J OPERATOR THEORY 8(1982), 95 129 © Copyright by INCREST, 1982 i
SUR LES REPRESENTATIONS ET IDEAUX DE LA C*-ALGEBRE D’UN FEUILLETAGE
T FACK et G SKANDALIS
INTRODUCTION
Soit (V, #) une variĩtĩ feuilletĩe Dans [1], A Connes lui associe une C*-algĩbre C*(V, #) Cette algĩbre joue le rôle des fonctions continues sur l’espace compact
singulier X des feuilles de # Jl est naturel d’espĩrer lire certaines propriĩtĩs de
Pespace X sur C*(V, #) Nous montrons que:
1°) C*(V, #) est simple si et seulement si ¥ est muni de la topologie grossiĩre,
i.e si le feuilletage est minimal (Thĩorĩme 2.6)
2°) C*(V, F) est primitive si et seulement si X a un point dense, i.e si le feuilletage est transitif (Proposition 2.8)
3°) Dans le cas moyennable, C*(V, #) a une reprĩsentation d’image les opĩ- rateurs compacts si et seulement si X a un point fermĩ, i-e si le feuilletage a une feuille
compacte
Les reprĩsentations de l’algĩbre des fonctions continues sur un espace compact X correspondent a la donnĩe d’une mesure sur X et d’un espace de Hilbert alĩatoire (de base X)
A Connes introduit dans [1] les notions analogues pour l’espace des feuilles d’un feuilletage Ce sont celles de mesure transverse et de reprĩsentation du grou- poide d’holonomie
Nous montrons ici qu’ĩa toute reprĩsentation de C*(V,#) correspond un couple (A, U) ot A est une mesure transverse et U une reprĩsentation du groupoide @holonomie (Thĩorĩme 4.2)
Dans le cas de feuilletages provenant d'une action de groupe de Lie sur une variĩtĩ, les articles de Sauvageot [12] et Gootman-Rosenberg [6] donnent une description satisfaisante de l’espace des idĩaux primitifs Nous gĩnĩralisons leurs mĩthodes et leurs rĩsultats au cadre des feuilletages (Propositions 7.3 et 7.6)
L’organisation de cet article est la suivante:
Au premier paragraphe, nous fixons les notations et ĩtablissons quelques
Trang 296 T FACK et G SKANDALIS
Dans le second paragraphe, nous montrons Ia minimalitĩ de la norme de C*(V, #) Nous en dĩduisons la caractẻrisation de la simplicitĩ de Œ°(F,.Z)
Le troisiĩme paragraphe est consacrĩ A quelques observations sur la notion de mesure quasi-invariante
Le quatriĩme paragraphe ĩtablit la correspondance entre les reprĩsentations
de C*(V, #) et les couples (A, U)
Au cinquiĩme paragraphe, nous ĩtudions quelques propriĩtĩs ĩlĩmentaires đe Ïinduction
Au sixiỉme paragraphe, nous associons ă une reprĩsentation factorielle z
de C*(V, #) un idĩal primitif induit dont nous prouvons au paragraphe sept qu'il
contient le noyau de z et lui est ĩgal pour # moyennable
Nous remercions M Alain Connes qui nous a suggĩrĩ ce problĩme et fait bĩnĩficier de judicieuses remarques
1 PRELIMINAIRES
Nous reprenons essentiellement les notations de A Connes [], § 7]
Soit (V, #) une variĩtĩ feuilletĩe compacte de classe C™ Notons pla dimension
et q la codimension de ce feuilletage Pour xe V, soit 7, la feuille passant par x Notons # le graphe de la relation d’ĩquivalence sur V correspondant 4 la partition
en feuilles
Soit G le groupoide d’holonomie (ou graphe) du feuilletage On notera G®) -=: V l’ensemble de ses unitĩs et G® l’ensemble des paires d’ĩlĩments composables Soient ret sles applications but et source de G dans G) = V On identifiera V4 une partie de G Pour A, B < V, on posera:
G4 = r~1(A) G = r~1/Ð n s—1(B)
Soit Q = U x T un ouvert trivialisant de V (avec U connexe) Les ensembles {u} x T sont appelĩs des transversales de 2 et T Ja transversale Les ensembles
U x {t}, pour te T sont appelĩs plaques de Q On notera G(Q) le groupoide de la
restriction du feuilletage 4 Q; c’est un sous-groupoide de G qui s’ĩcrit en coordonnĩes locales
G(@) = U x U x T
Deux systĩmes de coordonnĩes locales Q= x 7 et Q’=U'x T dans V sont dits compatibles si, en dĩsignant par d (resp d’) l’application d(u, t):- t
(resp d‘(u’, t’) = 1’), il existe pour tout xe Q et tout pe Q’ tels que d(x) «= d’()),
un ĩlĩment y € G tel que h(y)d, = d, (ott h(y) est le transport d*holonomie des germes
Trang 3C*-ALGEBRE D'UN FEUILLETAGE 97 distinguĩes en y == r(y)) Posons alors
W(d', d) == {ye G | s(y) €Q, ry) €Q! et h(V) dey) = diay}
En coordonnĩes locales, on a W(d', d) = U' x U x T Les W(d, d'’) constituent un atlas de G munissant G d’une structure de variĩtĩ feuilletĩe (G, v) La topologie de G n’est pas toujours sĩparĩe; pour plus de simplicitĩ, nous supposerons dans la suite que cette topologie est sĩparĩe, mais en indiquant dans quelles parties cette hypothĩse est cruciale
1.1 PROPOSITION Pour tout recouvrement de V par des ouverts trivialisants, il existe un recouvrement plus fin par des ouverts trivialisants (Q,, .,2,) tel que l'on ait pour tous i,j tels queQ,0Q; 4 @:
i) i existe un ouvert trivialisant Q tel que QA, 9, c 9, ii) toute plaque de Q, rencontre au plus une plaque de Q,
Preuve Soit (W;) un recouvrement de V par des ouverts trivialisants Soit eø > 0 le nombre de Lebesgue de ce recouvrement pour une mĩtrique sur V
i) il suffit de prendre des Q; de diamĩtre < 2/2 ii) rĩsulte du Lemme p 103 de [10] (cf aussi [9], p 337)
1.2 DEFINITION Un recouvrement de V par des ouverts trivialisants (Q,, ,Q,)
vĩrifiant les conditions i) et ii) dela Proposition 1.1 sera dit rĩgulier
1.3 PROPOSITION G est une rĩunion dĩnombrable d’ouverts dela forme W(d, a’); il est donc & base dĩnombrable
Preuve Soit (Q,, .,2,) wn recouvrement rĩgulier de V Pour toute suite fime (j, .,7,) đ'indices, G(Q;,)G(Q;,) Ớ(, ) est soit vide, soit un ouvert de la forme W(d, d') que nous noterons alors W(j,, ., jf) Les Wj, «5 /p) Tecouvrent
G La proposition s’ensuit Q.E.D
Munissons #@ de la topologie image de celle de G par l’application (r,s) On a:
1.4 Proposition I/ existe une section borĩlienne y : # > G Preuve
Œ, s)(W(q, đ)) = {(x, y)e V X Vl xedomd, yedomd’ et d(x) = d’(v)} est clairement borĩlien De plus,
(r,s): Wd, a’) > (r, s)(WEd, @'))
est un homĩomorphisme, car les projections de # dans V sont continues et la topo-
Trang 498 T FACK et G SKANDALIS
posons
B= (r, SMWINC @ s))) - k«m~
La section y donnĩe par
1Ð; = (7, s)7t : B, —> W,,
_est alors borĩlienne QED
1.5 REMARQUE Soit (Q), ,2,) un recouvrement rĩgulier de V par des
ouverts trivialisants Si (Wen est un recouvrement de G tel que
W, us G(Q,), H, == G(Q,),
on a dans la dĩmonstration de 1.4:
v yeG(Q;), y(r(y)), sy) =
Soit « une section continue, strictement positive en tout point, du fibrĩ {A ¥ sur V (densitĩs d’ordre 1 du fibrĩ tangent au feuilletage) Pour toute feuille 7, nous noferons #Ý Ja mesure correspondante sur¢ et pour x € V, nous noterons «* au lieu
de x“s, Soit v »= s*(«) la fonction transverse sur G associĩe A x; pour xe GY ~- F,
v* est la mesure provenant de «* par le revítement s : G*¥ >/„
Soit C (0) espace des fonctions continues 4 support compact sur G Notons que, pour fe C,(G), Papplication x e V > \ f(y) dv*(y) est continue, de sorte que est aussi un systĩme de Haar (cf [11], p 22)
1.6 Notation On notera @ Valgĩbre involutive C,(G) pour les opĩrations
(+80) =\/09s0-tdv90)
f°) = fy)
Nous poserons dĩsormais 70) = f(y~Ð) Pour @ ouvert trivialisant, on notera F(Q) la sous-algĩbre C,(G(Q)) de G
Pour xe V, soit Ry la reprĩsentation involutive de 9 dans L*(G*, v*) dĩfinie
par sả
(RÐ@) = \0-99/09400
Soit C*(V, #) la C*-algĩbre complĩtĩe de 2 pour la norme
fll = sup RAI
Trang 5C*-ALGBEBRE D'UN FEUILLETAGE 99
Nous aurons aussi 4 considĩrer C*(G), la C*-algĩbre enveloppante de la com- plĩtion de Y pour la norme
Wl, = max(sup| f(y] dv*(y), sup\ fal ara)
xEV xEV
La C*-algĩbre C*(V, #) est un quotient de C*(G)
1.7 REMARQUE Soit Q =: U xX T un ouvert trivialisant Avec des notations ĩvidentes, on a (cf [1], Proposition 7.7):
C*(Q, F) = C(G(Q)) = X @ CAT)
ol & est Valgĩbre ĩlĩmentaire des opĩrateurs compacts dans L*(U) La C*-algĩbre C*(Q, ¥) s'envoie donc isomĩtriquement dans C*(G)
1.8 LEMME Soit (Q,, .,2,) un recouvrement rĩgulier de V par des ouverts trivialisants Soit (jy, .,4,) une suite finie d’indices, et posons
W(d, d) = G(9,)60(9,) 0(9,)
Alors, RQ; ) * 2(9,,) Roe + (9) est total pour la topologie de la convergence
uniforme dans C,(W(d, d'))
Prewe Dĩmontrons d’abord que, pour 3 systĩmes compatibles de coordonnĩes locales Q=:UXT, Q=U'X T et Q" =U" x T, dont on note : Ø > 7, d’ 2 Q' > T et d’:Q" > T les projections naturelles, l'ensemble C.(W(a, d’)) #
* C(W(d', d‘) est total dans C,(W(d, d')) Or, on a, en coordonnĩes locales:
(fe flan", 0) = _ u’, tyfy(u', uw", 8) dat(u’)
et les applications de la forme (uw, u”’, t) > f(wg(u'i(t) sont effectivement obtenues
Le lemme s’en dĩduit par rĩcurrence Q.E.D
1.9 PROPOSITION i) C*(Q, F) admet une unitĩ approchĩe dans FQ)
ii) pour tout recouvrement (Q,, ,9,) de V par des ouverts trivialisants, les algĩbres C*(V, F) et C*(G) admettent des unitĩs approchĩes dans B(Q,) +
woe + BQ,)
Preuve i) Immĩdiat
ii) On peut, quitte 4 raffiner, supposer que le recouvrement est rĩgulicr Pour tout i, soit (w/) une unitĩ approchĩe dans A(Q,) de C*(Q;, F) Soit (@y, ., Op) une partition de l’unitĩ subordonnĩe au recouvrement (Q,, ., 2,) Posons:
am 2
n đọ,
wy) = J er)? wets)?
