20952), 125-137 © Copyright by INCREST, 1982
SOUS-ESPACES INVARIANTS POUR LES CONTRACTIONS DE CLASSE C,., ET VECTEURS CYCLIQUES DANS C,(Z)
B BEAUZAMY
Soient E un espace de Hilbert complexe et J un opérateur linéaire continu de £ dans E, satisfaisant ’hypothése suivante, notée (2):
() I1 et 3x, #0 tel que 7", —z> 0
Si Pon s’intéresse 4 la question (non résolue) de l’existence de sous-espaces invariants non triviaux pour JT, on peut supposer que pour tout z #0 de E, T"z —+>0 L’opérateur T est alors une contraction de classe C, (cette
H->-+-00
terminologie est due a Sz.-Nagy—Foias [10})
Dans [2], nous plagant dans le cadre plus général des espaces de Banach, nous avons montré lexistence d’un sous-espace invariant non trivial (en abrégé S.LN.T.) pour un opérateur inversible satisfaisant (7), sous ’hypothése supple- mentaire suivante (‘‘condition de Beurling locale”):
Tl existe un point y # 0, une suite de réels p, > 1, vérifiant py.5., < Pm'Pn 1 ) VmneN, X | rs + oo, tels que Va EN, ||T~"yll < p,
a „Ẻ
Trang 2L’exemple typique de contraction de classe C, ne satisfaisant pas 1) est celui d’un shift 4 poids sur /7(Z); c’est un opérateur défini par (notant (e,),ez la base canonique): Te, = Win 5 avec: Ww, = 1 sin 20 bộ = l4 sin< 0 Ce shift vérifie 2) VxeE, |T "x > C4’
Pour un opérateur vérifiant (#) et 2), nous avons montré dans [3] une propriété de régularité de la suite des itérés (T’z),ez, z¢ £, plus faible que fa basicité au sens de Schauder Cette basicité permettrait de conclure que
3) Vzz#0, z¿span {Tz, T?z, .},
ce qui impliquerait évidemment l’existence d’un S.I.N.T Nous avons par ailleurs montré (Í4]) que lopérateur de shift a poids ci-dessus défini possédait précisément la propriété 3)
Une propriété voisine de 3) a été obtenue, pour au moins un point z # 0 de E£, par Brown—Chevreau— Pearcy [5], sous des hypothéses de type spectral (par exemple lorsque le spectre de lopérateur contient une couronne: c’est le cas du shift que nous avons évoqué) Ils ont er ~Fet montré dans ce cas que l’on pouvait trouver x et » dans E tels que
4) (VP =—i, Tay) =0 Vk 21;
le point x ne peut donc étre dans span{Tx, T?x, .}
La description d’un S.I.N.T que nous allons donner peut étre considérée comme analogue de 4), utilisant, comme nous Vavions fait dans [2], un ‘“‘calcul fonctionnel asymptotique’’
Nous reprenons les notations de [2]: si fe #(T), f(0) == Yael’, avec i€Z
3:4; < co, on note:
Pnlf KO = Yael? We (N= Yo aT", VmeZ
iz—m izom j
1 UNE DESCRIPTION DES SOUS-ESPACES INVARIANTS NON TRIVIAUX
PROPOSITION I Supposons qwil existe une fonction fe f(T) et deux points
x #0, y 40 dans E tels que
Trang 3et
6) Vk>0, Q/„)/@), TH” yy —->.0
alors Taun S.LN.T
Démonstration Pour chaque k €N, considérons:
PF, = {2 E, Wal SQ), T"**2) —> 0} M—>+00
et
f= "Fy
KEN
Test clair que F est un sous-espace vectoriel, qu'il est fermé (car Wil ilop < Wiley Vr), quil n’est pas réduit a {0} (car il contient y par hypothése) Tl est évident que F est invariant par 7 Reste 4 voir que ce n’est pas Yespace entier Il suffit évidemment pour cela de trouver z tel que
