J OPERATOR THEORY 5(1981), 171-194 ẹ Copyright by INCREST, 1981 :
SUR DEUX RÉSULTATS DANALYSE HARMONIQUE NON-COMMUTATIVE: UNE APPLICATION
DE LA THÉORIE DES ALGEBRES DE KAC JEAN DE CANNIERE, MICHEL ENOCK, JEAN-MARIE SCHWARTZ
LỖune des méthodes de lỖanalyse harmonique consiste 4 étudier certaines algé-
bres de Banach associées 4 un groupe localement compact G: M1(G) (algébre des
mesures bornées sur G), L1(G) (idéal de A4(G) formé des fonctions intégrables par
rapport a une mesure de Haar a gauche sur G), A(G) et B(G) (algébres de Fourier et de Fourier-Stieltjes, introduites par P Eymard [5]) LỖintérét de ces constructions apparait notamment 4 la lumiére des théorémes démontrés par J G Wendel [12] (resp B E Johnson [6], resp M E Walter [11] th 2, resp M E Walter [11] th 3) énoncant que L1(G,) et L1(G,) (resp M+(G,) et M1(G,), resp B(G,) et B(G,), resp A(G,) et A(G,)) sont des algébres de Banach isgmétriquement isomorphes si et seulement si les groupes localement compacts G, et G, sont topologiquement isomorphes
Rappelons dỖautre part que les algébres de Kac forment une catégorie plus vaste que celle des groupes localement compacts, et mieux adaptée qu'elle a la théorie de la dualité non commutative Il apparait en effet quỖun nombre crois- sant de théorémes dỖanalyse harmonique restent vrais dans ce cadre plus général
De plus, des théorémes distincts démontrés avec des techniques différentes se révé-
lent désormais étre des corollaires dỖun unique résultat, ce qui en permet une meil- leure compréhension
Ainsi, nous avons associé dans [3] 4 toute algébre de Kac K son algébre de Fourier-Stieltjes BAK) (resp son algébre de Fourier A(K), qui est un idéal bilatére
fermé de B(K)) Ces objets généralisent a la fois BG) et M11(G) (resp A(G) et L1(G));
rappelons a ce propos que si G est abélien et si G désigne son groupe dual, BG) (resp A(G)) est image, par la transformation de Fourier, de M@ 1G) (resp L(G) LỖobjet de ce papier est de démontrer, dans le cadre des algébres de Kac,
des théorémes analogues 4 ceux de Wendel, Johnson et Walter Plus précisément
Trang 2172 JEAN DE CANNIERE, MICHEL ENOCK et JEAN-MARIE SCHWARTZ
et seulement si lỖalgébre de Kac K, est isomorphe 4 K, ou 4 Valgébre de Kac réflé- chie K% (voir [9]) Tous les théorémes précités dỖanalyse harmonique deviennent
alors des cas particuliers de ce résultat général
Comme Walter [11} nous utilisons les résultats classiques de R V Kadison concernant les isométries des algébres de von Neumann [7] Les techniques sont toute-
fois différentes: nous ramenons le cas des algébres de Fourter-Stieltjes & celui des
algébres de Fourier, 14 ot! Walter donne deux démonstrations semblables mais indépendantes
Nous remercions A Van Daele pour de trés utiles conversations pendant son bref séjour a Paris
Nous utilisons les constructions et notations de [4], [8], [9], [2] et [3] En parti- culier dans ce quisuit, K = (M,T, x, ) désigne une algébre de Kac, K- (M, r, 2, ử) Valgébre de Kac duale, 4 la représentation de Fourier de K, W Vunitaire fonda- mental associé à K, z la représentation universelle de A7, dans son algébre de von Neumann enveloppante W*(K), et xz,, la représentation de Fourier de B(K) Rap- pelons encore, en vue du paragraphe 3 ci-dessous, que W*(K) se munit dỖune
structure dalgébre de Hopf-von Neumann involutive a Vaide du coproduit
ửsẤẤẤ et de involution sy ((3], 2.15)
Enfin, soit M@ une algébre de von Neumann, ,, son prédual; pour a dans M@ et w dans M,,, on notera a-@ lỖélément de M,, défini par
fx, @ồ@> = xa, w> pour tout x de M *
1 PRELIMINAIRES
L.1 LEMME Seient M une algébre de von Neumann, P et Q deux projecteurs
de M Si Pon a
P@P+@GQ>/@Gi
(ou I désigne Punité de M), Pun au moins des projecteurs P et Q est égal aT Démonstration De Phypothése, on déduit immédiatement
ỂỞP)@~Ở 0)<
<[lỂỞ P)@ệ@(~Ở Q)]C?@P + Q@ử){Ở P) @(ỂỞ ử)] = 0
Trang 3LANALYSE HARMONIQUE NON-COMMUTATIVE 173
1.2 LEMME Soient My, M, des algébres de yon Neumann, Py, Pz et Q des projecteurs de M,, My, et M, ẹ Mo, respectivement Si
(Q, 0, @ on> < CP, @ Po, O, @ Oy) pour tous @, Ạ (M,)# et w2Ạ(M,)$, on a
OP, @ Py
Démonstration On suppose que M, et M opérent dans des espaces hilber- tiens #, et #4, respectivement Soient ằằ.#, et 7 ẹ Hy En posant @, = @; et @, = o,, Vhypothése imphique
