Xử lý tín hiệu số - Chương 2 docx

Chương Biểu diễn hệ thống vμ tín hiệu rời rạc trong miền tần số liên tục I.. Trong chương 1 đã trình bμy về việc biểu diễn tín hiệu của hệ thống rời rạc trong miền biến số độc lập tự n

Chương

Biểu diễn hệ thống vμ tín hiệu rời rạc

trong miền tần số liên tục

I Mở đầu

Trong chương 1 đã trình bμy về việc biểu diễn tín hiệu của hệ thống rời rạc trong

miền biến số độc lập tự nhiên (miền n); đây lμ phương pháp nghiên cứu trực tiếp ở chương

2, thông qua biến đổi Z chúng ta đã nghiên cứu tín hiệu của hệ thống rời rạc trong miền Z

vμ đây lμ một phương pháp nghiên cứu gián tiếp Một trong những phương pháp nghiên

cứu (biểu diễn) gián tiếp khác thường được sử dụng lμ biến đổi Fourier (FT) để chuyển việc

biểu diễn tín hiệu vμ hệ thống rời rạc từ miền biến số độc lập tự nhiên n sang miền tần số

liên tục ω

Sự liên hệ giữa các miền được biểu diễn qua hình 3.1 sau:

Hình 3.1 Sơ đồ liên hệ giữa các miền

II Biến đổi Fourier của các tín hiệu rời rạc

II.1 Định nghĩa biến đổi Fourier

a Định nghĩa:

Biến đổi Fourier của một tín hiệu rời rạc x(n) được định nghĩa như sau:

ω

n

j ) x(n)e e

(

ư∞

=

∑

b Các phương pháp thể hiện X(e j ω)

- Thể hiện dưới dạng phần thực vμ phần ảo

X(ej ω) = Re[X(ej ω)] + j.Im[X(ej ω)] (3.2.2)

trong đó: Re[X(ej ω)] lμ phần thực của X(ej ω)

Z

IZ F

IF Miền n

Miền Z

Miền ω

- Thể hiện dưới dạng modun vμ argument

[X ( e )]

arg j j

e ) e ( X ) e (

trong đó: ⎥ X(ej ω)⎥ gọi lμ phổ biên độ của x(n)

arg[X(ej ω)] gọi lμ phổ pha của x(n)

Quan hệ giữa phổ biên độ, phổ pha với phần thực vμ phần ảo của X(ej ω) như sau:

[ X ( e ) ] Im [ X ( e ) ]

Re )

e (

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

) j e ( X Re

) j e ( X Im arctg )

e ( X arg j

ω

ω

ω

(3.2.4)

Thường dùng ký hiệu ϕ(ω) để chỉ argument:

ϕ(ω) = arg[X(ej ω)]

Cuối cùng ta có: X ( ejω) = X ( ejω) ejϕ(ω) (3.2.5)

- Thể hiện dưới dạng độ lớn vμ pha

Giả sử ta biểu diễn X(ej ω) ở dạng sau: X ( ejω) = A ( ejω) ejθ(ω) (3.2.6) khi đó:

A(ej ω ) lμ thực vμ:

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

<

+

±

±

=

≥

=

0 ) ( : 1

2

,

2 , 1 , 0

; 0 ) ( : 2

) (

ω ω

π

π

j

j j

e A k

k e

A k

e

hay:

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

ư +

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

=

) (

) ( 1 2

1 2 )]

( sgn[

1 2

1 2 )

(

arg

j

j j

j

e A

e A k

e A k

e

Còn θ(ω) sẽ được thể hiện như sau:

arg[X(ej ω)] = arg[A(ej ω)] + θ(ω) = ϕ(ω)

Ví dụ:

Cho phổ X(ej ω) có dạng sau: ( jω) jω2sin 3 ω

e e

Tìm: a Re[X(ej ω)] vμ Im[X(ej ω)]

b A(ej ω) vμ θ(ω) c ⎥ X(ej ω)⎥ vμ ϕ(ω)

d Vẽ A(ej ω), θ(ω),⎥ X(ej ω)⎥ vμ ϕ(ω)

