SUR LA STRUCTURE DES C*-ALGEBRES D’UNE CLASSE DE GROUPES DE LIE
VUONG MANH SON et HO HUU VIET
INTRODUCTION
Le probléme de décrire la structure des C*-algébres des groupes localement compacts, non compacts et non commutatifs restait encore ouvert jusqu’aux der- niéres années On disposait seulement d’un résultat de J M G Fell (en 1962) sur la structure de la C*-algébre du groupe SL(2,C) et puis de quelques résultats analogues sur les groupes SL(2, R), Spin(4,1) etc
En 1972, L G Brown, R G Douglas et P A Fillmore [2] ont construit
une théorie intéressante du K-foncteur homologique sur l’ensemble des classes d’équivalence des extensions (des suites exactes courtes) de C*-algébres D N Ziep
{14] a donné une application de cette théorie au probléme ci-dessus L’idée est de chercher les invariants topologiques dans la K-théorie homologique
Cette idée fut depuis développée par J Rosenberg [10] dans des cas analogues Puis, en 1979, G G Kasparov [7], [8] a généralisé le K-foncteur homologique, ce qui a permis a lui et 4 J Rosenberg [11], de décrire les C*-algébres d’une classe de groupes plus large
On voit qu’une C*-algébre peut étre décrite a aide d’un K-foncteur con- venable dans les cas ott le dual du groupe a une structure topologique “assez simple’’ La méthode des K-orbites nous donne des classes de tels groupes de Lie Plus pré- cisément, D N Ziep propose de chercher des algébres de Lie réelles résolubles ayant la propriété MD (resp MD): Toutes les K-orbites (voir, par exemple, [9]) sont de dimension nulle ou maximale (resp ou égale a la dimension de 'algèbre de Lie considérée)
Dans le présent travail, nous chercherons a déterminer toutes les algébres de Lie ayant la propriété MD (§ 1) et nous décrirons les C*-algébres des groupes de Lie connexes et simplement connexes correspondants (§ 3) Puis nous donnerons une condition nécessaire pour avoir la propriété MD et un exemple non trivial (§ 4)
Trang 2Les résultats de § 4 appartiennent 4 V M Son
Les auteurs remercient D N Ziep pour son aide et ses encouragements
1 CLASSIFICATION DES ALGEBRES DE LIE DE TYPE MD
Dans ce paragraphe, nous démontrerons que toutes les algébres de Lie réelles résolubles de classe MD sont les algébres de Lie commutatives ou les algébres de Lie affines
Soient G un groupe de Lie réel résoluble connexe de dimension x, g l’algébre de Lie de G ayant la propriété MD, g* l’espace dual de g Pour tout élément F de g* nous désignerons par Q, la K-orbite contenant F, par G; le stabilisateur de F et par gy l'algébre de Lie de G, On sait que l’algébre g, coincide avec le noyau de la forme bilinéaire B, sur g définie par la formule:
B,(X, Y) = <F, LX, ¥))
1.1 Proposition Supposons que Valgébre de Lie g soit de classe MD et Valgébre dérivée g) == [g, 9] ne soit pas nulle Alors:
| Pour tout élément Feg* induisant un élément non nul de (g1)* on a
dim Q, =n
2 g} est une sous-algébre de Lie commutative
Preuve 1 Soit Feg* comme ci-dessus Si dimQ,;4n alors dimQ, =: 0, dimQ, == dimG — dimQ, =n, donc g; =g Autrement dit Ker B,; = g Alors
<F,[g, s> =0
CF, g'> == 0
C'est impossible d’aprés V’hypothése
Trang 3Alors 9? = 0, done g! est commutative
1.2 Dans Ja suite nous considérons seulement le cas ot g!40 parce que si