(*) (P, ệPƯ) (Ọ @n) =0 > OE @y) =O Soit ẠẠ 4, ẹ Hz tel que (P; ẹ Py) ặ = 0 Etant donné que
(PA, ẹ Pra) = [PH @UỞ Pr) # JOLT Ở PH, @ PH 2|ệ
@ [(I Ở P,j)Z) ẹỂỞ P)Z,1
- n
Ạ est la limite dỖune suite convergente dỖélément de la forme S ễ,; @ Nj,
i=1 ott (P; ệ Ps) (Ạ; ệ@ 4) =0 pour tout / En utilisant (+), on trouve QC == 0
Par conséquent, on a
(PH) @ Px.) < (OH, @H#)}, ce qui achéve la démonstration
1.3, Lemme Soient K une algébre de Kac, P et Q deux projecteurs du centre de M tels que
PLO>I
T(P)> P@P, P= ề(P)
F(QO> COE, O=x(Q)
Alors l'un au moins des projecteurs P et O est égal a1 Démonstration DỖaprés [4], 5.1.5, on sait que
TẨ(P)@1(@aP)=P@P,
đoù
Trang 4174 JEAN DE CANNIERE, MICHEL ENOCK et JEAN-MARIE SCHWARTZ
et, a fortiori, comme J Ở Q < P par hypothése,
(Pd Ở P) @TỞ Q)) = 0 De méme, par [4], 5.1.5, ona
7(@)(@ @T7)=@@0 et, par un calcul analogue, on trouvera
FQ) Ở P) @ 7 Ở Q)] = 0
En additionnant ces deux égalités, comme
T(P) +~T(Q)> I@ 1 on trouve
Ud Ở P)@UỞ-9)=0,
đoù le résultat
1.4, LEMME Solent K une algébre de Kac et P un projecteur du centre de M
tel que F(P) < P ệI (resp F(P) < I ẹ P) Alors P est égal 40 ou L
Démonstration On a
W[(I Ở P)G@ P]W* = WI @ P)W* Ở W(P ệ P)W* =
= WI ệ@ P)W*Ở(PQNWISP)W* = daprés [4] 2.1.5 (b) = T(P) Ở (P @ DF(P)= đaprẻs [4] 2.2.5 (b)
=0 par hypothése
Comme W est unitaire, la premiére partie du lemme en résulte; il suffit dỖappliquer ce résultat 4 Kồằ ((9], II.6) pour obtenir la deuxiéme partie
1.5, DEFINITIONS Soient M, et M, deux algébres de von Neumann, et / une bijection linéaire isométrique de M, sur M, Pour tout projecteur P du centre de My, on définit une application linéaire /p de M, dans M, en posant, pour tout x đe Ả⁄::
lp(x) = KA)()*P (En particulier, on posera
l(x) = I@)Ể)*.)
Trang 5LANALYSE HARMÔNIOUE NON-C OMMUTATIVE 175
PY, = {P; P projecteur du centre de A2; tel que /p soắt un homomorphisme dỖalgébres
de M, dans M,},
FP, = {P; P projecteur du centre de M, tel que /p soit un antihomomorphisme
dỖalgébres de M, dans M,}
1.6 THÉORÈME (Kadison [7]; Stormer [10]) Avec les notations ci-dessus, on a (i) 1D) est unitaire
(ii) /; est un isomorphisme de Jordan de M, sur Mg
(iii) i/ existe un projecteur R tel que REP, et 1 Ở REAP,
Démonstration DỖaprés le théoréme 7 de [7], on a (i), et application ide M,
dans M, définie par
I(x) == WD)*I(x)
pour tout xằ M,, est un isomorphisme de Jordan En utilisant (i), on en déduit (ii) LỖassertion (iii) résulte alors du Théoréme 3.3 de [10]
Remarquons que pour tout P de F,( (resp ,), fp est un homomorphisme (resp
antihomomorphisme) involutif, puisque tout isomorphisme de Jordan est involutif par définition
1.7 LEMME Soient P dans P, (resp P,) et Q un projecteur central de M, tel que Q < P Alors Q appartient a P,(resp F,)
Démonstration Cela résulte trivialement du fait que pour tout x de M,, ona Io(x) = Ip(x)Q
1.8 LEMME LỖensemble A, (resp P,) est réticulé
Démonstration Ul suffit de prouver que si P et O appartiennent 4 A, le projec- teur P + OQ Ở PO appartient a F,
Soient x et py dans M; On a
lp.o-po(*)lp.9-polầ) = [/p(x) + lo_po()] p(y) ++ lo-ro(ầ)] = = [p(x)lp(y) + Io-pa(x)lo_palY) =
= (xy) + lo_pglxy)
car P appartient a A,, par hypothése, et Q~ PQ appartient 4 A, en utilisant 1.7 Finalement, on a
Íp.o_po(Ểệ)Íp.o_pg@3) = Ip, o-po(XY),
Trang 6176 JEAN DE CANNIERE, MICHEL ENCCK et JEAN-MARIE SCHWARTZ
Le cas de FY, est identique
1.9 Lemme LỖensemble A, (resp F,) posséde un plus grand élément Démonstration DỖaprés 1.8, Vensemble A, est filtrant croissant et posséde donc une borne supérieure S, qui est faiblement adhérente 4 A, On va montrer que S, appartient 4 A,
Soient x et Ừ dans M, Ona
Is, (xy) = Kay)" Sy =
= lim /(xy)/Ể)*P = Peớn = lim /{v)Ể)*Pl()0)*P = PEF, = lim /(x))*l@w)l1)*P = PEP h = KM DOMES, = Is, Ns,Ừ dott le résultat
La démonstration est identique pour Y, 1.10 DEFINITION On posera
S, = max A, S, = max ầ, Remarquons que le théoréme 1.6 (iii) entraine
Sh + S, > 1T
2 ISOMETRIES DES PREDUAUX DES ALGEBRES DE KAC
Solent K, et K, deux algébres de Kac On considére dans ce qui suit une bijec- tion linéaire isométrique multiplicative T de M,,, sur M,, On notera / sa transposé qui est donc une bijection linéaire isométrique et ultrafaiblement continue de M4, sur M,
