Thuật toán quan hệ động ít biến

Thuật toán quan hệ động ít biến

Tiết kiệm biến cho các bài toán quy hoạch độngNguyễn Xuân HuyCác bài toán quy hoạch động (QHĐ) chiếm một vị trí kháquan trọng trong việc tổ chức hoạt động và sản xuất. Chính vì lẽ đó mà trongcác kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc tế chúng ta thường gặp loại toán này.Thông thường những bạn nào dùng phương pháp quay lui, vét cạn cho các bài toánQHĐ thì chỉ có thể vét được các tập dữ liệu nhỏ, kích thước chừng vài chụcbyte. Nếu tìm được đúng hệ thức thể hiện bản chất QHĐ của bài toán và khéo tổchức dữ liệu thì ta có thể xử lý được những tập dữ liệu khá lớn.Có thể tóm lược nguyên lý QHĐ do Bellman phát biểu nhưsau: Quy hoạch động là lớp các bài toán mà quyết định ở bước thứ i phụthuộc vào quyết định ở các bước đã xử lý trước đó. Để giải các bài toán QHĐ ta có thể theo sơ đồ sau đây:Sơ đồ giải bài toán QHĐ:1.Lập hệ thức: Lập hệ thức biểu diễn tương quan quyết định củabước đang xử lý với các bước đã xử lý trước đó. Hệ thức này thường là các biểuthức đệ quy do đó dễ gây ra hiện tượng tràn miền nhớ khi ta tổ chức chươngtrình trực tiếp bằng đệ quy.2. Tổchức dữ liệu và chương trình: Tổ chức dữ liệu tính toán dần theo từngbước. Nên tìm cách khử đệ quy. Thông thường, trong các bài toán chúng ta haygặp đòi hỏi một vài mảng hai chiều.3. Làmtốt: Làm tốt thuật toán bằng cách thu gọn hệ thức QHĐ và giảmkích thước miền nhớ.Dưới đây là thí dụ minh họa.Bài toán 1: (Chia thưởng) Cầnchía hết m phần thưởng cho n học sinh sắp theo thứ tự từ giỏi trở xuống sao chomỗi bạn không nhận ít phần thưởng hơn bạn xếp sau mình.Bài giải:1. Lập hệ thức: Gọi Chiăm,n) là số cáchchia m phần thưởng cho n học sinh, ta thấy: 1.1. Nếu không có học sinh nào(n=0) thì không có cách chia nào (Chia=0). 1.2. Nếu không có phần thưởngnào (m=0) thì chỉ có một cách chia (Chia =1 - mỗi học sinh nhận 0 phần thưởng).Ta cũng quy ước Chia (0,0)=1. 1.3. Nếu số phần thưởng íthơn số học sinh (m < n) thì từ học sinh thứ m+1 trở đi sẽ không được nhận phần thưởng nào, tức là m phần thưởng chỉ có thể chia tối đã cho m học sinh.Chia (m,n)=Chia (m,m), nếu m < n. 1.4. Ta xét trường hợpm>=n. Ta tách các phương án chia thành hai nhóm không giao nhau: -Nhóm thứ nhất gồm các phương án trong đó học sinh thứ n không được nhận thưởng,tức là m phần thưởng chỉ chia cho n-1 học sinh và do đó số cách chia, tức là sốphần tử của nhóm này sẽ là: Chia (m,n-1). -Nhóm thứ hai gồm các phương án mà học sinh thứ n cũng được nhận thưởng. Khi đó,do học sinh đứng cuối bảng thành tích được nhận thưởng thì mọi học sinh kháccũng sẽ có thưởng. Do ai cũng được thưởng nên ta bớt của mỗi người một phầnthưởng (để họ lĩnh sau), số phần thưởng còn lại (m-n) sẽ được chia cho n họcsinh. Số cách chia khi đó sẽ là Chia (m-n,n). Tổng số cách chia cho trườnghợp m>=n sẽ là tổng số phần tử của hai nhóm, ta có:Chia (m,n)=Chia (m,n-1)+Chia (m-n,n).2. Tổ chức dữ liệu và chương trình: Ta cóphương án đầu tiên của giải thuật Chia như sau:{PHUONG AN 1: de quy}function Chia (m,n: integer):longint;beginif m = 0 then Chia:=1else {m>0}if n = 0 then {m>0;n=0} Chia:=0else {m,n > 0}if m < n then {0<M else {m>=n>0}Chia:=Chia (m-n,n)+Chia (m,n-1);end; Làm tốt lần 1: Phương án 1 khá dễtriển khai nhưng chương trình sẽ chạy rất lâu, bạn hãy thử gọi Chiă66,32) đểcảm nhận được điều trên. Diễn tả đệ quy thường trong sáng, nhàn tản, nhưng khithực hiện sẽ sinh ra hiện tượng gọi lặp lại những hàm đệ quy. Cải tiến đầu tiênlà tránh những lần gọi lặp như vậy. Muốn thế chúng ta tính sẵn các giá trị củahàm theo các trị của đầu vào khác nhau và điền vào một mảng hai chiều cc. Mảngcc được mô tả như sau:const MN=100;{gioi han tren cua m va n}var cc:array[0 MN,0 MN] of longint;Ta quy ước cc[i,j] là số cách chia i phần thưởng cho jhọc sinh.Theo phân tích của phương án 1, ta có:-cc[0,0] = 1; cc[i,0] = 0, với i:=1 m.