g' = 0, g est commutative et toute K-orbite est alors de dimension zéro
LEMME (critére MD) L’algébre de Lie g satisfait a la condition MD si, et seulement si, pour tout élément non nul X de g, on a
[X, 3] = g'
Preuve Supposons que g satisfasse & MD Alors si Feg*, F lg #0 ona dimQ, =n Waprés 2.1 Done gp = 0 et Ker Bp = 0
Supposons maintenant qu’il existe un élément non nul X¥ <q tel que [X, g]#g1 Alors il existe F eg*, Flg'40 tel que <F, [X, g]> = 0 Ceci est impossible puisque: Ker B; = 0
Réciproquement, supposons que [X, g] = g' pour tout X non nul Si Fe g*, F\g' = 0 alors on a
Ker By = g
Donec gp = g dot dimG, =n et dimQ, = 0
Si Feg*, Flg'A40, alors ona Ker B,; =0 parce que [X, g] = g' pour tout: X non nul,
Comme ci-dessus on a dimQ,; =n
1.3 Nous désignerons par ad} la restriction de lopérateur ady a g}
Lemme Si l’algébre de Lie g satisfait @ la condition MD, les opérateurs ad commutent entre eux
Preuve Prenons arbitrairement Y et Y’ dans g On a
Trang 41.4 THEOREME 1 Toute algébre de Lie réelle résoluble satisfaisant a la
condition MD est isomorphe a une des algébres suivantes:
1 Une algébre de Lie commutative 2 Lalgébre de Lie affine réelle
3 Lalgébre de Lie affine complexe
Preuve 1°¢ étape La dimension de g} est égale 4 1 ou 2
Considérons la représentation ad! de g dans l’espace g! Le critére MD dit exactement que cette représentation est irréductible De plus, les opérateurs adj (pour Y eg) commutent entre eux I] en résulte de maniére classique qu’il y a une droite complexe D de gi, = g! @, C, stable par tous les opérateurs ad}
Si D est égale 4 son imaginaire conjuguée D, on a D= 0 @gC ó 0cg
est de dimension | stable par les ad}; si D#D, ona D@ D =0@_ạC ó 0C gi
est de dimension 2 stable par les ad}
En raison de Virréductibilité, on a Ø = g! dans les deux cas
REMARQUE l IÍ faut noter que siÌ existe un espace de dimension 1
stable par les ad}, alors dimg! = 1 REMARQUE 2 Si [Z,, g'] = [Z2, 97] == 0, Z,, Z.€g, alors [Z,, Za] == 0 En effet, d’aprés Videntité de Jacobi, [Z:: 22] 71+ [Z: T1 Z1 + [7: Z1 Z] = 0 V7eg Donc [[Z¡, Z2], T] = 0 parce que [Z,, T] ¢ g! En raison du critére MD, [Z;, Z:] == 0 2eme étape 1 Soit dimg! = 1
Considérons lopérateur ady:g—g! ot Xe q's X#0 D’aprés le critére MD, ad, est surjectif Il existe donc un élément Y de g tel que
adyY¥=—X i.e [Y,X]=-X Nous montrerons que Kerady = gi
D’aprés la remarque 2, Kerady est commutatif Si Ker ad,g}, alors il existe ¥,e Kerady, tel que Y, ¢ gt Comme [Y¡, Y] e g' on a[Y\, Y] == 4X ob scR Il est facile de vérifier que [Y; + 4X, 9] = 0 D’aprés le critére MD, Y, + 4X :~0 ce qui est contraire a Phypothése
Trang 5Autrement dit, g est l’algébre de Lie affine réelle
2 Soit dimg* = 2
Supposons que g=gt@ L avec dimL > 2
Considérons lopérateur ady: Lg}, ot Xeg! est non nul Comme
dim Z > dimg},il existe Ye Z, YO tel que adyY==0 Nous montrerons que [Y, g'] = 0
En effet si [Y, 91] 0, alors Kerad} = RX Puisque les ad} commutent entre
eux, RY est stable par tous les ad}, Teg D’aprés la remarque 1, dimg!=1 ce
qui est impossible
Donc [Y, g1] = 0
En appliquant ce raisonnement plusieurs fois on déduit que L=L,@L,
ot dimZ, = 2 et [Z, g'] = 0 D’aprés la remarque 2, L, est une sous-algébre com-