in}
Trang 6100 T FACK et G SKANDALIS
Il suffit de vĩrifier que ui « f— f (dans C*(G)) pour f dans @ A support dans
G(Q;) G(Q; ) == W(d, d’) On a:
a 1 1 a 1, J
Wefe- ¥en uleres)? *f ¥ (pion) 2ue(o.er)?f
fo] fel
1
pour tout ¡, on a supp((@; sr)5/) c G(Q,)- Wt(d, d)
Pour tout c> 0, il existe une somme ñnie v ites avec /*c 20), kế
1
supp(?) c H(d, 4), gíe 2 et |(@,°r)°/—- 3) /®g?l¡ <e (Lemme 1.8) Alors: &
Wwaf—fl= Yen iule(gon?f (ens <
1
nhị \2 (da fhe of Kn ok)
` > ip or)” (upase * gp fF ears
eT) k=)
le second membre converge vers 0 (la norme est ici celle de C"(V, #), qui coincide
avec celle de C*(G) dans W(d, d’)) Q.E.D
1.10 PROPOSITION Supposons que G soit sĩparĩ Soient Y a V et xeV Alors, R, est faiblement contenue dans {Ry\,ey si et seulement sixe (_} $
yeY
Prewe Six€ĩZ- Us il existe fe @ telle que f(x) 40 et f(y): = 0 pour
¥
ye G%, Ona R,(f)40 et R,(f) = 0 pour tout ye Y
Rĩciproquement, supposons que xe Z Soit alors (z,) une suite d’ĩlĩments convergeant vers x avec Z, cấy }„€ Y Pour ƒe Z2 et GE CAG), ona:
lim(R (fe) = CRIED
car G est sĩparĩ La proposition rĩsulte de la densitĩ de (fx; fe C.(G)} dans
12(G*, v*) Q.E.D
1.11 REMARQUF Si G n’est pas sĩparĩ, R, faiblement contenue dans {Ry}yey implique encore x & Ws: La rĩciproque est fausse y
2, EQUIVALENCE ENTRE MINIMALITE DU FEUILLETAGE ET SIMPLICITE DE C*(V, #)
Dans I’ĩtude de la dynamique de Z, la minimalitĩ est une propriĩtĩ importante Nous montrons ci-dessous que la minimalitĩ de F est ĩquivalente 4 la simplicitĩ de C*(V, #) Ceci rĩsultera du thĩorĩme suivant
Trang 7C*-ALGEBRE D'ƯN FEUILLETAGE 101
2.1 THĨORỈME Pour une reprĩseniation involutive mœt de 2, continue pour la topologie limite inductive sur Y, il y a ĩquivalence entre
1) x est injective;
ii) Pour tout ouvert trivialisant Q, x|Q(Q) est injective;
iii) Pour tout x € V tel que Gt = {x}, ona
Ini > IRANI Fe); 1V) |x(ƒ)| 2 Ifllew.%) (fe)
De ce thĩorĩme, on dĩduit immĩdiatement
2.2 COROLLAIRE La norme de C*(V,F) est la plus petite C*-norme sur Q Dans [11], J N Renault montre que la norme donnĩe par C*(G) est la plus grande C*-norme sur Y On peut donc prendre dans le Thĩorĩme 2.1 une reprĩ-
sentation a de C*(G)
Notons que 9(Q) a une seule C*-norme
Preuve du Thĩorĩme 2.1 Les implications iv) = i) = ii) sont immĩdiates
iii) => iv) dĩcoule du lemme suivant et de la Proposition 1.10
2.3 LEMME L’ensemble X des points x € V tels que Gz == {x} est un Gs dense
Preuve Soit W(d,,d,) un recouvrement dĩnombrable de G Pour tout x,
posons £, -= {x e dom(d,) N dom(d,)|d,(x) = di(x)} et F, = E, — E, X est le
complĩmentaire de la rĩunion des F,, qui sont rares Q.E.D Pour ii) > iii), nous aurons besoin des lemmes suivants:
Soient 2 == U x Tun ouvert trivialisant et x e Q avec GZ = {x} Ona:
2.4 L—eMME Soit K un compact de G Il existe un ouvert Q' saturĩ dans Q
avec x € Q! et KN Ga & G(Q)
Preuve Soit p la projection de Q sur T Supposons qu’il existe une suite y, d’ĩlĩments de Kn G3 avec p(r(y,)) et p(s(y,)) convergeant vers x, et y, ¢ G(Q) En
composant 4 droite et 4 gauche par des ĩlĩments de G(Q), on obtient une suite (y,) d’ĩlĩments de G(Q)KG(Q), r(3z), s(y„) convergeant vers x, y}, ¢ G(Q) G(Q)KG(Q)
ĩtant relativement compact, on peut supposer que (y,) converge Sa limite appartient a G% et est donc x Ceci est absurde car G(Q) est un voisinage de x Q.E.D
Soit € e C(U,) ot Ứ, est la plaque de x dans 2 telle que
\ lš@)I*dz*() = 1
Trang 8102 T FACK ect G SKANDALIS
Pour fe BQ), posons
olf) = \\ AMEGONEF)) da*(s(q) dx")
U
Uyx x On a, en identifiant /, avec G*:
2.5 LEMME @ se prolonge de maniĩre unique en un ĩtat o de C*(G) De plus, on a:
Pf) = (RAPE ED (fe CAG)
Preuve Soit g un prolongement de w 4 C*(G) Soit (x4, H,, ĩ,) la reprĩ-
sentation GNS associĩe a ø Soit fe & Soit Q’ un ouvert saturĩ de Q contenant x
et tel que Gon supp(f) < G(Q) (Lemme 2.4) Soit 7’ == p(Q’) et identifions U & U, Tl existe une fonction ge C,(T’), g(p(x)) == 1 telle que Ja fonction Fe 4(Q'):
Fu, u’, t) == g(t)e(u) E(u’)
soit de norme | dans C*(Q, :¥) done dans C*(G) On a ø(Ƒ): : @(F) = 1 dot
Tal Pep ~ cọ *
ef) = tol f)Eo cu) ae (to( F% f # tia ị câ =
= OF % f # F) == (RA Fe fe FES) Q.E.D Alors
Fin de la dĩmonstration du Thĩorĩme 2.1, Soit x une reprĩsentation de C*(G) dont la restriction 4 @(Q) soit fidĩle pour tout Q Soit x  V avec GƠ = {x} Soit
« comme dans le Lemme 2.5 La restriction de x 4 C*(Q, F) ĩtant fidĩle, m peut
ĩtre considĩrĩ comme un ĩtat de n(C*(Q, #)) Soit @ un prolongement de w a
m(C*(G)) (cf [8], Proposition 3.1.6., p 43) Posons g = @on On a nm, > : (nx) on
Or, R, est irrĩductible et 7, est ĩquivalente a R, Q.E.D 2.6 THĨOREME C?(W, #7) est simple si et seulement sỉ 2 est ninùnal
Preuve Sil existe une feuille “, non dense, la reprĩsentation R, nest pas fidĩle (Proposition 1.10), et C*(V, #) nest pas simple
Supposons inversement que ¥ soit minimal Soit x une reprĩsentation de C*(V, #); montrons que sa restriction 4 C*(Q, ¥) est fidĩle Le Thĩorĩme 2.1 (Œ) = ¡v)) donnera le rĩsultat
Trang 9C*-ALGEBRE D’UN FEUILLETAGE 103
X est ouvert et Q, XN Q;X est donc saturĩ dans tout ouvert trivialisant, donc
dans V Comme & est engendrĩ par les 2(Q’), (ef Proposition 1.8), il existe un Q’ avec x|C*(Q’, #)40 Done X#V Par minimalitĩ, YAO et 2|C*(Q,F) est
fidĩle Q.E.D
2.7 EXEMPLES