-cc[i,j] = cc[i,i], nếu i < j-cc[i,j] = cc[i,j-1]+cc[i-j,j], nếu i ≥ j.Từ đó ta suy ra quy trình điền trị vào bảng cc như sau:Khởi trị: Khởi trị cột đầu tiên (tức cột 0)toàn 0. Riêng cc[0,0]:=1.Điền bảng: Lần lượt điền theo từngcột j:=1 n. Tại mỗi cột j ta đặt-cc[i,j]:=cc[i,i] với i:=0 j-1 < j và-cc[i,j]:=cc[i,j-1]+cc[i-j,j] với i:=j m ≥ j. Nhận kết quả: Sau khi điền bảng, giátrị cc[m,n] chính là kết quả cần tìm.{PHUONG AN 2: dung mang 2 chieu cc}function Chia2(m,n: integer):longint; var i,j: integer;begincc[0,0]:=1;{Chia 1 vat cho 0 nguoi}for i:=1 to m do cc[i,0]:=0;for j:=1 to n dobeginfor i:=0 to j-1 do cc[i,j]:=cc[i,j-1];for i:=j to m do cc[i,j]:=cc[i,j-1]+cc[i-j,j];end;Chia2:=cc[m,n];end;Làm tốt lần 2: Dùng mảng 2 chiều chúng tachỉ có thể tính toán được với dữ liệu nhỏ, cỡ trên dưới 100. Bước cải tiến sauđây khá quan trọng: chúng ta dùng mảng một chiều. Quan sát kỹ quy trình gán trịcho mảng 2 chiều theo từng cột chúng ta dễ phát hiện ra rằng cột thứ j có thểđược tính toán từ cột thứ j-1. Nếu gọi c là mảng một chiều sẽ dùng, ta cho sốhọc sinh tăng dần bằng cách lần lượt tính j bước, với j:=1 n. Tại bước thứ j,c[i] chính là số cách chia i phần thưởng cho j học sinh. Như vậy, tại bước thứj ta có:-c[i] mới = c[i] cũ, nếu i < j. Từ đây suy ra đoạn c[0 j-1] được bảo lưu.-c[i] mới = c[i] cũ + c[i-j] mới, nếu i ≥ j.Biểu thức thứ hai cho biết khi cập nhật mảng c từ bướcthứ j-1 qua bước thứ j ta phải tính từ trên xuống, nghĩa là tính dần theo chiềutăng của i:=j m. Mảng c được khởi trị ở bước (j=0) như sau:-c[0] = 1; c[i] = 0, với i:=1 m. với ý nghĩa là, nếu có 0 học sinh thì chia 0 phần thưởngcho 0 học sinh sẽ được quy định là 1, nếu số phần thưởng m khác 0 thì chia mphần thưởng cho 0 học sinh sẽ được 0 phương án.Ta có phương án thứ ba, dùng một mảng một chiều c nhưsau: {PHUONG AN 3: dung mang 1 chieu c}function Chia1(m,n: integer):longint;var i,j: integer;beginc[0]:=1;{Chia 1 vat cho 0 nguoi}for i:=1 to m do c[i]:=0;for j:=1 to n dofor i:=j to m do c[i]:=c[i]+c[i-j];Chia1:=c[m];end;Để so sánh các phương án bạn đặt một bộ đếm nhịp của máynhư sau:var nhip: longint absolute $0000:$046c;{xac dinh nhip thoi gian}t: longint;{ghi nhan nhip}Ngoài ra bạn khai báo hai biến n và m dùng chung cho cácthủ tục:var m,n: integer;{so phan thuong va so hoc sinh}Sau đó bạn tạo cho mỗi phương án một test như sau:procedure Test1;beginwrite('Test1: De quy ');t:=Nhip;write(' Ket qua: ',Chiăm,n)); writeln(' Thoi gian: ',((Nhip-t)/18.2):0:0,' giaý);end;procedure Test2;beginwrite('Test2: Dung mang 2 chieu CC');t:=Nhip;write(' Ket qua: ',Chia2(m,n));writeln(' Thoi gian: ',((Nhip-t)/18.2):0:0,' giaý);end;procedure Test3;beginwrite('Test3: Dung mang 1 chieu C ');t:=Nhip;write(' Ket qua: ',Chia1(m,n));writeln(' Thoi gian: ',((Nhip-t)/18.2):0:0,' giaý);end;Tiếp theo là phần thân chương trình gồm 3 test với cácgiá trị m=66 và n=32. BEGINclrscr;m:=66; n:=32;Test3;Test2;Test1; readln;END.Quan sát hoạt động của chương trình bạn sẽ rút ra được ýnghĩa của các phương