' Nữ aT © Copyright by INCREsr, 1984
LA FACTORISATION DES FONCTIONS DES OPERATEURS DE TRANSMISSION ET LA METHODE DE LA CONSTRUC-
TION D’OPERATEURS INVERSIBLES DANS L°(0, /)
VLADIMIR ZOLOTARIOV
INTRODUCTION
Le présent ouvrage résulte du développement des idées formulées par L A Sahnovié dans les études [3, 4] pour le cas des opérateurs proches d’unitaires L’ouvrage se compose de deux parties La premiére est consacée a Ja démon-
stration du théoréme sur la factorisation de la fonction d’opérateur 0(z) = K +-
+ W(z — T)~1 du systéme discret ouvert
(*) a = Tx, + Quy
un = Wx, + Kuz
A la différence des études [1, 2], aucune loi de conservation (d’énergie, de métrique ou de norme) n’est supposée Nous estimons que le processus décrit par les équations (*) est inversible (voir (3), (4))
Vu que la factorisation de @(z) s’opére selon les sous-espaces invariants du principal opérateur 7, l’opérateur S (qui suit la factorisation) décrit les chaines des sous-espaces invariants de l’opérateur 7
Aussi Ja description de tous les S (solutions des équations, voir (1), (2)) est-elle analogue a celle de toutes les chaines des sous-espaces invariants de ]’opérateur 7, ou (ce qui revient au méme) des mesures d’opérateur dans les fonctions de transmis- sion 4(z) représentées par des intégrales multiplicatives
La deuxiéme partie de l’ouvrage est consacrée a l’inversion des opérafeurs lné- aires bornés S dans Z?(0, /) qui répondent a Ia relation
S— TST = 9,
aA ` ,
ot T et T sont inversibles Nous avons étudié les méthodes d’inversion de Popé-
A
Trang 2Dans ce cas p est un opérateur intégral au noyau dégénéré Dans un cas plus géné- ral, ol! 7 et T ont des indices finis de défaut et une “orientation triangulaire inverse’’, ’opérateur g a aussi le noyau dégénéré
Nous avons démontré que pour construire l’opérateur S-}, il suffit d’inverser pour un nombre fini de fonctions
Le cas ou f ps (TA) (x) = f(x) — “\ữ — x)ƒU) dt, (Tf) (x) =/@) — 8\(œx — ?)/0) di etn
nous semble présenter un certain intérét Pour construire S~+, dans le cas ott
i
(Sf)(x) = < \ Six, t) f(t) dt, x
il faut que le noyau S(x, t) soit une solution de l’équation différentielle aux dérivées partielles (si S,,(x, t) et S,,(x, t) existent)
1 @ ] 8?
„xem oh ~~:
(| ơt‡ 8 0x? ) S(x, t) ~ S(x,t) =0
qui peut étre hyperbolique ou elliptique, en fonction du signe de af
Nous avons également démontré que pour trouver le noyau de Popérateur $—}, il faut résoudre une équation hétérogéne ayant une partie gauche analogue Notons que dans le cas elliptique il ne suffit pas de connaitre le noyau de l’opérateur intégral pour construire S~1 (voir théoréme 18) La prise en compte des conditions sup- plémentaires aux frontiéres Hées aux particularités du cas elliptique est nécessaire
Apparement dans le cas ot le noyau S(x, t) de Popérateur initial constitue une
solution d’une équation différentielle homogéne aux dérivées partielles de lordre final (dans la classe des fonctions classiques et des distributions), on peut toujours trouver des opérateurs T et T tels que S — TST = @, ó @ a le noyau dégénéré Le noyau de Ïopérateur Š~! est construit de facon analogue, qui consiste à résoudre une équation hétérogéne et double par rapport a l’équation pour S(x, t)
Trang 3FONCTIONS DES OPERATEURS DE TRANSMISSION 129
1 FACTORISATION DES FONCTIONS D’OPERATEUR L Les égalités
Xna1 = Tx, + pun up ja Yn
* X,
Ĩ (shi Sms
nz 0, ou Xnjqeg = Xo et ol & est l’opérateur
“~[[ 7] e£~ss* z[E]=[#] Ứ Hy ut
(x,¢ H, uz ¢ E, ut € F), forment un systéme ouvert
L’espace de Hilbert H est appelé ‘espace intérieur’’, E et F sont appelés ‘‘espa- ces extérieurs’ Les vecteurs uz sont appelés “‘signaux d’entrée’, uy “signaux de sortie’, les vecteurs x, ‘‘états intérieurs du systéme (+*)” et x, “état initial du systéme (+) ” Au cas otf x, = 2X9, uF = 2"ug (n 20) constituent des successions harmoni- euses de valeurs,
Xo = (ZI ~ T)> pug, ug = O,(z) ạ La fonction
Ør(Z) = O(z) = K+ W(zl— T)-'e
est appelée ‘fonction de transmission du systéme ouvert o(+)’’
Le systtme Z(*+) inscrit dans la matrice de Vespace de Hilbert
wl oo
(x ® £) @H®@® - r) est, au fond, la dilatation [2] de Popérateur T
oo 1
Le systéme des équations
(+, ¥) { = Tyas + Wo, 12 TT #
0} = Ơw„+i + Ẩt7 n>0,ó Yano = Yoo et ot & est Ïopérateur
a=|- 4 -H@F-> HOE, afta [], - +
Ọ@ Up v;
(y, €H, v7 6 F, vx GE), est appelé “systéme ouvert dual’ Les vecteurs y,, v4, portent les mémes appellations que ceux du (+)
Au cas ou y, = Z”Vạ, vt = z"vf, nm 20 constituent des successions de
valeurs harmonieuses,
Y=(l—2T)-Wose, vf = Ơr(2) tạ
Trang 4La fonction
ơ(z) = ơ(z) = K+ zp — 2T)—p
est appelée aussi “fonction de transmission du systéme ouvert dual F (+, *)”’
Autrement dit, le systéme (+) opére le mouvement dans un sens, et le sys-
téme @(+*, +) dans le sens inverse
Il THEOREME 1 6(z) 6(z) =I a condition quel Popérateur S: H -> H existe et répond aux équations qui suivent:
