Sở Giáo dục - Đào tạo Thái Bình Trờng THPT Lê Quý Đôn ********* Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học 2009 2010 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: (6 điểm) 1/ Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số: 2 3 3 m y x x x có 3 điểm cực trị. Khi đó chứng minh rằng cả 3 điểm cực trị này đều nằm trên đờng cong có phơng trình: 2 3( 1)y x . 2/ Cho đồ thị (C) có phơng trình: 2 4 2 1y x x x Tìm trên trục tung điểm A sao cho qua A kẻ đợc ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C) Bài 2: (3 điểm) Cho các góc của tam giác ABC thoả mãn: 2 2 2005 sin sin sinA B C Biết góc A, B nhọn. Tính góc C. Bài 3: (4 điểm) Trong hệ trục toạ độ 0xy cho 3 điểm A(0;a), B(b;0), C(-b;0) với a>0, b>0. 1/ Viết phơng trình đờng tròn tiếp xúc với AB tại B. 2/ Gọi M là một điểm bất kỳ trên đờng tròn ở câu 1/. Gọi d 1 , d 2 , d 3 lần lợt là khoảng cách từ M tới AB, AC và BC. Chứng minh rằng: 2 1 2 3 d .d d Bài 4: (5 điểm) 1/ Giải phơng trình: x x x 2004 2006 2.2005 2/ Với giá trị nào của m bất phơng trình: 2 2 2 4 log x 2x m 4 log (x 2x m) 5 nghiệm đúng với mọi x 0;2 Bài 5: (2 điểm) Xét các số thực x, y thoả mãn: x 3 x 1 3 y 2 y Hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P x y Đáp án và biểu điểm Bài Nội dung điểm Bài 1: 1/ Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số: 2 3 3 m y x x x có 3 điểm cực trị. Khi đó chứng minh rằng cả 3 điểm cực trị này đều nằm trên đờng cong có phơng trình: 2 3( 1)y x . 3 đ 1/ + TXĐ: D R \ 0 + Tính 2 3 2 2 m 2x 3x m y' 2x 3 x x xác định x D + Hàm số có ba cực trị y' 0 có ba nghiệm phân biệt 1 2 3 x ,x ,x và đổi dấu qua các nghiệm đó. 1 2 phơng trình 3 2 f(x) 2x 3x m 0 có ba nghiệm phân biệt 1 2 3 x ,x ,x cùng khác 0. CĐ CT f(0) 0 f(x)có có CĐ, CT mà f .f 0 1 2 Xét f(x) m 0 m 0 Xét 3 2 f(x) 2x 3x m Có 2 x 0 f '(x) 6x 6x f '(x) 0 x 1 x - 0 0 + f(x) + 0 - 0 + 1 2 Hàm số đạt cực đại tại CĐ x 0 f f(0) m Hàm số đạt cực tiểu tại CT x 1 f f)(1) 1 m CĐ CT f .f 0 m(m 1) 0 1 m 0 Do đó hàm số có 3 cực trị 1 0 1 2 * Gọi 3 điểm cực trị là 1 1 2 2 3 3 A(x ;y ),B(x ;y );C(x ;y ) với 1 2 3 x ,x ,x là ba nghiệm của 3 2 f(x) 2x 3x m 0 + Chứng minh: Với hàm số 0 0 (x) 0 (x ) (x ) u(x) y ,x TXĐ, y' 0,v' 0 v(x) thì: 0 0 (x ) 0 u'(x ) y v'(x ) 1 2 Từ đó 1 2 1 (x ) 1 1 y y 3x 6x 3 2 2 2 (x ) 2 2 y y 3x 6x 3 3 2 3 (x ) 3 3 y y 3x 6x 3 Chứng tỏ toạ độ 3 điểm cực trị thoả mãn phơng trình: 2 2 y 3x 6x 3 y 3(x 1) 1 2 2/ Cho đồ thị (C) có phơng trình: 2 4 2 1y x x x Tìm trên trục tung điểm A sao cho qua A kẻ đợc ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C) 3 đ Vì 2 2 2 4x 2x 1 (x 1) 3x 0 x R 1 4 + TXĐ: R 1 4 + Tính 2 4x 1 y' 1 4x 2x 1 + Lấy điểm 2 0 0 0 0 0 0 M(x ;y ) (C) y x 4x 2x 1 Tiếp tuyến (d) của (C) tại M có phơng trình dạng: 0 0 (x ) 0 y y y' .