www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ Câu I. Cho hàm y= x+x-3 x+2 2 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2) Từ kết quả đó, hãy suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số y= x+x-3 |x + 2| 2 . 3) Tìm các điểm thuộc trục hoành sao cho từ mỗi điểm ấy có thể vẽ đỷợc đúng một tiếp tuyến với đồ thị ở phần 1). Câu II. 1) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, thì ta có a(b-c) 2 +b(c-a) 2 +c(a+b) 2 > a 3 +b 3 +c 3 . 2) Tìm mọi cặp số x, y thỏa mãn phỷơng trình (cos x + 1 cos x )+(sinx+ 1 sin x ) = 12 + 1 2 siny 2 2 22 2 2 . Câu III. 1) Giải và biện luận phỷơng trình 33 3 (x+a) +m (x-a) =(m+1) x -a 2222 theo các tham số a, m. 2) Chứng minh rằng nếu x, y, z thỏa mãn điều kiện x 2 +y 2 +z 2 =1, thì ta có - 1 2 Ê xy+yz+zxÊ 1. Câu I. 1), 2) Bạn hãy tự giải nhé! 3) Trỷớc hết, lập phỷơng trình đỷờng thẳng qua A (x o , 0) có hệ số góc bằng k: y=k(x-x o ). Hoành độ tiếp điểm của đỷờng thẳngy=k(x-x o ) với đồ thị hàm số ở phần 1) là nghiệm của hệ x+x-3 x+2 =k(x-x)(1) x+4x+5 (x + 2) =k (2) 2 o 2 2 ỡ ớ ù ù ù ù ù ợ ù ù ù ù ù Thế k từ (2) vào (1) ta đỷợc Ô(1 - x )x + 2(3 - 2x )x + 6 - 5x = 0 (x - 2) o 2 oo (3) Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì (3) có nghiệm duy nhất ạ -2. ãx=-2:(3)trở thành : x o = -2. Khi đó nghiệm kia của (3) là x= 6-5x (1 - x )x =- 8 3 o oo ã 1-x o =0:(3)trở thành 2x+1=0 x= - 1 2 ãD=(3-2x o ) 2 -(1-x o )(6-5x o )=0 x+x-3=0 x= -1 13 2 o 2 o Kết luận : Có 4 điểm : (-2,0);(1,0); -1- 13 2 ,0 ổ ố ỗ ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ và -1+ 13 2 ,0 ổ ố ỗ ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ . Câu II. 1) a(b-c) 2 +b(c-a) 2 +c(a+b) 2 > a 3 +b 3 +c 3 a[(b - c) 2 -a 2 ]+b[(c-a) 2 -b 2 ]+c[(a+b) 2 -c 2 ] > 0 a(b-c-a)(b-c+a)+b(c-a-b)(c-a+b)+c(a+b c)(a+b+c)> 0 (a+b-c)[a(b-c-a)+b(a-b-c)+c(a+b+c)]> 0 c 2 -(a 2 +b 2 ) + 2ab > 0 c 2 -[a 2 +b 2 - 2ab] > 0 www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________________________ c 2 > (a-b) 2 c > |a - b|. Bất đẳng thức sau cùng đúng vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác. 2) Dễ nhận thấy rằng 12 + 0,5siny Ê 12,5. Mặt khác: A= cos cos sin sin 2 2 2 2 2 2 11 x x x x + ổ ố ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ++ ổ ố ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ = (cos 4 x + sin 4 x) + 1 cos x + 1 sin x +4= 44 ổ ố ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ = 1- 1 2 sin 2x + 1- 1 2 sin 2x 1 16 sin 2x +4= 2 2 4 5- 1 2 sin 2x + 8(2 - sin 2x) sin 2x 2 2 4 (0 < sin 2 2x Ê 1). Nhận thấy rằng khi sin 2 2x tăng thì A giảm, do đó khi sin 2 2x = 1 thì A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 12,5. Vậy ta có kết quả : (x , y) là nghiệm của phỷơng trình ban đầu khi và chỉ khi (x , y) là nghiệm của hệ: sin 2 2x=1 x= pp 42 + k siny=1 y= p 2 +2mp (k, m ẻ Z). Câu III. 1)Xéta=0.Lúcđóphỷơng trình có dạng : 3x +m3x =(m+1)3x 22 2 . (*) Dù m nhận giá trị nào đó thì (*) vẫn thỏa mãn với mọi x. Xét a ạ 0 ; Khi đó số x = a không phải là nghiệm, ta có thể chia hai vế cho 3(x-a) 2 và đỷợc : 3 x+a x-a + m = (m + 1)3 x+a x-a 2 ổ ố ỗ ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ . Đặt t= 3 x+a x-a thì sẽ có : t 2 -(m+1)t+m=0 t 1 =1;t 2 =m. