HIỆN TƯỢNG PHƯƠNG SAI THAY ĐỔI I – Lý thuyết 1. Định nghĩa • Phương sai sai số thay đổi sảy ra khi giả thiết: Var(Ui) = σ 2 bị vi phạm Khi giả thiết phương sai sai số đồng đều bị vi phạm thì mô hình hồi quy gặp phải hiện tượng này. 2. Nguyên nhân • Do bản chất của vấn đề kinh tế • Do kỹ thuật thu thập và sử lý số liệu • Con người rút được kinh nghiệm từ quá khứ • Có các quan sát ngoại lai (quan sát khác biệt rất nhiều với các quan sát khác trong mẫu) • Mô hình định dạng sai, bỏ sót biến thích hợp hoặc dạng giải tích của hàm là sai. 3. Hậu quả • Các ước lượng bình phương nhỏ nhất β^ là ước lượng tuyến tính không chệch nhưng không hiệu quả. • Các ước lượng của các phương sai là các ước lượng chệch => Làm giá trị của thông kê T& F mất ý nghĩa. • Các bài toán về ước lượng & kiểm định dự báo khi sử dụng thông kê T&F là không đáng tin cậy 4. Phương pháp phát hiện • Phương pháp đồ thị phần dư • Sử dụng tiêu chuẩn kiểm định – Kiểm định Park – Kiểm định Glejser – Kiểm định White No cross terms (Kiểm định White không lát cắt) Phương pháp đồ thị phần dư • Ta hồi quy mô hình hồi quy gốc Yi=β1+ β2X2i+β3X3i+….+βkXki+Ui Ta thu được phần dư ei Vẽ đồ thị phần dư ei(ei2) đối với Xi(hoặc với Ŷi trong trường hợp hồi quy nhiều biến) Nếu độ rộng của biểu đồ phần dư tăng hay giảm khi X tăng thì giả thiết về phương sai hằng số có thể không thỏa mãn Kiểm định Park • Hồi quy mô hình gốc để thu được phần dư ei Ước lượng mô hình hồi quy sau: lnei2 = β1+ β2ln Xi +νi Trường hợp có nhiều biến giải thích thì ước lượng hồi quy này với từng biến giải thích hoặc với Ŷi Kiểm định giả thiết Ho : β2 = 0 . Nếu giả thiết Ho bị bác bỏ thì có thể kết luận về sự tồn tại của hiện tượng phương sai sai số thay đổi Kiểm định Gleijser • Đầu tiên cũng hồi quy mô hình gốc để thu phần dư ei • Hồi quy một trong các mô hình sau | ei | = β1 + β2Xi + vi | ei | = β1 + β21/Xi + vi | ei | = β1 + β2√Xi +vi | ei | = β1 + β21/√Xi +vi • Tương tự như kiểm định Park, ta cũng kiểm định giả thiết Ho : β2 = 0 . Nếu giả thiết này bị bác bỏ thì có thể kết luận có hiện tượng phương sai sai số thay đổi Kiểm định white • Ước lượng bằng OLS . Từ đó thu được các phần dư ei • Ước lượng mô hình sau : ei2=α1+α2X2+α3X3+α4X22+α5X32+α6X2X3+vi • Với H0 : Phương sai của sai số không đổi , có thể chỉ rằng nR2 có phần xấp xỉ χ2 (df) , df bằng số hệ số của mô hình không kể hệ số chặn • Nếu nR2 không vượt qua giá trị χ2 (df) ,thì giả thiết H0 không có cơ sở bị bác bỏ. Trong trường hợp ngược lại thì giả thiết Ho bị bác bỏ. 5. Phương pháp khắc phục Như chúng ta đã biết phương sai của sai số thay đổi làm cho các ước lượng không còn là ước lượng hiệu quả nữa. Vì thế biện pháp khắc phục là hết sức cần thiết. Việc chữa chạy căn bệnh này phụ thuộc chủ yếu vào liệu 2 i σ , được biết hay chưa. Ta phân biệt hai trường hợp. 1. 2 i σ đã biết Khi 2 i σ đã biết, chúng ta có thể dễ dàng khắc phục căn bệnh đó bằng cách sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số đã trình bày ở trên. 2. 