(x x ) 2 0 0 0 0 0 2 0 0 4x 1 y 1 (x x ) x 4x 2x 1 4x 2x 1 1 2 + Gọi A d 0y A(0;a) 2 0 0 0 0 0 2 0 0 4x 1 a 1 ( x ) x 4x 2x 1 4x 2x 1 0 2 0 0 x 1 4x 2x 1 1 2 + Xét hàm số: 0 0 (x ) 2 0 0 x 1 a f 4x 2x 1 TXĐ: R. Có 0 0 0 (x ) (x ) 0 2 2 0 0 0 0 3x f ' f ' 0 x 0 (4x 2x 1) 4x 2x 1 1 2 0 0 (x ) (x ) x x 1 1 lim f ; lim f 2 2 x 0 - 0 + 0 (x ) f ' + 0 - 0 (x ) f 1 2 1 1 2 1 2 Với 0 1 x TXĐ thì - a 1 2 Kết luận: Điểm 1 A(0;a) với - a 1 2 1 2 Bi 2 Cho các góc của tam giác ABC thoả mãn: 2 2 2005 sin sin sinA B C Biết góc A, B nhọn. Tính góc C. 3 đ + Do C l góc của tam giác nên 2005 0 sinC 1 sinC sinC 1 2 2 2 2 (1) sin A sin B sin C 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4R sin A 4R sin B 4R sin C a b c a b a b 2.a.b.cosC cosC 0 (2) 1 + Chứng minh: 2 2 2 sin A sin B sin C 2.cosA.cosB.cosC 1 2 Do đó: 2 2005 sinC sin C 2 2.cosA.cosB.cosC (*) Có: 2 2005 sinC sin C 2 2 2.cosA.cosB.cosC 2 cosA.cosB.cosC 0 cosC 0 (3) (vì A, B nhọn cosA>0, cosB>0) 1 2 Từ (2) và (3) 0 cosC 0 C 90 1 2 Bài 3: Trong hệ trục toạ độ 0xy cho 3 điểm A(0;a), B(b;0), C(-b;0) với a>0, b>0. 1/ Viết phơng trình đờng tròn tiếp xúc với AB tại B. 2 đ Giả sử đờng tròn (C): 2 2 2 (x ) (y ) R thoả mãn đầu bài + Có AB, AC đối xứng nhau qua 0y I( ; ) 0y nên =0 1 2 + (C) tiếp xúc với AB tại B 2 2 2 b IB.AB 0 a R AB R b 2 4 2 2 b a b R b a 1 Vậy đờng tròn (C) có phơng trình: 2 4 2 2 2 b b x y b a a 1 2 2- Gọi M là một điểm bất kỳ trên đờng tròn ở câu 1/. Gọi 1 2 3 d ,d ,d lần lợt là khoảng cách từ M đến AB, AC và BC 2 đ + Phơng trình đờng thẳng AB: x y 1 ax by ab 0 b a Phơng trình đờng thẳng AC: x y 1 ax by ab 0 b a Phơng trình BC: y=0 1 2 + Gọi 2 2 4 2 2 0 0 0 0 2 b b M(x ;y ) (C) x y b a a 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 b x y 2. .y b 0 a a .x a y 2a.b .y a .b 0 (1) 1 2 0 0 0 0 1 2 3 0 2 2 2 2 | ax by ab | | ax by ab | d ;d ;d | y | a b a b Khi đó: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 2 2 2 2 2 | a x b y 2a.b .y a .b | | a x (by ab) | d .d (2) a b a b Từ (1) 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 a x a y 2.a.b .y a b 0 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 