(1.1) dự = S ST
(2) @57 +Ê =0
(3) Sø + ỳK=0
(1.4) @So = 1 — KK
Preuve 6(z) Ø(z) = J équivaut a Ja relation
1 = KK +- Kú(z — T)~!¿ + zơ(1 — z7)-1ÙK +
+ 20(1 — 27) -NiWz — T)9,
à la suite de (1.1), nous avons
1 = RK + ÊÚŒ — T)~!ø + zơ( — zŸ)~'ÙK + -Lzơ( — z)-1S( — T)-lạ — zơ( — zf)~!ST(z — T) “lạ Les équations 2(z—7T)-2= T(z —T)2 +4, 270 — 27) =(1 —2T) 1 donnent: 1 — ÊK = Kú(Œ — T)~!¿ + zơ( — z?)-'K + +ộ( — z)~1Sø + 05T(z — T)~!ọ
Avec (1.2), (1.3), (1.4) on parvient au but Z7
THEOREME 2 Ơ(2) 6(z) =I 4a condition que lopérateur Q: H > H existe et
répond aux équations suivantes:
(2.1) p= Q- TOT
(2.2) @K + TOỷ =0
(2.3) Ko+wor=0
(2.4) wo =1—KK
Trang 5FONCTIONS DES OPÉRATEURS DE TRANSMISSION 131 La démonstration de ce théoréme est analogue a celle du théoréme 1
Les conditions (1), (2) sont équivalentes a celles qui suivent:
(3) a5 nJz-[ nị
0 1, 0 |,
© lo lee lo ad 0ƒ 0
Les conditions (3) et (4) prouvent la S-similitude des systémes ouverts (dila- tations) (*) et (+,*) Les égalités (3) et (4) constituent, au fond, la loi énergétique de la conservation
Ill Le sous-espace
=V7'E_ (H¿= V TF) n>
est appelé “espace d’observation du systéme x (B)’’ Le sous-espace
H,=V TF (HD= V T*"G*E)
mp0 >0
est appelé “espace de contréle du systeme ý (Ø)` Dans le cas ot Pespace H est égal
H=H,=H, (H=H> = H,), le systéme ouvert & (#) est appelé “systéme minimum (simple)’’
THEOREME 3 Supposons que nos systémes sf(*) et B(*, *) sont des systémes minimums, et que zu # 1 pour chaque point z, (uw) € C du spectre de l’opérateur T ( )
Alors, il existe Vopérateur borné S(Q) qui répond aux équations (1) ((2)), et Q=S
Preuve La résolution S de la relation (1.1) existe et est égale a
(u — Ÿ)-"ÙŒ — T)~1
(5) = op Ầ 5 T— g dudz
Cr
ot Cz est la courbe dans C qui contient les spectres des opérateurs T et ? Après
Vutilisation đe cette résolution S, 0(z) 0(z) = 1 conduit 4 équation qui suit:
Trang 6Comme le systéme »f est un systéme minimum, đous avons les équations (1.2)—(1.4) La preuve que Q existe et correspond 4 (2) est analogue
Les conditions (3) et (4) conduisent 4 l’équation qui suit:
[es o] «[e° 9] 0 1 01
TOS = OST, QSe=, WOS=y Ces égalités démontrent que Q = S7'
EXEMPLE | Si S = Jy, on arrive aux relations suivantes:
T ' Dạ! 6 sứ = wT | H@Inr ¬ H@ 2 ®) De —T* r ot Ðm =l— TT*, D„= l — T*T, Jr(Jr) = Sign(D;(Dr)), Dr = D;H, Gr = D,H, et „ t 11/9 (6') 2Í, Pr, ={0" ° |* lo j, | HO9r + HOSr, Iy+| Dye |? —T 0 Jr 0 Jr
Dans la théorie des opérateurs, sf (6) [1] est appelé la colligation (operator node); le systéme ouvert («) [2] — la dilatation de T; et la fonction
0(z) = 8+(z) = —T* + JrlDy12(z — T)T1D+‹|U9: 2 > Dy
— la fonction caractéristique de l’opérateur 7 La fonction đe transmission Z, dans notre cas, est égale a:
A(z) = Or+(2z) = — T + 2d pe! Dre 21 — 2T*) Dz]? 2 Dp > Dre
Les conditions 6(z) 0(z) = 1, 0(z) 6(z) = 7 dans ce cas sont bien connues dans la théorie des colligations (dilatations), et sont souvent utilisées
IV Supposons qu’il y ait deux systémes ouverts (+)
“TỦ ia :H,@E— H,@EF;
, K,
x x —¬
“| l={ al — |x, | >
Trang 7FONCTIONS DES OPERATEURS DE TRANSMISSION 133 et Ảnh |e OE > OF Ve Ke , , Ũ , Xn} | Xntid , Un va] ”n Ao , = , › — |xz | —_— Un Dạ mm
Le systéme ouvert suivant:
° lo 1 na @$;X›
b= (In,® #4)(#¿®1z)=|l[o Ty, | os YW Ki, KK;
:H,@H,@E'¬H,@H,@F
est appelé ladhésion (coupling) des systémes sf, et &, lorsque F’ = E Il est évi- dent que la fonction de transmission du systéme of est égale a:
9 (Zz) = Or,(z)6r,(z)
Supposons ensuite que nos deux systémes ~/, et 2 répondent aussi aux condi-
tions (3), (4) A, | * | SG k | | , -1 -1 ay] 7] %=[¢" 8 > k== 1,2 0 I 0 I °
Dans ce cas, le système sf répond aux conditions analogues
° C ° ° C~1 ° ond 1
al) n#=([> WP #1) ;|#=[§ ¡|
07 0 71 0 I 0 I
Trang 8V LEMME | Supposons que lopérateur
Ss — ls) Sie
Soy 22 |: mon nem
et que S, S,, sont inversibles Alors, S représente S = VU, ou
r-[P ° gf of I
So Sit Soo ~ SaiSn 5s 0 Py
sont aussi inversibles
La démonstration de ce lemme est évidente
THEOREME DES FACTORISATIONS 4 Supposons que nos systémes f(*) et B(*,*)
répondent aux conditions (1) et (2); en outre, H= H,@® He, TH, © A, (TA, = = T,), ? Hạc H: ( T'H — T,) Supposons aussi quwil existe des opérateurs TWF et K7},
Alors la fonction de transmission 6,(z) est le produit O7(z) = Or (z) 67,(2),
(7) Or (2) = Ky + Walz — T,) “Sq S@K3", Or (2) = Ke + Ki WOQuz — Te)“*2,
ou K,, Kz sont des opérateurs arbitraires K,K, == K, et ot Q= S"', p= WP, Yo = Pag
Preuve Vu la relation S = VU (Lemme 1), la condition (1.1) équivaut
a la relation
(8) V-yU-? = T— VOTVUTU
La fonction de transmission
62) = K + ÿ(z — T)~!@ = K+- Ủ(z — T)ọ,
+ - Tđ, f
=wWU-, o= Ug, T = UTU' =| * |)
(¥ Ử ọ ọ lo 7
est représentée par:
Øy(z) = K + ,P( — )~1Pịo + ÙP;(z — )—!1P;õ +
(9)
Trang 9FONCTIONS DES OPÉRATEURS DE TRANSMISSION 135
car
(—)"! (z— ?)-Œ —;)”!'