(Wn fx), TZ) Mat > 0
On vérifie immédiatement que lim |[i,,(f)(x)!| existe Notons-la « Par
m+> +00 hypothése, « > 0 Soient 2 o2 £<S————, 4I/l„IxIẺ et m, tel que ¥) ial <e J< ng
(rappelons que les a; sont les coefficients de Fourier de f) Ona alors, Vk > 0:
lIT*#„ (f) ~ Win tk )llop < ¥ la;| < é
9 8 j<- my,
Solent uy == Vm (A) et z tel que ||T”» z — wạii < e On a, pour m > my:
CW a AV), TZ) = Wn NOP + ba AQ), T"- to — Wn A) +
+ nl AO), T™z — T™- uy»
Or Jl/„ŒXx)l? > #°,
Win SX), mm tạ — Wulf)! S IW n€ Fc) || - Tuy —
Trang 4et
CỨm(ƒ(X), T”z — TP Pu) ŠS 0+, TK TOM ugh ing S6 f2: Xi, đdó la proposition
REMARQUE Pour un shift à poids sur /3(2), la caractérlsation donnée par la proposition est satisfaite, avec, par exemple, f(0) = e®, x = e,, y = ey
Puisque Test de norme 1, les quantités )7"**y = Ty admettent, pour tout ke Z, une limite lorsque m— —oo Il en résulte que
lim T” *x,T"y) existe Vk eZ
iM» +00
Nous notons 4,(x, 7) (ou plus simplement 7,) cette limite
PRoposITION 2 Pour fe xf(T), x, » € E, la condition 6) équivaut a
7) 34/2, „==0, Vn 20
JEZ
Démonstration ~ On a:
ul CI, THY) = YY gy (IMI x THEY) i>-
Mais, pour chaque j,k eZ, (T™:/x, T"** y) ——+ 2,_, Comme la suite (a;) est q m+ 00 Gok J
sommable, il est immédiat que 6) implique 7) La réciproque s’établit en
remarquant que:
1 Ya CT" x, T! yy) — Yay jJ>—Pi al <
< x Gj KL" x, TMT VY) Aji ¬ ,
jJ>—m jam
Définissons un opérateur U, de E dans £, par ta formule (xy, Uxe) = lim (Tx, T" Xe), WX, Xa € E
Mo Lo
On vérifie immédiatement que U est un opérateur de norme 1, autoadjoint, injectif et d'image dense (car, puisque T est Cy., (Ux, x) > 0, Vxe E) On a:
24,=<Tix, Uy) sij 20 et
Trang 5Ii en résulte que on peut supposer que Vx,yeE, 4,(%, y) FoR 0 En
F940
effet, si 2,(x, y) we 0 ou si A,(x, 1)—> 0, alors 7/x—=>0faiblementou 7?y—z+>0 faiblement, lorsque j > + co, et on peut alors conclure à lexistence dìun
S.LN.T pour T
En effet, T est alors de classe C,,(V xe E, x #0, T’x —+>0 et T#" —> 0) et Vexistence d’un §.L.N.T a été démontrée par $z.-Nagy —Foias [10] Nous supposerons done désormais que la suite (A,)jez appartient 4 ¢)(Z)
Soit S le shift usuel de c,(Z): c’est l’opérateur défini par Se, = e,,, Vne Z PROPOSITION 3 Les conditions 7) signifient que 4 = (A) jez West pas un élément cyclique pour le shift S de ¢(Z)
Démonstration Notons a = (aj)jez On a aef(Z), et les équations 7) signifient exactement que, dans la dualité cy, 7}:
8) <a, S" Dee, ol = 0 Vn>0,
ce qui est trivialement équivalent au fait que les (S"2),>0 n’engendrent pas c,(Z)
Nous avons donc obtenu le théoréme suivant:
THEOREME 1 Soit T une contraction de classe C, sur un espace de Hilbert Lune des trois conclusions suivantes est vraie :
a) Il existe une fonction f € of(T), non identiquement nulle, telle que Ứ„(/X>) mẻ 0 VxeE
b) Pour tous points x,yE E(x #0,y #0), la suite (A(x, y)nez est dans C,(Z) et est un vecteur cyclique pour le shift usuel de c,(Z)
