Bài tập vỀ acgrument của số phức

1 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP 1. Acgumen của số phức 0 z  Cho số phức 0 z  . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z . Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z. Ký hiệu: Argz   . Nhận xét. Nếu  là một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng .2 k    . 2. Dạng lượng giác của số phức Cho số phức   0, ,z a bi a b     . Ký hiệu r z và  là một acgumen của z khi đó cos ,b rsin a r     . Khi đó có thể viết z dưới dạng:   cos .sin z r i     . Dạng   cos .sin z r i     , trong đó 0 r  , được gọi là dạng lượng giác của số phức 0 z  . Còn dạng   , ,z a bi a b    được gọi là dạng đại số của số phức z. Nhận xét.   cos .sin z r i     thì   cos( ) .sin( ) z r i       . Phương pháp viết số phức   , ,z a bi a b    dưới dạng lượng giác Bước 1. Tính Mođun của số phức 2 2 r a b  . Bước 2. Tìm acgumen của số phức ;cos ,sin tan a b b r r a           . 3. Nhân và chia số phức dạng lượng giác Nếu   cos .sin z r i     và   ' ' cos ' .sin ' z r i     trong đó , ' 0 r r  thì           . ' ' cos ' .sin ' cos ' .sin ' , ' 0 ' ' z z rr i z r i r z r                         . Ghi nhớ. Nhân: Tích mođun và tổng acgumen; Chia: Thương mođun và hiệu acgumen. 2 2 cos .sin 1 2 4 4 cos .sin 2 4 6 4 6 3 2 cos .sin 6 6 2 cos .sin 2 12 12 i i i i i i                                                          4. Công thức Moivre và ứng dụng Cho số phức:   cos .sin z r i     . Khi đó   cosn .sinn n n z r i     . Ví dụ.     5 5 5 5 5 1 2 cos .sin ( 2) cos .sin 4 1 4 4 4 4 i i i i                               . 5. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác Số phức   cos .sin z r i     có hai căn bậc hai là cos .sin 2 2 r i          và cos .sin cos .sin 2 2 2 2 2 2 r i r i                                     . Bài toán thường gặp. Tìm số phức z khi biết acgumen hoặc một số phức khác xuất phát từ z biết trước acgumen. + Nếu z có một acgumen bằng   cos .sin z r i       với 0 r  . + Nếu ( )f z có một acgumen bằng   ( ) cos .sin f z r i       với 0 r  . B. BÀI TẬP MẪU 1. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác a)     1 3 1 3;1 ; 1 3 1 ; 1 i i i i i i       . b)   2 3 i i . c) 1 2 2i . d) sin cos z i     . 2. Tính a)     2 2 3 3 i i   . 3 b)     2 2 3 3 i i   . c)     3 3 3 3 i i   . d)     2 2 3 3 i i   . 3. Tính 6 4 1 3 i i        và     5 11 3 1 3 i i   . 4. Tính tổng       2 2014 1 1 3 1 3 1 3S i i i        . Bài giải Ta có S là cấp số nhân công bội   1 3 2 cos .sin 3 3 q i i                           . Suy ra: 2015 2015 2 2014 2015 1 2 cos .sin 3 3 1 1 1 1 2 cos .sin 3 3 2015 2015 1 2 cos .sin 3 3 3 i q S q q q q i i i                                                                                         . 5. Cho số phức 7 3 1 2 3 i z i    . Tính tổng 2 2014 1 S z z z      . Bài giải Ta có    2 2 7 3 1 2 3 7 3 2 cos .sin 3 3 1 2 3 1 ( 2 3) i i i z i i                   . Khi đó 2015 2015 1 2 cos .sin 3 3 1 1 1 2 cos .sin 3 3 i z S z i                               . 6. Cho số phức z có acgumen bằng 3  . Tìm một acgumen của số phức   1 3 z i  . Bài giải Theo giả thiết ta có os isin 3 3 z z c           . 4 Suy ra:       1 3 os isin 1 3 2 os isin 3 3 3 3 z i z c i z c                          . + Nếu 2 z   Một acgumen của   1 3 z i  là . 3  + Nếu 2 z   Một acgumen của   1 3 z i  là 4 . 3  + Nếu   2 1 3 0 z z i      , nên không xác định acgumen. 7. Tìm số phức z có một acgumen bằng 3  và   3 . 4i z i   . Bài giải Theo giả thiết ta có 3 3 cos .sin 3 3 2 2 2 2 r r r r z r i i z i                . Vậy     3 3 . 3 2 4 2 1 3 2 2 r r i z i i ri i r z i                      . Vậy số phức cần tìm là 1 3z i   . 8. Tìm số phức z thỏa mãn 2 2 ( ) 4 3z z i   và có một acgumen bằng 3  . Bài giải Theo giả thiết ta có 3 3 cos .sin 3 3 2 2 2 2 r r r r z r i i z i                . Vậy 2 2 2 2 3 3 ( ) 4 3 4 3 2 2 2 2 r r r r z z i i i i                        . 2 3 4 3 2 1 3r i i r z i        . Vậy số phức cần tìm là 1 3z i   . 9. Tìm số phức z thỏa mãn 3 1 z i z i    và 1z  có một acgumen bằng 6   . Bài giải Giả sử z x yi  theo giả thiết ta có:     3 1 3 3 1 z i z i z i x y i x y i z i              .     2 2 2 2 3 1 x y x y      . 5     2 2 2 2 3 1 2 x y x y y          .       2 2 2 2 3 1 2 1 1 2x y x y y z x i              . Theo giả thiết ta có: 3 1 os isin , 0 6 6 2 2 i z r c r r                                     . Từ đó suy ra:   3 1 2 2 2 i x i r             . 3 1 4 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 x r r z i r x                           . Vậy số phức cần tìm là 2 3 1 2z i   . Nhận xét. Ta có thể xuất phát từ: 3 3 1 os isin , 0 1 6 6 2 2 2 2 i r ri z r c r r z                                         . Khi đó 3 1 3 3 2 2 1 1 3 1 2 2 r ri i z i z i r ri i            . 2 2 2 2 3 1 3 2 2 1 3 1 1 2 2 r r r r                                   . 2 2 2 2 3 3 1 3 1 1 2 2 2 2 r r r r                                       . 2 2 3 1 4 2 3 1 2 2 2 r r r z i                         . 10. Tìm số phức z thỏa mãn   3 1 .i z  có một acgumen bằng 12  và . 2 5 2 3 i z z   . 6 Bài giải Giả sử     cos .sin , 0 cos( ) .sin( ) z r i r z r i             . Ta có:           3 2 3 3 1 1 1 2 1 2 1 2 2 cos .sin 4 4 i i i i i i i                    . Suy ra:     3 3 3 1 . 2 2 cos .sin . cos( ) .sin( ) 4 4 3 3 2 2 cos .sin 4 4 i z i r i r i                                           . Theo giả thiết ta có: 3 2 2 2 3 cos .sin 4 12 3 3 3 2 2 r r z r i i                        . Suy ra:     2 2 3 3 . 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 5 2 3 2 2 2 2 r r r r i z z i i i r ri r ri r r i r r i r ri r r r r i r r r                                                            . Ta có phương trình: 1 3 5 2 3 5 2 3 1 2 2 r r z i          . Vậy số phức cần tìm là 1 3 2 2 z i    . 11. Trong mặt phẳng phức tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z biết số phức 2 2 z z   có acgumen bằng . 3  Bài giải Giả sử z x yi  . Khi đó:                   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 x yi x yi x yi z z x yi x y x y y i x y x y                       7 Số phức này có acgumen bằng 3  , suy ra     2 2 2 2 2 2 4 4 os isin , 0 3 3 2 2 x y y i r c r x y x y                   .     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 os 0 3 2 2 4 4 3 4 3 3 sin 4 3 2 x y rc y x y x y y y r x y x y                                            . Vậy tập hợp những điểm M là đường tròn tâm 2 0; 3 I       ,bán kính 4 3 R  và nằm trên trục thực. 12. Tìm số phức z thỏa mãn   3 .i z  có một acgrumen bằng 3  và 2 2 3 z i  . Bài giải Đặt   cos sin , 0. z r i r      Suy ra   cos( ) sin( ) . z r i       Khi đó   3 2 cos sin . 6 6 i z r i                            Theo giả thiết ta có . 6 3 6           Khi đó 3 . 2 2 r r z i   Suy ra 2 2 3z i    3 2 2 3 2 2 r r i          . 2 2 2 3 2 12 2 8 0 2, 4 2 r r r r r                 vì 0. r  Vậy 3 .z i  13. Biết rằng 1 3 z  và một acgumen của 1 z i là 3 . 4   Viết z dưới dạng lượng giác. Bài giải 8 Giả sử           1 1 arg os isin os isin 3 3 z z c z c               Ta có 1 2 os isin 4 4 1 os isin 1 4 4 3 2 i c z c i                                          Từ đó suy ra 3 . 4 4 2            Vậy 1 os isin . 3 2 2 z c           14. Tìm số phức   , ,z x yi x y    thỏa mãn   2 1 2 1x yi x y i      và 3 3 z z   có một acgumen bằng 4  . Bài giải Nhận xét. Trước hết ta tìm z x yi  từ điều kiện đầu tiên trước sau đó sử dụng giả thiết: 3 cos .sin , 0 3 4 4 z r i r z              . So sánh hệ số hai vế để tìm ra x và y. Giả sử số phức z có dạng:   , ,z x yi x y    ta có:   2 1 2 1x yi x y i      .     2 2 2 2 2 1 4 1 x y x y      .     