eo | 0 (—T¿)^
La condition (8) entraine la relation suivante:
P,V-1ƠP, = P,V-1TVP,T
D’autre part, la condition (1.3)
VTVo + V-WK = 0
et la relation précédente donnent
P = PoK-WP»
Supposons que K = K,K, et que chacun des opérateurs Kz} et Kz! existe Aprés
cela, la fonction @,(z) (9) représente
6r(z) = (Ki + WPi(z — T)-*P,@K 3") (Ka + Ki WPo(z — T)-1 Pop) Utilisant la forme triangulaire de V et U, nous avons
Øx(2) = (Ky + Walz — Ty) 2SGS@K 3") (Ky + Kr WOOa2 — T2)~'92)
(Wi =WPy, T, = PyTP,, Os = Pop, Sy = PSP, Q = S~', Ooo = P2OPs) REMARQUE | Dans le méme temps, si nous supposons qu’il existe des opéra-
teurs T-!| gE et K-, la fonction de transmission Ø2(z) sera, elle aussi, le produit
¿(z) = đệ (2) 94 (2),
65 (2) == Ry + zÊs1ơ$S3Ï(1 — zT,) “Wy,
(10)
0% (2) = Re + 2$2(1 — 272) 1O# OURi*
OD 2 z > > Ơ ` “a ^ ^
ou K¡, Ấ; sont des opérateurs arbitraires K = X;X; et ó Ứi = Py, @ = OP» REMARQUE 2 Admettons que les conditions du théoréme 4 et de la remarque 1 sont respectées dans le méme temps La propriété 6(z) 0(z) = T est observée dans les factorisations 0(z) = 6,(z) 4.(z) et 6(z) = ơ;(z) 6,(z) pour les multiplicateurs
6,(z)6,(z), 6,(z) 0,(z) = I (et 6(z)62(z) = 1), au cas ot la solution S,= Uy = Sy,
Trang 10VỊ APPLICATIONS Supposons que nous avons la fonction
(10) (2) = 0+ Si O(2— 4): EE
k= 1
Z¿ # 0 Démontrons que la fonction @(z) se présente comme: 6(z) = 8) + W(z — T)~9
Supposons que l’espace H soit égala H= )® E, et que lopérateur gy: E + H
1
soit défini par la condition
gE = (bé, 0;¿, seg 6,6); é e E
Alors lopérateur T: H > H est défini comme l’opérateur T = z)J + N, ot
Nh = (lễ ốm 0), h —(ễy, ến)C€H,
et, cnđn, ý : H — E est choisi comme |’opérateur
Wh=¢,, h=(&, ,6)¢H
Il est évident que la fonction @(z) (10’) est égale a:
qi) (2) = 05 + Ứ( — T)"'ø,
parce que (zT— 7)~'= ` N*~z — z4)~*,
k=1
Supposons aussi que la fonction 6(1) est inversible et que la fonction 6(z) = = 0~1(z) est égale à
(2) (2) = 9-2) = 8, + y 8,(1 — zHo)~ kz’, k=1
Hạ # Ì, Ì # pạz¿ Alors la fonction 6(z) a la forme:
(13) ơ(z) = ổạ + zơU — z7)
Pour cela, 1! suffit de déđnir Ïopérateur T= Hol + N dans Pespace H:
Trang 11FONCTIONS DES OPÉRATEURS DE TRANSMISSION 137
et les opérateur§ Ọ, Ú sont choisis comme les opérateurs
we = (9,8, - -59,8), ÿ€E
gh = ,, h= (Q,-.-,¢,) € H
a `
Si les opérateurs Øạ et Øạ sont inversibles et si les systeémes ouverts correspondant
aux fonctions 0(z), ơ(z) sont minimums, il ressort du Théoréme 3 que Jes opérateurs
Set Q = S~} qui correspondent a (1) et (2) existent
Supposons que tous les opérateurs S, = P,SP, sont inversibles tout comme
la résolution S (5), ott P, est la projection (1 < k <n),
P,h = (Ốyu, Ốy Ũ, ,0), A=(é,, ,%,) 6
THÉORÈME 5 Supposons que la fonction (2) (10) est imversible et que 0~1(z) = = 6(z) est égale a (12), que la résolution S soit inversible tout comme S, = P,SP,, ( <k <n), Bos 0) et que les systémes ouverts correspondent aux 0(z), et que 6(z) soit minimums
Alors, la fonction 6(z) est le produit
A(z) = 6,(z) (2), ott 6,(2) = O(K) + B(z—%)7, (1 < k <n)
REMARQUE 3 Le fait que les systémes ouverts of = [ý ? et B= 5 ý
LG ⁄ 4
sont minimums et que les opérateurs S, sont inversibles apporte de nouvelles limita-
tions aux coefficients {0,}7 et {0,}4
REMARQUE 4 Dans le cas général of
N Xk 9,.,5
0(z)=H+ FY —H
k Tisai (Z— %)°
il faut utiliser la somme directe des constructions (11) pour des différents {z,}4
ANNEXE
I A titre d’application des résultats du §1, examinons Je cas ot la fonction de transmission 0(z): E > E est égale a
(A.1) O(z) = \ exp (2 + B,) (z — B, 8, dt
oe")
Trang 12‘ou B, est la fonction inversible de la valeur d’opérateur dans l’espace Hilbert E, 5, est la mesure de la valeur d’opérateur dans le méme espace E, (il n’est pas prévu que B, > 0), zeC
Supposons aussi que ces fonctions aient les propriétés suivantes:
t ‡
(A2) ¢,B,Btgidt < 00, (zy) 2 WE) dx < œ dx dx
0
