Tìm hiểu và nghiên cứu các đảm bảo xác thực thay cho đảm bảo mật phần 2 pptx

Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 6 Hình 10.4 Ma trận xác thực Khoa 1 2 3 4 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 3 1 2 2 1 Các giá trị payoff(s,a) nh sau : Payoff(1,1) =3/4 Payoff(1,1) =1/4 Payoff(2,1) =1/2 Payoff(2,2) =1/2 Payoff(3,1) =3/4 Payoff(3,2) =1/4 Payoff(4,1) =1/4 Payoff(4,2) =3/4 Bởi vậy Pd 0 =3/4 .Chiến lợc đánh lừa tối u của Oscar là đa một thông báo bất kì trong số các thông báo (1,1),(3,1) hoặc (4,2) vào kênh. Bây giờ ta sẽ chuyển sang tính Pd 1 .Trớc hết ta đa các giá trị khác nhau của payoff(s,a;s,a). (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) (3,1) (3,2) (4,1) (4,2) (1,1) (1,2) 2/3 0 1/3 1 2/3 1 1/3 0 1/3 1 2/3 0 (2,1) (2,2) 1 1/2 0 1/2 0 1/2 1 1/2 0 1/2 1 1/2 (3,1) (3,2) 2/3 1 1/3 0 2/3 0 1/3 1 0 1 1 0 (4,1) (4,2) 1 2/3 0 1/3 0 2/3 1 1/3 0 1 1 0 Nh vậy ta có p 1.1 =2/3,p 2.2 =1/2,p 3.3 =1 với mọi giá trị s,a khác .Khi đó việc đánh giá Pd 1 sẽ trở nên rất đơn giản:Pd 1 =7/8.Chiến lợc thay thế tối u của Oscar là: (1,1) (2,1) (1,2) (2,2) (2,1) (1,1) (2,2) (1,1) (3,1) (4,2) (3,2) (1,1) (4,1) (1,1) (4,2) (3,1) Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 7 Chiến lợc này thực sự dẫn đến Pd 1 =7/8 Việc tính toán Pd 1 trong ví dụ 10.2 dễ hiểu nhng khá dài dòng .Trên thực tế có thể đơn giản hóa việc tính Pd 2 dựa trên nhận xét là ta đã thực hiện việc chia cho đại lợng payoff(s,a) khi tính P s,a và sau đó Lại nhân với payoff(s,a) khi tính Pd 1 .Dĩ nhiên là hai phép tính này loại bỏ nhau.Giả sử định nghĩa : q s,a =max{ AassSsKp asekasekKK K == ',',':)( 'Ư})'(,)(:{ } Với mọi s,a. Khi đó có công thức đơn giản hơn sau: 10.3.Các giới hạn tổ hợp Ta đã thấy ràng độ an toàn của một mã xác định đợc đo bằng Các xác xuất lừa bịp . Bởi vậy cần xây dựng các mã sao cho các xác Xuất này nhỏ tới mức có thể .Tuy nhiên những khía canh khác cũng Rất qoan trọng .Ta xem xét một số vấn đề cấn qoan tâm trong mã xác thực . 1.Các xác xuất lừa bịp Pd 0 và Pd 1 phải đủ nhỏ để đạt đợc mức an toàn mong muốn . 2.số các trạng thái nguồn phải đủ lớn để có thể truyền các thông tin cần thiết bằng cách gán một nhãn xác thực vào một trạng thái nguồn . 3. Kích thớc của không gian khóa phải đợc tối thiểu hóa và các giá trị của khóa phải truyền qua một kênh an toàn (Cần chú ý rằng phải thay đổi khóa sau mỗi lần truyền tin giống nh khi dùng OTP). Trong phần này sẽ xác địinh giới hạn dới đối với các xác suất lừa bịp và chúng đợc tính theo các tham số của mã.Hãy nhớ lại rằng ta đã định nghĩa mã xác thực là một bộ bốn (S,R,K,E).Trong phần này ta sẽ ký hiệu R=l Giả sử cố định một trạng thái nguồn sS.Khi đó có thể tính : a R payoff(s,a)= a R (K K :ek(s)=a} p K (K) = K K p K (K) =1 Bởi vậy với mỗi sS,tồn tại một nhãn xác thực a(s) sao cho : Payoff(s,a(s))1/l. Dễ dàng rút ra định lý sau: Đinh lý 10.1 Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 8 Giả sử (S,R,K,E) là một mã xác thực .Khi đó Pd 0 1/l trong đó l= R .Ngoài ra Pd 0 =1/l khi và chỉ khi : {K K :ek(s)=a} p(K)=1/l (10.4) với mỗi s S,a R. Baauy giờ ta sẽ chuyển sang phơng pháp thay thế .Giả sử cố định s,a và s ,ss .Ta có: { 1 )( )( )( )( ),;','( })(:{ })(: '' })(:{ }')'(,)(:{ == = = = = == asekKK K asekKK K RaRa asekKK K asekasekKK K Kp Kp Kp Kp asaspayoff Nh vậy tồn tại một nhãn thực a (s ,s,a) sao cho : Payoff(s ,a (s ,s,a) :s,a)1/l Định lý sau sẽ rút ra kết quả : Định lý10.2 Giả sử (S,R,K,E) là một mã xác thực .Khi đó Pd 1 >=1/l trong đó L= R .Ngoài ra Pd 1 1/l khi và chỉ khi : l Kp Kp asekKK K asekasekKK K /1 )( )( })(:{ }')'(,)(:{ = = == Với mỗi s,s S,s=s ,a,a R Chứng minh Ta có : Pd 1 = (s,a) M p M (s,a).p s,a (s,a) M p M (s,a)/l = 1/l Ngoài ra dấu bằng chỉ tồn tại khi và chỉ khi p s,a =1/l với mỗi (s,a) .Tuy nhiên điều kiện này lại tơng đơng với điều kiện : Payoff(s ,a ;s,a)=1/l với mọi (s,a). Định lý 10.3 Giả sử (S,R,K,E) là một mã xác thực trong đó l= R .Khi đóPd 0 =Pd 1 =1/l khi và chỉ khi : 2 }')'(,)(:{ /1)( lKp asekasekKK K = == (10.6) Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 9 Vớ mọi s,s S,a,a R,s s Chứng minh Các phơng trình (10.4)và (10.5) boa hàm phơng trình (10.6).Ngợc lại , phơng trình (10.6) kéo theo các phơng trình (10.4) và(10.5). Nừu các khóa là đồng khả năng thì ta nhận đợc hệ quả sau: Hệ quả 10.4: Giả sử (S,R,K,e) là một mã xác thực ,trong đó l=R và các khoá chọn đồng xác suất.Khi đó Pd 0 =Pd 1 =1/l khi và chi khi : {KK :e K (s)=a,e K (s)=a}=K/l 2 (10.7) Với mọi s,sS,ss,a,aR. 10.3.1.Các mạng trực giao Trong phần này ta xét các mối liên quan gia các mã xác thực và các cấu trúc tổ hợp đợc gọi là các mảng trực giao.Trớc tiên ta sẽ đa ra các định nghĩa: Định nghĩa 10.2: Một mạng trực giao 0A(n,k, )là một mảng kích thớc n 2 xk chứa n kí hiệu sao cho trong hai cột bất kì của mảng mỗi cặp trong n 2 cặp kí hiệu chỉ xuất hiện trong đúng hàng. Các mạng trực giao là các cấu trúc đã đợc nghiên cứu kĩ trong lí thuyets thiết kế tổ hợp và tơng đơng với các cấu trúc khác nh các hình vuông Latinh trực giao hỏi các lới Trong hình 10.5 ta đa ra một mảng trực giao 0A(3.3.1) nhận đợc từ ma trận xác thực ở hình 10.3. Hình 10.5. 0A(3.3.1) 012 201 120 102 021 210 222 111 000 Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 10 Có thể dùng một mảng trực giao bất kì 0A(n,k,) để xây dựng một mã xác thực có Pd 0 =Pd 1 =1/n nh đợc nêu trong định lí sau: Định lí 10.5. Giả sử có một mảng trực giao 0A(n,k, ).Khi đó cùng tồn tại một mã xác thực (S,A,K,E).trong đó S =k, R =n, K = n 2 và Pd 0 =Pd 1 =1/n. Chứng minh: Hãy dùng mỗi hàng của mảng trực giao làm một quy tắc xác thực với xác suất nh nhau bằng 1/(n 2 ).Mối liên hệ tơng ứng gia mảng trực giao và mã xác thực đợc cho ở bảng dới đây.Vì phơng trình (10.7) đợc thoả mãn nên ta có thể áp dụng hệ quả 10.4 để thu đợc một mã xác thực có các tính chất đã nêu. Mảng trực giao Mã xác thực Hàng Quy tắc xác thực Cột Trạng thái nghuồn Kí hiệu Nhãn xác thực 10.3.2.Phơng pháp xây dựng và các giới hạn đối với các 0A Giả sử ta xây dựng một mã xác thực từ một 0A(n,k,).Tham số n sẽ xác định số các nhãn (tức là độ an toàn của mã).Tham số k xác định số các trạng thái nguồn mà mã có thể thích ứng.Tham số chỉ quan hệ tới số khoá (là n 2 ).Dĩ nhiên trờng hợp =1là trờng hợp mong muốn nhất tuy nhiên ta sẽ thấy rằng đôi khi cần phải dùng các mảng trực giao có lớn hơn.Giả sử ta muốn xây dựng một mã xác thực ới tập nguồn xác định S và có một mức an toàn xác định (tức là để Pd 0 < và Pd 1 <).Khi đó mảng trực giao thích hợp phải thoả mãn các điều kiện sau: 1. n 1/ 2. k S.(Xét thấy có thể loại một hoặc một số cột khỏi mảng trực giao và mảng kết quả vẫn còn là một mảng trực giao,bởi vậy không đòi hỏi k=S). 3. đợc tối thiểu hoá ,tuỳ thuộc vào các điếu kiện trên đợc thoả mãn Trớc tiên xét các mảng trực giao có =1 .Với một giá trị n cho trớc ,ta cần làm cực đại hoá số cột,sau đây là một số điều kiện cần để tồn tại . . Hình 10.4 Ma trận xác thực Khoa 1 2 3 4 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 3 1 2 2 1 Các giá trị payoff(s,a) nh sau : Payoff(1,1) =3/4 Payoff(1,1) =1/4 Payoff (2, 1) =1 /2 Payoff (2, 2) =1 /2 Payoff(3,1). đa các giá trị khác nhau của payoff(s,a;s,a). (1,1) (1 ,2) (2, 1) (2, 2) (3,1) (3 ,2) (4,1) (4 ,2) (1,1) (1 ,2) 2/ 3 0 1/3 1 2/ 3 1 1/3 0 1/3 1 2/ 3 0 (2, 1) (2, 2). 1/3 1 2/ 3 0 (2, 1) (2, 2) 1 1 /2 0 1 /2 0 1 /2 1 1 /2 0 1 /2 1 1 /2 (3,1) (3 ,2) 2/ 3 1 1/3 0 2/ 3 0 1/3 1 0 1 1 0 (4,1) (4 ,2) 1 2/ 3 0 1/3 0 2/ 3 1 1/3 0 1 1 0