2.1 Lemme LỖopérateur I(T) appartient au groupe intrinséque de Kg (cf [8],
1.10)
Démonstration Soient @ et wỖ dans Mz, On a, successivement:
(PUD), ẹ @o'> =<K),o* o> =
= {LT (0 *0')> =
Trang 7LANALYSE HARMONIOUE NON-COMMUTATIVE 177
= (1 @1, Tio) @ T0)) =
= 1, T(@)) CE, Tụụ)ề = ().ụ3 (1Q), @' =
= Ud) @1), @ @ a'> Wot par linéarité, densité et continuité
PUD) = M1) BI) DỖaprés 1.6 (), /() # 0, dỖou Ie résultat
2.2 LEMME Avec les notations de 1.5, on a, pour tout projecteur P du centre de M,
(/p),(@) = TUT) P -o), OF Moy,
Cp étant ultrafaiblement continue, on peut considérer sa transposée CUp)at Mex, > MyỪ)
Démonstration On a, pour tout x de M,,
<x,0p)Ấ(@)S = ChẠv), ồ =
= CÍ(A)(jJ)*P, ỦÈ = đaprès 1.5
== (I(x), 1)*P - ỦÈ =
= áx, 700)*P-ụ))
dot le résultat
2.3 Lemme Avee les notations de 1.10, on a, pour tout x de MyỪ (i) Us, @ /s)Ể1@)) = 1;(/(*))(Ế¡ @ Si)
q0) (ls @ 1s )Ể¡()) = T;,G))(5, @ S,) Dénonsiration Soient w et w' đans M;Ư On a
(Us, @ls, MPC), OB a"y = (1), (ds, )a(@) ẹ Us, Ja(@Ỗ)> =
= <I, (x), TUU)*8,: 0) @TUG)*S,- @')> = dỖaprés 2.2 == (x, T(1(1)*8, @)*T ID *5,:0') =
== <1,f(((D*ệSạy @)*(()*Sy:@))) = par hypothése
= (U(x), UZ)* Sy + ox)" Sy + 0") = = ỀT;@)),0()*S5\ đụ) @ UD" SyỪ 0) =
= (PLUG) (UD)*S, @ I)* Sy) (@ @ @')) =
= lx) Ua) *ậ 8, @/Ể)}* Sy), @ @ @ 3 =
= CT;((x)JỂ)*)Sy, @ S)),Ủ @ @ 3 = daprés 2.1
= (P20 (x))(S, ẹ S,), ẹ @ a> dỖaprés 1.5
Trang 8178 JEAN DE CANNIERE, MIGHEL ENOCK et JEAN-MARIE SCHWARTZ
On en déduit (i) par linéarité, continuité et densité La démonstration de (ii) est identique
2.4 COROLLAIRE Avec les notations de 1.10, on a G) F(S,) > S, @ S,
(ii) P(S,) > ` &@ Sy
Démonstration Soit @ le projecteur du centre de AZ, tel que IỖ.(Q) soit le sup-
port central de S, @ S, dans le commutant de P,(M,) (On aen effet S, ẹ S,Ạ
eM, @ M; < (F,(M,)y.) On notera & Visomorphisme entre les algébres involutives
T;(M,) (Sạn @ Sn) et T;(M,ử) Pour tout x de M,, on a
Po(Io(x)) = PAUQ)(D*Q) = daprés 1.5
== P,(](x)Q) = dỖaprés 1.5
= P,(I(x)) P(Q) = = 1 2(1,(x))(S, @ Sy] =
= GịÚs, ệ is )(T;())] đaprès 2.3,
Ainsi, Ứapplicaton T;jo est multiplicative; comme Ƒ; est injective, /g est multipli- cative, dott O < S, dỖaprés 1.10 On a alors
PAS) > PC) > Sy @ Sy
par définition de Q, dỖoti (i) LỖassertion (ii) se démontre de fagon identique 2.5 LEMME Soit R un projecteur vérifiant 1.6 (iii) Alors Pop érateur
U = [lp @iI)WF) + Er @ MV NED @ 1)
est un unitaire de M, ẹ 12 ạỈ ẹf, pour tons ( đe NÃ;Ấ et ỷ de Min, ona
(Remarquons que ly et Ly p%, sont des homomorphismes normaux de M, dans M3.) Démonstration, On a
U* = (1D)* @D [hh @ 0 (Wy) + Ứy gã @ Đ (W?)] et done
U*U = ID)* @D le @)MWF) + (ves BY WEW)I UD 6 1) = = (D* @ Dk @)T OD) + Urs @)C ODIO @D=
= ()* @1)(R @7+(ỉỞ R @D00G() @1J)= đaprèsl.5etl.6()
Trang 9LỖANALYSE HARMONIQUE NON-COMMUTATIVE 179
Ộ^^
On montrerait de méme que UU* == 1 @J Enfin, comme W,ằ M, ẹ M,, il est
^^
clair que appartient à 3⁄Ư @ A⁄
On a ensuite
CU, @ @ OY = Clap @I)WF), 11): ẹ @ 0) 4+ (hrm @DM), (D-e @H =
= <W*, (Ia)xữ()-@) @ 03 -+ Wi, ( g)Ấ(Ể)ẹ@) s ị @ 03 =
= CW?*,(Iạ)Ấ(Ể)-ụ)ệ0>-+<W/*,(, g)Ấ)-Ủ@)@0)= đaprès [8], II.13 =(HW*, T(R-Ủ) @ 0 +- T(( Ở R)- ụđ) @ 0) = daprés 2.2
= CW, T(ụ) ệ Oy =
= ằ4,(T(a)), 0) dỖaprés [8], 11.5,
ce qui achéve la démonstration
2.6 COROLLAIRE LỖapplication T est involutive Démonstration, Avec les notations de 2.5, on a
4(T(@)) = (@ @ iV) = = 7 @ệa@)(cU)
LỖopérateur oU étant unitaire dans M, @ M,, et Vapplication A,T étant multipli-
cative, il résulte de [3], 2.9.) que oU est un 146-cooycle En appliquant [3], 2.10,
on obtient alors que 4,7 est une représentation (involutive) de M2; comme J,
est involutive et injective, on en déduit le corollaire
2.7 LEMME, Soit w dans Moy On a
IU)\* + @ồ = (1)*+@)ồ Démonstration Soit x dans M, On a
Cx, 1(D)*-@ồ> = <xI()*, Ủồ3 =
= Cxa(xl(7)*)*, o> = = C2AX*)x 1D), OT =
= Cex" \I)*, @7 = dỖaprés 2.1 et [8], 1.10
= Cxe(x*), ID)* +o =
Trang 10180 JEAN DE CANNIERE, MICHEL ENOCK ct JEAN-MARIE SCHWARTZ
2.8 COROLLAIRE On a, avec les notations de 1.5 et 1.10: (i) 2h = Ixy
(ii) %(S_) = Sp
(ili) %2(S,) = S,
Démonstration Soient x dans M, et @ dans M,, On a
(xel)(x), OY = (Hel (x*)*, o> = dỖaprés 1.6()
= C(x"), 07 = = (xỢ, (J)Ấ(@ồ)> = = Áx*, TỤU)ỢỀ@")5"= đaprẻs 2.2 = Cx*, 710()*-ụ) ] = dỖaprés 2.7 = Cx*, 7Ể)Ợ ' @)ồ)Ợ = đaprẻs 2.6 = Ga), TUM)? -)> = = (x(x), (),(@)> = daprés 2,2 == Chiy(x), > Wot (i)