ou ở, est la solution de Péquation
@x= — 0,b,, go, =f,
i
ao
cest-a-dire @, = \ exp b, dt
x
Soit que Li (0, /) un espace de Hilbert Si f(x) est la fonction de la valeur de vecteur dans £ pour chaque x € (0, /) et est telle que
f
\ < f(x), f(x) >,dx <0, alors ƒ(x) e LẬ(0, J)
0
Introduisons l’opérateur T dans L2(0, /)
†
(A3) (T/)) = ƒG)8, + al fe bor! dt 9,B,,
et introduisons l’opérateur o: £ — Lệ(0, J)
(A.4) oh = ho,B,
pour chaque / € E Supposons que l’opérateur ý: £3(0, /) > E est défini par la for- mule qui suit:
{
(A4) Wf) = 2\ Fob '05 at ood
et que Popérateur K est definit dans E par légalité
Trang 13FONCTIONS DES OPERATEURS DE TRANSMISSION £39
THEOREME A.1 La fonction de transmission 0(z) = K + W(z — T) lọ, ó
des opérateurs T, @, Ủ, K sont définis par les égalités (A.3)—(A.5) et représente (A 1) La preuve de ce théoréme est évidente
Ii Dans l’autre cas, supposons que la fonction de transmission 6(z) dans E
est égale a:
A
(A.6) 6(z) = \ exp(L + z4,) (1 — z4,)~1a, đi
9
ot: les fonctions A,, a, répondent aux conditions analogues à celles du cas précédent
Introduisons đans Z2(0, /) lopérateur
(A.7) (Êf)@) = /G)A, + 2 fast deW,A,,
ou la fonction w, est la solution de équation
^
Ue = Vidz, Vo =1 (v.= | paar)
et, outre cela,
i I
(A8) \U/A/W ar<oo, (2 ay(S vi) de < oo dt dt
ọ 0
Supposons que tý: E - L2(0,/) est égale a:
nw
(A.9) wh =hya, (he £)
et que l’opérateur o: L2(0, /) > E est défini par Pégalité suivante:
i
(A.10) of =2 Vay dt
6
Supposons enfin que K: E — E est égal a:
Trang 14THEOREME A.2 La fonction de transmission 6(z) =K + ze — zT)-Y, ou les opérateurs ? ọ, W, K sont définis par les égalités (A.7) —(A.11) et qui repré- sente (A.6)
HI Supposons que A, = e* et que B, = e8, oa, B sont les constantes dans C Nous cherchons la solution de léquation (1.1) S — TST = bỨ sous la forme suivante:
‡
(A.12) (S/)() = \ 7/0250, 1) dt yy,
G
ó S(x, t) est la fonction de la valeur d’opérateur dans E pour chaque x, ¢ € [0, /] Les calculs nous donnent l’équation suivante pour S(x, ¢):
(eP-* = 1) S0, f) + 208 FSi, a) để + 2Â sứ, 1) Gg dé-+
9
(A.13)
t
+ relay \ dé F; S(y, &) Gy + ge" =0
0 0
ó #, = @jb,ø;` et G, = ;4„Úy`
Cette équation intégrale est équivalente au probléme de Cauchy qui suit:
39
y—Ê— S(x, 1) + 20°F, 2 S(x, 1) + & Sx, p)2e*G, + ax at ax at
+ 408**F,S(x, 1) G, =0
(A.14) S(%, 1)
oe S(x, 0) + 2e*S(x, 0) G, = 0
x
yS(0,0) + 2g" = 0, y=eft* — 1
Si y = 1, Popérateur B(x, t) qui est égal a
A A
B(x, t) = \ exp 2e8 F,dé S(x,t) \ exp 2e* G(y) dy
Trang 15FONCTIONS DES OPERATEURS DE TRANSMISSION 141
répond a la tache suivante:
B(x, t) = 0, Ox Ot OO
ơ ơ
— B(x, 0) = — EB(0,/)=0, (0,0) = — 20;€œ*
Ox ot
et de ce fait B(x, f) est égal a:
B(x, t) = —2@ e*
A A
Alors, si nous désignons par exp 2e F; = N-1(t) et exp2e” G(y) dy = M~!{x),
0 0
nous arrivons a la solution suivante de S(x, f):
(A.15) S(x, t) = —2e*N,9)M,
Les opérateurs N, et M, existent comme les solutions des tâches Suivantes:
N.=—2€©F,N., Ng= l, M, = — M,2¢G,, M =I
THEOREME A.3 Supposons que e?** = 2, que l’opérateur S(A.12) (ou le noyau est égal a(A.15)) répond 4 la condition (1.1) S — TST = wy, alors le noyau S(x, t) définira d'une maniére unique les mesures
1 ồ
b, = ———_ | — 97'S(x, t) | S-1x,f = Tae [Gorse] sre o8,
1 - oO oy
4 TS 2y 21505 Ð [TC 871G, Ð ve]
Il en découle que les mesures d’opérateur des intégrales multiplicatives (A.1) et (A.6) sont définies d’une maniére unique par l’opérateur S Cela veut dire
que les chaines des sous-espaces invariants pour T (T) correspondent d’une fagon biunivoque aux solutions S de l’équation (1.1)
2 CONSTRUCTION DES INVERSIBLES DANS L’ESPACE L*(0, 0) RENSEIGNEMENTS PRELIMINAIRES
THEOREME 6 [4] Tout opérateur borné S dans espace L*(0,1) se présente comme suit:
I
(14) (Sf) (*) = „SG t) f(t) de,
Trang 16REMARQUE 9 [4] La fonction S(x, 7) peut étre choisie de fagon que 1
(15) S(a, f) =0 (150 + Ax, t) — S(x, 1) dt < || SiP- 14x?