2 i σ chưa biết Trong nghiên cứu kinh tế việc biết trước 2 i σ nói chung là hiếm. Vì vậy nếu chúng ta muốn sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số thì chúng ta cần có những giả thiết nhất định về 2 i σ và biến đổi mô hình gốc sao cho mô hình đã được biến đổi này thoả mãn giả thiết phương sai của sai số không đổi. Phương pháp bình phương nhỏ nhất sẽ được áp dụng cho mô hình đã được biến đổi như đã chỉ ra trước đây, phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số là phương pháp bình phương nhỏ nhất áp dụng cho tập số liệu đã được biến đổi. Chúng ta sẽ minh hoạ cho các phép biến đổi này qua việc sử dụng mô hình hồi quy 2 biến mà ta gọi là mô hình gốc: Y i = 1 β + 2 β X i + U i Giả sử mô hình này thoả mãn các giả thiết của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển trừ giả thiết phương sai của sai số không đổi. Chúng ta xét 1 số giả thiết sau về phương sai của sai số. Những dạng này tuy chưa bao quát được tất cả nhưng phổ biến. Giả thiết 1: Phương sai của sai số tỉ lệ với bình phương của biến giải thích: E( 2 i U ) = 22 i X σ (1) Nếu bằng phương pháp đồ thị hoặc cách tiếp cận Park hoặc Glejser… chỉ cho chúng ta rằng có thể phương sai U i tỉ lệ với bình phương của biến giải thích X thì chúng ta có thể biến đổi mô hình gốc theo cách sau: Chia 2 về của mô hình gốc cho X i (X i ≠ 0) i X i Y = i X 1 β + 2 β + i X i U = 1 β i X 1 + 2 β + V i (2) Trong đó v i = i X i U là số hạng nhiễu đã được biến đổi, và rõ ràng rằng E(v i ) 2 = 2 σ , thực vậy: E(v i ) 2 = E 2 i X i U = 2 1 i X E(U i ) 2 = 2 22 i i X X σ = 2 σ Như vậy tất cả các giả thiết của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển được thoả mãn đối với (2) vậy ta có thể áp dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất cho phương trình đã được biến đổi ( i VXXXXXXe ++++++= 326 2 35 2 2433221 2 αααααα ). Hồi quy i i X Y theo i X 1 . Giả thiết 2 : Phương sai của sai số tỉ lệ với biến giải thích X E(U i ) 2 = 2 σ X i Nếu sau khi ước lượng hồi quy bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất thông thường, chúng ta vẽ đồ thị của phần dư này đối với biến giải thích X và quan sát thấy hiện tượng chỉ ra phương sai của sai số liên hệ tuyến tính với biến giải thích thì mô hình gốc sẽ được biến đổi như sau: Với mỗi i chia cả 2 vế của mô hình gốc cho i X (với X i >0) i i X Y = i X 1 β + i X 2 β + i i X U = i X 1 1 β + i X 2 β + v i (3) Trong đó v i = i i X U và có thế thấy ngay rằng E(v i ) = 2 σ Giả thiết 3 : Phương sai của sai số tỉ lệ với bình phương của giả trị kỳ vọng của Y, nghĩa là E( 2 i U ) = ( )( ) 2 2 i YE σ Khi đó thực hiện phép biến đổi biến số như sau: )( i i YE Y = )( 1 i YE β + 1 2 )( X YE i β + )( i i YE U = )( 1 1 i YE β + i i X YE )( 1 2 β + V i (4) Trong đó V i = )( i i YE U , Var(V i ) = 2 σ . Nghĩa là nhiễu V i có phương sai không đổi. Điều này chỉ ra rằng hồi quy (4) thoả mãn giả thiết phương sai không đổi của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển. Tuy nhiên phép biến đổi (4) vẫn chưa thực hiện được vì bản chất E(Y i ) phụ thuộc vào 1 β và 2 β trong đó 1 β và 2 β lại chưa biết. Lúc này ta làm theo 2 bước sau: • Bước 1: Ước lượng hồi quy ban đầu bằng phương pháp bình