Câu 1.1. a)Ba thầy thuốc có xác suất chẩn bệnh đúng là 0,8; 0,9; 0,7. Tìm xác suất để sau khi chẩn bệnh có 1 và chỉ 1 kết quả đúng thì đó là của người thứ 3.b)Ở Anh có 5% cha mắt đen và con mắt đen; 7,9% cha mắt đencon mắt xanh, 8,9% cha mắt xanh – con mắt đen, 78,2% cha mắt xanhcon mắt xanh. Gặp ngẫu nhiên một người cha có mắt xanh. Tính xác suất để con của người đó cũng mắt xanh.
Trang 1PHẦN XÁC SUẤT Chương I Câu 1.1 (YH)
a) Ba thầy thuốc có xác suất chẩn bệnh đúng là 0,8; 0,9; 0,7 Tìm xác suất để sau khi chẩn bệnh có 1 và chỉ 1 kết quả đúng thì đó là của người thứ 3
b) Ở Anh có 5% cha mắt đen và con mắt đen; 7,9% cha mắt đen-con mắt xanh, 8,9% cha mắt xanh – con mắt đen, 78,2% cha mắt xanh-con mắt xanh Gặp ngẫu nhiên một người cha có mắt xanh Tính xác suất để con của người đó cũng mắt xanh
Câu 1.2 (YH) Xác suất bạch tạng là 0,6 % với nam và 0,36% với nữ Tìm xác suất để trong một
làng có số nam = ½ số nữ ta gặp được
a) Trong làng 1 người bị bệnh bạch tạng
b) Trong nhóm bạch tạng, một người là nam
Câu 1.3 (XH) Thống kê các cặp vợ chồng ở một vùng cho thấy: 30% các bà vợ thường xem ti
vi, 50% các ông chồng thường xem ti vi, xong nếu vợ đã xem ti vi thì 60% chồng xem cùng Lấy ngẫu nhiên một cặp vợ chồng tìm xác suất để :
a) Có ít nhất 1 người xem ti vi
b) Nếu chồng không xem thì vợ vẫn xem
Câu 1.4 Gieo n con xúc sắc đối xứng và đồng chất Tìm xác suất để được tổng số chấm là n+1 Câu 1.5 Có 2 lô sản phẩm: lô I gồm 6 chính phẩm và 4 phế phẩm, lô II có 7 chính phẩm và 3
phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ lô I bỏ vào lô II; từ lô II lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm.a) Tìm xác suất để lấy được 2 chính phẩm
b) Giả sử đã lấy được 2 chính phẩm Tìm xác suất để 2 sản phẩm đó của lô I
Câu 1.6 Một nhóm công nhân có 8 nam và 4 nữ Chọn ngẫu nhiên 4 người Tính xác suất để
trong 4 người đó, có :
a) Tất cả cùng giới
b) Có đúng 1 nam
c) Có nhiều nhất 2 nữ
Câu 1.7 Một lô hàng gồm 18 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm Chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm,
rồi từ đó chọn ra 1 sản phẩm Biết sản phẩm lấy ra sau cùng là sản phẩm tốt Tính xác suất để trong số các sản phẩm được chọn lúc đầu có 1 phế phẩm
Câu 1.8 Một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử gồm 3 phân xưởng Phân xưởng A sản xuất
50%, phân xưởng B sản xuất 20%, phân xưởng C sản xuất 30% tổng số linh kiện của nhà máy
Trang 2Tỉ lệ phế phẩm tương ứng của các phân xưởng A, B, C là : 2%; 3%; 4% Một người mua một linh kiện do nhà máy đó sản xuất Biết rằng linh kiện này không phải phế phẩm, tính xác suất để linh kiện đó do phân xưởng B sản xuất.