0
ou a est un certain l’intervalle (0, /]
Les preuves du théoréme 6 et de la remarque 5 sont présentées dans I’article de L A Sahnovié [4]
Nous utiliserons dans Ja suite les formes suivantes des opérateurs dans £7(0, /):
THEOREME 7 Tout opérateur borné S dans l’espace L(0, !) représente :
1 d
(16) (S)G)=e* S(x, ert f(t) at x
0
oit la fonction S(x, t) € L?(0, 1) pour chaque valeur fixe x € (0, 1}
La preuve de ce théoréme (tout comme celle du théoréme suivant) est évidente THEOREME 8 Tout opérateur borné Q dans L*(0,!) apparait comme:
!
(17) (0/06 =e & \oœ £)e'/0) di
9
oi la fonction Q(x, t) € L*(0, l) pour chaque valeur fixe x €{0, 1]
REMARQUE 6 Comme dans le cas précédent (remarque 5) les fonctions S(x, t) et Q(x, t) peuvent étre choisies de la méme facon (15) (ot, par exemple, a = / et nous avons que Q(/, t) = 0)
1 CaS DU SPECTRE A UN POINT T ET T Nous considérons deux opérateurs T et T = T* dans l’espace L7(0, /):
I
(TA) (x) = fx) — 2Â #0 dt
(18)
Trang 17FONCTIONS DES OPÉRATEURS DE TRANSMISSION 143:
Si nous déđnissons les opérateurs ø: C — /2(0, 7) et ý: 120, 7) => Cau moyen des
égalités suivantes:
i
øà =JZe-3 ((0990)= 2Ä /@e=ra)
i
ÿ/(x) = V2 \ fe" dt (w*A = 2 Ae’),
26C, nous avons la colligation [3, 4] T @) 7
# =| „vị 0,0®@€ 140,0 @€
ó K:C + Cest égala KA = e~!2
Supposons que nous avons un opérateur borné dans lespace 17(0,/) ayante
la forme (16) (théoréme 7):
i
(Sf) (x) =e-x 4 \ S(x, 1) f(t) e-' dt, dx
0
©t que le noyau Š(x, ?) soit égal à:
S(x,f) = e*?!S(x — £)
THEOREME 9 L’opérateur d’intégrale suivant
(19) | (Sf) (%) = er ext S(x — t)fithe dt | xX Cry -—Ư répond @ la condition !
(20) (S — FST) f(x) = lao ioen* + M(x) e~‘) dt,
0
ou T et T sont définis par les formules (18) et les fonctions sont égales
Nữ) = — ?5(— t)= — S(— 1) + 2| ra, Ä(x) = 5()
Trang 18Preuve Les calculs montrent que
i t
(S— FST) fix) = 2Â sứ 1) — S(0,1) — al ists E)— S(0,Oldebe-"flt) dr +
0
it
$20 e \\ S(w, 6) để ƒ() e—rdi, xX
00
ol S(x, tf) = e**'S(x, ft)
Simplifions la derniére intégrale:
t t
\ S%(x, š) dể = %(x €) e**? dễ
0 0
Si 4 soit est 4 n= x — ế, alors nous avons
x
= \ e**~"5(n) dn xet
Cette fonction a la dérivée selon le variable x, d’ot:
it i t
= \\ S(x, 6) để ƒU)e—"dr = \se) — S(x,t) +2 \ S(x, ) déJe*f() dt 2X
00 9 6
Maintenant, nous avons l’égalité:
i t
(S — TST) f(x) = 2e-s[{-e'5(—9 + e*S(x) + 2 \sC-#)e"/0) dt
0
mais cette équation est précisément ce qu’il fallait démontrer 2
COROLLAIRE 1 Š¡ /opérateur Q = S~”! existe, alors lopérateur Q répond
a Pégalité
I
(21) (0 — TOF fx) =2*\ eM 90,9 4
Trang 19FONCTIONS DES OPÉRATEURS DE TRANSMISSION 145 ou
@(x, t) = N,(t) M,(x) + Nxt) M(x),
(21) — S(—t) = S*e'N(t), e7! = T*S*N,(t) ef, e-* = ST-e*M,(x), S(x) = ST-e*M,(x)
Preuve Supposons que S7/f = g, alors, aprés le remplacement opéré dans (20) et aprés application de TQ dans Végalité (20), nous obtenons l’équation suivante:
i
(Q — TOT) g(x) = 2\ 7-08) (1) {N(t)(TQe-*) (x) + e~'(TOM,) (x)} di Si nous désignons (Q*T*~*N) (t) = e'N,(t) (Q*T*—e~') (t) = ©M;() (21) (TQe-*) (x) = e*M,(x) (TQM(x)) (x) = e*M,(x) nous obtenons le résultat voulu
THEOREME 10 Supposons que l’opérateur Q soit borné dans Vespace L^(U, !) et répond 4 I’ égalité suivante:
!