2.7.1 Solent V une variĩtĩ compacte, @ un difĩomorphisme đ°Ânosov dc
classe C® et ¥ le feuilletage stable correspondant Supposons que est transitif # est alors minimal et C*(V, ¥#) est simple (Thĩorĩme 2.6)
Soit « le diffĩomorphisme de classe C® de V x R dĩfini par
a(x, t) = (eX), f 1),
ct soit W le quotient de V x R par laction de Z Le fibrĩ TF & TR dĩfinit par
passage au quotient un feuilletage minimal sur W
Il y a de holonomie et les mĩthodes de Sauvageot, et Gootmann-Rosenberg sont inefficaces La C*-algĩbre associĩe est cependant simple
2.7.2 Soit [ le groupe fondamental d’une surface de Riemann M de genre 22 I agit sur le revĩtement universel de M, qui est le disque de Poincarĩ D Consi- dĩrons aussi [F comme sous-groupe dense de SU(2) et soit V = [\D x SU(2), muni du feuilletage ¥ par disques de Poincarĩ Cc feuilletage est minimal et C*(V, F) est simple Notons que, I n’ĩtant pas moyennable, C*(G) n’est pas simple
Une autre propriĩtĩ topologique des feuilletages peut se traduire sur C*(V, F) Rappelons qu'un feuilletage ¥ est (topologiquement) transitif s'il admet une feuilie dense ou, de fagon ĩquivalente, si tout ouvert saturĩ non vide de V est dense 2.8 Proposition C*(V, F) est primitive si et seulement si F est transitif Preuve Si F est transitif, ’ensemble des x e V avec Z, dense est un Gs dense (c'est intersection des Ũ, ou U, est une base de la topologie de V et U, Je saturĩ
de U, dans V) D’aprĩs le Lemme 2.3, il existe x ¢ V tel que 7, soit dense et G% = {x}
D’aprĩs [1] (Proposition 7.5.b), R, est irrĩductible et d’aprĩs 1.10, elle est fidĩle Si F% n’est pas transitif, il existe deux ouverts saturĩs non vides disjoints U,, U, de V Pour fi, fo, g € G, supp(f;) < Gi ona /ñ*g*# = 0 Pour x reprĩ- sentation irrĩductible, on a z(ƒ/¡) = 0 ou m(ƒ§) = 0 Q.E.D 3 MESURES QUASIL-INVARIANTES ET FEUILLETAGES
Nous ĩtudions, en vue des paragraphes suivants, la notion de mesure quasi- invariante dans les feuilletages
Trang 10104 T FACK et G SKANDALIS
ii) De plus, s'il existe un homomorphisme borĩlien 6 du groupoide G dans
R} tel que ð(# s v) = po v, on dira que pz est de module 5, Rappelons que
nef) = \ 9⁄7) dụ(3),
et que
Ms v(ƒ) =e v(),
3.2 REMARQUES
3.2.1 Avec les notations de [1, § 2], 4 est de module 6 s‘il existe une mesure transverse A de module 6 telle que ¿ =: 44,11, Thĩorỉme 2.3, p 43]
3.2.2 Solent ¿ et deux mesures ĩquivalentes sur V On a: i) ©st quasi-invariante sỉ et seulement sĩ ¿ Ï'est
ii) est de module 6 si et seulement si yx’ est de module 8’ ot ổ{2) =
" dy’
= d(~A(r(y)A(s(y))71, avec A une dĩtermination borĩlienne de 1 ate ụ
3.2.3 Soient @ -= U x Tun ouvert trivialisant, et une mesure sur @ les
conditions suivantes sont ĩquivalentes:
i) est quasi-invariante
it) Si wp = \B,dA@) est une dĩsintĩgration de yu, alors Ø, est ĩquivalente a la T
mesure de Lebesgue sur U, pour /4-presque tout f
11) Tl existe une fonction borĩlienne f sur Q, f(x) > 0 pour tout xe Q telle que pt’ = f~ 14 soit invariante, i.e vĩrifie yw’ 6 v <= pl’ e V,
La condition (iii) montre que y¢ admet pour module (f or)(f es)73
3.3 PROPOSITION Soit yo une mesure sur V Les conditions suivantes sont ĩquivalentes :
i) Jl existe un homomorphisme borĩlien 6: G + R* tel que p soit de module 8; ii) La mesure wt est quasi-invariante ;
ili) Il existe un recouvrement rếgulier (O\, ., Q„) avee HỊQ, quasi-invariante pour tout i
Preuve i) = ii) = iii) est immĩdiat
Soient 2 une mesure sur V et (Q,, ., Q,) un recouvrement rĩgulier tel que feQ,; soit quasi-invariante La dĩmonstration de iii) = i) repose sur les lemmes suivants:
Trang 11C*-ALGEBRE D’UN FEUILLETAGE 105
Preuve Soit J Yensemble des suites finies 7 = (7,, ., 7,) d’entiers infĩrieurs ou ĩgaux an On a:
N=UN,
ied
avec
i) = s(GN 9 GQ; ) tee G(Q,,))-
Il en rĩsulte que N est borĩlien Montrons que N, est nĩgligeable Pour
T= (iy ey ty) Ot Lo = (iy ey ies tear), On a: Nự = s(G”! n G3, ))
Comme N, est saturĩ dans 2, , il suffit (par rĩcurrence) de prouver que N,, est
p-nĩgligeable, pour i= 1,2, ., Or, GY NG(Q,) est wo v nĩgligeable, et donc
—— —
jee v nĩgligcable Or, pour x € My, (GX N G(Q,))~1 n’est pas v*-nĩgligeable Q.E.D
Pour j= 1,2, .,m, soit w; une mesure ĩquivalente 4 |, et invariante dans 2; (cf Remarque 3.2.3 iii)) Soit (g;) une partition de Punitĩ subordonnĩe aux Q,
n
Posons p= J piu; La mesure yp’ ĩtant ĩquivalente a p, il suffit de prouver
i=
la condition i) pour x’ (Remarque 3.2.2, ii)) Soit f,;; une dĩtermination borĩlicnne du;
de Ti * dans 2; Q;, constante sur les plaques Ly
3.5 LEMME J/ existe un borĩlien saturĩ nĩgligeable Ny de V tel que pour tout x de X == V— N, et i,j,k tels que xe Q;NQ;NQ,, on ait:
fi ¡(x)/„Œ) = fu(3X)
Preuve L’ensemble Ni, = {xe@9,nQ,n,|ƒ/,(x)/„(*)#ƒ„()} est un borĩlien saturĩ fiĩgligeable dans 2; Q;N Q, Son saturĩ N,,, dans V est nĩgli- geable (cf Lemme 3.4) Posons
Trang 12106 ‘ T FACK et G SKANDALIS: Cette dĩfinition ne-dĩpend pas de i, ef-on a:
OC )O(Pe) == O72) pour 71, 72 © G(Q;)
3.6 Lumme ff existe un borĩlien saturĩ nĩgligeable N tel que, pour tout X€N et toute suite finie (yy,° , Vy) avec 4, € G(Q;,) CE TH )gìm Ấy ÔN Git O(y,) O(9,) == 1
’ Preuve.* Pour toute suite finie J = (4, .,%) avec ipo i, et Me CƠN 2y avec 7 € G(Q;,) posons 0,(7): = 601) 0(y,) Ceci est indĩpendant de la
dĩcomposition y -= y, y,, 6 ĩtant un homomorphisme sur G(Q.)