mutative Si L,40 alors dim L, > 2 parce que toute K-orbite est de dimension
paire, donc n est paire
Considérons l’opérateur surjectif: ady: g > g' ady: g! @ L, @ L, > gi
Si Yeg' @L, alors [Y, gt! @ L,] =0 Donc l’opérateur ady: L, > g! est
surjectif, V Ye g' ® L,\{0} Mais dim LZ, = dimg' = 2, done ady e Hom(J), g1)
On a ainsi une application linéaire
g' ® L, + Hom(Z,, 9’)
De plus, cette application transforme tout Y#0 en un isomorphisme, et en parti- culaire est injective
Il est facile de voir que ceci est impossible Donc L, =0, g=g' @L ot dim g! = dimZ = 2
Soit {Xị, Xp} une base de g' Comme ad: L -> g' est surjectif, il existe Y, de
+ tel que [Yị, X;] = %, ie ady rn XxX, Si RX, = Ker(ady —1), alors RX, serait stable pour les opérateurs ady, Teg, dot dimg! == 1 d?après la remarque 1
ce qui est impossible On en déduit que ad, == Id
1
Considérons maintenant lopérateur surjectif ady : g —> g1
On a dim Ker ady, = 2, donc il existe Y} tel que [¥,, Y3] = 0 et que {¥%, Y3,
X,, X2} soit une base de g
Trang 6Comme adj, = Id, adj, ne peut pas avoir des vecteurs propres en raison du 1 2 critére MD En changeant la base de g}, on a q — ] ou a,be R, 640 b a 0
Done {X,, Xz, fị, Y;} est une base de g avec les crochets de Lie suivants:
Pour Y, == Ws —aY,), on aad}, =: (; ¬}
° 1
[Xu X%)==0 [Y¡, Y;]—=0
(% Xi] =Xịi Ưu =3:
[Wz, Xjl=⁄¿ [Y;¿ 1;]= —X
Cest lalgèbre de Lie affine complexe
2 RAPPELS SUR LES K-GROUPES
2.1 GROUPE DE KASPAROV EXT(A, B) ({7], [8]) Considérons les extensions: des C*-algébres de la forme
Q) 0> ø@XZ >> ÈE—A¬0
ou X est Valgébre des opérateurs compacts d’un espace hilbertien
Une extension est dite scindée s'il existe un homomorphisme-section A — E L’extension (1) est déterminée d’une maniére unique par un homomorphisme
gp: A> O(B@X) ot Ø(B @ Z2) = M(B @ ⁄)/B @ Z
Deux extensions @,, @2 sont dites unitairement équivalentes s’il existe un opérateur unitaire ve M(B ®#) tel que VaeA, ¢,(a) = ug,(aju-
L’addition g, + @ est déterminée de maniére suivante:
O1 + G:A> OBQH) © WBQX)—> Ø(B @Z)
ou Phomomorphisme @ est déduit de® > &
Trang 7Si A est nucléaire et B posséde une unité approchée dénombrable, Ext(A, B) est un groupe
2.2 K-GROUPE K„(4) Soit A une C*-algébre a élément unité Par définition, K,(A) est le groupe de Grothéndieck du semigroupe des classes d’équivalence des A-modules projectifs de type fini
Quand A n’a pas élément unité, on définit
K,(A) = Ker(Ko(A*) > Ko(C) = Z)
oti A* est déduite de A par l’adjointion d’un élément unité
Pour A=C(X) avec X¥ compact, on peut identifier K)(A) avec le groupe topologique K(X) (cf [6])
On définit les groupes K,(A) de maniére suivante
K,(A) = K,(A @ C,(R”)), Wn > 0
Le théoréme de périodicité de Bott affirme que K,(A) et K,(A) sont isomor- phes On a le théoréme suivant
THEOREME (cf [3], [8]) Pour chaque groupe de Lie résoluble connexe et simple- ment connexe G
[2 si dim G est paire
K,(C*(G)) =
Ìo si dimG est impaire
0 si dimG est paire K,\(C*(G)) =
Z si dimG est impaire
2.3 RELATION ENTRE LES GROUPES EXT ET K,, Chaque extension (1) induit une suite exacte cyclique de K-groupes: Ky(E) —> K,(A) đo ⁄ KBR K,(B) K,(4) —— K,(£) (On identifie les groupes K.(B) et K,(B @ %).)