(22) (Q — TOT) f(x) =2e* \ ox, t) f(t) ef de
9
Alors la fonction suivante:
x+tt
aig (STANT sae ae
1 23 G(x, t) = —
63 (622 2 2
3ï— |x— !|
Trang 20Preuve L’opérateur Q étant borné, il ressort du théoréme 8 que Q a la forme suivante: i Of =e a \ O(x, t) f(t) et dt dx 0
ot Q(x, t) répond 4 la condition Q(/, t) = 0 et a la condition (15) De Ja condition
i
(15), il ressort que lintégrale Fe ¢) dé est continue par le variable x De ce
0
fait, il existe la fonction
!
O:(x.,f) =\\ @Œ, £) dx' dự,
xe t
i
Supposons que ¢,(x, t) = low, t) dx’, alors l’équation (22) conduit, aprés l’appli-
I
cation de | - dx’, 4 Pégalité suivante:
x
(25) ( oo | O,(x, 1) + 20x 1) = 0(x,0) | Ox ot
et, d’autre part, Q,(x, ¢) répond aux conditions initiales qui suivent:
(25') Q(/, t) = Q(x, 1) = 0
La tache (25), (25’) a la solution unique,
x+ứ
] ttx—?f t—x+t
’ t= — er*r! ———— dt
Qe.) = 5 “(—= |
3l.~-|x— fỊ
Cette formule peut étre présentée comme suit:
Trang 21FONCTIONS DES OPÉRATEURS DE TRANSMISSION 147
Car < (x, t) = — o(x, t), nous avons que x 00, \ e?#~92ø(£-Ex—ứ,ÿ) đệ (x 20) Ox i-x+t I a lero +x-4 dé (x <2) x t
L’union de ces représentations dans une formule donne:
x+t
9 1 €é+x-—-t €-—-x+t
:— 5 la =— 5 Ox, 1) = ef *-lg [ 2 °“ » ————— | đề |
3I~ [x—r|
a2
Pour obtenir le but recherché, il faut utiliser la condition Q = — ra O,(x, t)
x Ot
CONCLUSION 1 Pour construire l’opérateur inversible Q = S-1 dans tout
Vespace L?(0,/), il est nécessaire de calculer Q et Q* (c’est-a-dire construire les inversibles des S et S*) pour quatre fonctions seulement (l’opérateur Q — pour e~* et S(x), et @* — pour S(— x) et T*~4e-*) Ensuite, construire le noyau g(x, t) =
2
= Y N.(t) M(x) pour les fonctions {N,(t) M,(x)}? et utiliser la construction (23), k=1
(24) du théorème 10
A
JJ CaS DU SPECTRE CONTINU T ET 7 Supposons que nous avons maintenant
deux opérateurs dans L*(0, /)
/
(Tf) (x) =ƒG) — 24() yo dt
(26) °
(Ê/)œ) =/œ)—2 pool ro dt
ou a(x) > Oet B(x) > 0 (par exemple) pour chaque valeur xe [0, 7] Etudions đans ce cas lÏopérateur
(S/)(œ) = = x S(x, f(t) de,
Trang 22ou S(x, t) dépend des variables x et 7 de maniẻre suivante:
S(x, t)= exp(u, + ®,) Sứ, — ®), (27)
uy = ae dễ, vu, = \2@ dé
6 0
THEOREME I} L’opérateur borné S (14), (27) répond a la condition suivante:
i
(28) (S— ŸST)fœ) =2 Vớ (M(x) + BNC) Ae,
9
on T , T sont définis par les formules (26) et
M(x) = B() e *Š(w,),
Nữ)= —e”S(— 9ì) + 2 \e"5(—9 a(é) dé = — Tte'S(—»))
0
COROLLAIRE 2 Si l’opérateur Q = S-' existe, alors l'opérateur Q répond
a l’égalité:
i
(@— TOT) f = 24 Fe) e(x, t) dt,
0 ou p(x, t) = Ny(t) M(x) + N2(t) Ma(x) (29) T*S*N(th=1, S*N,(t)= —e “S(— v,) ST~!M,(x) = B(x) e *S(w,), ST~!Ma(x) = B(x)
THEOREME 12 Supposons que l’opérateur borné Q répond a I égalité suivante:
f
(o— 70)/= 2 ø(x, Ð)/() di
Trang 23FONCTIONS DES OPÉRATEURS DE TRANSMISSION 149 Alors le noyau
G(x, y) = (30)
] Š + uy — Đ, E—u,+v E+u,—v
=— cšềTtựy~® —— 1,3 tgif y fri x ty g
2 tạ+t0 + Đ(T tu + Ma + 0, ~ tì “[ 2 2 )/ 2 ) ,
est une fonction absolument continue selon la variable t, et ’opérateur Q se présente comme suit:
I
8
(31) (Of) (x) = ac ) ry 5 OM 1) dt
ot ou, ›) = Plat), t(v)), x(u)(t(v)) est la fonction inversible pour u, =
=@s:[»= (ace) ef ty = ts B= 0, ef 8 = sign (1 —o,t vy ¬
0 0
CONCLUSION 2 Pour définir S-?, ot S est représenté par les formules (14), (27), il faut trouver le noyau (x,t) Cela veut dire qu’il suffit de calculer Q = S-!,
Q* pour quatre fonctions seulement: B(x) e’*S(u,), B(x), (T*—11) (x) ete S(— v,)
]
EXEMPLE 2 Supposons que B(x) = ——~—, et a(t) = — Alors dans ce
x+l +]
cas nous avons que u, = log.(x + 1), v, = log¢-+ 1) De ce fait, le noyau sera égal a:
_ x+1
SQ t)=+ND)0+41 s(iee.(? +):
Nous pouvons construire Popérateur de la méme maniére quand les noyaux sont égaux a:
S(x, 1) = f(x) 80) s(es.? a) a(t) a)
ou f(x), g(t) (2 O dans [0,/]) sont des fonctions arbitraires
ˆ
Trang 24L2(0, 1), quand T et T sont définis par les égalités suivantes: ĩ (Œf)œ) =ƒG) — alc — x)d(t) dt (35) x (Ÿ)@)= /œ)— JẲẲ& —0ƒ0) 4
ó ø, 8(< co) sont constants IÍ existe trois situations diffếrentes, 4 savoir: 1) a8 > 0, dans ce cas les signes de « et de ổ sont identiques (par exemple, nous supposerons que « > 0 et B > 0);
2) «B < 0, dans ce cas les signes de « et de 8 sont différents (nous supposerons aussi que « > 0 et 8 <0);
3) a8 = 0, (sia = B = Odans le méme temps, ce cas ne présente pas d’intérét) Supposons que « = 0, mais B # 0, par exemple
~ Nous appellerons le cas 1) — le cas elliptique, le cas 2) — le cas hyperbolique, et enfin le cas 3) — le cas dégénéré
Examinons chacun de ces cas séparément
A Au début, nous étudions le cas dégénéré « = 0, B # 0 (ce cas est plus
simple que les autres)
THEOREME 13 Supposons que nous avons lopérateur S dans L7(0, 1) !