Soient P dans A,, x et Ừ dans My Ona
Leys) = [ay lUD)*xfP) = dỖaprés 1.5
= I(xy)n(P) = Waprés 1.5
= 2(hx¡(xy)P) = đ?après ()
= #Ư(px(y)) = dỖaprés 1.5
= #2IIp@i(y)2@))] =
== ⁄a(p⁄4(y)px¡(x)) = par hypothése
= (Helps (x))(%al pa) =
= 4 (hx) Peay) = dỖaprés 1.5
= (Xabi (X))H2(P Hala (V) ea(P) =
= Ữ(X})(P)bG}beƯ(P) = dỖaprés (i)
Trang 111ANALYSE HARMONIQUE NON-COMMUTATIVE 181
Ainsl x;(P) appartient 4 A, Donec, dỖaprés 1.10, on a 4o( Sy) s Sh
et, comme x, est involutif, on obtient (it)
LỖassertion (iii) se démontre de la méme manieére
2.9 THEOREME Soient K, et K, deux algébres de Kac On suppose quwil existe
une bijection linéaire isométrique multiplicative T de Palgébre de Banach Moy sur Palgébre de Banach M,,, Alors K, est isemorphe & &, ou Ky (cf [9], U.4) Plus précisément, st | désigne la transposée de T, on a:
(i) (WZ) appartient au groupe intrinséque de Kg
(ii) Pune au moins des deux assertions suivantes est vraie:
1) Papplication l, de M, sur M, définie par
xe Xl(D* (xe)
est un isamorphisme dỖalgébres de Kac de K, sur K, (en particulier, |, est un homomor-
phisme dỖalgébres de von Neumann)
2) |, est un antihomomorphisme dỖalgébres de von Neumann et l'application de M,
sur My définie par
x + J;Í(Dl@)*J: (x Ạ My)
est un isomorphisme dỖalgébres de Kac de K, sur Kj
Démonstration DỖaprés 1.10, 2.4.(i) et (ii), 2.8.(i1) et (iii), le couple de
projecteurs (S,, S,) définis en 1.10 vérifie les hypothéses du Lemme 1.3 appliqué a K, LỖun des deux projecteurs S,, et S, vaut done ặ
Supposons S,=/ Alors Papplication /, est multiplicative, involutive @aprés 1.6.(1), bijective et normale par construction; elle vérifie
{) =1 đ'aprẻs 1.6.0)
et aussi
Poly = 1 QIN, dỖaprés 2.3.(i)
Holy == ly dỖaprés 2.8,(1)
DỖaprés [8], IV 4, 7; est un isomorphisme dỖalgébres de Kac de K, sur Ky Supposons S, = / Alors lỖapplication 1; définie pour tout x de My, par
Trang 12182 JEAN DE CANNIERE, MICHEL ENCCK et JEAN-MARIE SCHWARTZ
est linéaire, multiplicative, involutive dỖaprés 1.6 (ii), bijective et normale de M, sur M, par construction Enfin, elle vérifie
1) = 1 daprés J.6.(i)
Poly = (fy @ IDL, daprés 2.3.(i) et [9], H.4 Mol p= [yey dỖaprés 2.8.(i) et [9], U4
DỖaprés [8], IV.4, / est un isomorphisme dỖalgébres de Kac de K, sur Kj
Ainsi (il) est démontré; (i) a été démontré en 2.1
2.10 LEMME Soit K une algébre de Kac, et K' Palgébre de Kac commutante ((9], TE.4) Soit w dans M,; on note wỖ P élément de Mj, défini par
_ ỘX,@0 3 = CJ/x*J, (0> (xe 47)
En notant 2' la représentation de Fourier du prédual My, on a
A'(@') == 2(a)
Démonstration, Solent ề et y dans # Pour tout ềde 44Ỗ, ona
6X5 (Wg) = CIN*S, Oyg> = (IN*Ty| 0) = (xSet| J)
Soient également B et d dans # Ona
(B| A'((@,,.)') 6) = (Wy ẹ f)| Ja @ 6) = dỖaprés [4], 2.1.5.(a), et ce qui précẻde
= (J @J) WE ệ J) (Jy ệ f)| Ju @ 5) : đ?après [9], 11.10 = (W(y ẹ JB) ằ @ JO = = (JỮ| À(@0Ấ,Ấ)Jđ)Ợ = đ'après [4], 2.1.5.(a), == (Bl JÃ(0,Ấ,)Jồ) =: = (B| A(w,,,)0) đaprès [4], 2.2.3, đ 'où le résultat
2.11 LEMME On se place dans le deuxiéme cas du (it) du Théoréme 2.9 On note 1; Pisomorphisme de K, sur Kj qui y est défini Pour tout wo de My, on a, avec les notations de 2.10,
Trang 13LANALYSE HARMONIQUE NON-COMMUTATIVE 183
Démionstration SoIt x dans Ảự; on a
(x, (,(@3Ọ = CHO), "> = C(x) wy = <x, (yl) = <x, TUMD* + @)> daprés 2.2, dỖott le résultat
2.12 COROLLAIRE Sotent K, et Ky deux algébres de Kac On suppose qu'il existe une bijection linéaire isométrique multiplicative T de Palgébre de Banach May,
sur Palgébre de Banach M,,, Alors ứ, est isomorphe @ ứ, ou a Ke (cf [9], IT.6)
Plus précisément, si | désigne la transposée de T, on a: (i) 1D) appartient au groupe intrinséque de Ky
(ii) i existe un isomorphisme dỖalgébres de Kac ệ de ứ, sur K, ou Ky (dans le premier cas I, est un homomorphisme dỖalgébres de von Neumann de M, sur Mo, dans le second cas cest un antihomomorphisme) tel que, pour tout ade Moy, on ait
(B ppy(4a(o))) = A(T)
(ot Bar désigne TVautomorphisme de M, implémenté par I(1) Ở cf [8] 1.9 et [2], ậ 2)
Démonstration Plagons-nous dans le premier cas de 2.9(1) Alors /, est un
isomorphisme de K, sur Ky LỖisomorphisme dual i, de K, sur K, est défini, pour tout m de Af,,, par