2 2 2 2 2 1 4 1 2x y x y y x         . Khi đó:               2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 4 3 3 4 2 3 3 5 9 12 3 4 3 4 x xi x xi z x yi x xi z x yi x xi x x x x x xi x x x xi x x x x                                   . Theo giả thiết ta có:   2 2 2 3 5 9 12 cos .sin , 0 cos .sin 3 4 4 4 4 3 4 z x xi r i r r i z x x                             . 9     2 2 2 2 2 2 2 5 9 0,5 9 0 2 3 4 5 9 12 1 12 2 3 4 x r x x x x x x r x x x                           . 3 6 3 6x y z i        . Vậy số phức cần tìm là 3 6z i  . C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Cho số phức z thỏa mãn 1 3 z z   . Tính modul của số phức 1 n n z z  . 2. Cho số phức z thỏa mãn   3 1 3 . 1 i z i    Tìm modun của số phức .z iz 3. Tìm phần thực và phần ảo của số phức 3 1 3 . 1 i i           4. Tìm số nguyên n thuộc đoạn   1;10 để   1 3 n i là số thực. 5. Chứng minh 24 3 1 i i            là một số thực. 6. Tính tổng     2012 2012 1 1A i i    . 7. Tính tổng 2 1 1 n A z z z       biết 2 2 os isinz c n n     . 8. Tìm số phức z thỏa mãn   3 .i z  có một acgrumen bằng 3  và 2z i nhỏ nhất. Bài giải Đặt   cos sin , 0. z r i r      Suy ra   cos( ) sin( ) z r i       . Khi đó   3 . 2 cos sin . 6 6 i z r i                            Theo giả thiết ta có . 6 3 6           Khi đó 3 . 2 2 r r z i   Suy ra   2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 4 1 3 3 2 2 4 2 r r r r z i i r r r                           . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 3 1 1 2 2 r z i      . 10 Vậy 3 1 2 2 z i   . 9. Tìm số phức z thỏa mãn 4 z  và số phức 3 i z  có một acgument bằng 6   . Bài giải Do   4 4 cos .sin z z i       . Suy ra:           2 3 . 4 3 cos .sin 3 16 3 1 . 2 2 1 . cos .sin cos .sin cos .sin 2 2 6 6 1 cos .sin 2 6 6 i z i i i z z i i i i i                                                           . Do 3 i z  có một acgrument bằng 6   nên: 4 cos .sin 2 2 3 6 6 3 3 3 z i i                                       . 10. Tìm số phức z thỏa mãn 2 3 4 5 4 i z   và   4 1 3 i z  có một acgumen bằng 5 3   . Bài giải Ta có 2 2 2 2 2 2 3 4 3 4 3 ( 4) 3 4 5 5 5 5 2 4 4 4 4 i i i z z z z z               . Suy ra   2 cos .sin z i     . Ta có:   4 4 4 4 4 1 3 2 cos .sin 2 cos .sin 3 3 3 3 i i i                                                        . Suy ra     4 4 4 4 2 cos .sin 1 3 3 3 4 4 8 cos .sin 2 cos .sin 3 3 i i i z i                                                         . Theo giả thiết ta có: 4 5 1 3 3 3 3 z i               . Vậy số phức cần tìm là 1 3z i   . 11. Tìm số phức z thỏa mãn 3 1 3 2 i z           nhỏ nhất và   5 1 3 .i z  có một acgumen bằng 4 3   . [...]... i 2 4 4 1 3 Vậy số phức cần tìm là z    i 4 4 D SỐ PHỨC TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CÁC NĂM 1 (TSĐH Khối A,A1/2013) Cho số phức z  1  i 3 Viết dạng lượng giác của z Tìm phần thực và phần ảo của số phức w  1  i  z 5 2 (TSĐH Khối D/2013) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1  i  z  i   2 z  2i Tính môđun của số phức w  z  2z  1 z2 3 (TSĐH Khối A,A1/2012) Cho số phức z thỏa mãn...  i   2 z  2i Tính môđun của số phức w  z  2z  1 z2 3 (TSĐH Khối A,A1/2012) Cho số phức z thỏa mãn  5 z i z 1   2  i Tính môđun của số phức 2 w  1 z  z 4 (TSĐH Khối D/2012) Giải phương trình z 2  3 1  i  z  5i  0 trên tập hợp các số phức 11 12 .. .Bài giải Giả sử z  r  cos   i.sin   với r  0 Suy ra z  r  cos( )  i sin( )  5  Ta có: 1  i 3  5     5         2  cos     i.sin       25 cos    3  3  . DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP 1. Acgumen của số phức 0 z  Cho số phức 0 z  . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z . Số đo (radian) của mỗi góc lượng.        . Vậy số phức cần tìm là 3 6z i  . C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Cho số phức z thỏa mãn 1 3 z z   . Tính modul của số phức 1 n n z z  . 2. Cho số phức z thỏa mãn .     . Vậy số phức cần tìm là 1 3 2 2 z i    . 11. Trong mặt phẳng phức tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z biết số phức 2 2 z z   có acgumen bằng . 3  Bài giải Giả sử