phương bé nhất thông thường, thu được i Y ˆ . Sau đó sử dụng i Y ˆ để biến đổi mô hình gốc thành dạng như sau: i i Y Y ˆ = i Y ˆ 1 1 β + i Y ˆ X i 2 β + V i (5) Trong đó V i = i i Y U ˆ • Bước 2: Ước lượng hồi quy (5), dù i Y ˆ không chính xác là E(Y i ), chúng chỉ là ước lượng vững nghĩa là khi mẫu tăng lên vô hạn thì chúng hội tụ đến E(Y i ). Giả thiết 4: Hạng hàm sai Đôi khi thay cho việc dự đoán về 2 i σ người ta định sạng lại mô hình. Chẳng hạn thay cho việc ước lượng hồi quy gốc có thể chúng ta sẽ ước lượng hồi quy: InY i = ii UInX ++ 21 ββ (6) Việc ước lượng hồi quy (6.46) có thể làm giảm phương sai của sai số thay đổi do tác động của phép biến đổi loga. Một trong ưu thế của phép biến đổi loga là hệ số góc 2 β là hệ số co dãn của Y đối với X. II – Bài tập Bài 1. Cho bảng số liệu về sản lượng và diện tích lúa Đông Xuân các năm (1990-2005) Bảng số liệu về sản lượng và diện tích lúa Đông Xuân các năm (1990-2005) Năm Y X 1990 7865.6 2073.6 1991 6788.3 2160.6 1992 9156.3 2279.0 1993 9035.6 2323.6 1994 10508.5 2381.4 1995 10736.6 2421.3 1996 12209.5 2541.1 1997 13310.3 2682.7 1998 13559.5 2783.3 1999 14103.0 2888.9 2000 15571.2 3013.2 2001 15474.4 3056.9 2002 16719.6 3033.0 2003 16822.7 3022.9 2004 17078.0 2978.5 2005 17331.6 2942.1 (Nguồn: Tổng cục thống kê) Trong đó: Y: sản lượng lúa Đông Xuân cả năm (nghìn tấn) X: diện tích lúa đông xuân (nghìn ha) Yêu cầu: Hãy phát hiện phương sai thay đổi và tìm cách khắc phục Bài 2. Sử dụng số liệu dưới đây Khu vực công nghiệp của Việt Nam từ năm 1976 – 1991 (niên giám thống kê 1989, Tổng cục Thống kê) Năm Sản lượng (Q) Lao động (L) Vốn (K) 1976 65344,00 2033,40 23,88 1977 72399,00 2151,20 25,79 1978 78300,00 2092,40 28,32 1979 74594,00 2134,80 31,31 1980 66925,00 2250,30 33,74 1981 67594,00 2232,70 35,99 1982 73463,00 2273,20 38,14 1983 83034,00 2365,10 40,67 1984 93953,00 2460,20 43,23 1985 103258,00 2571,80 45,36 1986 109632,00 2578,00 46,80 1987 130551,00 2844,70 47,70 1988 137819,00 2945,00 49,20 1989 133311,00 2513,40 51,60 1990 139350,00 2251,00 52,99 1991 145621,00 2115,00 55,60 a. Hãy hồi quy năng suất trung bình Q/L theo lao động L và tỷ suất trung bình của vốn K/L. Cho nhận xét b. Hãy hồi quy ln(Q/L) theo ln(L) và ln(K/L). Giả thích kết quả c. Sử dụng kiểm định Park để kiểm định xem có xảy ra hiện tượng phương sai thay đổi ở mô hình nói ở câu a. Không bằng cách lần lượt sử dụng các biến giải thích khác nhau. Giải thích kết quả thu được d. Hãy sử dụng kiểm định Glejiser cho câu hỏi c. . HIỆN TƯỢNG PHƯƠNG SAI THAY ĐỔI I – Lý thuyết 1. Định nghĩa • Phương sai sai số thay đổi sảy ra khi giả thiết: Var(Ui) = σ 2 bị vi phạm Khi giả thiết phương sai sai số đồng đều. thiết phương sai của sai số không đổi. Chúng ta xét 1 số giả thiết sau về phương sai của sai số. Những dạng này tuy chưa bao quát được tất cả nhưng phổ biến. Giả thiết 1: Phương sai của sai số. số không đổi. Phương pháp bình phương nhỏ nhất sẽ được áp dụng cho mô hình đã được biến đổi như đã chỉ ra trước đây, phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số là phương pháp bình phương nhỏ