Í(2;(@)) = 2((,)Ấ(@}) = dỖaprés [4], 6.2.2
= 2,(T()* - @)) @aprés 2.2
Or, dỖaprés [1], 2.6(b), on a
HB (Al) = HAMM: 0) = A(T)
dỖaprés 1.6(i) et ce qui précéde Le théoréme est donc vérifié pour ệ = a hy
Placons-nous maintenant dans le deuxiằme cas de 2 2.201) Alors i; est un isomorphisme de K, sur Kj LỖisomorphisme dual iỖ 7, de KS sur K, (cf [9], 11.5) sera aussi, trivialement, un isomorphisme de K, sur Ky DỖaprés [4], 6.2.2, il est
défini pour tout wỖ de (M3), par
PAM @'Y) == A((7)Ấ(@) (notations de 2.10)
En utilisant les Lemmes 2.10 et 2.11, cela sỖécrit aussi
Trang 14184 JEAN DE CANNIERE, MICHEL ENOCK et JEAN-MARIE SCHWARTZ
Comune précédemment, on peut en déduire que le théoréme est vérifié en prenant
== Ip
2.13 COROLLAIRE Solent K, et K, deux algébres de Kac On suppose qui existe une bijection linéaire isométrique multiplicative T de V'aleébre de Fourier
A(K,) sur Palgebre de Fourier A(K) (cf [3], 3.2(ii)) Alors Palgébre de Kac Ky, est isomorphe à K, ou a@ KS Plus pr écisément, si (modulo les tsomorphismes cano- niques entre Ms et A(K;) (6 = 1, 2), voir [3], 3.2.00) 1 désigne Papplication linéaire
de Ms dans M, transposée de T, on a
(i) LE) appartient au groupe inirinséque de K,
(ii) iJ existe un isomorphisme dỖalgébres de Kac ệ de K, sur Ky ou KZ (dans le premier cas I, est un homomorphisme dỖalgébres de von Neumann de My dans M,, dans le second cas cỖest un antihomomorphisme) tel que, pour tout 0 de A(K,), on ait
P (Bin % 1% x(0))) = xs1aẤ(T(0))
Démonstration Compte tenu de [3], 3.7(@), ce nỖest que le corollaire 2.12
appliqué au couple (ứ,, K,)
2.14 COROLLAIRE Soient K, et K, deux algébres de Kac Soit ỔV una iso- morphisme normal de M, sur My tel que
T,W = (W @W) TT
Alors X est un isomorphisme dỖalgébres de Kac de K, sur Ky
Démonstration Appliquons 2.9 & Vapplication transposée Wy: Moy > Miys
qui vérifie les hypothéses de ce théoréme Mais, de plus, comme f est multiplicatif, on est dans le premier cas de 2.9(ii); enfin, comme on a nécessairement YU) = J,
on obtient le résultat
2,15 CoROLLAIRE Soit K = (M, F, x, @) une algebre de Kac Sỉ (M, F, #, ử) est une algébre de Kac, on a % == x et @ est proportionnel a @
Démonstration, On applique 2.14 a Papplication identique de M Ce résultat provient alors de [4], 5.1.2
Ainsi la donnée du coproduit FP détermine complétement la structure dỖalgébre de Kac
3 ISOMETRIES DES ALGEBRES DE FOURIER-STIELTJES
Trang 15LỖANALYSE HARMONIQUE NON-COMMUTATIVE 185
3.1 LEMME LỖopérateur M1) appartient au groupe intrinséque de W*(K,)
Deémonstration, La démonstration est cn tous points analogue a 2.1: il résulte en effet de 1.6(i) que /(/) est inversible (voir [3], 2.17)
A
3.2 COROLLAIRE LỖopérateur s,, (I) appartient au groupe intrinséque de Ky Démonstration Il suffit dỖappliquer [3], 2.21 (ii)
3.3 Lemme Soit K une aleébre de Kac En utilisant les notations introduites au paragraphe 2 de [3], on pose:
Q= {Q;Q projecteur de W*{K), O # L, 5,x(0) < O @ Q}
Alors Q posséde un plus grand élément, et max Q = I Ở supps,
Démonstration 1 est clair que le projecteur J Ở supps, est différent de /
(sans quoi on aurait 2 = 0) De plus, on a
(5, ệ 8) Spxqg(l Ở supps,) = sƯẤẤÚ Ở supps,) = dỖaprés J3], 2.20)
= of,s,([ Ở supps,) = 0 dỖaprés [3], 2.14(iii)
Done
Saxq(f Ở supps,) Ạ Ker(s, ẹ /)
dott
(#) Sex, Ở supps,) < U Ở supps,) @ I De plus, on a
88v ( Ở supps,) = xs,(1 Ở supps,) = 0 đaprès [3], 2.16 donc
s(J Ở supps,) < J ~ supps, et, comme sy est involutif, on en déduit
(ak) Sv Ở supps,) = J Ở supps; On peut alors écrire
5,Ừ x(ỳ Ở SIPPSƯ) = 5,4,(84(F Ở supps,)) =
= o(Sy ẹ Sy) Syx,2 Ở supps,;) < dỖapres [3], 2.4(1)
< a(sy(J ~ supps,) @ 1) = đỢaprẻs (+)
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Finalement, en utilisant encore (*), il vient
xxx -~ supps,) < (ặ Ở supps,) @ (/ Ở supps;,)
et ainsi J Ở supps, ẠQ
Soit maintenant QO ẠQ Alors
P(s,(Q)) = B;(s,(Q)) = Paprés [3], 2.14(iv)
= 05;.(Q) = đ'après [3], 2.14Gii)
= ử(s; @ ậ;) Sex) < dỖaprés [3], 2.2(ii)
< o(5, @ 8,) (9 @Q)= par hypothése
= 5,(Q) ệ s,(Q)
Il résulte donc de 1.4 que s,(Q) est égal 20 ou J Supposons s,(Q) = J; cela équivaut
a Q> supps,, ce qui implique
Q + (2 Ở supps;)> 1,
Pot
3xx Ấ(@) TT 8xx Ở supps,) 2 Il
et donc, a fortiori,
Q @Q + ( Ở supps,) ẹ U Ở supps,) > 1@L