L’ensemble G(Q;).- G(Q;,) est ouvert et invariant 4 gauche et a droite par G(Q;): il existe donc un ouvert saturĩ Q dans nh tel que G(Q;) 1 GQ, 1 (2; )-
:= G(Q)
Posons A, := {yceG(Ø)[ð,()#ðG@9)} L’ensemble A, cst borĩlien, invariant a gauche et a droite par G(Q); il existe done un borĩlien saturĩ N, dans Q tel que
A, -= GIN GQ)
Pour f= fietfree #f,, fe BQ) et fre AQ; ), on a:
Vuid org) = ụ (y~!)ô(y~1) dụ, e v(y) == ụ £ # /,Œ) dự e VỆ) = = 0798/79 dy’ o v(y)
et donc (Lemme 1.8) N, est nĩgligeable On prend N = Ly Q.E.D 7
Fin de la dĩmonstration de la Proposition 3.2 Posons
Š(y) == 0(y,) O(,) SỈ y =7 y @ŒN
ố(y) -l sỉ yeŒ ,
Alors, 6 est clairement borĩlien et d’aprĩs [1, Proposition 7.12], il existe une mesure
transverse localement finie A de module o telle que yp’ == A,
3.7 REMARQUE La mesure transverse A ĩtant supposĩe construite, le Lemme 3.4 rĩsulte alors de [1, Proposition 2.8.b]
Le lemme suivant nous sera utile au § 7:
3.8 LEMME Soit A une mesure transverse de module 6 Alors, il existe un homomorphisme borĩlien 6’ tel que:
i) ð() = | pour r) == 5);
Trang 13C*-ALGEBRE D'UN FEUILLETAGE 107
Preuve ii) ĩquivaut a Texistence d’un borĩlien saturĩ A-nĩgligeable N avec O(y):= 6'(p) si rly) ĩN L’ensemble N= {xe Vj 6|G¥41} est clairement borĩlicn Comme 6 est un homomorphisme, N est saturĩ Pour Q ouvert trivialisant, soit
8:={ycŒ130(y) e GQ) avec r(p(y)) = r(y) et s(@()) = s0}
B est borĩlien dans G
Posons fe-: A, Soit f une fonction borĩlienne bornĩe & support compact sur G On a:
V0) dito v(y) = S; /øy)du s v0)
B cửu *€G/0)
ct done
0798079 e 9(ÿ) = 7980079) s (7)
B B
On en conclut que d(y) = d(p(y)) pour jpev-presque tout y de B Soit
B's 2 {ye Bl d(y) 44(p(y))} B’ est po v-nĩgligeable et invariant a gauche et a droite
par G(Q) Donc, pour x dans r(B’), B’ West pas v*-nĩgligeable et r(B’) est alors v-nĩgligeable Comme r(B’) = NQQ, N est nĩgligeable Il suffit de modifier 6
en posant 6’ == | sur ỚN, Q.E.D
4 DESINTEGRATION D’UNE REPRESENTATION
La dĩsintĩgration d’une reprĩsentation de C*(G), et donc de C*(V, F) a
dĩja ĩtĩ obtenue par P Hahn [7] et J.N Renault [11], Thĩorĩme 1.21, p 65 et Lemme p 69] dans le cadre gĩnĩral des groupoides localement compacts, moyennant de faibles hypothĩses
Cependant, dans le cadre du graphe d’un feuilletage, cette dĩsintĩgration se fait non seulement ĩlĩmentairement mais aussi rĩguli¢ĩrement (cf Thĩorĩme 4.2 ci-dessous) en utilisant la structure locale du groupoide d’holonomie
4.1 DEFINITION (cf [1, Dĩfinition 4.1]; comparer avec [11, Dĩfinition 2.1.6., p 52] Nous appellerons reprĩsentation borĩlienne de G un couple (H, U) ot H est un champ borĩlien (de base V) d’espaces de Hilbert ect U un champ borĩlien dđunitaires Ú(y) : Hy > Huy vĩriiant
U()U(y) = U(yy)_ pour tout (7, ype G
Le but de ce paragraphe est d’ĩtablir le rĩsultat suivant:
Trang 14108 T FACK et G SKANDALIS
reprĩsentation borĩlienne (H, U) de G telles que:
đâ
i) # ~\ H.,dA,()
V
1
1) [x(ƒ)ĩ](3) = so) Ua IV") pour fe D, Ce H et xa V
Examinons tout d’abord la situation locale Soient Q =: U x T un ouvert
trivialisant et x une reprĩsentation de C*(2, #) d’espace essentiel %
4.3 PROPOSITION, i) II existe une mesure 4 sur T et un champ borĩlicn (Her despaces de Hilbert tels que, en posant pt = N dA(t), da reprĩsentation i est ĩqui-
r
` z ~ ® 4
valente @ la reprĩsentation x dans\ H,du(u, 0) dĩfinie par
2
GN, = VF dv*(y)
(r¢ G(Q), Ee \° A, dy(u,t) et xe a)
ii) Si (A, H) et (4, H’) sont deux dĩcompositions de n, alors j, est ĩquivalente a A’ et H, est isomorphe & H; pour 4-presque tout t de T
Preuve Ceci rĩsulte de lisomorphisme C*(Q,¥) = C,(T) @ # ol # est Valgĩbre ĩlĩmentaire des compacts dans L°(U) (cf [l, Proposition 7.7a, p 116]) et de la dĩcomposition des reprĩsentations des C*-algĩbres commutatives Q.E.D
On se fixe dans la suite une reprĩsentation non dĩgĩnĩrĩe 2 de C“(G)
Soient @ˆ°:+ U'xX T' « Q:= UXT deux ouverts trivialisants de V Notons zy et 1g les restrictions de 2 4 C*(Q, #) et C*(Q’, F), Vespaces essentiels Hy et Hr
Linclusion Q' < Q dĩtermine une application (localement un homĩomor-
phisme) g : T’ > T par la relation U’ x {t} ¢ Ux{g(n)}}
La Proposition 4.3 donne des dĩsintĩgrations (A, H, tp, Wp)et(’, H's ta, Woe), ot Wy (resp Wg’) est un unitaire qui entrelace zp et Hp (resp Ty et Za) On a:
@
4.4, COROLLAIRE i) Wo(H 9) = \ A, duu, 4);
#
H) HỊQ' ót p’ sont ĩquivalentes ;
ii) Il existe un champ borĩlien (V,),e17° d opĩrateurs 4'-presque partout unitaires Vi: Ay > Hoy, tels que
dy’ 2
(AWE©), := (2®) Vex
®
Trang 15C*-ALGEBRE D'UN FEUILLETAGE 109
@
Preuve Hg est Pespace essentiel de zy et \ AY, duu, f) est celui de Rarcona',¢): La
i) en dĩcoule
ii) et iii) expriment Tunicitĩ (4.3, ii)) en considĩrant les dĩcompositions
(2, M) et (@*(), Hs) de mạ Q.E.D
Dans tout ce qui suit, on se fixe:
1) un recouvrement rĩgulier de V par des ouverts trivialisants (Dĩfinition 1.2)
Q,, 22, .,8,,
2) une reprĩsentation non dĩgĩnĩrĩe x de C*(G) dans un espace de Hilbert de restriction z, a C*(Q;, #) d’espace essentiel # ;,
3) des dĩcompositions (A;, H;, W,;, 7,) de x; donnĩes par la Proposition 4.3
4.5 COROLLAIRE Soient Q;,;=Q;NQ; et Wi; = W,MW” : W,,nZ,) >
> W,,n#) On a: :
i) si Q,,-= O, H# , et H#; sont orthogonaux, @
ii) Wit ns) = \ Hy, duu 0),
9,
iii) |@Q;; ef 14'Q;; son ĩquivalentes,
iv) i existe un champ borĩlien (V;j(X))xe 24; d’opĩrateurs jt;-presque partout unitaires V;(x) : Aj, rand Fit, Gù x = (H¡, tị) = (H;, f;), teÌs que:
a) Vụ(mị, t) est indĩpendant de u, ,
1
đụ VY, _ (@
b) Wj(6)() = (7 V (DEQ) (: ° Hy dt, 0; xe],
ij
Prewe Sỉ @,n 9; = G, on a pour fe G(Q;) et ge BQ), fxg =0, dou
rf )r(g) =: 0 i) en rĩsulte
Supposons 2,;12;4@ et soit Q un ouvert trivialisant contenant 2;UQ; Soit 7g la restriction de za C*(Q, #) Le Corollaire 4.5 rĩsulte alors immĩdiatement
de 4.4 Q.E.D
Soit (2,) une partition de Punitĩ subordonnĩe au recouvrement (@,) Posons p= ` @;Hị -
fool
Pour i, j, les mesures y1;|Q,, et 4j/Q;; sont ĩquivalentes, donc p|Q; est quasi- -invariante JI existe alors (Proposition 3.3) une mesure transverse A de module 6 telle que p= A,
Pour x € V, soit j(x) le plus petit entier j tel que x € Q; Posons H, = Ayx) 1 six >: (u, t) dans Q,,) Pour x € V et j tels que x € Q,, on pose
Trang 16110 T FACK et G SKANDALIS
L’application x + j(x) ĩtant borĩlienne, les champs (/1,),e; et ((S)) ca, sont borĩliens De plus, pour tout j, V;(x) est /-p.p unitaire Soit
