www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ Câu I. Cho phỷơng trình cos2x = mcos x 1 + tg 2 , trong đó m là tham số. 1) Giải phỷơng trình vớim=1. 2)Tìmmđểphỷơng trình có nghiệm trong đoạn [0 ; 3]. Câu II. Tìm a, b, c để |4x 3 +ax 2 +bx+c|Ê 1 với mọi x ẻ [-1 ; 1]. Câu III. Trong tam giác ABC, đặt a = BC, b = CA, c = AB. Giả sử 4 $ A =2 $ B = $ C . Chứng minh rằng 1) 1 a = 1 b + 1 c ; 2) cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C= 5 4 . Câu IVa. Với mỗi số nguyên dỷơng k, đặt I k = 1 e ln k x dx . Xác định k để I k <e-2. Câu Va. Viết phỷơng trình các đỷờng trung trực của tam giác ABC, biết trung điểm của các cạnh là : M(-1, -1), N(1, 9), P(9, 1). Câu IVb. S.ABC là một hình chóp tam giác đều với cạnh đáy bằng a, đỷờng cao SH = h. 1) Tính theo a và h các bán kính r, R các hình cầu nội, ngoại tiếp của hình chóp. Câu Vb. Chứng minh rằng nếua+b 2, thì với mọi n ẻ N * a n +b n Ê a n+1 +b n+1 . Câu I. Điều kiện cosx tgx + ỡ ớ ù ù ợ ù ù 0 10 1) Đặt t = tgx, phỷơng trình đã cho trở thành 1+t =1-t t= 1 t=0 t= 1- 5 2 2 - ỡ ớ ù ù ù ù ù ù ợ ù ù ù ù ù ù Từ đó xk=- + p p 4 ,x=kp,x=a +kp (k ẻ Z) trong đó tg = 1- 5 2 a 2) Đặt t = tgx thì x ẻ 0; 3 t[0;3] p ộ ở ờ ự ỷ ỳ ẻ khi đó phỷơng trình đã cho trở thành f(t) = 1-t 1+t =m 2 Ta có f'(t) = -3t - 4t - 1 2(t + 1) 1 + t <0 2 với t[0;3]ẻ Suy ra f(3) Ê m Ê f(0) ÊÊ -2 1+ 3 m1 Câu II. Trỷớc hết ta chứng minh |4x 3 + bx| Ê 1với x ẻ [-1;1] b = -3. Thật vậy : Vớib=-3thì4x 3 - 3x = x(4x 2 -3)Ê 1 với x ẻ [-1 ; 1]. Ngỷợc lại, |4x 3 + bx| Ê 1 với x ẻ [-1;1]: x=1:|4+b|Ê 1 ị b Ê -3 x= 1 2 :| 1 2 + b 2 |1Ê b -3 Bây giờ với |4x 3 +ax 2 +bx+c|Ê1 với x ẻ [-1 ; 1], ta xét j()x =4x 3 +ax 2 +bx+c, j (-x) = -4x 3 +ax 2 -bx+c, jj() ( )xx xbx =+ 2 4 3 ; (*) www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________________________ mà |j(x)| Ê 1xẻ [-1;1]ị |j(-x)| Ê 1 với x ẻ [-1 ; 1]. Nhỷ vậy từ (*) suy ra |4x 3 + bx| = jj jj () ( ) () ( ) xx xx Ê +- Ê 22 1 với x ẻ [-1;1] b = -3. Từ đó ta có : -1 Ê 4x 3 +ax 2 - 3x+ c Ê 1 với x ẻ [-1 ; 1]. Với x=1: -1Ê 4+a-3+cÊ 1 ị a+cÊ 0 Với x=-1:-1Ê -4+a+3+cÊ 1 ị a+c 0 ị a + c =0. (1) Vớix= 1 2 ta cũng suy ra : a 4 +c=0 . (2) Từ hệ (1) và (2) suy ra a=c=0. Vậy để |4x 3 +ax 2 +bx+c|Ê 1 với x ẻ [-1; 1] ta phải cóa=c=0,b=-3. Câu III. 1) A+B+C=p 4A=2B=C Định lí hàm sin cho : a = 2Rsin p 7 , b = 2Rsin 2 7 p . c = 2Rsin 4 7 1 b + 1 c = p 1 2R 1 sin 2 7 + 1 sin 4 7 = pp ổ ố ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ = 1 2R . sin 2 7 +sin 4 7 sin 2 7 .sin 4 7 = pp pp 1 2R . 2sin 3 7 .cos 7 2sin 7 .cos 7 sin( - 3 7 ) = pp pp p p = 1 2Rsin 7 = 1 a p . 2) cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = cos 2 A+ 1+cos2B 2 + + 1+cos2C 2 = 1 - 2cosAcosBcosC . (*) Cũng dùng định lí hàm sin : a sinA = b sinB a sinA = b sin2A cosA = b 2a . Tỷơng tự: cosB = c 2b , cosC = - a 2c Nhỷ vậy: cosAcosBcosC = b 2a . c 2b a 2c =- 1 8 ổ ố ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ . Thay vào (*) : cos 2 A+ cos 2 B + cos 2 C= 1+ 1 4 = 5 4 . www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________________________ www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng __________________________________________________________________ Câu IVa. e 1 ee k 11 I lnkdx lnxdx (e 1)lnk xlnx== e 1 dx (e 1)ln k 1+= Phải có (e 1)lnk 1 < e 2 (e 1)(lnk 1) < 0. Vì e > 1, nên suy ra lnk < 1 = lne k < e. Do k là số nguyên dơng, nên chỉ có thể chọn k = 1 hoặc k = 2. Câu Va. Giả sử M, N, P lần lợt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB Vì NP//BC, nên đờng trung trực ( M d ) vuông góc với NP. Ta có NP JJJG = (8 ; 8), mà vectơ chỉ phơng M u G của ( M d ) vuông góc với NP JJJG , suy ra có thể lấy M u G = (1 ; 1), tức ( M d ) có hệ số góc k = 1, thành thử ( M d ) có phơng trình y = (x + 1) 1 = x Lập luận tơng tự ta đợc phơng trình đờng trung trực ( N d ) : y = 5x + 14 và phơng trình đờng trung trực P (d ): x14 y 55 = + . Câu IVB. 1) Gọi I là tâm cầu ngoại tiếp của hình chóp đều. Chân H của đờng cao SH là tâm cầu ngoại tiếp của tam giác đều ABC và I nằm trên SH. Ta có : 22 2 2 2 RISIAAHHI== + + 2 2 a (h R) 3 =+ , từ đó suy ra : 22 a3h R 6h + = . Gọi J là tâm cầu nội tiếp của hình chóp, J cũng nằm trên SH ; hình cầu nội tiếp tiếp xúc với đáy tại H và tiếp xúc với đáy tại H và tiếp xúc với mặt bên SBC tại điểm T nằm trên SA', với A' là trung điểm của BC, ta có r = JH = JT. Các tam giác vuông SJT và AHA' là đồng dạng suy ra JT SJ HA' SA' = hay 22 22 rhr h a3/6 ha/12a3/6 ha/12 == +++ 22 ah r aa12h = ++ 2) 2 22 2 2 r6ah R (a 3h )(a a 12h ) = +++ Gọi là góc nhọn với 2 2 2 h tg 12 a = ; tức là 23h tg a = , hay a3tg h 6 = . Thế thì 2 22 r2tg k R (4 tg )(1 1 tg ) == = +++ 22 22 2sin cos 2cos (1 cos ) (1 cos )(1 3cos ) (1 cos )(1 3cos ) === ++ ++ 2 2cos (1 cos ) 13cos = + ; từ đây ta suy ra phơng trình đối với cos (2 + 3k) 2 cos 2cos + k = 0 (1) Để phơng trình có nghiệm, trớc hết phải có www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng __________________________________________________________________ ' = 1 k(2 + 3k) = 3 2 k 2k + 1 0 hay 3 2 k + 2k 1 0 1 k 1 3 . Nhng k > 0, vậy 0 < k 1 3 . Thành thử r k R = chỉ có thể lấy giá trị lớn nhất 1 k 3 = . Với giá trị này (1) trở thành 3 2 cos 2cos + 1 3 = 0 cos = 1 3 (chấp nhận đợc). Khi đó tg 2 2= , a3tg a6 h 63 == . Tóm lại với giá trị trên của h thì tỉ số r R đạt giá trị lớn nhất bằng 1 3 . Để ý rằng khi đó 22 222 2 a2a SA AH SH a 33 = +=+= SA = a, S.ABC là hình chóp đều. Câu Vb. Kết quả phải chứng minh, suy ra từ bất đẳng thức kép sau đây : n n n n n1 n1 ab abab a b . 222 2 + + +++ + . Chứng minh. 1) Vai trò a, b nh nhau, nên có thể coi rằng a b. Cùng với a + b 2 a + b > 0 a > b ; suy ra a b n nnnn ab b ab0+. Vì ab 1 2 + , nhân hai vế của bất đẳng thức này với nn ab 2 + 0 ta đợc nn nn ab abab . 222 +++ . 2) Bất đẳng thức n n n1 n1 aba b a b . 22 2 + + ++ + tơng đơng với (a + b) n n n1 n1 (a b ) 2(a b ) + + + + hay 0 (a b)( nn ab ) ; suy ra từ giả thiết ở trên vì a b, nn ab . . 1xẻ [-1 ;1]ị |j(-x)| Ê 1 với x ẻ [-1 ; 1]. Nhỷ vậy từ (*) suy ra |4x 3 + bx| = jj jj () ( ) () ( ) xx xx Ê +- Ê 22 1 với x ẻ [-1 ;1] b = -3 . Từ đó ta có : -1 Ê 4x 3 +ax 2 - 3x+ c Ê 1 với x ẻ [-1 . Vớib =-3 thì4x 3 - 3x = x(4x 2 -3 )Ê 1 với x ẻ [-1 ; 1]. Ngỷợc lại, |4x 3 + bx| Ê 1 với x ẻ [-1 ;1]: x=1:|4+b|Ê 1 ị b Ê -3 x= 1 2 :| 1 2 + b 2 |1Ê b -3 Bây giờ với |4x 3 +ax 2 +bx+c|Ê1 với x ẻ [-1 . thành f(t) = 1-t 1+t =m 2 Ta có f'(t) = -3 t - 4t - 1 2(t + 1) 1 + t <0 2 với t[0;3]ẻ Suy ra f(3) Ê m Ê f(0) ÊÊ -2 1+ 3 m1 Câu II. Trỷớc hết ta chứng minh |4x 3 + bx| Ê 1với x ẻ [-1 ;1] b = -3 . Thật