Chaque élément de Ext(4, B) induit donc une paire d’homomorphismes (59, 6,) et on a ainsi un homomorphisme
Trang 8THEOREME (cf [12]) Soient A et B des C*-algébres séparables et soit A une
imite inductive des C*-algébres de type 1 On a la suite exacte naturelle suivante:
0 + Ext(K (4), K)(B)) ® Ext(K,(4), K,(B)) >
> Ext(4, B) > Hom(K,(A), K,(B)) ® Hom(K,(A), Kạ(B)) > 0
3 DESCRIPTION DES C*-ALGEBRES DE GROUPES DE LIE
Dans ce paragraphe nous décrirons les C*-algébres des groupes de Lie dont
les algébres de Lie sont de classe MD
3.1 GROUPE DES TRANSFORMATIONS AFFINES DE LA DROITE REELLE Soit
AMR = {(a,b), a,b€R, aX0}
avec le produit (a, b) (a’, b') = (aa’, b + ab’)
THEOREME (cf [14], [15]}) On a@ la suite exacte courte des C*-algébres suivantes: 0> ¬ C*(ATR) ¬ Cạ(RU R) — 0 La C*-algébre C*(AffR) correspond a l’élément Index C*(AffR) -= (1,1) dan le groupe Ext(C,(RU R),C) = Ext(tv SN) = Z@Z 3.2 GROUPE DES TRANSFORMATIONS AFFINES DE LA DROITE COMPLEXE Soit AffC = {(z,@); z, ae C, #0} avec le produit (Z, @) (z”, 0) = (Zz, @ + za’) THEOREME (cf [10]) On a la suite exacte courte des C*-algèbres +œ \ 03 £ > C*(AffC) > S{ LJ Ri] > 0 iz:.-00
La C*-algébre C*(AffC) correspond a élément
Index C*(AffC) =: (1, I, .)
dans le groupe
Ext(a Ũ Ri}, c)>=x( Vv si)= Z@Ze
Trang 93.3 GROUPE SIMPLEMENT CONNEXE DES TRANSFORMATIONS AFFINES DE LA DROITE RÉELLE
Soit
—
AffR = {(a, b); a, be R} Le produit est donné par la formule:
(a, b) (a’, b') = (a+ a’, b+ eb’)
THEOREME (cf [10]) On a la suite exacte courte des C*-algébres suivantes
0+ % > C*(AMR) > C,(R) = 0
Cette suite exacte correspond a l’élément Index C*(AffR) = 1 dans le groupe
Ext(C,(R), C) & Ext(S4) & Z
3.4 GROUPE SIMPLEMENT CONNEXE DES TRANSFORMATIONS AFFINES DE LA DROITE COMPLEXE Soit — AfC = {Œ,œ); z,(œc C} avec le produit (2, w)(z’, ow’) = (z+ 2’, wo + eo’) a Proposition Le dual du groupe AffC (l’espace des représentations unitaires ———_—_
irréductibles de AffC) se compose de deux sous-ensembles suivants:
1 Le sous-ensemble fermé X, des représentations unitaires de dimension Ì U, (Ae R®) qui est homéomorphe a R?
2 Le sous-ensemble ouvert X_ des représentations unitaires irréductibles de dimension infinie T, (a € S1) qui est homéomorphe a S1,
Preuve Il est clair que N= {(0, w), ae C} est un sous-groupe invariant commutatif avec le dual N =C
mee
Le groupe AffC opére sur N par la formule
Pi atl
sớ,) = Xaez ob g=(z, @) <A£C, XE N
Donc dans l’espace dual WN, il y a deux orbites {0} et C\{O} Les représentations
unitaires de dimension 1, U,, correspondant 4 l’orbite {0} sont les prolongements de la représentation triviale du sous-groupe invariant NV:
Trang 10D’aprés ([4], 3.6.3) ensemble X, de ces représentations est fermé dans le dual de AffC On vérifie facilement X, = R°
Prenons maintenant 7%, dans l’orbite C\ {0} Le stabilisateur Gz, est l’ensembie
{(i2an, h), ne R, he C}
_
Les représentations unitaires irréductibles de dimension infinie de AffC sont induites par les représentations S de Gy, telles que S|N ~ x, Doncelles sont induites par les représentations S,,
S,(G22n, h) =: exp(iReh 2nna) oll we S3
Désignons ces représentations par T,, ôÂ S' Lensemble X, des 7,, x S}, est
mnt
ouvert dans le dual de AffC parce que X, est fermé De plus comme Gy, est un
_—
sous-groupe invariant de Aff C, X, est homéomorphe a S' d’aprés ([5], Theorem 4.4) THEOREME 2 On a la suite exacte courte suivante
(2) 0 > C(S1) @ # > C*(AfEC) > C,(R*) - 0
Preuve D’aprés ([4], 18.1) le dual de AffC et le spectre de C*(AffC) sont identiques
Conservons Jes notations de la proposition ci-dessus
Posons J == (_} Kerz Comme Xj est fermé, J est un idéal bilatére fermé avec
„eX 1
le spectre iz X,2 S' Donec daprés ((4], 10.5.4) on a Fe C(S', #) Or
C(S!, #) = C(S*) @ & (voir par exemple [I3], d'ó on a 7 C(S) @
Considérons maintenant la sous-C*-algébre quotient C*(AffC)/Z Son spectre
X, est homéomorphe a R* Pour tous g, yw e C* (AffC), U,eX1, ona
Trang 11On obtient ainsi la suite exacte courte (2)
ne —
THEOREME 3 La C*-algébre C*(Aff C) correspond al’ élément Index C*(Aff C)=1
dans le groupe Ext(C, (R*), C(S4)) = Z
Preuve, Nous calculons d’abord les K-groupes
Ko(C)(R’)) = Ker(Ko(C(S?)) > Z) = Ker(K?(S3) > Z) = =Ker(Z @Z>Z)=Z K,(C(S) = KS!) = Z K,(Cy(R*)) = Ko(Co(R?) @C,(R")) == Ker(Ky(C(S*)) > Z)= = Ker(KS°) > Z) = Ker(Z > Z) =0 K,(C(S*)) = Ky(C(S) @ C,(R")) = Ker(Ko(C(S*)) > Z) = =: Ker(K%S*) > Z) = Ker(Z @ Z > Z) = Z
Alors d’aprés le théoréme de 2.3, nous avons
Ext(G(R?), CS) = Hom (Ky(C,(R?)), Ky(C(S4))) = Hom(Z, Z) = Z
Considérons Ja suite exacte des K-groupes de (2)
03Z—> Kạ(C*(AfQ)) > Z a K,(C*(Aff C)) > 0
Nous avons 6, = 0, 69: ZZ est un isomorphisme parce que K,(C*(Aff C)) = 0 d’aprés le théoréme de 2.2
——
Donc Index C*(AffC) = 1
4 SUR LA CLASSE D’ALGEBRES DE LIE MD
Soit G un groupe de Lie réel résoluble dont l’algébre de Lie g ala propriété MD 4.1 Avec les notations de §1 on a
PROPOSITION ([I], Chapitre 2, Théoreme 1.7) Soit F un élément de l’espace dual g* de l’algébre de Lie 9 Si Porbite Q, est de dimension maximale alors l’algébre
de Lie gp est commutative
4.2 THEOREME 4 Soit g une algébre de Lie réelle résoluble de classe MD
Trang 12Preuve Remarquons d’abord que pour tout élément F de g* tel que F,9'#0 I'orbite Q, est de dimension maximale
En effet, si dimQ, = 0, dimG, = dimG dou
Ker By = gp = 9 (voir 1.1)
Alors
CF, [g, g)> = <F,g'> = 0
ce qui contredirait l’hypothése
Prenons maintenant Feg*, F(g?) = 0, F(g)#0 Alors dimQ, est maxi- male, donc gy est commutative d’aprés 4.1 D’autre part 9? < g, parce que