, (® ® H; ‘| H,,,duju, 0¬ Af, d(x) 2, j 2 J he dy i + (Wie), = - 1 ~ (xX) FYE, hy
Punitaire donnĩ par
et posons
: ~ @
W; -= W/HM, :Z, ¬ H.duG)
2)
@
4.6 PROPOSITION J] existe un unitaire W de # sur FT, du(x) dont la restric-
- Ỹ
tion 4 #; soit W,
Preuve Comme z est non dĩgĩnĩrĩe et que C*(G) a une unitĩ approchĩe dans
n
yy C°(Q;, F), les #; sont totaux
fecal
Pour ¢;6#; et ¢;6€H#H;, on a:
(WE |WE) =O = (#6) sĩ @,nQ, = Ø (Corollaire 4.5 i))
5i @,n@,#Ø, soit @ un ouvert trivialisant contenant @,U @,, et H2 Punitaire du Corollaire 4.4 On a:
CWENWE,) = (WaÊ,IWa;} = (Đ;l,)
đ
Tl existe donc une isomĩtrie W de # dans ( H,, du(x), et cette isomeĩtrie est clairement
Vy
surjective Q.E.D
4.7 LEMME J/ existe un borĩlien saturĩ A-conĩgligeable X = V tel que pour tout x € X et tout triplet (i,j, k), on ait:
i) si xEQ,NQ,, alors V; (x) est unitaire,
ii) st x€Q;NQ,NQ, alors V, (x)V;, (x) = Vy, (3)
Preuve Pour tout i,j, soit N;,; l’ensemble des xe Q,NQ; tels que E; ;(x) ne soit pas unitaire C’est un borĩlien saturĩ p-nĩgligeable dans 9; 2; (cf Corollaire 4.5, iv) a)) Soit N, ¡,¡ son saturĩ dans V Pour i,j,k, ona:
Trang 17C*-ALGỈBRE D'UN FEUILLETAGE 111
et donc
N,;;u= {x c9,n9,n@, Vi (AF Vy, (XV; 09}
—ớy ẳẶ_=
est un borĩlien y-nĩgligeable et saturĩ dans @,n @,n Ø, Notons W, „ „ son saturĩ dans V D’aprĩs le Lemme 3.4, les Ni; et les Ni, , sont des borĩliens A-nĩgligeables
On prend pour X le complĩmentaire de leur rĩunion Q.E.D
Pour y e GÝ n G(9,), posons
UQ@) = V*ứ0))V;@ø0))
Alors, U(y) est indĩpendant du choix de / tel que ye G(Q;) en vertu de 4.7, ii) Enfin, U(y) est unitaire en vertu de 4.7, 1) Remarquons que l’on a de plus:
(Wn SWE) = \ £80 FUE nO) pour fe 2(2)
4.8 Lemme J! existe un borĩlien saturĩ A-conĩgligeable X, < X tel que, pour tout x € X, et toute suite finie (y,, ., y,) avec 7; € G(Q;,) et yy =X, on ait:
O(y,)U(y_) Uy) = 1
Preuve Pour toute suite finie J = (i4, ,7,) avec ij =i, et p= Yr Vy
avec y;€ G(Q;,), posons U,(y) = U(y,) U(y,) Ceci est indĩpendant de la
dĩcomposition y =: y, y,, U ĩtant un homomorphisme sur G(Q;) N G*
L’ensemble G(Q;) G(Q,,) est ouvert et invariant a gauche et a droite par G(Q; ); il existe donc un ouvert saturĩ Q dans Q: tel que G(Q;) -G(Q;,) n G(Q;) =
=: G(Q)
Pour f=f,*fpx #f,, fe FQ) et fre B(Q,) ona:
(Wal fW*O), = \/60ê0)-7 Uld)E gy d*(9) - et
1
(Wal fy") Walt) ele = \7 (SQ)? UME sy AV")
pour €¢ \" FT, dui(x) Et le lemme se dĩmontre comme le Lemme 3.6 Q.E.D,
>
4.9 Fin de la dĩmonstration de 4.2 Pour x ĩ Ấy posons H, ==.0 Pour ÿ e Gro il existe py, -.-5 Yes VE G(Q;,) tels que y =?;¡ y; Posons U(y) = U(y,)
Trang 18112 T FACK et G SKANDALIS
4.10 CoroLiaire // existe une unique reprĩsentation p de C(V) dans # vĩrifiant p(ƒ)#(g) = a(for-g) fEeCV), ge
Preue
Existence La multiplication diagonale dans la dĩcomposition du Thĩorĩme 4.2
convient
Unicitĩ Cette formule dĩtermine entiĩrement p en prenant une unitĩ approchĩe
de C*(G) Q.E.D
La proposition ci-dessous prĩcise l’unicitĩ de la dĩsintĩgration
4.11 Proposition Soient (A,U) et (A’, U’) deux dĩcompositions d'une
mĩme reprĩsentation x de C*(G) Alors, il existe:
a) un borĩlien saturĩ nĩgligeable N de V,
b) une fonction borĩlienne h strictement positive sur V,
c) un champ borĩlien d’opĩrateurs W,, : H,, ~ Hz (x € V) tels que:
i) A=hA’,
ii) Wey Uy) = U()W¿y pour y ý G,
iii) W, est unitaire pour xĩ N
Notons 6 (resp 5’) le module de A (resp A’) Dans i), #A’ dĩsigne la mesure
hor
transverse de module 6’ dĩfinie par: hos
hA'(2) = 4Œ s s‹#)
Preuve Posons w = Â, et ¡ = A, Soit S un unitaire entrelagant les deux dĩcompositions de z Par unicitĩ de la reprĩsentation p (cf Corollaire 4.10), Puni- taire S ĩchange les multiplications diagonales On en dĩduit que p est ĩquivalente & yw’ et qu'il existe un champ borĩlien d’opĩrateurs 7, : H, > H, , y-p.p unitaires,
tels que:
1
S, =g(x)?7, pour p-presque tout xe V,
d ta
ou g est une dĩtermination borĩlienne de Sự (cf [8, Thĩorỉme 4.11.9, p 144])
H
De plus, comme S entrelace les deux dĩcompositions de z, on a T,„U() = U()T;¿y pour po v-presque tout ÿ 6 G
: , ˆ Sor ,
Enfin, l’ĩgalitĩ u = gy’ entraine 6 = — 6’ pe v-p.p
Trang 19C*-ALGEBRE D’UN FEUILLETAGE 113 L’ensemble
¬ Hă se 5) „-
Y=: JxeV| 7, est unitaire et, pour v*-presque tout y € G*, on a g(s(y) ?Q) =g£(3), H
7,Uq) = VOT}
est alors s-conĩgligeable
Soit (Q,, ., @,) un recouvrement rĩgulier de V par des ouverts trivialisants,
et y : @ -» G une section telle que l’on ait:
y(r(y), s(y)) = y pour tout y ¢ G(2;)
(cf Remarque 1.5) Pouri=1, ,7, YN Q, est p-conĩgligeable, et il existe donc une transversale T; de Q, telle que Y; = Yn T; soit conĩgligeable dans 7; pour la mesure A; == 4 , ou Vp, dĩsigne la fonction caractĩristique de T; (cf [1, p 40]) Soit B, < Y; un borĩlien 4,-conĩgligeable dans 7; Posons N; = QNB,, ou B; dĩsigne le saturĩ de B; dans Q; Soit N, le saturĩ de N; dans V Comme N; est un borĩlien j-nĩgligeable, N= U N ; est un borĩlien saturĩ y-nĩgligeable de V (Lemme 3.4)
Pour x ĩ N, posons A(x) = 1 et W, = 0 Pour x ¢N, il existe ie {1, , }
tel que x € Q,, ainsi que p € G(Q,) tel que s(y) = xety =r(y) EB; Posons
a(x) = 2 ™ op (x) đ@) g(r(y))
et
W = U()~!TuyUU)
Ce choix est clairement indĩpendant de /, et les conditions ii) et iii) sont vĩrifiĩes Comme 6 = h a 6’ hors de G¥, AA’ est une mesure transverse de module 6
°
Lĩgalitĩ 4, = ñ⁄1ý implique alors ¡) (cf [1, Thĩorỉme 2.3, p 43]) Q.E.D 4.12 REMARQUE Lalgỉbre C*(V,.#) se dĩfinit intrinsĩquement en rempla- cant les fonctions sur G par les sections du fibrĩ |A!1(y) (de base G) des densitĩs ordre 1/2 sur espace tangent a 4
A la mesure transverse A est associĩe une forme linĩaire positive C sur |A(F#) (courant dans le cas orientable), en posant:
C(x) = A(s*(a))
Trang 20114 T FACK et G SKANDALIS
(cf [1, Proposition 7.13, p 121]) Avec les identifications ĩvidentes de
ro)
1 2 1
(?2),- avec - (4 *Z),¿„y @ (A1?2)sœ
et đe
1 1
(Al2Z)„ avec (Al2G*%,
le Thĩorĩme 4.2 s’ĩnonce alors:
Pour toute reprĩsentation x de C*(V, #) dans un espace de Hilbert #, existe une reprĩsentation borĩlienne (47, U) de G et une mesure transverse A de module 6, telles que !’on ait, en notant C le courant associĩ:
x=\" (H, @ |AIEF,)dC
1
et pour toute fe C,(!Aj2g) et tout eH:
[r/)šI(s) V000)” *UQ)(Ĩ,¿))-
G*
5 REPRĨSENTATIONS INDUITES
Soient xe V et G% le groupe d’holonomie en x Pour toute reprĩsentation
unitaire continue o, de G% dans un espace de Hilbert H, nous allons dĩfinir une reprĩsentation induite Indo, de C*(G) et ĩtudier quelques propriĩtĩs ĩlĩmentaires de