án cải tiến.Chú thích: Bài toán trên còn có cách phátbiểu khác như sau: Hãy tính số cách biểu diễn số tự nhiên m thành tổng của nsố tự nhiên sắp theo trật tự không tăng. Thí dụ, với m=7, n=4 ta có 7 = 7+0+0+0=6+1+0+0= .Bài toán dưới đây đã được nhiều bạn đọc công bố lời giảivới một mảng hai chiều kích thước n2 hoặc vài ba mảng một chiều kíchthước n, trong đó n là chiều dài của dữ liệu vào. Với một nhận xét nhỏ các bạnsẽ phát hiện ra rằng chỉ cần dùng một mảng một chiều kích thước n và một vàibiến đơn là đủ. Bài toán 2: (Palindrome. Đề thi OlimpicQuốc tế, năm 2000) Dãy ký tự s được gọi là đối xứng nếu các phần tử cáchđều đầu và cuối gíống nhau. Cho dãy s tạo bởi n ký tự gồm các chữ cái hoa vàthường phân biệt và các chữ số. Hãy cho biết cần xen thêm vào s ít nhất là baonhiêu ký tự để thu được một dãy đối xứng.Dữ liệu vào ghi trong tệp văn bản PALIN.INP với cấutrúc như sau:Dòng đầu tiên là giá trị n; 1<=n<=1000.Từ dòng thứ hai là n ký tự của dãy viết liền nhau.Ta quy định hiển thị kết quả trên màn hình cho đơngiản.Bài giải:Gọi dãy dữ liệu vào là s. Ta tìm chiều dài của dãy conđối xứng v dài nhất trích từ s. Khi đó số ký tự cần thêm sẽ là t =length(s)-length(v). Dãy con ở đây được hiểu là dãy thu được từ s bằng cách xoáđi một số phần tử trong s. Thí dụ với dãy s = ab2da thì dãy con đối xứng dàinhất của s sẽ là aba hoặc a2a . Lập hệ thức: Gọi len(i,j) là chiều dài củadãy con dài nhất thu được từ đoạn s[i j]. Ta có: -Nếu s[j]=s[i] thì len(i,j)=len(i+1,j-1)+2.-Nếu s[j]<>s[i] thì len(i,j)=max(len(i,j-1),len(i+1,j)).Vấn đề đặt ra là cần tính len(1,n). Mà muốn tínhđược len(1,n) ta phải tính được các len(i,j) với mọi i,j=1 n. Ta sẽ dùng mảng một chiều là d[0 n+1] với n bước cậpnhật. Tại bước cập nhật thứ j, ta có d[i]=len(i,j) và được tính như sau:- Nếu s[j]=s[i]thì d[i]=d[i+1] cũ + 2.- Nếus[j]<>s[i] thì d[i]=max(d[i] cũ, d[i+1]).trong đó d[.] cũ chính là d[.] đã được tính tại bước thứj-1.Nếu ta tính từ dưới lên, tức là tính d[i] với i:=n 1 thìd[i+1] cũ sẽ bị ghi đè. Ta dùng một biến phụ tr bảo lưu giá trị này. Chương trình khi đó sẽ như sau:(* PALIN.PAS*)uses crt;const MN = 1001;fn = 'PALIN.INP';var s: array[1 MN] of char;n: integer;f: text;d: array[0 MN] of integer;procedure Doc;var i: integer;begin assign(f,fn); reset(f);readln(f,n);for i:=1 to n do read(f,s[i]);close(f);end;function max(a,b: integer):integer;beginif a>=b then max:=a else max:=b;end;procedure QHD;var i,j,t,tr: integer;beginfor j:=1 to n dobegintr:=0; d[j]:=1;for i:=j-1 downto 1 dobegint:=d[i];if s[i]=s[j] then d[i]:=tr+2else d[i]:=max(d[i],d[i+1]);tr:=t;end;end; writeln(n-d[1]);end;procedure run;beginDoc;QHD;end;BEGINrun;END.Du lieu Test:18ebacagbaiaaeadbadbKet qua du doan:them 8 ki tu [...]... Nếus[j]<>s[i] thì d[i]=max(d[i] cũ, d[i+1]). trong đó d[.] cũ chính là d[.] đã được tính tại bước thứj-1. Nếu ta tính từ dưới lên, tức là tính d[i] với i:=n 1 thìd[i+1] cũ sẽ bị ghi đè. Ta dùng một biến phụ tr bảo lưu giá trị này. Chương trình khi đó sẽ như sau: (* PALIN.PAS*) uses crt; const MN = 1001; fn = 'PALIN.INP'; var s: array[1 MN] of char; n: integer; f: text; d: array[0 MN] of . kiệm biến cho các bài toán quy hoạch độngNguyễn Xuân HuyCác bài toán quy hoạch động (QHĐ) chiếm một vị trí kh quan trọng trong việc tổ chức hoạt động và. đây:Sơ đồ giải bài toán QHĐ:1.Lập hệ thức: Lập hệ thức biểu diễn tương quan quyết định củabước đang xử lý với các bước đã xử lý trước đó. Hệ thức này thường