Comme Q et IỞsupps, sont différents de J, cela est impossible dỖaprés 1.1 On a donc s,(Q) == 0, soit Q < J Ở supps,, dỖou le lemme
3.4 LEMME Avec les notations de 1.5, on a
Ể,)Ấ(ử) = TƯỢ)":Ú) Ở pour tout Đ de BỂ;)
(1, étant ultrafaiblement continue, on peut considérer sa transposée (1) BUK:) > B(K,)),
De plus, si 0 est positif, TU(D* + 9) Pest aussi
Démonstration La démonstration de la premiére partie du lemme est en tous
points identique a celle de 2.2
Supposons 0 positif, et x positif dans W*(K,) Alors
éx, ()Ấ(0)> = <IJ(x), 85 > 0
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3.5 LEMME Avec les constructions et notations de 3.3 associées aux deux algébres de Kac K, et Ko, on a
1(Q,) = Q)
Démonstration Soit @ EQ, Comme /, est un isomorphisme de Jordan, /,(Q) est un projecteur de W*(K,):; cde plus, il est différent de J car on a clairement
que /(Q) = J équivaut a O= TS
Soient @ et 6Ỗ positifs dans B(K,) On a
(Spy xnel(Q)), VQ = (ẤẤẤ,((ử) 1)*),0 @ 03 = Ở daprés 1.5 = Ạ%,xẤ(ử)Q)* @ /)*),0 @ 03 = dỖapres 3.1
= (Sn, x nol(Q)), (L)* + 0 @ 1Q)* + OD = = ỀI(9), d1)" + ử)x(0)* + 833 =
l <ử, T(0)*- 0)xd)# + 8))Ế =
= (Q, TUD* + 0')+T()* - 0)Ừ = par hypothése = Say xni(Q), TUD* : 0) @ TUD)* +0) <
< {2 @O, THMD*: 0) ệ TUD*: 0) = dỖaprés 3.4 = <Ó, 70(D7 - )> <Q, TUD*: 0)> =
= Qs (ID) (QO, I) x(O = @aprés 3.4 = <1(Q), 9) <4(Q), 0 =
= Ch(ử) @ J,(Ó), 0 @ 0}
En utilisant le Lemme 1.2, on en déduit
Sex nil(Q)) < 4(Q) @ LQ) et donc /,(Q) appartient a Q)
On a ainsi 1,(Q\) < Q, Comme /, est bijective, on montrerait de méme
1T1Q;) < Q,, dot le résultat
3.6 COROLLAIRE On a /,(f Ở supps, ) = ỳ Ở supps,,
Démonstration Il suffit Vappliquer 3.3 en considérant que /; respecte Vordre
3.7, LEMME Soit K une algébre de Kac; un élément 0 de B(K) appartient
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A
Démonstration Soit @ dans M,, Pour tout x dans Kers, on a
&x; (S2)Ấ()} Ộ= &s;(x), op) =0
Ainsi tout élément de A(K) sỖannule sur Ker s, (voir [3], 3.2(i1)) Réciproquement,
soit 6 Ạ B(K) tel que <x, 0) = = 0 pour tout x de Kers, On peut alors définir une
application linéaire @ sur M en posant:
<s,(z), o> =<z,9> pour tout z de W*(K)
En fait, @ apparait comme la composée de la restriction de 0 à Valgébre réduite W*(K)supps.Ừ par Visomorphisme canonique entre W*(K)upps, et M; @ est
A
donc ultrafaiblement continue, ct appartient ainsi A 4, On trouve alors facilement
9 = (5,)(@), ce qui achéve la démonstration
3.8 LEMME On a I(Kers,,) = Ker s;,
Démonstration LỖidéal Ker s,, est engendré par le projecteur ặỞ supps;,
Soit x dans 47*(K,) Comme /, est un isomorphisme de Jordan (1.6(ii)), on a
1 ,
ự(xỂỳ Ở supps;,)) = 5 [i() hữ Ở supps;,) #Ể Ở supps;,) hCv)] = = @)Ể Ở suppsƯ,),
daprés 3.6 Comme /, est bijectif, on a donc /,(Ker s;,) = Ker s,,
Comme /(f) est unitaire et Ker s,, est un idéal bilatére, le lemme sỖen déduit
3.9, COROLLAIRE On a T(A(K,)) == ACK)
Démonstration Soit @ dans B(K,); T(0) sỖannule sur Ker s,, si et seulement si 9 sỖannule sur /(Ker s,,) = Kers,, (dỖaprés 3.8) DỖott le résultat, grace 4 3.7 3.10 DEFINITION La restriction de 7 4 A(K,) vérifie les hypothéses de 2.13 TL existe donc un élément u du groupe intrinsằque de K,, et un isomorphisme dỖalgé- bres de Kac & de K, sur K, (ou KY) tels que, pour tout ử de 4(K,), on ait
%(8,(araẤ())) = xẤ(70) Déterminons plus préclsément:
LỖapplication Gade Mi est ,une bijection linéaire isométrique de Mow sur Min qưon notera 7 Soit 7: M, - M, sa transposée Par 2.13, on au = 1⁄0) En trans posant la relation T(s;,) = (S1,)% 7 qui déựnit T, on obtient
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par définitions de /et Ona ainsi
ú = Í{1) = s; (1)
3.11 LEMME Avec les notations de 3.10, on a PBs @(⁄28Ấ())) =: xmẤ(T0))
pour tfout ử de Z(K;)
Đớmonstration Pour simplifer, on posera == Be gy: DỖaprés 3.10, la relation est démontrée pour les éléments de A(K,) Soit w dans My Rappelons que (s;Ấ)Ấ((9) est élément générique de 4(Ể&;), et que ACK,) est un idéal bilatére de B(K,) ((3], 3.6) En appliquant 3.10, on trouve donc
ệ(0@zmsẤ(0*(Ọ;,)()))) Ở mẤ(T(03(5;,)Ấ(69)))
soit
PB 2x Toy (OVP Px sTagl85,)g(O) = Ky My 7(3am7(S2,) (6) puis, en utilisant & nouveau 3.10
PB x Mo (O)PB HoT re (Sigg) = Ky My T(O)P Px oTou(S;.)4(@)
se qui sỖécrit encore, grace 4 [3], 3.7(i)