Giải:

a Ta có:

[ ]

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

3 sin 2 sin ) ( Im

3 sin 2 cos ) ( Re

3 sin 2

sin 2

cos 3

sin )

=

=

⇒

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

=

= −

j j

j j

e X

e X

j e

e X

b Tõ biÓu thøc (3.2.6) ta cã: A(ej ω) = sin3ω vμ

2 ) (ω ω

c ⎥ X(ej ω)⎥ = ⎥ sin3ω⎥

π ω

ω ω

ω ϕ

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

− + +

−

=

3 sin

3 sin 1 2

1 k 2 ) (

d §å thÞ cña A(ej ω), θ(ω),⎥ X(ej ω)⎥ vμ ϕ(ω) ®−îc biÓu diÔn trªn c¸c h×nh:

π/2

-π/2

θ(ω)

A(ej ω)

2π/3 π/

3

-2π/3

⏐X(ej ω)⏐

π

ϕ(ω)

Hình 3.2 Đồ thị của A(e j ω), θ(ω),⎥ X(e j ω)⎥ vμ ϕ(ω)

II.2 Sự tồn tại của biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier chỉ tồn tại nếu chuỗi trong (3.2.1) hội tụ Ta có thể phát biểu điều kiện hội tụ của chuỗi nμy nh− sau:

Chuỗi trong (3.2.1.1) hội tụ nếu vμ chỉ nếu x(n) thoả mãn điều kiện sau đây:

∞

<

∑∞

−∞

= n

) n (

Nếu điều kiện nμy đ−ợc thoả mãn thì chuỗi (3.2.1) sẽ hội tụ tuyệt đối về một hμm liên tục của ω

Nhận xét:

Về mặt toán học chúng ta có quan hệ sau:

2

n n

2

x x(n) x(n)

E = ∑ ≤⎢⎣⎡∑∞ ⎥⎦⎤

−∞

=

∞

−∞

=

Nếu (3.2.11) thoả mãn thì:

2

n

) n (

x ⎥⎦⎤

⎢

⎣

⎡∑∞

−∞

=

< ∞ ⇒ = ∑∞ <∞

−∞

= n

2

x x(n)

Vậy: nếu năng l−ợng Ex của tín hiệu x(n) lμ hữu hạn thì x(n) sẽ thoả mãn điều kiện

(3.2.11) hay: Biến đổi Fourier của tín hiệu có năng l−ợng hữu hạn lμ luôn hội tụ

Ví dụ: Xét sự tồn tại của biến đổi Fourier vμ tính năng l−ợng Ex của các dãy x(n) sau:

a x1(n) = u(n) b x2(n) = r(n) c x3(n) = δ(n) d x4(n) = rectN(n)

Giải:

=

∞

−∞

=

∞

−∞

n

1(n) u(n) 1 x

∞

=

=

=

∞

−∞

2

n

2 1

1 x (n) 1 E

Vậy X1(ej ω) không tồn tại

=

∞

−∞

=

∞

−∞

n

2(n) (n) n x

∞

=

=

=

∞

−∞

2

n

2 2

E Vậy X2(ej ω) không tồn tại

n n

−∞

=

∞

−∞

=

=

1 ) n ( )

n ( x E

0 n

2

n

2 3

=

∞

−∞

=

=

=

Vậy X3(ej ω) tồn tại

0 n

=

∞

−∞

=

∞

−∞

=

=

=

N 1

) n ( x

0 n

2

n

2 4

=

∞

−∞

=

=

=

= Vậy X4(ej ω) tồn tại

II.2 Biến đổi Fourier ng−ợc

Vì X(ej ω) lμ một hμm tuần hoμn của biến tần số ω có chu kỳ 2π vμ X(ej ω) tồn tại nếu thoả mãn điều kiện (3.2.11) Nên ta có thể khai triển hμm X(ej ω) thμnh chuỗi Fourier trong khoảng (-π, π) vμ có thể coi các hệ số của khai triển chuỗi Fourier nμy chính lμ x(n), tức lμ ta có thể tìm đ−ợc các giá trị của x(n) từ X(ej ω) xét trong khoảng (-π, π)

