Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 1 Chơng 10 CáC M XáC THựC 10.1 Mỏ ĐầU Ta đã dành nhiều thời gian để nghiên cứu các hệ mật đợc dùng để đảm bảo độ mật .Mã xác thực sẽ cung cấp phơng pháp bảo đảm tình toàn vẹn của bản tin,mghĩa là bản tin phải không bị can thiệp một cách bất hựp pháp và nó thực sự đợc gửi đi từ mày phát. Mục đích của chơng này là phải có đợc khả năng xá thực ngay cả khi có một đối phơng tích cực-Oscar là ngời có thể quan sát các bản tin trong kênh.Mục đích này có thể đạt đợc bằng cách thiết lập một khoa riêngK bằng cách để Alice và Bob chungchung một khoá bí mật trớc hki mỗi bản tin đợc gửi đi. Trong chơng này ta sẽ nghiên cứu đảm bảo xacs thực chứ không phải các mã đảm bảo độ mật.Trong mã này,khoá sẽ đợc dùng dể tính một mã xác thực cho phép Bob kiểm tra đợc tính xác thực của thông báo mà anh ta nhận đợc.Một ứng dụng khác của mã xác thực là để kiểm tra xem các số liệu trong một file lớn có bị can thiệp vào một cách hợp pháp hay không.Nhãn xác thực sẽ đợc lu cùng với số liệu:KHOá ĐƯẻc dùng để tạo và kiểm tra dấu xác thực đợc lu một cách tách bạch trong mộtvùngan toàn. Ta cũng sẽ chỉ ra rằng,về nhiều khía cạnh mã xác thực cũng tơng tự nh một sơ đồ chữ kí hoặc tơng tự nh một maw xác thực thông báo(MAC).Sự khác biệt chính là sự an toàn của một maw xác thực là không điều kiện biên,trong khi đó các sơ đồ chữ kí và MAC lại đợc nghiên cứu theo quan điểm độ an toàn tính toán.Cũng vậy,khi một maw xác thực (hoặc MAC) đợc dùng,một bản tin chỉ có thể đợc kiểm tra bởi ngời nhận hợp pháp.Trong khi đó baats cứ mỗi ai cũng có thể xác minh đợc chữ kí bằng cách dùng một thuật toán xác minh công khai. Bây giờ ta sẽ đa ra một định nghia hình thức cho thuật ngữ đợc sử dụng khi nghiên cứu các mã xác thực. Định nghĩa 10.1 Một mã xác thực là một bộ 4(S,R,K,C)thoả mãn các điều kiện sau : 1. S là tập hữu hạn các trạng thái nguồn có thể Giỏo trỡnh tin hc: Nghiờn cu cỏc m bo xỏc thc thay cho m bo mt Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 2 2. A là tập hợp các nhãn xác thực có thể 3. K là một tập hữu hạn các khoá có thể (không gian khoá) 4. Với mỗi k K có một quy tắc xác thực e k : S R Tập bản tin đợc xác định bằng M=S R Nhận xét: Chú ý một trạng thái nguồn tơng đơng với một bản rõ.Một bản tin gồm một bản rõ với một nhãn xác thực kèm theo,một cách chính xác hơn có thể coi đó là là một bản tin đã đợc xác nhận.Một quy tắc xác thực không nhất thiết phải là hàm đơn ánh. Đẻê phát một thông báo (đã đợc kí).Alice và Bob phải tuân theo giao thức sau.Trớc tiên họ phải chộn một khoá ngẫu nhiên KK.Điều này đợc thuwc hiện một cách bí mật nh trong hệ mật khoá bi mật.Sau đó giả sử rằng Alice muốn gửi một trạng thái nguồn sS cho Bob trong một kênh không an toàn>Alice sẽ tính a=e k (s) và gửi bản tin (s,a)cho Bob.Khi nhận đợc (s,a) Bob tính a=e K (s).Nếu a=a thì Bob chấp nhận bản tin là xác thực,ngợc lại Bob sẽ loại bỏ nó. Ta sẽ nghiên cứu hai kiểu tấn công khác nhau mà Oscar có thể tiến hành.Trong cả hai loại này,Oscar sẽ làkẻ xâm nhập vào gia cuộc.Các phép tấn công này đợc mô tả nh sau: Giả mạo Oscar đa ra một bản tin (s,a) vào