vũ đình lai Bộ môn Sức bền vật liệu - ĐH GTVT Tóm tắt: Phơng pháp ma trận chuyển tiếp l. thiệu các dạng véc tơ và ma trận đợc sử dụng trong phơng pháp. Những đại lợng này, có cái đã đợc trình bày trong các tài liệu nghiên cứu về phơng pháp ma trận chuyển tiếp, thí dụ ma trận nhịp. tiếp l phơng pháp rất hiệu quả để tính thanh hoặc siêu thanh dạng dải. Để giải những thanh cong không gian, trớc đây, chúng tôi đã đề ra những ma trận tuyển nhằm mục đích tổ chức việc tính toán,