F, [g?, g]> c (F, 92> = 0
Donc g? est commutative
REMARQUE Nous avons les 1somorphismes suivants
g/g = R*, gig = R’, g? = R”
Alors les produits semi-directs R* -R!- R” satisfont 4 la condition g* est com-
mutative Quelques-uns des produits semi-directs R*.R! ayant la propriété MD sont considérés dans [10], [7]
Nous donnons maintenant un exemple de produit semi-direct R*-R!-R” ayant la propriété MD Soit {X, Y, Z, T} une base de g avec (7, X] = — X, {7, Y]=- Y, [T, Z] = 0 [X,Y]=Z, [X,ZJ=:0, [Y,Z]::0 Alors g est résoluble, g! = R{X, Y, Z} est Valgébre de Heisenberg ct g? = RZ#0
Nous montrerons que sĩ #=Ø7 (040) dimQ, ==0, sinon dim@r -: 2
En effet soit F = aX* + BY* + yZ* + OT* ots, B,y,0ER, {X*, ¥*, Z°,T*} la
base duale de {X, Y, Z, 7} On a
Op = Ker By =
Trang 13Soit U0 = aX + bY+cZ+1T; a,b,c, te R On vérifie facilement que
— yb — ơđd =0
Uegrs ya + đd = 0
aa — ÿb = 9
1 S5 z==y=0(F=0T*, 020), qg =g donc dim@p; = 0
2 Si y#0, b= —<d, a=S d avec d arbitraire Donc "Hi
b
= a(x > Y+ r)+ <2} dot: dimg,; = 2 Donc dimQ, = 2
3 Si y = 0, a 40, B4O on a d=0, a= b, 6 arbitraire Donec g, =
= {v= aX + r] + ez dott dimgy = 2, dimQ, = 2
4.8i y=B=0, «40 on a d=a=0, ð arbitrare Done g- =
= {U=bY + cZ}, dimg, = 2, dim, = 2
5 Si y= a=0, 840 tout a fait analogue dimQ,; = 2
Nous finissons le travail en posant les deux problémes suivants:
PROBLEME 1 Chercher toutes les algébres de Lie réelles résolubles ayant la propriété MD
PROBLEME 2 D’écrire les C*-algébres des groupes de Lie correspondants a Vaide d’un K-foncteur convenable REFERENCES 1 Bernat, P.; Conze, N.; DuFLO, M., et al., Représentations des groupes de Lie résolubles, Paris, Dunod, 1972 2 Brown, L G., Doucras, R G.; Fit-more P A., Extensions of C*-algebras and K-homology, Ann of Math., 105(1977), 265—324
3 Connes, A., An analogue of the Thom isomorphisme for cross products of a C*-algebra by
an action of R, Advances in Math., 39(1981), 31—55
4 DIXMIER, J., Les C*-algébres et leurs représentations, 2™© édition, Paris, Gauthier-Villars, 1969 5 Feit, J M G., Weak containment and induced representations of groups, Canad J Math.,
Trang 1410 il 12 13 14 15
Karoust, M., K-theory: An introduction, Grundlehren der Math Wissenschaften, N 226, Springer-Verlag, Berlin — New York — Heidelberg, 1978
Kasearov, G G., K-foncteur dans la théorie des extensions de C*-algébres (en russe), Fun- keional Anal i PriloZen., 131979), 73—74
Kasparov, G G., K-foncteur d’opérateurs et les extensions de C*-algébres (en russe), Izv Akad Nauk SSSR Ser Mat., 44(1980), 571 —636
Kiriwrov, A A., Elements of the theory of representations, Springer Verlag, Berlin -~ Hei-
delberg— New York, 1976
RosenserG, J., The C*-algebras of some real and p-adic solvable groups, Pacific J Math., 65(1976), 175—192 ROSENBERG, J., Homological invariants of extensions of C*-algebras, Proc Symp Pure Math., Vol 38 ROSENBERG, J.; SCHOCHET, C., The classification of extensions of C*-algebras, Bull Amer Math Soc., 4(1981), 105-110
Sakai, S., C*-algebras and W*-algebras, Springer, Berlin, 1971
Ziep, D N., Sur la structure de Ja C*-algébre du groupe des transformations affines de la droite réelle (en russe), Funkcional Anal i PriloŸen., 9(1975), 63—64
Ziep, D, N., Application du K-foncteur homologique Ext(-) dans I’étude de la structure de C*-algébres de quelques groupes de Lie résolubles (en russe), thése, Moscou, 1977
YUONG MANH SON HO HUU VIET
Institut de Finance, Institut de Mathématiques,
229 Rue Dong Khoi, Nghĩa do, Tu liem, Hanoi,
Ho Chi Minh ville, Vietnam
Vietnam