x
ces reprĩsentations
Soit # lespace de Hilbert des applications v*-mesurables €: G* > H vĩrifiant: i) (gy) == o,(g)(y) (ge Gz, y € G*)
li) \ 0014260) < +œo, ceci ayant un sens ă cause de i) ¿ x
Le rĩsultat suivant est classique:
5.1 PRoposiTIon Posons, pourfeDetEe XH:
[Z„()¿Ì) = V090) dv*(y’)
G*
On dĩfinit ainsi une reprĩsentation involutive de Z dans XH qui se prolonge en une reprĩ-
Trang 21C*-ALGEBRE TD'UN FEUILLETAGE 115
5.2 DEFINITION (cf par exemple [I1]) On dira que Z, est Ja reprĩsentation
induite de a, & C*(G), et on la notera o, += Indo,
xv ,
5.3 REMARQUES i) Soit # = /?(/,, ø*) @ H, -Soit y:2 Ớ une section borĩlienne de l’application (r,s) donnĩe par 1.4, Alors, lapplication U: X > #
dĩfinie par
UY) = Els, YI
est un isomorphisme d’espaces hilbertiens et ¢,, peut ĩtre rĩalisĩe dans # au moyen
de U On a alors:
(anf )E(y) = \/ [r(x, y)~1y]ø„yyŒ, s())~'1êœ(Œ)) dy*()
, " G* : , " "
ii) Soit p, la reprĩsentation rĩguliĩre droite de G* Alors, Vapplication V: L*(G*, v*) > KH dĩfinie par (VE(y)\(g) = E(gy) est un isomorphisme d’espaces
de Hilbert qui entrelace R, et Z„
Soit (¢,);e7 un champ mesurable de reprĩsentations de GX ott (7, m) est un
espace mesurĩ standard On a ĩvidemment:
3.4 LEMME Avec la Remarque 5.3 i), Inde, a une structure naturelle de
x
champ mesurable de reprĩsentations, et ona:
® ®
ina o,dm(t) = \ (Indo, )dn{t)
r
Soit ye G et posons x = r(y), y = s(y) Pour toute reprĩsentation o de G; dans H, notons yo la reprĩsentation de G dans H dĩfinie par °
(yo)(g) = ơ(y~'gy)
Il est immĩdiat que:
5.5 LEMME Indo et Tndyø sont deux reprĩsentations ĩquivalentes
_' 8oit 4° un opĩrateur du commutant de ø, dans H Posons, pour Gem ¢ et
7G G* : (T,E)(y) => A(Q)) On a:
5.6 LEMME i) T, est un ĩlĩment du commutant de 6, == Indo, dans X ii) Le commutant de o, dans XH est exactement l -enisemble des opĩrateurs T ,
Trang 22116 T FACK et G SKANDALIS
Preuve i) Immĩdiat
ii) Soit Tun ĩlĩment du commutant de ¢, Pourfe Get €,ne #, ona:
(6(f)Tĩin) = (Ta (f)Eln) = (6AS)EIT*N), soit
\ Hy yKTEy)Inty)) avy) der(s)) =
x ⁄vxG
= \ #œ~1y)<¿0œ.0?n0)) 20) dz*QsQ))
oe
Cette ĩgalitĩ reste vraie pour toute f borĩlienne Or, 7, est borĩlienne dans V et Papplication :
t,x G3(y,7) > 70, ye G
est un isomorphisme borĩlien qui transforme la mesure x* @ v* en 4*e v, 0ù
@* s 9)(/) = »⁄(/) z0)
ể x
On en dĩduit:
CTE(y in) = KO UT* Ny)
z* @ v*-presque partout Il existe alors A ¢ f( #1) tel que
TĩŒœ) = A0)
et ĩgalitĩ Tĩ(gy) = đ„(g)TŠ(y) impose ă 44 đ'ítre đans le commutant đe ø„ Q.E.D, 5.7 COROLLAIRE i) Indo, est irrĩductible ou factorielle si et seulement si
x
co, Test
ii) Soient A < H une partie totalisatrice pour o, et gp € L*(¢,, %*), 9 40 Alors {p@ĩ | € € A} est totalisatrice pour Indo,
x
5.8 PROPOSITION Soient o, et 7, deux reprĩsentations de GX Alors, si o, est
faiblement contenue dans x, , Indo, est faiblement contenue dans Indr,
x x
Trang 23C*-ALGEBRE D’UN FEUILLETAGE 117
est limite d’ĩtats associĩs A Indz, Or,
x
(Indo(f)\(o ® Ie ® ¢) =
| \ øG()GG, »)~»)@0)Âø,(yy(x, s(3))~J£l£) dv*(y) da#(y) =
xe
vEG", yee,
.eG * t
= Y <o,(g)¢lĩ) | ol2) f(y, Ye (x, z))@G) da*() da*(2)
x?
La proposition rĩsulte alors du fait que l’application
g> \ @(Œ)f0(, y)~'gy(«, z))@Ĩ0) da*(y) da*(z) ÂN H
appartient a 71(G%) Q.E.D
5.9 On s’intĩresse dans ce papier 4 C*(V, #), et donc aux reprĩsentations de
C*(G) faiblement contenues dans (R,).ey La Proposition 5.8 nous montre que
c'est le cas des reprĩsentations induites 4 partir des reprĩsentations faiblement con-
tenues dans la reprĩsentation rĩguliỉre de Gx
5.10 DEFINITION Soit Jun idĩal de C*(G) On dira que c’est un idĩal primitif induit s'il existe x ¢ V et une reprĩsentation irrĩductible a, de Gz tels que
J = Ker(Indo,)
Si, de plus, J > (7) Ker(R,), on dira que c'est un idĩal primitif induit de
xEV
C*(V, #')
5.11 PRoposirion C*(G) a une reprĩsentation x d’image P'algĩbre dĩs compacts si et seulement si F a une feuille compacte
De plus, si le groupe dholonomie de cette feuille compacte est moyennable, on peut prendre pour x une reprĩsentation de C*(V, #)
Preuve Soit ?, une feuille compacte La reprĩsentation Ind‘, , ot ¢, est la reprĩsentation triviale de dimension 1 de G%, est irrĩductible et, pour tout ouvert trivialisant Q, x(C*(Q, F)) < # (car QNĩ,, est rĩduit 4 un nombre fini de plaques) Rĩciproquement, soit x une reprĩsentation de C*(G) d’image les compacts
Soit (A, U) une dĩsintĩgration de x Pour tout ouvert trivialisant Q, 2(C*(Q, ¥)) est incluse dans %, et donc le support de A dans Q est discret Pour tout x dans le
Trang 24118 T FACK et G SKANDALIS
6 IDEAL PRIMITIF INDUIT ASSOCIE A UNE REPRESENTATION DE €%(G)
Soit z: - (A, H, U) une reprĩsentation factoriclle de C*(G) (cf Thĩorĩme 4.2) Pour x € V, notons o, la reprĩsentation de Gz dans H,:
Ø„(g) = U(g) Le but de ce paragraphe est de dĩmontrer
6.1 Proposirion KerIndo, est un idĩal primitif Cinduit) pour A-presque tout
x
x De plus, cet idĩal est essentiellement constant
La mĩthode utilisĩe pour dĩmontrer 6.1 est celle de J L Sauvageot [12],
adaptĩe a notre cadre
Soit 2 ensemble des couples (#7, 7) ot #7 est um sous-groupe d’un GE ct yeH & est un groupoide dont l’espace des objets est ’ensemble 2 des sous- “gfoupes des groupes d’holonomie, avec:
r_H, 2z) Trở s(H, +) a: H
(CH, YH, y') = (H, y9
x est une partie de 4(G) x G ot #(G) est espace des parties fermĩes de espace localement compact G, muni de la topologie de Fell
Rappelons que la topologie de Fell est mĩtrisable compacte (cf [4]) Une
base d’ouverts est formĩe des
UC, O)~- [Fe #4(G)| FaC=:O et Fnco#Ø pour tout œc @}
Qù est un compaet de Ớ et Ø un ensemble fini douverts non vides de Ớ
Pour tout /7¢ 2), soit ẤP la mesure de comptage sur # Soit M(G) Uespace des mesures de Radon sur G, muni de la topologie de la convergence vague
6.2 Lemme i) LZ est compact mĩtrisable
ii) H > 2” est un homĩomorphisme de © sur son image dans M(G)
Preuve i) Soit F dans le complĩmentaire de 2 et construisons un voisinage
ouvert de F ne rencontrant pas 5),
Si F=@, «“(G™,@) convient
S’il existe y, »’e F avec r(y)45(7’), (Ø, {GŒ?, Œœ}) convient ot @ ‘et 2’ sont des ouverts sĩparant r(y) et s(y’)
Si F c Gxet s'il existe y, y’ e F avec 77’~? € F, il existe un voisinage compact € de yy ~!,Cn F = Get des voisinages ouverts « et w’ de yet y’ tels que @œ~1 c €
Alors @(C, {@, w’}) convient