c) T aun sous-espace invariant non trivial
Si le cas a) se produit, nous dirons que T vérifie une équation fonctionnelle asymptotique (en abrégé E.F.A.), de fonction f
2 EQUATIONS FONCTIONNELLES ASYMPTOTIQUES
L’exemple le plus évident d’opérateur vérifiant une E.F.A est celui de la pro- jection sur un sous-espace fermé: pour la fonction f= 1 — e®, onaw,,(f)(x) = 0
Vx, sim 2 0
A Vopposé, le shift usuel sur /°(Z) ne vérifie aucune E.F.A.: soit f= DY aye’? ;
JEZ
supposons que w,,(f)(e,) mở 0, on aurait alors ¥ đ/2;+„p———> 0, donc pon 7"J+m m->-+-œ ,
¡a;|? » Oeta=0 VieZ
Trang 6La notion d’E.F.A doit étre rapprochée de l'étude, faite par A Atzmon [lI] des opérateurs qui sont annihilés par une fonction analytique: il y a des analogies entre ces deux questions
Proposivion 4 L’ensemble des fonctions f pour lesquetles T satisfait une E.F.A de fonction f constitue un idéal fermé propre de f(T)
Démonstration Cet ensemble ne contient pas f(0) == e!”, puisque T est C, Il est clairement fermé Le fait que ce soit un idéal résulte du lemme qui suit:
LEMME Si uv et v sont deux fonctions de f(T), Dm nv’ (0) ~ @„() @„ (0) „ — 0
lorsque m et nm’ > -r CO
Démonstration du lemme Soient => Xuy€*?, vo Yo e”, w= w=
kK i
= Viw,e On a:
‡
“ Ht
(nl) + Ye mel? k<-.m )o 0 uc @(00) c3 w,etmH, Lec
Dot:
@„(1)- b— @„(Ð) = 3 ue “My + ` wel ks:- 1H i-<-m
et donc:
@„(0)e'"'?p— eure @„(u0) = ` tụ, eitk 1+ H/)0 D+ ` wel mG k< m }<—m Or elon _ P (0) = » vj, eden isan’ et t8 _ ad ¬g
ei” @„(uÐ) == „+ „/(Đ)— wei tmp’)
—(mtarjy<eis—im
et l’on obtient donc:
li@„() @„(ĐÐ) —— Œm- mv (Uv) 1 ŠS TH og ni + 2 > Wp Holy k » lưyi;
< —HI <—fi
d’ot! le lemme découle immédiatement
Trang 7pour un certain r: > 0,e'"®ƒ#e H®, alors 7 a un vecteur propre Plus générale- ment, si 7 est complétement non unitaire, la fonction fne peut étre quelconque:
THEOREME 2 Soit fe A(T) telle que Vidéal fermé engendré par f contienne une fonction de sf non identiquement nulle
Si T est complétement non unitaire, Tne peut satisfaire d’E.F.A de fonction f Démonstration Rappelons que Vidéal fermé engendré par ƒ est Fadhérence de Vensemble {f:g,g¢%¢} On suppose donc qu’il existe he@,, non identiquement nulle, et une suite (g,)nen de fonctions de s#, telles que /z,
dans 0
Deux cas peuvent se produire :
—ou bien ¥ XW lx) ——».0 Mais commehe /., WlM)(x)=T"( SA; T x)
Fo jJ>0
On sait que Vz #0, T”- —z>0:ilen résue que Vxve £, Ÿ` hT/x = 0 Ceci Himy - OO
N=» 4-00 > h
520
signifie que HhỨ)=0, et T est une contraction de classe Cy; si T est complétement non unitaire, cect contredit Tz s Ơ [8]
—>-¡-OC
— Ou bien, et c’est ce que nous supposerons désormais, il existe un point Xo tel que ¥,,(4)(%9) +> 0 On peut alors trouver « >O tel que l|„()(xe)Ìl> ø Vm Soit ny tel que WF8n,— My < 2/4 D’aprés Je lemme, il existe mm, > 0 tel que Vm,im' > m,,
ut
II Ont) Pm’ (Sng) — Ome im (8m) tự <Š g/4
et donc
II Pull) Pu'(Sn,) T— Pine mf) lle < z/2 *
fl en résulte que:
lứ„(6,„) ° Wn SX) — Wn mA) |! < #/2 ?