Câu 1.9 Lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên giỏi Ngoại ngữ, 30 sinh viên giỏi
Tin học, 20 sinh viên giỏi cả Ngoại ngữ và Tin học Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp, tính xác suất để :
a) Sinh viên này giỏi ít nhất một môn học
b) Sinh viên này không giỏi môn học nào hết
c) Sinh viên này chỉ giỏi đúng 1 môn học
Câu 1.10 Trong một vùng dân cư, cứ 100 người thì có 30 người hút thuốc lá Biết tỷ lệ người bị
viêm họng trong số người hút thuốc lá là 60%, trong số người không hút thuốc lá là 30% Khám ngẫu nhiên một người thì thấy người đó bị viêm họng Tính xác suất để người đó hút thuốc lá
Câu 1.11 Một lô hạt giống được phân thành 3 loại : loại 1 chiếm 2/3, loại 2 chiếm ¼, còn lại là
loại 3 Tỉ lệ nảy mầm của các loại 1, 2, 3 lần lượt là 80%; 60%; 40%
a) Tính tỉ lệ nảy mầm của cả lô hạt giống
b) Nếu chọn 1 hạt để thí nghiệm và thấy rằng hạt đó không nảy mầm, theo bạn khả năng hạt giống đó thuộc loại nào là cao nhất ?
Câu 1.12 Có 3 người chơi bóng rổ, mỗi người ném một quả Xác suất ném trúng rổ của mỗi
người lần lượt là 0,5 : 0,6 : 0,7 Tính xác suất để:
a) Cả 3 người đều ném trúng rổ?
b) Có ít nhất một người ném trúng rổ?
c) Có ít nhất một người ném không trúng rổ?
d) Có đúng 2 người ném trúng rổ?
Câu 1.13 Bắn 3 phát vào 1 chiếc máy bay, xác suất trúng theo thứ tự là 0,5 ; 0,6 ; 0,8 Nếu phi
cơ trúng 1 phát thì xác suất rơi là 0,3 ; hai phát là 0,6 ; còn 3 phát thì chắc chắn rơi
a) Tính xác suất máy bay bị bắn rơi
b) Nếu máy bay bị bắn rơi Tính xác suất nó bị trúng 1 phát
Câu 1.14 Trên thị trường cam có 42% cam TQ, 24% cam TL, 26% cam CP và 8% cam VN
Trong số tỉ lệ cam hư của các nước lần lượt là : 20% của số cam TQ, 10% của số cam TL, 12% của số cam CP và 2% của số cam VN
a) Tính xác suất để 1 người mua phải 1 trái cam TQ hư
b) Tính xác suất để 1 người mua phải 1 trái cam hư
Trang 3c) Biết một người đã mua phải 1 trái cam hư Tính xác suất để trái cam ấy là của CP.
d) Biết 1 người đã mua phải 1 trái cam hư Tính xác suất để trái cam ấy không là của VN
Câu 1.15 Có nhiều tấm bìa, mỗi tấm bìa có ghi bốn chữ số, các tấm bìa khác nhau có các số
khác nhau Chọn ngẫu nhiên một tấm bìa Tính xác suất chọn được tấm bìa có đặc điểm :
Câu 1.16 Lớp học của An có 50SV trong đó có Bình, Hoa, Lan Chọn ngẫu nhiên 5 SV tính xác
suất để trong 5 người được chọn có :
a) An và Bình
b) An và Hoa hoặc An và Lan
c) An, Bình, Hoa và Lan
d) An nhưng không có bạn nào trong ba bạn trên
Câu 1.17 Một lớp SV có 50% học tiếng Anh, 40% học tiếng Pháp, 30% học tiếng Đức, 20%
học tiếng Anh và tiếng Pháp, 15% học tiếng Anh và tiếng Đức, 10% học tiếng Đức và tiếng Pháp, 5% học cả ba thứ tiếng Anh, Pháp, Đức Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 1 SV thì người đó :
a) Học ít nhất 1 trong 3 thứ ngoại ngữ nói trên
b) Chỉ học tiếng Anh và tiếng Đức
c) Chỉ học tiếng Pháp
d) Học tiếng Pháp, biết rằng người đó học tiếng Anh
Câu 1.18 Một lô hàng có 9 sản phẩm Mỗi lần kiểm tra chất lượng lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm
Sau khi kiểm tra xong lại trả vào lô hàng Tính xác suất để sau ba lần kiểm tra lô hàng, tất cả các sản phẩm đều được kiểm tra
Trang 42 bình loại I : mỗi bình chứa 6 bi trắng 3 bi đỏ.