a x 2.a.b .y a b a y (3) Thay (3) vo (2) ta có: 2 2 2 2 2 2 0 0 1 2 0 3 2 2 | a y b y | d .d | y | d a b Bài 4 1- Giải phơng trình: x x x 2004 2006 2.2005 2 đ Giả sử x 0 là một nghiệm của phơng trình 0 0 0 0 0 0 0 x x x x x x x 2004 2006 2.2005 2006 2005 2005 2004 1 2 Đặt: 0 0 x x f(t) (t 1) t f(t) liên tục trên R Nên f(t) liên tục trên 2004;2005 và có f(2005) f(2004) Và: 0 0 0 0 x 1 x 1 x 1 x 1 0 0 0 f '(t) x (t 1) x t x (t 1) t 1 2 Nên 2004;2005 để f'( )=0 0 0 0 0 x 1 x 1 0 0 0 0 x 1 x 1 0 0 x ( 1) 0 x 0 x 0 x 0 x 1 0 x 1 ( 1) 1 2 Thử lại 0 0 x 0,x 1 thoả mãn. Kết luận: Nghiệm phơng trình: x=0, x=1 1 2 2- Với giá trị nào của m bất phơng trình: 2 2 2 4 log x 2x m 4 log (x 2x m) 5 nghiệm đúng với x 0;2 3 đ Điều kiện: 2 2 2 4 x 2x m 0 x 2x m 1 log (x 2x m) 0 1 4 Bpt 2 2 4 4 log (x 2x m) 4 log (x 2x m) 5 (1) Đặt 2 4 t log (x 2x m) đk: t 0 Bpt (1) 2 t 4t 5 0 0 t 1 t 0 1 2 2 4 0 log (x 2x m) 1 2 4 2 4 log (x 2x m) 0 log (x 2x m) 1 2 2 x 2x m 1 x 2x m 4 1 2 Do đó để bất phơng trình đã cho nghiệm đúng x 0;2 2 2 x 2x m 1 x 2x m 4 nghiệm đúng x 0;2 2 2 x 2x 1 m x 2x 4 m nghiệm đúng x 0;2 1 4 x 0;2 2 x 0;2 M in f(x) 1 m (với f(x)=x 2x) Maxf(x) 4 m Xét 2 f(x) x 2x với 0 x 2 Có: f '(x) 2x 2 f(x) 0 x 1 Bảng biến thiên: x - 0 1 2 + f(x) - 0 + f(x) 0 -1 0 1 2 x 0;2 x 0;2 M in f(x) 0 Maxf(x) 1 Do đó (*) 1 1 m m 2 2 m 4 0 4 m m 4 Kết luận: 2 m 4 1 2 Bài 5: Xét các số thực x, y thoả mãn: x 3 x 1 3 y 2 y Hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P x y 2 đ Giả thiết (1): x y 3 x 1 y 2 Xét hệ: x y P 3( x 1 y 2) P (I) 1 2 Đặt: u x 1 0 v y 2 0 Hệ (I): 2 2 2 P u v 3(u v) P 3 1 P u v P 3 u.v P 3 2 9 (II) 1 2 Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi hệ (II) có nghiệm u,v: u 0,v 0 2 2 2 2 P 1 P t t P 3 0 3 2 9 18t 6Pt P 9P 27 0 có 2 nghiệm không âm 1 2 ' 0 c 9 3 21 0 P 9 3 15 a 2 b 0 a Kết luận: 9 3 21 Min P ,MaxP 9 3 15 2 1 2 . Sở Giáo dục - Đào tạo Thái Bình Trờng THPT Lê Quý Đôn ********* Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học 2009 2010 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: (6 điểm) 1/ Tìm. thị hàm số: 2 3 3 m y x x x có 3 điểm cực trị. Khi đó chứng minh rằng cả 3 điểm cực trị này đều nằm trên đờng cong có phơng trình: 2 3( 1)y x . 2/ Cho đồ thị (C) có phơng trình: 2 4 2 1y. thị hàm số: 2 3 3 m y x x x có 3 điểm cực trị. Khi đó chứng minh rằng cả 3 điểm cực trị này đều nằm trên đờng cong có phơng trình: 2 3( 1)y x . 3 đ 1/ + TXĐ: D R 0 + Tính 2 3 2 2 m 2x