kênh và hi vọng nó sẽ đợc chấp nhận .Phơng pháp này đợc mô tả trong hình 10.1. Thay thế Oscar quan sát một bản tin trong (s,a)kênh ,sau đó anh ta biến đổi nó thành(s,a),trong đó s=s và hi vọng đợc Bob chấp nhận nh một bản tin xác thực .Bởi vậy anh ta tin sẽ lái đợc Bob đi tới trạng thái nguồn mới này.Phơng pháp này đợc mô tả nh hình 10.2. . Oscar Hình 10.1. Việc giả mạo bởi Oscar Oscar (s,a) Bob Hình 10.2 . Phép thay thế của Oscar. Alice (s,a) Oscar (s,a) Bob Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 3 Gắn với mỗi phơng pháp này là một xác xuất lừa bịp,là xác suất để Oscar thành công trong việc lừa Bob nếu anh ta (Oscar) tuân thủ một chiến lợc tối u .Các xác suất này đợc kí hiệu là Pd 0 (trờng hợp giả mạo)và Pd 1 (trờng hợp thay thế) .Để tình Pd 0 và Pd 1 ta cần phải xác định các phân bố xác suất trên S vàK.Các xác suất này đợc kí hiệu tơng ứng là p s và p k . Giả sử rằng Oscar đẵ biết mã xác thực và hai phân bố xác suất này.Chỉ có một thông tin mà Alice và Bob có nhng mà Oscar không đợc biết là giá trị của khoá K .Điều này tơng tự với cách mà chúng ta đã nghiên cứu độ an toàn không điều kiện của các hệ mật khoá bí mật. 10.2.Tính xác suất lừa bịp Trong phần này sẽ xét đến việc tính các xác suất lừa bịp.Ta bắt đầu về một mã xác thực. Ví dụ 10.1 Giả sử K=R=Z và K=Z 3 xZ 3 Với mỗi (i,j) K và mỗi s S ta xác định e k (s) =i.s+j mod 3 Để thuận tiện cho việc nghiên cứu ta dùng ma trận xác thực (ma trận này tạo bằng tất cả các giá trị e k (s)).Với mỗi khoá KK và với mỗi s S ta đặt nhãn xác thực e k (s) vào hàng K và cột s của một ma trận M kích thớc K xS .Mảng M đợc mô tả trên hình 10.3. Hình 10.3.Ma trận xác thực Khoá 0 1 2 (0,0) 0 0 0 (0,1) 1 1 1 (0,2) 2 2 2 (1,0) 0 1 2 (1,1) 1 2 0 (1,2) 2 0 1 (2,0) 0 1 2 (2,1) 1 0 2 (2,2) 2 1 0 Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 4 Giả sử rằng khoá đợc chọn một cách ngẫu nhiên,tức là p k (K)=1/9 đối với mọi KK. Ta không phải xác định phân bố xác suất p S vì trong thí dụ này nó khong có ý nghĩa gì. Trớc tiên xét cách tấn công giả mạo,Oscar sẽ chọn ra một trạng thái nguồn s và cố gắng phỏng ddoand\s một nhãn xác thực đúng.Kí hiệu K 0 là khoá đang sử dụng (mà Oscar không biết).ócả sẽ thành công trong việc đánh lừa Bob nếu anh ta phỏng đoán a 0 =e K0 (s).Tuy nhiên với bất kì sS và aR dễ dàng thấy rằng ,chỉ có đúng 3(chứ không phải là 9)quy tắc xác thực KK sao cho e k (s) =a.(Nói cách khác mỗi kí hiệu chỉ xuất hiện 3 lần trong mỗi cột của ma trận xác thực ).Bởi vậy dẫn tới Pd 0 =1/3. Phân tích phép thay thế có phức tạp hơn một chút.Giả sử Oscar đã quan sát đợc trên kênh 1 bản tin (0.0).Nhờ đó anh ta đã biết một thông tin nào đó về khoá:anh ta biết rằng : K 0 {(0,0),(1,0),(2,0)} Bây giờ ,giả sử Oscar thay bản tin (0,0) bằng bản tin (1,1).Khi đó anh ta sẽ lừa bịp thành công khi và chỉ khi K 0 =(1,1) ,xác suất để K 0 là khoá bằng 1/3 vì khoá nằm trong tập {(0,0),(1,0),(2,0)}. Có thể thực hiện một phân tích tơng tự đối với bất kì một phép thay thế nào mà Oscar tiến hành.Nói chung nếu Oscar quan sát một bản tin (s,a) và thấy nó bằng một bản tin bất kì (s,a) trong đó s=s thì anh ta sẽ đánh