TS. ĐẶNG VĂN HIẾU - BỘ MÔN CƠ HỌC phần 10 pot

Dao động cưỡng có cản chịu kích động tuần hồn Dao động cưỡng có cản nhớt hệ tuyến tính n bậc tự có dạng: && & M q + B q + C q = f (t ) (1) Giả sử f(t) tuần hoàn theo thời gian khai triển thành chuỗi Fourier cách gần đúng: m f ( t ) = a o + ∑ ( a k cos k Ω t + bk sin k Ω t ) (2) k =1 118 Sử dụng nguyên lý cộng tác dụng để tìm nghiệm Trước hết ta tìm nghiệm phương trình: && & M qo + Bqo + C qo = ao dạng: qo = vo từ hai phương trình ta suy ra: Cvo = ao (3) 119 Sau ta tìm nghiệm phương trình: && & M qk + B qk + C qk = ak cos kΩt + bk sin kΩt (4) Nghiệm phương trình (4) tìm dạng: qk = uk sin kΩt + vk cos kΩt Từ nghiệm ta có: & qk = kΩ( uk coskΩt − vk sin kΩt ) && qk = −k 2Ω2 ( uk sin kΩt + vk cos kΩt ) 120 Thế biểu thức tìm vào phương trình (4), so sánh hệ số, ta nhận hệ phương trình đại số tuyến tính để xác định vectơ uk vk: ⎡C − k Ω M ⎢ ⎣ k ΩB − k Ω B ⎤ ⎡ u k ⎤ ⎡ ak ⎤ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ 2 C − k Ω M ⎦ ⎣ vk ⎦ ⎣ bk ⎦ (5) Khi định thức ma trận hệ số hệ phương trình khác khơng, vectơ uk vk xác định Như nghiệm phương trình dao động cương (1) là: m q(t ) = vo + ∑ ( uk sin k Ωt + vk cosk Ωt ) (6) k =1 121 b Phương pháp ma trận dạng riêng Dao động cưỡng khơng cản Dao động cưỡng có cản 122 Dao động cưỡng không cản Phương pháp ma trận dạng riêng (Modalmatrix) áp dụng thuận tiện hệ không cản: && M q + Cq = f (t) (1) Trong M C ma trận thực, đối xứng Áp dụng phép biến đổi toạ độ: q =V p (2) với V ma trận dạng riêng, p vectơ toạ độ 123 Thay (2) vào (1) ta có: M V && + CV p = f (t ) p Suy ra: V T M V && + V T C V p = V T f (t ) p Các ma trận V T M V Nếu đưa vào ký hiệu: hi V TCV (3) có dạng đường chéo = v f (t ) , i = → n T i Thì phương trình (3) viết dạng: μ i && + γ i p = hi p i =1→ n (4) 124 Nghiệm phương trình (4) ứng với điều kiện đầu: pi (0) = pi ; & & pi (0) = pi có dạng: pi (t ) = pi cos ω i t + + Với: μ iω i & pi ωi sin ω i t + t ∫ h (τ ) sin ω (t − τ ) dτ i i (5) γi ω = μi i 125 Đối với trường hợp kích động điều hồ ˆ fi (t ) = fi sin Ωt Thì: ⎛ n ˆ ⎞ sin Ω t = h sin Ω t ˆ hi (t ) = ⎜ ∑ vki f k ⎟ i ⎝ k =1 ⎠ Phương trình dao động trường hợp này: ˆ μi &&i + γ i pi = hi sin Ωt p i =1→ n (6) 126 Nghiệm phương trình (6) giai đoạn bình ổn là: pi (t ) = ˆ hi γ i (1 − Trở lại toạ độ qk: q k (t ) = n ∑v i =1 ki pi = Ω ω i s in Ω t n ∑ i =1 ) ˆ v ki hi sin Ω t Ω γ i (1 − ) ωi Ta thấy Ω tần số riêng ωi xảy tượng cộng hưởng 127 Dao động cưỡng có cản Phương trình vi phân dao động cưỡng hệ là: && & M q + B q + C q = f (t ) (1) Trong kỹ thuật ta hay gặp trường hợp: B =αM +δC Bằng phép biến đổi tương tự ta đưa (1) dạng: & μ i &&i + β i p i + γ i p i = hi ( t ) i = → n p (2) Phương trình nghiên cứu kỹ phần 128 129