3 bình loại II : mỗi bình chứa 5 bi trắng 4 bi đỏ
3 bình loại III : mỗi bình chứa 2 bi trắng 7 bi đỏ
Lấy ngẫu nhiên một bình rồi từ bình đó chọn ngẫu nhiên một bi
a) Tính xác suất để lấy được bi trắng
b) Biết rằng chọn được là bi trắng Tính xác suất để bi đó thuộc bình loại I
Câu 1.21 Kiện hàng I có 5 sản phẩm tốt và 1 phế phẩm Kiện hàng II có 4 sản phẩm tốt và 2
phế phẩm Từ mỗi kiện hàng ta chọn ngẫu nhiên một sản phẩm đem giao cho khách hàng Các sản phẩm còn lại được dồn vào kiện hàng III đang trống
a) Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kiện hàng III Tính xác suất để chọn được phế phẩm
b) Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ kiện hàng III Tính xác suất để chọn được ít nhất một phế phẩm
Câu 1.22 Có 2 lô hàng, trong đó có : Lô I gồm 3 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm; Lô II gồm 5 sản
phẩm tốt và 3 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô I bỏ vào lô II Sau đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô II Tính xác suất để sản phẩm lấy ra ở lần thứ hai là phế phẩm
Câu 1.23 Có một bình chứa 7 bi trắng và 3 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên một bi rồi bỏ lại vào bình một
bi khác màu với bi vừa chọn được Sau đó chọn ngẫu nhiên một bi
a) Tính xác suất để bi chọn được sau cùng là bi đỏ
b) Biết bi lấy ra ở lần thứ 2 là bi đỏ Tính xác suất để bi lấy ra ở lần thứ nhất có màu trắng
Câu 1.24 Một nhân viên bán hàng, mỗi năm đến bán ở công ty A ba lần Xác suất để lần đầu
bán được hàng là 0,8 Nếu lần trước bán được hàng thì xác suất lần sau bán được hàng là 0,9; còn nếu lần trước không bán được hàng thì xác suất để lần sau bán được hàng chỉ là 0,4 Tính xác suất để :
a) Cả ba lần đều bán được hàng
b) Có đúng hai lần bán được hàng
Câu 1.25 Sản phẩm sản xuất xong được đóng thành từng kiện Mỗi kiện gồm 8 sản phẩm loại I
và 2 sản phẩm loại II Một khách hàng đến mua hàng bằng cách chọn ngẫu nhiên một kiện hàng rồi từ đó chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm
a) Nếu chọn được 3 sản phẩm loại I thì mua kiện hàng đó Tính xác suất để người khách này mua một kiện hàng
b) Người khách này chọn ngẫu nhiên 10 kiện hàng Tính xác suất để người này mua được ít nhất 2 kiện hàng
Trang 5Chương II Câu 2.1 Một phân xưởng có ba máy tự động với xác suất hỏng trong tháng tương ứng là 0,15;
0,25; 0,2 Gọi X là số máy hỏng trong 1 tháng
a) Lập bảng phân phối xác suất cho X
b) Tính số máy hỏng trung bình, số máy hỏng có khả năng tin chắc nhất trong 1 tháng của phân xưởng
Câu 2.2 Trong một hộp gồm 6 bi trắng và 3 bi đen Chọn ngẫu nhiên từng bi (không hoàn lại)
để kiểm tra, nếu nhận được bi đen thì dừng lại Gọi X là số lần kiểm tra
a) Lập bảng phân phối xác suất cho X
b) Tìm hàm phân phối xác suất
c) Tính số lần chọn trung bình và phương sai
d) Tính xác suất để kiểm tra ít nhất 2 lần
Câu 2.4 : Có hai lô hàng : lô I có 7 sản phẩm tốt và 3 phế phẩm, lô II có 8 sản phẩm tốt và 2 phế
phẩm Từ lô I, lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm, từ lô II lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm Gọi X là số phế phẩm lấy được Hãy lập bảng phân phối xác suất của X
Câu 2.5: Một người tham gia trò chơi tung con súc sắc với luật chơi như sau: mỗi lượt chơi
người đó đóng 2000đ và được tung một con súc sắc ba lần, nếu cả 3 lần đều được mặt 6 thì lĩnh 10000đ, nếu hai lần được mặt 6 thì lĩnh 5000đ, nếu một lần được mặt 6 thì lĩnh 2000đ, nếu không được mặt 6 nào thì không được gì hết
Hỏi trung bình người chơi được ( hay mất) bao nhiêu tiền?