et donc
n VY m'(Sn,) ° mC P(X)! > %/2 >
Pot Wal f%) |) = ø/2 Su, ther » Ce qui contredit w,,(f)(x) — 0 VxeEF; ce
second cas doit donc étre éliminé
Trang 8Đêmonsirafion Sĩ Z(ƒ) est una ensemble de synthèse, Pidéal fermé engendrẻ par ƒ cọncide avec fz,;;, Vidéal des fonctions quis’annulent sur Z(ƒ)(voir W Rudin, [12]) Si Z(/) est de plus de type ZA , on peut (par définition) trouver une fonction de x , non identiquement nulle, qui s'annule sur Z(/) Il suffit alors d’appliquer le théoréme
3 VECTEURS CYCLIQUES POUR LE SHIFT USUEL DE c,(Z)
Dans ce paragraphe, nous nous plagons dans le cas ott T ne vérifie pas d’E.F.A., et nous examinons dans quelles conditions on peut trouver x et y tels que (<T*x, Uy))vez ne soit pas un élément cyclique pour le shift usuel de c)(Z)
Par commodité d’écriture, nous supposerons T inversible On peut introduire sur E la norme:
[x]l =_ lim (7”x;, Pi—>-+oo
qui provient du produit scalaire
[x, y] = (x, Uy) = lim (Tx, T”y)
ht» +00
T devient une isométrie, mais E n’est pas complet pour cette norme Avec ces nota- tions, on peut écrire 4,(x, y) = [T*x, y], ke Z
A un élément quelconque (&)cez €¢(Z), on associe la série de Fourier ¥) é,e'*°, qui converge au sens des distributions La somme de cette série, que nous KEZ
notons ¢, est une pseudo-fonction (voir J P Kahane [9]) On note PF l’ensemble des pseudo-fonctions et PF lVensemble de celles dont les coefficients de Fourier dindices négatifs sont nuls
On peut caractériser trés simplement sur la pseudo-fonction € le fait que la suite (€,)cez soit un élément cyclique de c,(Z) pour le shift usuel
Proposition 5 La suite (€,)xnez n'est pas cyclique pour le shift usuel de eZ) si et seulement si il existe une fonction e f(T) non identiquement nulle telle que wé appartienne ad PF,
Démonstration Supposons que (€,) ne soit pas cyclique: les itérés par S sont alors contenus dans un hyperplan, noyau d’une forme linéaire continue: il existe une suite (a,);ez de Z1 telle que:
9) ¥ ắ;_, =0 Vn > 0
j€Z
Posons f,(0) = Nja_,e'" ; le produit f,-€ s’écrit:
Trang 9et la formule 9) signifie que les coefficients de Fourier d’indices négatifs de f,-¢ sont nuls Donec f,-¢ ¢ PF Inversement si f,-¢ e PF, , on obtient 9), et (€xrez nest pas cyclique
Le fait que les itérés négatifs (T~* xp)sen aient des normes rapidement croissantes peut étre caractérisé par Phypothése suivante:
Sỉ ø(Ø) = ¥, y,;e'”" est une fonction de (T) telle que la série
JEZ
(@œ) 3; y;Tỉ xạ soit absolument convergente en un poiïnt xạ # 0, alors
JEZ
les zéros de gw sont de mesure nulle
En particulier, sil existe une suite ( > Pr, ncN de nombres réels vérifiant >1,
n |
man © Pm Py Vm, n, yy TẾ = + co et ||T""x,i] > P, Vn20, chaque fonction @ pour laquelle la série est absolument convergente a l’ensemble de ses zéros de mesure nulle (voir Y Domar [6]) C’est le cas, par exemple, d’un opérateur satisfaisant ||T-" xj] > C(x)4*ˆ, VøeN
Vn, p
PROPOSITION 6 On suppose que T vérifie (*) Soient x, #0, y, #0 Soient x= ) «Tx, y= XS Ty deux séries normalement convergentes dans E, de
JEZ 1EZ
sommes x #0, y # 0 Posons:
A9 = (4/)xez = ([TỶ xụ yel)xez
4 = (Àjk¿ez = ĐT*x,y]kxez