ệxẤm,(096BÀẤ(@) =Ở zvmyy 7) PBA)
On obtient alors le résultat en faisant tendre Ao) vers I
3.12 THEOREME Solent K, et K, deux algébres de Kac On suppose qu il existe une bijection linéaire isométrique multiplicative T de Valeébre de Fourier- Stieltjes B(Ky) sur B(K,) Alors Valgébre de Kac Ky est isomorphe a K, ou Kằ Plus précisément, si | désigne la transposée de T, on a:
() s;,((Ể)) appartient au groupe intrinséque de Kp
(11) il existe un isomorphisme dalgébres de Kac ệ de K, sur K, ou K{ (dans le premier cas I, est un homomorphisme dỖalgébres de von Neumann de W*(K,) sur W*(K,), dans le second c'est un antihomomorphisme) tel que, pour tout 0 de B(K,), on ait
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3.13 COROLLAIRE Soient K, et K, deux algébres de Kac Seit ỔYF un iso-
morphisme normal de W*(K,) sur W*(K.) tel que
ng xa = (Y &@ NỀN ym
(autrement dit, ầ respecte les coproduits canoniques sur W*(K,) et W*(K.)) Alors, il existe un isomorphisme dỖalgébres de Kac ệ de Ky sur K, tel que, pour tout
de Myx,
X(m(9)) = Ty(@ 0 ệ) On en déduit que
sy P= Psy
ệ% 7,
Démonstration On applique 3.12 4 Vapplication transposée ỔP,,: 8(K,) > B(K,) Comme Y est multiplicative, on se trouve dans le premier cas; de plus
comme (I) = J, il existe un isomorphisme ẹ de K, sur K, tel que pour tout ử
de B(K,) on ait
ửỂ;m;Ấ(0)) = HT yl Py(0))
Comme ệ ox, = x, ồệ, cela sỖécrit aussi
ệ(m;Ấ(ử)) Ở= mẤỂfẤ(0))
On a donc, pour tout w de M,,,:
ỀWỂ(@)), 0 = <@, mẤ Ấ(033 =
= a, ệm,Ấ(0)> Ở = C@ ồ ệ, 7;Ấ()> =
= Ềm;(Ủ 9 ệ), 0Đ
doll le premier résultat DỖautre part, on a sự (0) = Sq Ta(co oD) = = To(@ồd) = = 1,(@ 2ồ Box) = = 7(wồxX,ồ P) = = Yn (m@ồox) = = WZ,(@) == = Wy Ti((9), ,
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4, APPLICATIONS
Dans ce qui suit, G,G, et G, désignent des groupes localement compacts
4.1 PROPOSITION Soit G un groupe localement compact La repr ésentation réguliére gauche 4, réalise un isomorphisme bicontinu de G sur G(KS(G))
Démonstration Notons 2 la représentation de Fourier de -4(G), Soit u
dans le groupe intrinséque de KS(G) La forme linéaire sur A(G) définie par (0) r> <u, & pour 0 dans -Ộ(G),,
est un caractére sur A(G), non nul Donc, dỖaprés [5], Th 3.34, il existe s
dans G tel que
<u, O> = A(8)(s) = (Ags), OD
pour tout 0 de Ộ(G),, et donc w= A,(s7) De plus, Papplication s+Ừ A,(s4)
Ổainsi définie de G sur le spectre de.(G),, (ou de A(G)) est bicontinue dỖaprés ce méme résultat, dỖot: la proposition
4,2 PROPOSITION Soit ệ un isomorphisme dỖalgébres de Kac de KS(G)
sur KS(G,) (resp de KA(G) sur KA(G,)) Alors, en utilisant les notations de [4], 8.1.3(b) (resp 8.1.1(b)), i] existe un unique isomorphisme bicontinu ề de G, sur Ge
tel que ệ = KS(a) (resp ệ = KA(a))
Démonstration Soit ệ un isomorphisme entre deux algébres de Kac K, et K,;
il est clair que la restriction de ệ a G(K,) est un isomorphisme bicontinu de G(K,) sur G(K,)
Dans le cas olf ệ est un isomorphisme de KS(G,) sur KS(G,), notons ề la transmuée par Ag, et Ag, de cette restriction Alors, dỖaprés 4.1, @ est un iso- morphisme bicontinu de G, sur G2, tel que, pour tout s de Gj,
Pli6,(8)) = 2,9)
Autrement dit, on a ẹ = KS(x)
Dans le cas ot! ệ est un isomorphisme de KA(G2) sur KA(G,), lỖisomorphisme dual & est un isomorphisme de KS(G,) sur KS(G,) DỖaprés ce qui précéde, il existe un isomorphisme bicontinu ề de G, sur G, tel que @= KS(ệ), dot le résultat, par dualité ((4], 8.1.4(c))
Enfin, Punicité résulte de [4], 8.1.6
4.3 REMARQUE Les deux résultats précédents figurent déja dans [4] (8.2.9(b) et 8.3.1(b)); mais ils y sont.prouvés en utilisant le théoréme de Wendel Les démons-
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apparaissent donc comme des corollaires des deux propositions ci-dessus et des
résultats des Chapitres 2 et 3
4.4 COROLLAIRE (Wendel [12] (resp Johnson [6])) Sort T une bijection linéaire isométrique multiplicative de L\(G,) sur L4G.) (resp de M*(G,) sur MX(G,)) Alors, il existe
(1) wa caractére % sur Gs
(it) un isomorphisme bicontinu ề de Gz sur G, tels que, pour tout f de I(G,) et presque tout s de Gs
(Tf) (8) = X(5) f(a(s))
(resp pour toute mesure pp de M\(G,)
Tu = yo "(u))
(Dans le premier cas, on suppose les mesures de Haar sur G, et Gy conyena- blement normalisées.)