Từ biểu thức (3.2.1);

ω

n

j ) x(n)e e

(

−∞

=

∑

= Nhân cả hai vế với ej ωm rồi lấy tích phân trong khoảng (-π, π) ta đ−ợc:

∫

∑

∫ ∑

∫

−

−

∞

−∞

=

−

−

∞

−∞

=

−

=

π ω π

π

ω π

π

ω

e (

n

) n m ( j n

m j n j

Mặt khác ta có:

⎩

⎨

⎧

≠

=

=

∫

−

−

n m : 0

n m : 2 d

ej ( m n ) π

ω

π π ω

⇒

⎩

⎨

⎧

≠

=

=

∫

∑

−

−

∞

−∞

n m : ) m ( x 2 d e ) n (

x j ( m n ) n

π ω

π π ω

Cuối cùng ta có:

∫

−

π

ω

2

1 ) m (

−

π

ω

2

1 ) n (

(3.2.13) Đây chính lμ biểu thức biến đổi Fourier ng−ợc (IFT)

Ví dụ:

Cho:

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

>

−

<

≤

=

−

c c

c n

j j

, :

0

: e

) e ( X

0

ω ω ω ω

ω ω

ω ω

Tìm x(n), vẽ X(ej ω) vμ x(n) với: ,n 4

2 0

c =π =

Giải:

) n n (

) n n ( sin 1 e

) n n ( j

1 2 1

d e 2

1 d e ) e ( X 2

1 ) n ( x

0

0 c )

n n ( j 0

) n n ( j n

j j

c

c 0

c c 0

−

−

=

−

=

=

=

−

−

−

−

ω π π

ω π

ω π

ω

ω ω

ω ω ω π

π

ω ω

Với: ,n 4

2 0

c =π =

⎪⎩

⎪

⎨

=

−

0

2 :

e )

e

(

X

4 j

ω

) 4 n (

) 4 n ( 2 sin 1 ) n ( x

−

−

π

Biểu diễn X(ej ω) vμ x(n) bằng đồ thị:

Ta có:

⎪⎩

⎪

⎨

= 0

2 :

1 )

e

(

⎪⎩

⎪

⎨

= 0

2 :

4 )

e ( X

ω

Hình 3.3 Đồ thị của X(e j ω) vμ x(n)

1

π

⏐X(ej ω)⏐

ω 2π

-π/2 -3π/2

-2π

ω

10π

2π 4π 6π 8π

arg[X(ej ω)]

10π

x(n)

n -1/9π 1/5π 1/π

-1/5π 1/9π 1/3π

III các tính chất của Biến đổi Fourier

III.1 Tính chất tuyến tính

Giả sử có hai tín hiệu x1(n) vμ x2(n) với các biến đổi Fourier tương ứng lμ: X1(ej ω) vμ

X2(ejω)

Gọi dãy x(n) lμ tổ hợp tuyến tính của x1(n) vμ x2(n):

x(n) = ax1(n) + bx2(n); với a, b lμ các hằng số

thì biến đổi Fourier của x(n) như sau:

) e ( bX ) e ( aX e

) n ( x b e ) n ( x a

e ) n ( x b ) n ( ax e

) n ( x )

e

(

X

j 2

j 1 n

n j 2 n

n j 1

n

n j 2 1

n

n j j

ω ω

ω ω

ω ω

ω

+

= +

=

+

=

=

∑

∑

∑

∑

∞

ư∞

=

ư

∞

ư∞

=

ư

∞

ư∞

=

ư

∞

ư∞

=

ư

(3.3.1)

III.2 Tính chất trễ

Giả sử y(n) lμ tín hiệu trễ của x(n), tức lμ: y(n) = x(n- n0)

Ta có:

) e ( X e e

) n n ( x e

e e

) n n ( x e

) n n ( x e

) n ( y )

e

(

Y

j n j n

n

) n n ( j 0 n

j

n n

n j ) n n ( j 0 n

n j 0 n

n j j

0 0

0 0

0

0 0

ω ω ω

ω

ω ω

ω ω

ω

ư

∞

ư∞

=

ư

ư

ư

ư

∞

ư∞

=

ư

ư

ư

ư

∞

ư∞

=

ư

∞

ư∞

=

ư

=

ư

=

ư

=

ư

=

=

∑

∑

∑

∑

(3.3.2)

Biểu diễn dưới dạng mô đun vμ argumen ta có:

⏐Y(ej ω)⏐=⏐ X(ej ω)⏐

arg[Y(ej ω)] = - ωn0 + arg[X(ej ω)] (3.3.3)

Từ biểu thức (3.3.3) ta thấy rằng tín hiệu x(n) bị trễ đi n0 mẫu trong miền biến số độc lập, thì trong miền tần số phổ biên độ của nó không đổi, còn phổ pha của nó thì sẽ tăng thêm một lượng -ωn0

Ví dụ: Cho x(n) = rectN(n-n0)

- Tìm X(ej ω)

- Tìm phổ biên độ vμ phổ pha của x(n)

Giải:

áp dụng tính chất trễ ta có:

2 sin 2

N sin e

e

e e e

e e e

e 1

e 1 e e e

e )

e ( X

) 2 1 N n ( j

2 j 2 N j

2 j 2 j

2 N j 2 N j n j

j

N j n j 1

N

0 n

n j n j 1

n N

n n

n j j

0 0

0 0

0 0

ω

ω

ω ω

ω ω ω

ω ω

ω

ω

ω ω

ω ω

ω ω

ư +

ư

ư

ư

ư

ư

ư

ư

ư

ư

ư

=

ư

ư

ư +

=

ư

=

ư

ư

=

ư

ư

=

=

Vậy ta có phổ biên độ vμ phổ pha của x(n) như sau:

2 sin 2

N sin ) e (

X j

ω ω

[ ]

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡ +

ư +

=

2 sin 2

N sin arg ) 2

1 N n ( ) e ( X

ω

ω ω

ω

ω ω

ω

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

ư +

=

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

2 sin 2

N sin sig 1 2

1 k 2

sin 2

N sin arg

III.3 Tính chất đối xứng

Trong trường hợp tổng quát, tín hiệu x(n) lμ tín hiệu phức vμ ta có thể viết:

x(n) = Re[x(n)] + j Im[x(n)]

Vậy dãy liên hợp phức của x(n) lμ x*(n) có dạng:

x*(n) = Re[x(n)] - j Im[x(n)]

Khi đó, quan hệ giữa các biến đổi Fourier tương ứng như sau:

ư∞

=

ư

=

=

n

n j

j ) x(n)e e

( X ) n ( x

e ) n ( x

e ) n ( x e

) n ( x )

n ( x FT

n j

*

* n j

*

n

n j

*

*

n

n j

* n

n j

*

*

ω ω

ω

ω ω

ư

ư

∞

ư∞

=

∞

ư∞

=

ư

∞

ư∞

=

ư

=

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

=

∑

∑

∑

Với x(n) lμ thực, ta có quan hệ:

X*(e-j ω) = X(ej ω) hay X*(ej ω) = X(e-j ω) (3.3.5)

Quan hệ (3.3.5) cho thấy tính chất đối xứng Hermit của phổ của tín hiệu thực

Từ đây thấy rằng, đối với x(n) thực ta có:

Re[X(ej ω)] = Re[X(e-j ω)]

Tương tự, đối với modun vμ argument ta cũng có:

⏐X(ej ω)⏐=⏐ X(e-j ω)⏐

III.4 Tính chất biến số n đảo

Giả sử ta có tín hiệu x(n) vμ biến đổi Fourier của nó lμ:

n

n j

e ) e ( X e

) n ( x ) e ( X ) n ( x

ư∞

=

ư

Xét biến đổi Fourier của tín hiệu x(-n):