Câu 2.6 : Một người vào cửa hàng thấy 5 máy casset giống nhau, các máy hoạt động độc lập
nhau và xác suất một máy hoạt động tốt là 0,6 Anh đề nghị cửa hàng cho anh thử lần lượt các máy cho đến khi nào chọn được máy tốt thì mua, nếu cả 5 lần thử đều xấu thì thôi Gọi X là số lần thử,
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của X
b) Tính xác suất để người đó không thử quá 2 lần
Trang 6c) Tính xác suất để người đó thử ít nhất 2 lần.
Câu 2.7: Hai cầu thủ A, B có 6 quả bóng, mỗi cầu thủ có 3 quả bóng, lần lượt từng người ném
bóng vào rổ cho đến khi có người ném trúng hoặc hết bóng thì dừng lại Biết xác suất ném trúng bóng của hai cầu thủ lần lượt là 0,7; 0,8 Giả sử cầu thủ A ném trước
a) Gọi X là số lần cầu thủ A ném bóng Hãy lập bảng phân phối xác suất của X
b) Gọi Y là số lần cầu thủ B ném bóng trúng rổ Hãy lập bảng phân phối xác suất của Y
d) Chọn ngẫu nhiên 1 bi từ hộp I cho vào hộp II, sau đó chọn ngẫu nhiên 2 bi từ hộp II Gọi
W là số bi trắng chọn được Hãy lập bảng phân phối xác suất cho W
Câu 2.9 : Một người tham gia đấu thầu 6 dự án nhỏ với xác suất thắng thầu mỗi dự án là 0,4
Nếu thắng thầu mỗi dự án, người đó thu được 200USD Chi phí để chuẩn bị cả 6 dự án là 300USD
a) Hỏi số dự án mà người đó kỳ vọng thắng thầu là bao nhiêu?
b) Lợi nhuận kỳ vọng là bao nhiêu?
c) Tính xác suất để người đó có lãi
d) Giả sử càng thắng thầu nhiều thì càng phải thuê thêm công nhân làm ngoài giờ Vì vậy lợi nhuận T phụ thuộc vào số dự án thắng thầu X theo công thức sau : T = 200X - 300 - 20X2 Lúc đó, hãy tính lợi nhuận kỳ vọng và xác suất có lãi khi dự thầu
Câu 2.10 Một giỏ cam có 10 trái, trong đó có 4 trái hư Lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) 3 trái
a) Tính xác suất để trong 3 trái lấy ra có ít nhất một trái hư
b) Tính xác suất để trong 3 trái lấy ra có không quá một trái hư
c) Tính số cam hư được chọn trung bình, và phương sai của số cam hư được chọn
d) Hỏi số trái cam hư tin chắc nhất khi lấy ngẫu nhiên 3 trái là bao nhiêu?
Câu 2.11 Xác suất một con gà đẻ trứng trong ngày là 0,6 Một người nuôi 15 con gà.
a) Tính xác suất để trong một ngày người đó thu được ít nhất 10 quả trứng
b) Nếu muốn mỗi ngày có trung bình 120 trứng gà thì người đó phải nuôi bao nhiêu con gà?