Démonstration LỖalgébre L1(G;) est le prédual de lalgébre de Kac KA(G;) (resp M1(G,) est Valgébre de Fourier-Stieltjes associée a Valgébre de Kac KS(G,), daprés [3], 4.7) (= 1,2) Rappelons dỖautre part que le groupe intrinséque de
KA(G,) se compose des caractéres sur G, ({2], 3.1)
Donec, en appliquant 2.12 (resp 3.12) on voit quỖil existe un caractére 7Ỗ sur G,, et un isomorphisme dỖalgébres de Kac @ de KS(G,) sur KS(G,) (car KS(G.)% == KS(G2)) tels que, pour tout f dans Ứ1(G)),
(#) Al T) = OB y46,.P))
(resp pour tout # dans M1(G,)
Ag (TH) = PBy 76)
ou Ag, désigne la représentation réguliére gauche du groupe G,, voir [4],-8.1.7 (resp [3], 4.7)
On calcule aisẻment que, pour tout f dans ặ1(G,) (resp pour tout ề dans MG)
(+) BẤ(^ụ(f)) = +ụ(XẶ)
(resp Buel) = Ag AxỖ H))
DỖautre part, dỖaprés 4.2, il existe un isomorphisme bicontinu
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tel que ệ = KS(aỖ), cest-a-dire #ử(2Ư,(3)) == 2s,((s)) pour tout s de Ớ; En mté-
grant, on trouve, les mesures de Haar ayant été convenablement normalisées, pour
tout f de L(G.) (resp pour tout ề de M1(G,))
(x#ệ) ệ(2s)) = 2Ủ, ụ 7Ợ)
(resp ệ2e,09) = AgfaỖ ())
Finalement, on trouve, en revenant 4 (x)
dg ATL) = PUG ALP) = dỖaprés (#)
== 4a(/) 4ẼỢ) dỖaprés @++)
dỖou, comme J, est fidéle, pour presque tout s de G,
(Th) (s) = Ke Ms) fe")
(resp Ag (TW) = (46,0) = daprés (ar)
== Ag (a'(yỖp)) dỖaprés (*#*)
et donc
Tụ == x4) = @ saỢ 09)
On obtient le résultat en posant
x=⁄ 9swỢ!,w=ụ TT,
4.5 COROLLAIRE (Walter [II] sSoit 7 une bỤjecHon linéaire isométrique
nuiltiplicative de A(GỂ\) sur A(G;) (resp de B(G,) sur B(G2)) Alors, il existe
(i) un élément s de G,
(ii) un isomorphisme bicontinu x de Gz sur G, ou G9? tels que, pour tous t
de Gy et f de A(G,) (resp B(G,))
(T/)(t) = f(s 'z@))
Démonstration DỖaprés [3], 4.6 (resp 4.4), aux représentations de Fourier prés, on a A(G,) = A(KA(G;)) (resp B(G;) = B(KA(G,)) G@ = 1,2) Donc, en appliquant 2.13 (resp 3.12), on voit qu'il existe ềdans G(KS(G,)), et un isomorphisme @ de KA(G,) sur KA(G,) ou KA(G,)ồ = KA(G$""), tels que, pour tout f de A(G,)
(resp B(G,)),
(#) Tf = O(BAf))
DỖaprés 4.1, il existe s dans G, tel que u = Ag,(s) On a alors, pour tout f de Lẹ(G,) et ằt de G,,
(+) (Bog oP) O = fs
Trang 24194 JEÀN DE CANNIERE, MICHEL ENOCK ct JEAN-MARIE SCHWARTZ DỖautre part, dỖaprés 4.2, il existe un isomorphisme bicontinu x đe G, sur G, ou GP? tel que ẹ = KA(a), cỖest-a-dire
(ee#) G(f) = fed
Finalement, on trouve, en revenant a (ề), pour tous ằ de G, et f de A(G,)
(resp B(G,))
TNO = Big iP) @O) = dỖaprés (ae)
= Ặ 144) đỢaprẻs (+),
Wot le résultat
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JEAN DE CANNIERE MICHEL ENOCK et JEAN-MARIE
Katholieke Universiteit Leuven, SCHWARTZ
Departement Wiskunde, Laboratoire de Mathématiques
Celestijnenlaan 200B, Fondamentales (CNRS-ERA nồ 746), B-3030, Leuven, Université Pierre et Marie Curie,
Belgique, 4 Place Jussieu, F-75230
Paris Cedex 05
France,