Si A° est cyclique pour le shift usuel de c,(Z), il en est de méme de A
Démonstration Puisque les séries sont normalement convergentes, on a a fortiori }) |a;| < +00 et ¥} (f,| < + oo Par ailleurs :
[T*x, y] = » %8, [T*ti xy, TỶ mị = » 1B, Ât+j— :
J 1EZ JAEZ
Posons (0) = 3) a_j;e/?, (0) = VY Be” Ce sont des fonctions de (T) jez 1Ez Si A®, A désignent les pseudo-fonctions associées a 2°, A, le produit ~,-A°-@, est une pseudo-fonction dont le k*™® coefficient de Fourier (k ¢ Z) vaut
» %_/j_Ãã-j— = YB ARs jr = [T* x, YI
JES JANEZ
Trang 10Si maintenant A n’est pas cyclique, on peut trouver tý e «⁄(T) non iđentique- ment nulle, telle que WA ePE Mais alors @¡@s⁄40°e PF* L’ensemble des zéros de ~,-@, est de mesure nulle, donc ý@;@; nˆest pas identiquement nulle Ceci prouve la proposition
Cette proposition montre qu’on ne peut rien “‘gagner’”, dans le cas qui nous intéresse, en partant d‘un couple (x, , 44) arbitraire et cherchant des points convena- bles x et y sous la forme de séries normalement convergentes des T*xy, T*)'y (k € Z) Nous allons maintenant nous intéresser a4 la structure de l’ensemble des ((T*x, kez, dans ¢,(Z)
PROPOSITION 7 Si T ne vérifie aucune E.F.A., pour chaque y # 0, l'ensemble U[T*x, kez, x € E} est dense dans c((Z)
Démonstration Supposons au contraire que, pour un 1, # 0, cet ensemble ne soit pas dense Comme c’est un s.e.v il est alors contenu dans un hyperplan fermé: on peut trouver une suite (a,)je¢z dans /(Z) telle que
» aj[T? x, xạ) =0 VxeE, Jẽ et donc 3 2T Jyạ, x] =0 J€Z En posant 6; = a —-j? on obtient : b{T! yo, x] == 0 JEZ
Sion pose f(0) -= ¥) b,e'” on obtient, d’apris la proposition 2 Chill) Ơn),
ez
Tx) m-> +00 > 0, pour tout xe E
Mais ona vu (prop 1) quesi W,,( 1) i, 0, on pouvait trouver x tel que
‹Ù„(ƒf)*u, T”x) 2, 0 Ceci prouve la proposition
m+
La caractérisation donnée par la proposition | permet d’obtenir du méme coup des S.LN.T pout T 1:
PROPOSITION 8 Si J’ ne vérifie pas @’E.F.A et si on peut trouver Xy et Vy tels que ([T*x9, VoDeezne soit pas cyclique pour le shift usuel de c(Z), alors T ' a@ua S.IN.T
Trang 11Si T~1 n’a pas de S.I.N.T., on peut trouver des scalaires %, .,%,y tels que |l%axs -E - + #yT~Ÿ xe — ZgÌ < €/2ilyoll -
On a alors, Vj 20:
I[T/Ggxạ + +: #yT” Yxe), xạ] — [7/205 Voll <
<|| TÍGụếg T + tyTO™ Xq — Zo) i lidoll < €/2
et si j < 0:
l[T/(®%sXo toll fay TON Xo): ¥ol — [T7Z » Yoll = == |[#gXg ee #yTTM xạ, TT? yạÌ — ÍZ T~/ yoll < e/2
et donc V je Z, |[T/GsXạ + + #yT”Ÿ xạ), vo] — HịÌ < 8 ou encore: |#e3; - T#xÄj.x TH <6 VJjeZ ce qui s’écrit : Yiu SA <£ ‘oN 1 { _ yA)
et prouve que 4 est cyclique pour le shift S de ¢,(Z)
Il résulte de cette proposition que si T ne vérifie pas d’E.F.A et si ’on trouve Xo # 0,35 #0 tels que ([T*x,, Volkez ne soit pas cyclique pour S, on aura des S.I.N.T pour T et T~1 (mais pas un sous-espace invariant a la fois pour T et 7~}; ile
ne s’agit pas de sous-espaces hyperinvariants)
La proposition qui suit, due 4 M Rome, montre que A est en fait une fonction de L'(T) (voir aussi [11]):
PROPOSITION 9 Si T est complétement non unitaire, pour tous x, ye E, la suite des coefficients (A,(x, V)\cez est dans FL; A est donc une fonction de L', et ona dans L':