Trang 7Câu 2.12 Để thanh toán 1 triệu đồng tiền hàng, một khách hàng gian lận đã xếp lẫn 5 tờ 50
ngàn tiền giả với 15 tờ tiền thật Chủ cửa hàng rút ngẫu nhiên 3 tờ giấy bạc đem đi kiểm tra và giao hẹn nếu phát hiện có bạc giả thì cứ mỗi tờ giả khách hàng phải đền hai tờ thật Tìm số tiền phạt trung bình khách hàng có thể phải trả
Câu 2.13 Bia bắn được chia làm 2 vòng, xác suất bắn trúng vòng trong là 0,7, còn trúng vòng
ngoài là 0,3 Nếu trúng vòng trong thì được 10 điểm, trúng vòng ngoài thì được 9 điểm Tính xác suất sao cho bắn 3 viên đạn thì được ít nhất 29 điểm
Câu 2.14 Một lô hàng gồm 1000 cái áo, trong đó có 20 cái áo bị lỗi Lấy ngẫu nhiên 5 cái áo
a) Tính xác suất để lấy được đúng 2 cái áo bị lỗi
b) Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 cái áo bị lỗi
c) Tính số áo bị lỗi trung bình chọn được và phương sai của số áo bị lỗi đó
Câu 2.15 Số xe bus đón khách tại trạm xe bus trong một giờ tuân theo luật phân phối Poisson,
và trung bình trong một giờ tại trạm xe bus có 5 xe bus đón khách Tính xác suất để trong một giờ tại trạm xe :
a) Không có xe bus nào đón khách
b) Có đúng 5 xe bus đón khách
c) Có ít nhất 3 xe bus đón khách
d) Có từ 2 đến 4 xe bus đón khách
Câu 2.16 Cứ 5000 con cá biển đánh bắt được thì có 1 con bị nhiểm khuẩn có hại cho sức khoẻ
con người.Tính xác suất để trong một lô cá gồm 1800 con mới đánh bắt về có không quá 2 con
bị nhiểm khuẩn
Câu 2.17 Một xe tải vận chuyển 1000 chai rượu vào kho Xác suất để khi vận chuyển mỗi chai
bị vỡ là 0,004 Tính xác suất để sau khi vận chuyển có 5 chai rượu bị vỡ
Câu 2.18 Cho hai ĐLNN độc lập X, Y có bảng phân phối xác suất như sau :
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất cho X + Y, XY
b) Tính E(X+Y), D(X+Y), E(XY), D(XY)
Câu 2.19 Cho vectơ ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối
Trang 8b) X và Y có độc lập không? Tại sao ?
c) Tính EX, EY, D(X), D(Y), Cov(X,Y), RXY
Câu 2.20 Cho vectơ ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất đồng thời:
b) Với m vừa tìm được, hãy tìm các phân phối biên
Câu 2.22 Tỉ lệ carbon X (tính theo %) và độ bền Y (tính theo kg/cm2) của thép được cho trong bảng dưới đây :
a) Hãy lập bảng phân phối của tỉ lệ carbon X và của độ bền Y
b) Hãy lập bảng phân phối của X, khi Y = 110 kg/cm2 Tính E(X|Y = 110 kg/cm2
c) Hãy lập bảng phân phối của Y, khi X = 7% Tính E(Y| X = 7%)
Câu 2.23 Cho X, Y là hai ĐLNN độc lập nhau; X ~B(2;0,7); Y ~H(10,6,3)
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất cho Z = 2X + Y + 3
Trang 9Câu 2.24 Một phân xưởng có 10 máy cùng sản xuất ra một sản phẩm, chia làm 3 loại : 4 máy
loại I, 3 máy loại II, 3 máy loại III Tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn do từng loại máy sản xuất là : 98%; 95%; 92%
a) Chọn ngẫu nhiên một máy, rồi cho máy đó sản xuất ra 2 sản phẩm Lập bảng phân phối xác suất cho số sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong 2 sản phẩm đó