lừa đợc Bob với xác suất 1/3.Ta có thể thấy rõ điều này nh sau .Việc quan sát đợc (s,a) sẽ hạn chế khóa và một trong ba khả năng.Trong khi đó với một phép chọn (s,a) chỉ có một khoá chứ không phải ba khoá có thể )theo quy tắc a là nhãn xác thực của s. Bây giờ ta sẽ thảo luận cách tính toán tổng quát cho các xác suất lừa bịp.Trớc tiên ta hãy xát Pd 0 .Cũng nh trên K 0 là khoá đợc chọn bởi Alice và Bob.Với sS và aR ta xác định payoff(s,a)là xác suất để Bob chấp nhận bản tin (s,a) là bản tin xác thực .Dễ dàng thấy rằng : Payoff(s,a) = prob(a=e K (s)) = K K (ek(s) = a) p K (K) Nghĩa là payoff(s,a) đợc tính bằng cách chọn các hàng của ma trận xác thực có phần tử a nằm trong cột s và lấy tổng xác suất của các khoá K tơng ứng. Để cơ hội thành công là lớn nhất.Oscar phỉa chọn (s,a) sao cho payoff(s,a) là cực đại .Bởi vậy: Pd 0 =max{payoff(s,a): sS.aR} (10.1) Chú ý rằng Pd 0 không phụ thuộc vào phân bố xác suất p S Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 5 Việc tính Pd 1 có khó hơn một chút và nó có thể phụ thuộc vào p S .Trớc tiên ta sẽ xét bài toán sau:Giả sử Oscar quan sát đợc thông báo (s,a) trong kênh.Oscar sẽ thay (s,a) bằng một bản tin (s,a) nào đó ,trong đó ss.Khi đó,với s,sS ,ss và a,aR ta định nghĩa payoff(s,a;s,a) là xác suất để phép thay thế (s,a) bằng (s,a) thành công(để đánh lừa Bob) .Khi đó có thể tính nh sau : Payoff(s,a;s,a) =prob(a=e Ko (s)a=e Ko (s)) = ))(( ))()'('( seaprob seaseaprob K KK = = = Tử số của phân số này đợc tính bằng cách chọn các hàng của ma trận xác thực có giá trị a trong cột s và giá trị a trong cột svà lấy tổng các xác suất của các khoá tơng ứng.Vì Oscar muốn tăng cực đại cơ hội đánh lừa Bob nên anh ta tính : P S = max{payoff(s,a;s,a);sS,ss,aR} Đại lợng p,kí hiệu để Oscar đánh lừa Bob bằng một phép thay thế khi đã quan sát đợc bản tin (s,a) trên kênh. Bây giờ phải làm thế nào để tính để tinhs xác suất lừa bịp Pd 1 ?Rõ ràng là ở đây ta ta phải tính trung bình các giá trị của lợng p S theo các xác suất p M (s,a) quan sát các bản tin trên kênh.Nghĩa là Pd 1 đợc tính bằng : Pd 1 = (S,a) M p M (s,a).p M (10.2) Phân bố xác suất p M nh sau: P M (s,a) =p s (s)x p K (as) =p S (s)x (K K; ek(s)=a) p K (K) =p S (s)xpayoff(s,a) Trong ví dụ 10.1: Payoff(s,a) =1/3 Với s,a,s,a,ss .Bởi vậy Pd 1 =1/3 đối với mọi phân tố xác suất p S (nói chung Pd 1 phụ thuộc vào p S ). Trong ví dụ sau đây sẽ xét việc tính Pd 0 và Pd 1 . Ví dụ 10.2: Xét ma trận trên hình 10.4Giả sử các phân bố xác suất trên S và K là: P S (i)=1/4 1 i 4 và p K (1)=1/2 ; p K (2)=p K (3)=1/4 . Cng Trang 1 Chơng 10 CáC M XáC THựC 10 .1 Mỏ ĐầU Ta đã dành nhiều thời gian để nghiên cứu các hệ mật đợc dùng để đảm bảo độ mật .Mã xác thực sẽ cung cấp phơng pháp bảo đảm tình toàn. nhãn xác thực e k (s) vào hàng K và cột s của một ma trận M kích thớc K xS .Mảng M đợc mô tả trên hình 10 .3. Hình 10 .3.Ma trận xác thực Khoá 0 1 2 (0,0) 0 0 0 (0 ,1) 1 1 1 (0,2) 2 2 2 (1, 0). kiện của các hệ mật khoá bí mật. 10 .2.Tính xác suất lừa bịp Trong phần này sẽ xét đến việc tính các xác suất lừa bịp.Ta bắt đầu về một mã xác thực. Ví dụ 10 .1 Giả sử K=R=Z và K=Z 3 xZ 3