Trang 25C*-ALGEBRE D'UN FEUILLETAGE 119 ii) D’aprĩs j), ¡1l sufft đe prouver que, pour toute ƒe Œ¿(Œ), l’application
H — A*(f) est continue Fixons He ® ct e > 0 Comme A est discret, H n supp(f) est un ensemble fini {y,, ., %} Pour i= 1, .,k, soit w,; un voisinage ouvert de
w, tel que Papplication (r, 5): a; V x V soit injective et tel que:
(Vyeo) If) —frdl< : k
Soit C+ supp(f)\LJ @; Alors,
i=]
H'e#(C, {œ;, , œ}) n Z4) = IAP(ƒ) — AH(ƒ)| <e
Q.E.D
REMARQUE Ce rĩsultat reste vrai mĩme si G n’est pas sĩparĩ, la topologie de Fell restant compacte dans ce cas (cf [4])
6.3 COROLLAIRE i) 2 est un groupoide localement compact
ii) H — A en est un systĩme de Haar.’ Preuve i) & est fermĩ dans 2 x G
ii) Pour fe C(2™) et geEC(G), Ha 1*(f @ g) = f(A)A%(g) est continue
Q.E.D
Notons C*(3) la C*-algỉbre du groupóde Ỉ (cf [12], § 2)
A He et o, reprĩsentation de A, on associe la reprĩsentation (7, ø) de
C*(2):
(H, of) = 3 ƒ(H,1)ø0) vEH
Si o est factorielle ou irrĩductible, il en est de mĩme pour (F; a) Enfin, toute
reprĩsentation factorielle de C*(Z) est de ce type (car C() est inclus dans le centre de C*(Z)) On a donc LN A CŒ*2)= LIA Her” —— ^ Œ*2)= LỊ H nex PrimcC*(Z) = LJ Prim(#) Hes
D’aprĩs la Proposition 5.8 et le Corollaire 5.7, & tout idĩal primitif ¿ e PrimGš c PrimC*(2) est associĩ un idĩal Ind/ de C*(G) par la condition
KerInds = Indi si Kero == i
Gĩnĩralisant la Proposition 5.8, on a:
6.4 LEMME (cf [12], Lemme 4.2 et Corollaire 4.3) L’application PrimC*(Z) > L] PrimG* 3/ > Indie PrimC*(G)
x€V
Trang 26120 T FACK et G SKANDALIS
Preuve Solt (;==(X; , w;));e ¡ où w); est une reprĩsentation de Gi Supposons que #ạ = (Xạ, tạ) Soit faiblement contenue dans (z,);e, Le Lemme 6.4 revient 4 montrer
que (Indy je, contient faiblement Indi Notons H; lespace de w, (je JU (0}) et H, 2 tự, #2) @ H, (cf 5.3) Vespace de Indwj xạ est adhĩrent a {xy} jay, et on
peut supposer que x, et xy sont dans un ouvert trivialisant Q Soit Ae C.(G(9))
Pour je J ou j 0, soit hye tự, +”) donnĩe par
h/(y) = hŒ@Œ¿; 4)
et soit ĩ,e H, Comme en 5.8, on a:
CInd,( $j đ@Đj)h,đ 6) =
vd
= VY (m(8)6l6} \ hlZ)F Vp YY BMX Dly(y) da U(y) daz) +
sec *; tx, x CT
= XY he f eligi, (ele) seu /
J
Le lemme rĩsulte alors du fait que (H, 2) > (h «f + ñ)(g) appartient ă C,(2) Q.E.D
^^ —
Posons 2 = LJ G¥ qc C*(2) On a: xEV
6.5 LEMME = est borĩlien
TA
Preuve Soit i Papplication naturelle de C*(Z) dans PrimC*(2) Elle est
borĩlienne (cf [2], 7.2.2) Soit S l'application naturelle PrimC*(2) -> 2 Elle est continue car si (H;, 0;);¢, contient faiblement (Hy, 6), Hy est adhĩrent a {H/;}je, -
= ¬
Ona 2 U(x, DEV x C*(2){ S(i(Z)) = GE} Or application x —> G¥ est borĩ-
lienne d’aprĩs 6.2, ii) Q.E.D
Soit p application naturelle de Š dans F Posons
P= {(c, ye x GE] r(y) = ple}
C’est un groupoide mesurable avec
TO) = §
Trang 27C*-ALGEBRE D’UN FEUILLETAGE 12)
ou ù y 1š dĩsigne y™ esigne ia Classe la classe de de uaSl-equivalence quasi-ĩquival des des re resentations reprĩ ions y~1w (we €) y~*w (we › et (EE, y= (yy) (yt = &)
Notons encore p l’application de dans G dĩfinie par p(ĩ, y) = y Il est clair que p(y) est une fonction transverse pour I’
Soit 2 = (A, H, UV) une reprĩsentation de C*(G) Pour x V, soit ơ, la repvĩ-
sentation de G% dans HA, dĩfinie par o,(g) == U(g) Notons encore (¢,) (x e€ V) la reprĩsentation (GŒ*, ơ,) dc C*(2) associĩe ă ơ„ Le champ (Øy)x„e y est manifestement borĩlien Posons
®
r= \ ơ„du(x) Vv
(cf [12], Dĩfinition 5.2) r ne dĩpend pas du choix de (A, H, U) en vertu de la Proposition 4,11 Soient ® r= \ redm(¢) o~ c*(<) la dĩsintĩgration centrale de r (cf [2], 8.4.3) et m= \" dy’(x) Ữ
une dĩsintĩgration de m selon l’application naturelle C*(2) > V On a:
LEMME 6.6 i) p’ est ĩquivalente ad A, et, pour w'-presque tout xeV,
đ
redm,(Â) est ĩquivalente a o,
“~~
es)
ii) La mesure m est portĩe par &
4 oo — z - `
ili) La mesure m est I'-quasi-invariante, i.e mo p*(yv) est ĩquivalente a mo p*(v), iv) Sin est factorielle, m est ergodique
Preuve On raisonne comme Sauvageot ({12], Remarque 5.3 et Lemme 5.4) 1) Posons
, ®
o, = r<dm,(¢)
—_—
c*(=)
Ceci a un sens pour /'-presque tout xe Vet ona
@
Trang 28422 T FACK et G SKANDALIS
On en dĩduit ([2], 8.2.4) que y’ est ĩquivalente 4 A, et que a} est ĩquivalente ao, pour p’-presque tout x On prendra y’ == A,
®
ii) Pour presque tout x, \ redm,(C) est une dĩsintĩgration centrale de o,
“~~ ¬ cz)
et mm, est portĩe par @œ cẽ
ili) Pour y € G, les reprĩsentations ya,,,, et o,:,, sont €quivalentes puisqu’entre- lacĩes par U(y) Par unicitĩ de la dĩsintĩgration centrale, les mesures 1,4; €E P1242)
sont ĩquivalentes pour A, o v presque tout y Posons
dự Hy ny)
gc)
(p(&) = c0): où ổ est le module de A A est une fonction mesurable sur I et on a:
A(ễ, y) = Š() ~ (¢)
Ame p* o p*(v) = ma p* *(¥) iv) Soit # l’espace de x Ecrivons
@ @
H = \ H.dAG) 4 He dm(Â)
đ
ou H; est espace de r, Pour fe@ et -\ nạ đn(Š) e2, on a:
z
nf yn) = V640, PU Nn, 29) dC)
g?()
Donc a un borĩlien invariant de Z correspond un ĩlĩment de 2(C*(G))’ De plus comme 1(C*(}}))” cn(C*(G))”", cet ĩlĩment appartient au centre de n(C*(G))” Q.E.D 6.7 Fin de la dĩmonstration de 6.1 (cf [12], Lemme 5.4) L’application ể -+ Ker(Indr,) de = dans Prim(C*(G)) est borĩlienne (Lemme 6.4), constante sur les orbites de I (cf 5.5), donc m-essentiellement constante car m est standard et PrimC*(G) est dĩnombrablement sĩparĩ
Pour A,-presque tout x et pour m,-presque tout ¢, on a KerIndr, =: J oul est un idĩal primitif induit fixe Comme
©
Inde, = \ Indr,dm,(¢) (cf 5.4)
on a KerIndø„ = TI pour A, -presque tout x
Or KerIndơ, est constante sur les orbites et KerIndø„ = =I pour A-presque
Trang 29C*-ALGBBRE D'UN FEUTLLETAGE 123 7 ABONDANCE DIDEAUX PRIMITIFS INDUITS -
“At prĩcĩdent paragraphe, nous avons associĩ 4 une reprĩsentation factorielle
nx de C*(G) un idĩal primitif induit /, : :
_ Nous montrons maintenant que SỨ, contient Kerz (Proposition 7.3) et qu'il lui est ĩgal sous certaines hypotheses de moyennabilitĩ (Proposition 7.6)
Les mĩthodes utilisĩes sont ~ pour la premiẻre partie — celles de [6] et pour la deuxiĩme celles de [12, § 6]
Soit z une reprĩsentation factorielle de ce (G), et soit (A, H, U) une dĩsin- tĩgration de œ (Thĩorỉme 4.2) telle que:
(Waef) (VyeŒG7) dy) =1 (Lemme 3.8)
Dans ce paragraphe, A est considĩrĩe tantot comme mesure transverse, tantdt comme mesure sur les transversales (ef [1))