\ S(x, t) f(t) dt
0
(36) (Sf)(x) = = x
ou le noyau S(x, t) = P(x) R(t), P(x), R(t) sont des fonctions arbitraires Alors S
répond à lPégalité suivante:
i
(37) (S — FST) fx) = pro R(t) M(x) dx
ou 7, T sont définis (35) a = 0, B 4 0, et M(x) = \ P(š) dỹ — xP(0)
0
COROLLAIRE 3 $/ /opérafeur Q = S~! existe, nous avons I’ égalité qui suit:
I
(Q — 70Ÿ)/ = reo N,() M,(x) dx,
9
Trang 25FONCTIONS DES OPERATEURS DE TRANSMISSION 151 THEOREME 14 Supposons que l’opérateur borné Q répond aux équations Suivantes :
{
(38) (9 - TO?) f= plow 1) fit) de,
Alors le noyau
i
G(x, 1) =— lou, t) dx’
x
ơ cà
est la fonction pour laquelle 2œ G(x, t) sera une fonction absolument continue selon t,
t
et Q se présente comme suit:
1
(39) (Of) (x) = x9 © Gx, at dx dr?
Les preuves des théorémes 13, 14 sont évidentes Dans notre cas (36) nous avons
{ i
(0f)œ) = — = Vo Mi) M,(2) dé de
x
=]
CONCLUSION 3 II s’ensuit qu'il doit exister a priori une] deuxiéme dérivée pour la fonction (S*R)(t) Autrement dit, pour trouver S-* pour S (23), il suffit d’inverser S sur la fonction M(x) seulement
B Examinons maintenant le cas hyperbolique ô = ađ, B = — b* Supposons
que Vopérateur S dans 2(0,/) est égal a:
i
(5/)(œ) =-— $Œ, 9/0) dr dx
0
et que le noyau S(x,f) représente:
(40) S(x,1) = exp| (2 ++} 4 26 (2 — >) o()4) 2 Ả 2 ?
G
La fonction (A) est une fonction arbitraire (ou une distribution) et G est un
certain sous-ensemble de-R (G peut contenir les points ‘‘0’’ et ‘“‘co’’, cela dépend
Trang 26REMARQUE 6 Si g(A) € C,(R) (par exemple), alors la fonction S(x, t) est la
solution de Péquation:
(41) [; oF 1 2
—— Roe) S(x, t) = S(x, t)
x
THEOREME 15 L’opérateur S (25), (40) répond al’ égalité suivante:
1
(42) (S— FST) fon = ab" \vo (x(t) + NC) + M(x) + tifa} dt,
0
ou T, T sont définis par (35) (« > 0, B < 0) et
t t
N(t) = S(t) — \« — 1) S,(t)dt; N(t)= + 1 S(O, t)— (t — t) S(O, t)d2 a
(43) " "
M(x) = — S3(x); M(x) = — Sa),
(quant a {S,}4 voir la suite (44))
ta 1 2À
= —— Ầ —— *® ————————— 2 2+
Sứ) \er|5( - r]] san 90) đãi
G ta 1) 22 (t) = (a 4+—- |} —*— ou ar: Szứ) | | +5 laa ø(2) dis G xb Ï ì (2? — l) + 262 S,(x) s(x) = Ạ P| \expJ——| À —— 2 ( 2 Ì ]|-42?————————— -ø(21d2: b2a2( 22 + 1)2(22 _ 1) øọ( ) `, (44) G xb \ 22 — 1 + 2b
S,(x) = \ exp} (2 —-— }}-22 == 13) P| 2 ( À )} ab2(24 — 1) = - pyaar
G
COROLLAIRE 4 Si l’opérateur Q = S~* existe, alors nous avons:
{I
(45) _ (g~ T9) ƒœ) = “0 øœ,1 ƒu) dr
Trang 27FONCTIONS DES OPERATEURS DE TRANSMISSION 153: 4 0ù @ = % MŒĐ() M,(x), ef ensuite kel N(t) = T*S*N,(t); Nụ) = T*S*N,(1); 1 = T*S*N,(1); t= T*S*N,(); 1 = ST-M,(x); x= ST3M,(x); | 1 = ST-1My(x); M(x) = ST-1M,(x)
THEOREME 16 Supposons que l’opérateur Q dans L*(0, 1)
i
d
(Ofyx) = = \oœ Ð/0)át, Q,1) =0 , 0
répond à l’égalité suivante:
1
46) (0 — TOP) f(x) = atl ocx 1) flt) de
0
et que a= b Alors la fonction
i trư+y I -
Bi Vo t) dé Jy(a †?—(x—y)?-ƑŒ—2®)dt (x<¡}
47) Gay=) 9 0”?