ư∞

=

ư

ư

=

ư

n

n j

e ) n ( x )

n ( x

đổi biến: m = - n ta có: FT[x( n)] x(m)e X(e j )

m

m

j ω ư ω

∞

ư∞

=

=

=

Nếu x(n) vμ x(-n) lμ thực thì từ tính đối xứng Hermit ta có:

e ) e ( X e

) e ( X ) e ( X ) e ( X ) n (

x

III.4 Tích chập của hai tín hiệu

Xét hai dãy x1(n) vμ x2(n) có biến đổi Fourier tương ứng lμ X1(ej ω) vμ X2(ejω)

Ta có tích chập của hai dãy lμ:

x3(n) = x1(n)*x2(n) Biến đổi Fourier của x3(n) được xác định như sau:

∑

∑

∑ ∑

∑

∞

ư∞

=

ư

∞

ư∞

=

∞

ư∞

=

ư

∞

ư∞

=

∞

ư∞

=

ư

ư

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

=

=

n

n j 2

k 1

n

n j k

2 1 n

n j 2 1

3

e ) k n ( x ) k ( x

e ) k n ( x ) k ( x e

) n ( x

* ) n ( x )]

n ( x [ FT

ω

ω ω

áp dụng tính chất trễ ta có:

) e ( X ) e ( X e

) k ( x ) e ( X ) e ( X e ) k ( x ) e

(

2

j 1 k j k

1

j 2

j 2 k j k

1

j

ư∞

=

ư

∞

ư∞

∑

Vậy:

X3(ej ω) = X1(ej ω).X2(ejω)

Ví dụ:

Cho hai tín hiệu: x1(n) = x2(n) = δ(n+2) + δ(n-2) Tính tích chập: x3(n) = x1(n)*x2(n) thông qua tính chất biến đổi Fourier

Giải:

Ta có:

ω

ω ω

ω ω

ω ω

2 cos 2 e e

e ) 2 δ(k ) 2 δ(k e

) k ( x ) e ( X )

e

(

X

2 j 2 j

k j k

k j k

1

j 2

j

1

= +

=

ư + +

=

=

=

ư

ư

∞

ư∞

=

ư

∞

ư∞

∑

Vậy X3(ej ω) = X1(ej ω).X2(ejω) = 2cos2ω.2cos2ω = 4cos22ω

= (ej 2ω + e-j 2ω)2 = ej 4ω + 2 + e-j 4ω

áp dụng biến đổi Fourier ngược ta có:

x3(n) = δ(n+4) +2δ(n) + δ(n-4)

III.5 Tích của hai dãy

Nếu ta có:

FT[x1(n)] = X1(ej ω) vμ FT[x2(n)] = X2(ej ω)

thì:

2

1 ) e ( X ) n ( x FT ) n ( x )

n

(

x

2 )' ( 1

j 3 3

2

π π

ω ω

ư

ư

=

=

= Chứng minh:

∫ ∑

∑

ư

ư

ư

∞

ư∞

=

ư

∞

ư∞

∞

ư∞

=

ư

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

=

π π

ω ω

ω

ω π

π

ω ω ω

ω

ω π

ω π

' d ) e ( X e

) n ( x 2

1

e ' d e ) e ( X 2

1 ) n ( x e

) n ( x )

n ( x )

e

(

X

' j 2 n )' ( n

1

n j n

n ' j ' j 2 1

n

n j 2 1 j

3

Vậy:

∫

ư

ư

π

ω ω

ω

2

1 ) e

(

2 )' ( 1

j

3

= X (e )*X (ej )

2

j 1

ω ω

= X (e )*X (ej )

1

j 2

ω ω

Quan hệ (3.3.9 vμ 3.3.10) được gọi lμ tích chập liên tục vμ tuần hoμn voí chu kỳ 2π

Nhận xét:

Tích x3(n) = x1(n) x2(n) thường được dùng trong trường hợp nghiên cứu x1(n) có chiều dμi rất lớn, để hạn chế chiều dμi của x1(n) ta sẽ nhân nó với x2(n) có chiều dμi hữu hạn, như lμ ta dùng một cửa sổ chữ nhật x2(n) = rectN(n) Đây gọi lμ kỹ thuật cửa sổ, được dùng để tổng hợp bộ lọc số FIR