Comme 7 est factorielle, la mesure A est ergodique La dimension de H, ĩtant essentiellement constante, on peut remplacer ce champ par le champ constant H
Soit o, la reprĩsentation de Gĩ dans H dĩfinie par:
ag) = U(g) (ge Gz)
Soit Q-: U X Tun ouvert trivialisant avec A,(Q)40 Soit uy U et identi-
tions {tj} x T avec T On peut, en remplacant A par une mesure ĩquivalente,
supposer 5|G(Q) =: = 1 Ona alors Ayo = 4eseo
On peut aussi Supposer que UIG(Q) = =Íl,en remplagant 00)P par 0° donnĩ
par
_ 0Q) == U(y'y) sỉ r()<, sŒ) #0
ot y’ € G(Q) et vĩrifie r(y’) € T, s(y’) = r(y)
Soit X ensemble des x € V tels que KerIndo, = /,; cest un ensemble saturĩ A-conĩgligeable (Proposition 6.1) Alors Tn X est A-conĩgligeable dans 7 Comme Vapplication S qui a x € V associe son groupe d’holonomie est borĩlienne, il existe (Thĩorĩme de Lusin) un compact Yc T, vĩrifiant
) YCX,
ii) 4(Y)z0,
Hi) Papplication S-est continue sur Ÿ Soit p la projection de Q sur T
Nous aurons besoin du lemme Suivant:
7.1 Lemme (cf [6], Lemme 1.3) Soit c un compact de G m existe une partition borĩlienne finie (Y,, ., Y,) de Y telle que Pon ait, en dĩsignant par Z,
le saturĩ de ¥, dans Q: ` Tu
Trang 30124 T FACK et G SKANDALIS Preuve Soit d une mĩtrique dĩfinissant la topologie de Y Soit Z le saturĩ de Y dans Q II suffit de prouver qu'il existe ¢ > O tel que, pour ye C, 7 ôÂ GƠ, on ait:
(p()), p(s)) < e = pữ(?)) = p(s(3))
(Il suffira alors de prendre les Y; de diamĩtre < ¢) Raisonnons par l’absurde
Soit C’ =: G(Q)CG(Q) Alors C’ est relativement compact Si I’ĩnoncĩ ĩtait faux,
il existerait une suite (y,) d’ĩlĩments de C’ avec
1
r(„) € Ỳ, s(„) € Y, đ{r(ya), s(2z)) < an
et r(y,)#5(7,) On peut supposer, quitte 4 extraire une sous-suite, que y, converge vers ye G On a alors r(y) == s(y) € Y
Soit W(d,d’) un voisinage de y avec dom(d), dom(d’) « 2 Pour w assez
grand, y„e W(đ, J) et donc đựứ(Œ,)) = 4(SŒ,))#(Œ,)) (rn) et sữa) appar-
tiennent a 7’ et sont distincts)
Ona G7 e UG, {W(d,d’)}), mais Gren UD, {W(d, d’)}), ce qui contredit
continuitĩ de S sur Y, Q.E.D
®
Posons co (Indz,)d4(y) On a Kerr =1, (car Ýc X ct 4(Y)#0)
y
Ỹ
Choisissons une section y :# > G de (r,s) (ef Proposition 1.4) telle que, pour y’ € G(Q), on ait:
r(r(y'), (9) = (Remarque 1.5)
Rĩalisons alors ¢, = Inde, dans H, = L*(Â,, 4) đ H (Remarque 5.3)
»
Soient ý ct ;¿y les mesures sur # dĩÑntIes pat
()= ror 2 aw | dA(y)
ỳ
u(ƒ) = Vờ; 2 de] ảÂO)
Y U
¥
ou U, est la plaque de y dans @
L’espace de t est # = L°(Z, p') @ H Soit ạ c # lespace Lˆ(Z2, yy) © H On a:
7.2 LEMME 1(D)(H#,) est total dans # Preuve On a:
©
UG) = \ (Inde, )(F)’ dA)
Trang 31C*-ALGỈBRE D'UN FEUILLETAGE 125
Soit P la projection orthogonale sur 7(D)(H#,) D’aprĩs le Lemme 5.6, il existe une
famille borĩlienne (A,),ey avec A, € o,(G})’ telle que:
©
P= T„ dA0)
Ỹ
Comme P|Z¿ = 1, 4, = Ì pour presque fout y et P = ] Q.E.D 7.3 PROPOSITION I, contient Kerr
Preuve Il suffit, d’aprĩs le Lemme 7.2, de montrer que, pour €€ 5, et C compact de G, il existe 9, .,9,¢ L°(V, A,;) @ H= #,, tels que:
k
i) ¥ led? = Wel’: jal
ii) Pour fe 2, avec supp(f) < C, on a: k
«œ(7)¿I£) = ` <(ƒ)@¡l@¡)
fol
Soit (Y;, ., Y,) Ja partition de Y donnĩe par le Lemme 7.1 On note encore Z;, Z les saturĩs de Y,;, Y dans @ Posons
H,= ' Hư, a”) @ HdA(y) < Hy, Tụ
et
Ki; = L*Z,, 4) @ H c 1*Œ, 4) @ H= #
k k
On a #,) = @ A,; ĩcrivons alors €= @€; Pour zeZ;, posons
isl fel
p(z) = ¢(p(z), 2), %:¢K;,-
On a |[¢;|| = [l,l] dod i)
Pour ye Cn G7, on a p(r(y)) = p(s(y)) et donc d(y) = 1 (car d(y) = 1 pour ye G? et pour y € G(M))
Soit fe 9, de support inclus dans C On a:
{x(7)øil@) = \/0<0000/60)19/2) dv¥(y) dA, (2)
Trang 32126 > + 3 T FACK et G SKANDALIS
et
Cu fer ei) =
FOO DAU: SO) YEO SCM), 2)) dv) dee?(z) dA) =
Nt
il
Ser
ary
SYK TOO, 2y7 SY) DE SOE, 2) dv"(y) de’(z) dA()) “Sif
Or U(y(y, z)) == U(y(y, s())) = 1 pour s(y) € U, et donc
on
NS
er)
G
(NEE) = \ Fox unere s)Jl6/(p(2), 2)) d*(9)4A,(2),
“it,
@ot Vĩgalitĩ Q.E.D
7.4 REMARQUE Si z est une reprĩsentation de C*(V, #), comme J: Kerr > => Kern, J est un idĩal primitif induit de C*\(V, #) (Dĩfinition 5.10)
La Proposition 7.3 admet une rĩciproque sous certaines hypothĩses de moyen- nabilitĩ
7.5 Dĩrinitions (cf [1], Dĩfinitions 2.3.1 et 2.3.6]) a) Soit x une mesure quasi-invariante sur V Nous dirons que pt est mo)jennable s'il existe un filtre (f;);¢7
de fonctions de Cg °(G) telles que:
i) Pour tout xe Vet toutie/,ona \ Fy)? dv*(7)==1;
ii) L’application
= ViorFienrae
converge vers ! quand “i — oo” dans la topologie o(L™(G, tr o ¥), LG, fro c3) b) Nous dirons que le feuilletage * est mojennable “‘en ‘mesure’: “si toute mesure quasi-invariante sur V est moyennable
7.6 PROPOSITION (cf [12],°6.3) Avec les notations ci-dessus, si la mesure jus= A, est moyennable,
Kerct = Kerz
Preuve Rĩalisons les Z„=Indø, dans H, =L¢,, œ*)@H Soit 7 € L°(V, W@H Nous allons construire une famille (H):e: telle que
nel” H, du(x)
V:
Trang 33C*-ALGEBRE D’UN FEUILLETAGE 127
Soit (fie, un filtre de fonctions rĩelles >0 vĩrifiant les conditions i) et ii) de 7.5 a) Pour (x, y)e Z2, posons
@/œ, y) = (3; I/0)19)*% x
veGy
et
nlx y) = @¡0, x)ð(, y)) `? UQ(%, y))~1{())
®
Alors nel H.du(3) et ln,l = ln| Pour ƒe 2, on a: Vy
(li) =
=Ñ (sr y)1)(ø,(y(x, sG)~Đn(x, sQ))nj(x, W)) d*(y) de*(y) du(x) =
x VúớyG
= \/0(.0G y)yy(, s())~1iG, sG))Ini(x, )) dv") dar(y) d(x) —
y
ve.G
== \ \ \ Fore, x)@/ữ@), x)ô@(Œ, y))~12ð((x, s(y)))~1*
⁄ y VớnG
-C€U()(s))In(y)} dv?(y) da*(y) du(x) Comme 6(y) = 1 quand r(y) = s(y), ona:
ô@(>x, y))ŠŒ) = d(x, s(y))) sĩ y = rú))
Si ¢ est une fonction borĩlienne sur @, posons:
Py, y) = o(x, y) et WỨ()=0 sĩ yF y(r(y), s(y))
On a:
\oes y)døZ(y) dụ(x) = Py) d(H © 9)@) = \ f(~)ô()~+đ( e v)(3) =
“
= \\ ø(x,y)ð(10, x))~*da?(x) đụO)
Vxĩ
Trang 34128 T FACK et G SKANDALIS et donc xi = SS er) oe ee 1 1
Se (sy), NEA, NOC, y)?ð(y(x, sŒ))? +
£ y0
-C€U()»(s())InG)) d#?(y) da?(x) dụ(y) = U
= /0)ð0)~10,(sQ), x)@,ŒG), 3):
G “nợ
-€U@)MG())inử@))) d3'%(3)â(u e v)Q)
1
Or, pourfe BZ, W() = ƒ0)ð(@)ˆ *®<U()n(s());n(r())} estune fonction de 1(G, nev),
et on a par linĩgalitĩ de Cauchy-Schwartz:
1> \ 2s), x)@,ữÚ), 343") =
Oy
=\« x, I7 % x J4 s)9* da'ữX\x) >
2eas sean’
>| M „/(8)/i08) da')(x) = V0iav9
seg”
D‘aprĩs la propriĩtĩ ii) de la dĩfinition 7.5.a), on a:
1
Lime Z nin) = (940) * TIMED)? AGH © YG) = Cet)
Q.E.D
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Universitĩ Pierre et Marie Curie,
UER 48-Aile 45-46
4, Place Jussieu, 7523 Paris Cedex 05, France
Received April 29, 1981