2 t x-r+t ld
oe \ (oe t) dé Jo(a VP—(t—1)?-+(x—y)*) 2 dy (xB t)p
f x+íi—-ry
4
ala dérivée- -~- et Popérateur Q a la forme 8x20 -
1
d g4
(48) (f(x) = = \7o 2axaa 605 Ð đi,
o
ou J,(z) est la fonction de Bessel d’ordre zéro
REMARQUE 7 La supposition a = 6 n’a pas d’importance, elle est imposée dans Punique but de simplifier la formule (47)
Trang 28des noyaux différents pour Popérateur S Notons que si le noyau dé lopérateur initial S est une solution de l’équation homogéne (41), pour trouver le noyau de lopérateur inversible S~! il faudra résoudre l’équation hétérogéne double
CONCLUSION 4 L’analyse des résultats des théorémes 10—11 permet d’affirmer que pour construire Q = S~! dans le cas hyperbolique (si S est défini par la for-
mule (40)), il suffit d’inverser S sur huit fonctions seulement {N,, M,}4, (45)
C Etudions enfin le cas elliptique Nous avons « = a*, B = 6% Supposons
quea=b= 1
f
(spi= \ S(x, 1) fit) de dx
ott le noyau est égal a:
(49) S(x,1) = \ sứ) ø(š, n) dể dn
2
La fonction J,(z) est la fonction de Bessel d’argument imaginaire d’ordre zéro,
r= V(x — €)? + (r—n)? et Dest uncertain ensemble dans R® La fonction @(é, 7) est arbitraire et telle que les intégrales (49) et (51) existent
REMARQUE 9 Si o(€é, 7) a des dérivées correspondantes, S(x, t) est la solution de Il’équation suivante:
2 lở Ss S
(50) (52 + 3a] (x, t) = S(x, t)
Dans le cas général, au lieu de /,(z) nous aurions pu prendre 1,(r) -+- @Ky(r) — une combinaison linéaire de solutions fondamentales de ’équation (50) dans les fonctions cylindriques
La fonction Ky(2) = = i HOD), ot) H(z) est la fonction de Hankel
đ'ordre zéro
THEOREME 17 L’opérateur borné S (49) répond al égalité suivante:
1
(S — Ê$T)ƒ,= Mớ (S() + S;() + fS;(x) + xS,0)) dr
Trang 29FONCTIONS DES OPÉRATEURS DE TRANSMISSION 1°5 ou T et T sont définis par (35) (a = B = 1) et
x
Sx) = \\ o(é, Đ\ sứ œ—Đ* +) dy dệ dự
g a
Edt
jetaom
S,(t) = \oc m\e —on(ffTŒ—nÐ
(51)
x TC dy
) Vo — & + #
S,(t) = — (TS(0, 1) (1)
COROLLAIRE 5 Si Popérateur Q = S~' existe, alors Q répond a la condition qui suit: i (52) (0 — TOT Sx = Wo o(x, t) dt 4 ou @(x, t) = Y M(t) M,C) et 1 1 = T*S*N,(t), S,(t) = T*S*N,(t), t = T*S*N,(t), S,(t) = T*S*N,(2), (53) S\(x) = ST-7*M,(x), 1 = ST-*M,(x), S3(x) = ST-7*M,(x), S,(x) = ST-1M,(>) THEOREME 18 Supposons que l’opérateur borné Q dans L?(0, 1)
i
(Of) (x) = < (ou A f(t) dt, Q(I,t) =0
9
répond à la condition suivante (a = B = 1):
(54) (Q ~ TO?) f(x) = \ư@ o(x, t) dt
Trang 30alors la fonction ! 1Ì 6%0= = \\ x00 lo n) de để dy + 00 fof ‡ G5 + - [\« — 2) Welt) dt K,(n) — \ — ÿ)Ú\() đt Ky) dé + _ 9 ¢ ro ' 1 + 2a [\« — n) p2(t) dt K\(r2) — \« — n) @,(t) dt Kr) | dy 0 on 7 94
admet la dérivée -— — et Popérateur Q se présente comme suit: Ox? Or?
1
Qƒ= Oasis G(x, t) dt
9
Las fonctions {@ụ, Ú,}ï son! égaÌes à:
W(x) = QI; W(x) = FQ — x);
(56) u(x) = Q°F*1; a(x) = OFF" — x);
!
fou TPopérateur ¥ dans L*(0,1) est égal a (Ff)(x) = — lề di; enfin rị =
= |(š — x)? + 1, rạ= lÿ? +(I—n)%; K(z) cất la fonction de Hankel
đ`ordre s
CONCLUSION 5 A la différence des cas précédents, dans le cas elliptique, pour inverser S sur une fonction arbitraire dans L7(0,/) il fauttrouver Q = S71
sur huit fonctions {N,, /,}1, (53), et aussi calculer S~1 et S*-1 sur quatre autres
onctions (56)
BIBLIOGRAPHIE
1 Lrvsic, M.S.; Yantsevicn, A A., Operaters colligations in Hilbert spaces (translated by the Amer Math Soc.), Winston, 1979
Trang 31FONCTIONS DES OPERATEURS DE TRANSMISSION 157
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4 SAHNOVIC, L A., Les équations au noyau dépendant de la différence dans (’intervalle final (Russian), Uspehi Mat Nauk., 35: 4(1980), 69—129,
S TikHonov, A N., SAMARSKU, A A., Equations of mathematical physics (Russian), Gostekhizdat, Moscow, 1953; English translation: Pure and Applied Mathematics Monographs,
vol, 39, Pergamon Press, 1963
VLADIMIR ZOLOTARIOV
La Chaire des Mathématiques Générales, Université 4, place Dzerjinski, 310077, Kharkov,
Union Soviétique