III.6 Vi phân trong miền tần số

Nếu:

FT[x(n)] = X(ej ω)

thì:

ω

ω

d

) e ( dX j ) n ( nx FT

j

= Chứng minh:

[nx(n)]

FT j e

) n ( nx j e

d

d ) n ( x

e ) n ( x d

d d

) e ( dX e

) n ( x ) e ( X

n

n j n

n j

n

n j j

n

n j j

ư

=

ư

=

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⇒

=

∑

∑

∑

∑

∞

ư∞

=

ư

∞

ư∞

=

ư

∞

ư∞

=

ư

∞

ư∞

=

ư

ω ω

ω ω

ω ω

ω

ω ω

Vậy ta có: [ ]

ω

ω

d

) e ( dX j ) n ( nx FT

j

=

III.7 Trễ tần số

Nếu ta có:

FT[x(n) ] = X(ej ω) thì: FT[ej ω0nx(n)]=X(e( ω ư ω0)) (3.3.11) Chứng minh:

Theo định nghĩa của biến đổi Fourier ta có:

n

n ) ( n

n j n j n

ư∞

=

ư

ư

∞

ư∞

=

Nhận xét:

Việc nhân dãy x(n) với ejω0n trong miền biến số n sẽ tương đương với việc dịch chuyển tần số của phổ X(ej ω) đi một lượng ω0

Ví dụ:

Cho x(n) vμ FT[x(n)] = X(ej ω) Tìm phổ của x(n)cosω0n = y(n) vμ minh hoạ phổ của x(n) vμ y(n) với ω0 = π/2

Giải:

Vì:

2

e e n cos

n j n j 0

0

ω

Do đó:

n

n ) ( n ) (

n

n j n j n j

n

n j 0 0

0 0

0 0

0 0

e X 2

1 e

X 2

1 e

e ) n ( x 2 1

e 2

e e ) n ( x ne

cos ) n ( x n

cos

)

n

(

x

FT

ω ω ω

ω ω

ω ω

ω

ω ω ω

ω

ω ω

+

ư

∞

ư∞

=

+

ư

ư

ư

∞

ư∞

=

ư

ư

∞

ư∞

=

ư

+

= +

=

+

=

=

∑

∑

∑

Minh hoạ phổ của x(n) vμ y(n) với ω0 = π/2

III.8 Quan hệ parseval

Nếu ta có:

FT[x1(n) ] = X1(ej ω)

FT[x2(n) ] = X2(ej ω)

π

ω π

π

e ( X 2

1 ) n ( x )

n (

2

j 1 n

* 2

∑

ư

∞

ư∞

=

Chứng minh:

∫

∑

ư

ư

ư

∞

ư∞

=

∞

ư∞

ư

∞

ư∞

∞

ư∞

=

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

π π

ω ω

π π

ω ω

π π

ω ω

π π

ω ω

ω π

ω π

ω π

ω π

d ) e ( X ) e ( X 2

1 d

e ) n ( x ) e ( X 2 1

d e ) e ( X 2

1 ) n ( x

d e ) e ( X 2

1 ) n ( x )

n

(

x

)

n

(

x

j 1 j

* 2 n

j n

1 j

* 2 n

n j j

* 2 1

*

n

n j j 2 1

n

*

2

1

Trong trường hợp x1(n) = x2(n) = x(n), quan hệ Parseval cho ta:

ω π

π π

e ( X 2

1 ) n (

n

2

∫

∑

ư

∞

ư∞

=

X(ej ω)

ω

-π/2 -π

-2π

1

ω

1/2 Y(ej ω)

X(ej (ω - π/2)/2 X(ej (ω + π/2)/2

j )

e

(

X ω gọi lμ phổ mật độ năng lượng của x(n), nó thể hiện sự phân bố năng lượng theo hμm của tần số; được ký hiệu lμ Sxx(ej ω)