b) Cho mỗi máy trong phân xưởng sản xuất ra 100 sản phẩm Tính tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn, số sản phẩm đạt tiêu chuẩn trung bình và số sản phẩm đạt tiêu chuẩn tin chắc nhất trong số sản phẩm do phân xưởng sản xuất
Câu 2.25 Một loại hàng sau khi sản xuất xong được đóng thành từng kiện, mỗi kiện gồm 10 sản
phẩm Số sản phẩm loại A có trong mỗi kiện là đại lượng ngẫu nhiên X có luật phân phối xác suất như sau :
1 , khi 15 35 ( ) 20
Câu 3.2 Thời gian sống của một giống người là một ĐLNN liên tục X tuân theo quy luật mũ
với mật độ: ( ) , khi x 0 ;( 0)
0 , khi x 0
x e
Trang 10Tìm xác suất để một người giống ấy thọ ≥60 tuổi, biết thời gian sống trung bình của họ là 40 tuổi
Câu 3.3 Cho ĐLNN liên tục X có hàm phân phối : 2
k x
f
Tìm k
Câu 3.5 Thời gian chờ (đơn vị : giờ) giữa 2 lần bắn liên tiếp của một thiết bị bắn tốc độ ôtô sử
dụng công nghệ rađa là một ĐLNN liên tục X có hàm phân phối xác suất:
8
0 , x 0( )
b) Tính thời gian chờ trung bình, thời gian chờ tin chắc nhất và phương sai
c) Tính xác suất để thời gian chờ ít hơn 12 phút
Câu 3.6 Thời gian (đơn vị: 100giờ) mà một gia đình sử dụng một máy hút bụi trong 1 năm là
b) Tính EX, DX
c) Tính xác suất để trong một năm, gia đình này chạy máy hút bụi ít hơn 120 giờ
Câu 3.7 : Cho hàm mật độ của một ĐLNN X :
0 , khi x [0, ]
2a) Tìm k
Trang 11Hãy tính EX, DX, ModX, MedX
Câu 3.9: Cho hàm mật độ của ĐLNN X như sau : f(x) = k.e-|x|
b) Tính xác suất để một người có tuổi thọ ≥ 60
c) Tính xác suất để một người có tuổi thọ ≥ 60, biết rằng hiện nay người đó đã 50 tuổi
Câu 3.11 Xét 2 phương án đầu tư có tỷ lệ lợi nhuận là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối
chuẩn với kỳ vọng và độ lệch tiêu chuẩn được cho bởi bảng sau
a) Ta sẽ đầu tư nếu tỷ lệ lợi nhuận tối thiểu 10% và sẽ đầu tư vào phương án nào có khả năng đáp ứng yêu cầu này cao hơn Vậy nên đầu tư vào phương án nào?
b) Để rủi ro (đo bằng phương sai ) là nhỏ nhất thì nên đầu tư vào cả 2 phương án A và B theo
tỷ lệ nào?
Câu 3.12 Một nhà máy sản xuất ra sản phẩm được đóng thành các kiện hàng Giả sử khối lượng
của các kiện hàng tuân theo luật phân phối chuẩn, với khối lượng trung bình là 1000g và độ lệch chuẩn là 30g Một người chọn một kiện hàng từ trong lô hàng của nhà máy
a) Tính xác suất để người này lấy được kiện hàng có khối lượng lớn hơn 1030g
b) Kiện hàng được gọi là đạt tiêu chuẩn nếu nó có khối lượng trong khoảng (991g;1015g) Tính xác suất để người này lấy được kiện hàng đạt tiêu chuẩn
c) Nếu lấy được kiện hàng đạt tiêu chuẩn thì sẽ mua lô hàng đó Người này kiểm tra 10 kiện hàng, tính xác suất để người đó mua 4 kiện hàng
Câu 3.13 Khối lượng của một loại sản phẩm là ĐLNN tuân theo luật phân phối chuẩn, với khối
lượng trung bình là 5kg, độ lệch chuẩn 0,1kg Sản phẩm được gọi là đạt tiêu chuẩn nếu nó có khối lượng trong khoảng (4,9kg;5,2kg)
a) Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm Tính xác suất để chọn được sản phẩm đạt tiêu chuẩn
Kỳ vọng toán (%) Độ lệch chuẩn (%)