A(0)= 3, 2, 3) elk? KEZ
Trang 12par rapport à la mesure de Lebesgue On a donc:
Ale ¥) — (Rix), u(y) = Ver (204006) u(y) = \ ei 9, (0)40,
ou go, EL
Les coefficients (/,)Jrez S'interprétent donc comme les coefficients de Fourier @une fonction de L', d’ou la proposition
Il ne semble pas que l’on connaisse de description des éléments non cycliques, dans c,(Z), pour le shift usuel (ou, ce qui revient au méme, des pseudo-fonctions A telles qu'il existe fe o, non nulle avec f-A ¢ PF ) Si A € L’, une condition néces- saire est que A ne soit pas cyclique dans L?, c’est-a-dire ou bien que A s’annule sur
x
un ensemble de mesure positive, ou bien que | Loe A(0)'d0 > — oo, voir par
—
exemple H Helson ([7], p 21) Mais ce n’est pas nécessaire si A n’est pas dans L?, et ce n'est suffisant en aucun cas Nous ne pouvons done donner qu'un certain nombre de cas particuliers
Dans ce qui suit, nous supposons que J ne satisfait pas d°E.F.A Comme
précédemment, nous notons /,(x, y)= lim (T** "x, T” y) et A(x, = 32%: vel,
Ni>+00 cE
Dans chacun des cas suivants, Tet T~! ont des S.LN.T :
— S’il existe x # 0 et y # 0 tels que le support de la fonction A(x, 1)(@) ne soit pas le tore tout entier (il suffit de choisir fe «/ 4 support contenu dans Je comple- mentaire du support de A)
— Sil existe x et vy tels que Vk < 0, A,(x, ¥) = 2*
— S’il existe x # 0,» #0,C > Oete > Otels que Vk e€ Z, ‘Adx, yy < C/A+e)*
Montrons ce dernier point: la fonction A(z) = ¥, 4,2* est analytique pour, KEZ
= < fz! < 1-+-e; elle n’a qu'un nombre fini de zéros sur le cercle unité On L-be
peut donc lécrre: A(z) = J] (z — 2) B(), ot B est analytique dans la méme
:=l; , Ư
couronne et ne s’annule pas sur le cercle unité Si on pose (0) =1,(e'!), e ⁄(T),
et donc
MOAG)= TT Cee ew,
I=1 L
— S’i} existe x, y tels que A € A(T) et ne s’annule pas En effet, dans ce cas 1
a e 4# (Wiener-Lévy) et—- -4 = le
Trang 13_
lạ
đệ
`Đ
BIBLIOGRAPHIE
ATZMON, A., Operators which are annihilated by analytic functions, Acta Math., 144(1980),
27-64
Beauzamy, B., Sous -espaces invariants de type fonctionnel, Acta Math., 144(1980), 65—§2
Beauzamy, B., Une propriété de régularité pour les itérés inverses des contractions de classe
C¡., C.R Acad Sci Paris Sér A., 290(1980), 467 ~469
Brauzamy, B., A weighted bilateral shift with no cyclic vector, J Operator Theory, 4(1980), 285 286
Brown, S.; CHEVREAU, B.; Pearcy, C., Contractions with rich spectrum have invariant subspaces, J Operator Theory, 1(1979), 123-136
Domar, Y., Harmonic analysis based on certain commutative Banach algebras, Acta Math.,
96(1956), 1—66
HELSON, H., Lectures on invariant subspaces, Academic Press, New York, 1969
HorrMann, K., Banach spaces of analytic functions, Prentice Hall, 1962
KAHANE, J P., Séries de Fourier absolument convergentes, Springer-Verlag, 1970
Sz.-NaGy, B.; Fotas, C., Analyse harmonique des opérateurs sur espace de Hilbert, Masson et Akademiai Kiado-Budapest, 1967
Rome, M Dilatations isométriques d’opérateurs et le probléme des sous-espaces invariants,
J Operator Theory, 6(1980), 39-50