Mặt khác năng lượng của tín hiệu x(n) lμ Ex: ∑∞

ư∞

=

=

n

2

x x(n) E

Như vậy quan hệ Parseval chính lμ quan hệ giữa năng lượng của tín hiệu vμ phổ mật độ năng lượng của tín hiệu đó

Trong trường hợp x(n) lμ thực thì ⏐X(ej ω)⏐ lμ đối xứng:

⏐X(ej ω)⏐=⏐X(e-j ω)⏐

Vậy ta có thể nói rằng: nếu x(n) thực thì Sxx(ej ω) cũng lμ đối xứng:

III.9 Định lý tương quan vμ định lý weiner khintchine

Nếu ta có:

FT[x1(n) ] = X1(ej ω)

FT[x2(n) ] = X2(ej ω)

thì:

2

j 1

j x

ω ω

Chứng minh:

∑ ∑

∑

∞

ư∞

=

∞

ư∞

=

ư

∞

ư∞

=

ư

∞

ư∞

=

∞

ư∞

=

ư

ư

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

=

=

n j 2

1

n

n j m

2 1 n

n j x x

e ) n m ( x ) m ( x

e ) n m ( x ) m ( x e

) n ( r ) n ( r

ω

ω ω

đổi biến: m - n = k

e ) m ( x

e e k x ) m ( x e

k x ) m ( x )

n

(

r

FT

j 2

j 1

j 2 m j m

1

m j

k j 2 1

) k m ( j 2 1

x2

1

ω ω

ω ω

ω ω ω

ư

ư

ư

∞

ư∞

=

ư

∞

ư∞

=

∞

ư∞

=

∞

ư∞

=

∞

ư∞

=

ư

ư

=

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

=

∑

Nhận xét:

Nếu x2(n) lμ thực, ta có:

) e ( X ) e ( X ) e (

2

j 1

j

x2

1

ω ω

Nếu x1(n) = x2(n) = x(n) ta có hμm tự tương quan:

) e ( X ) e ( X ) e (

xx

ω ω

Nếu hμm tự tương quan x(n) lμ thực, ta có:

) e ( S ) e ( X ) e ( X ) e ( X ) e (

xx 2 j j

* j j

Vậy: Biến đổi Fourier của hμm tự tương quan sẽ bằng phổ mật độ năng lượng của tín hiệu

2 j j

xx

j

xx(e ) S (e ) X(e )

Quan hệ (3.3.17) gọi lμ định lý Weiner - Khintchine Định lý nμy có ý nghĩa rất quan trọng vμ nó chứng tỏ rằng dãy tự tương quan vμ phổ mật độ năng lượng có chứa cùng một thông tin về tín hiệu Tuy vậy, cả hai đều không chứa thông tin về pha, do vậy việc phục hồi tín hiệu từ hμm tự tương quan hoặc phổ mật độ năng lượng không lμ duy nhất

Đối với biến đổi Fourier của hμm tương quan chéo ta còn gọi R (ej )

x2 ω lμ phổ mật

độ năng lượng chéo của x1(n) vμ x2(n), ký hiệu lμ S (ej )

x2 ω

) e ( X ) e ( X ) e ( S ) e (

2

j 1

j x

j

1

ω ω

ω

Ví dụ: Cho tín hiệu x(n) lμ thực Tính giá trị của hμm tự tương quan của x(n) tại n = 0

vμ nhận xét về kết quả

Giải:

Theo định nghĩa hμm tự tương quan ta có:

∑∞

ư∞

=

ư

=

m

xx(n) x(m)x(m n) r

Tại n = 0:

x m

2

m

xx(0) x(m)x(m) x(m) E

ư∞

=

∞

ư∞

=

Theo công thức biến đổi Fourier ngược ta có:

ω

π π

e ( R 2

1 ) n (

xx

ư

=

π

π π

ω)d e ( R 2

1 ) 0 (

xx

ư

= Theo giả thiết x(n) lμ thực, nên:

ω π

π π

e ( X 2

1 ) 0 (

ư

= Cuối cùng ta có:

ω π

π π

e ( X 2

1 ) m ( x )

0 ( r

m

2 xx

ư

∞

ư∞

=

=

=

=