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________________________ a) x+a xa- =1:vô nghiệm (do a ạ 0). b) x+a xa- =m 3 . Điều kiện x ạ a. Ta có x+a=m 3 (x - a) hay (m 3 -1)x=(m 3 + 1)a. (**) Nếu m ạ 1thì x= m+1 m-1 a 3 3 ổ ố ỗ ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ . Nếu m=1thì (**) vô nghiệm (vì a ạ 0). Kết luận : Nếu a = 0 thì với mọi m, phỷơng trình nghiệm đúng với mọi x . Nếu a ạ 0;mạ 1:phỷơng trình có nghiệm duy nhất : x = m+1 m-1 a 3 3 ổ ố ỗ ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ . Nếu a ạ 0;m=1:phỷơng trình vô nghiệm. 2) Ta có : 0 Ê (x+y+z) 2 =x 2 +y 2 +z 2 +2(xy+yz+zx)==1+2(xy+yz+zx) xy+yz+zx - 1 2 . Mặt khác lại có: 0 Ê (x-y) 2 +(y-z) 2 +(z-x) 2 == 2(x 2 +y 2 +z 2 )-2(xy+yz+zx)==2-2(xy+yz+zx)ị xy+yz+zxÊ 1. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________________________ www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ___________________________________________________________________ Câu IVa. 11 2 2 00 dx 1 1 Idx x1 x2 [(x 1)(x 2)] == ++ ++ 11 1 22 00 0 dx dx 1 1 2dx x1 x2 (x 1) (x 2) =+ ++ ++ 2 3 = + 2ln3 4ln2 Câu Va. 1) Giả sử oo D(x , y ) thuộc () sao cho A, B, C, D là một hàng điểm điều hòa. Khi đó ta có : CA kCB= JJJG JJJG và DA kDB= JJJG JJJG ; CA JJJG = (1/2 ; 1), CB JJJG = (3/2 ; 3) 1 k 3 = ; oo oo 1 DA ( x ; 1 y ) (2 x ; 3 y ) 3 = = = JJJG 1 DB 3 = J JJG o o x1 y3, = = vậy D(1, 3) là điểm phải tìm. 2) Gọi tọa độ của điểm M là oo (x , y ) ta có M oo 2x y 1 0= . (1) oo EM (x 1 ; y 6)= JJJJG , oo FM (x 3 ; y 4)=+ + JJJG Do đó oo EM FM (2x 2 ; 2y 2)+= + JJJJG JJJG và 22 oo EM FM 2 (x 1) (y 1)+= ++ JJJJG JJJG 22 oo 2(x 1) 4(x 1)=++ (do (1)) 2 oo 25x 6x 5=+ min 85 EM FM 5 += JJJJG JJJG , đạt đợc tại o 3 x 5 = , o 1 y 5 = . Điểm cần tìm là 31 M, 55 . Câu IVb. 1) Do n o BSC 60= nên SBC là tam giác đều và vì vậy BC = a. Do ASC là tam giác vuông cân nên AC a 2= . Còn ABS là tam giác cân có góc ở đỉnh là o 120 nên AB a 3= . Để ý rằng 222 AB AC CB=+ nên n o ACB 90= . 2) Do SA = SB = SC = a nên H cách đều A, B, C. Do n o ACB 90= nên H là trung điểm của AB. 3) Gọi r là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện SABC. Ta có : 3V r S = , trong đó V là thể tích, S là diện tích toàn phần của SABC. Ta dễ dàng tính đợc 2222 2 a2a3a a3 S 2424 a (3 2 1) 2 =+++ =++ , a www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ___________________________________________________________________ 23 11aa2a2 VSH.dt(ABC) 332212 ===. Vậy a2 r 2 321 = + + . 4) Rõ ràng góc phẳng của nhị diện cạnh AB bằng o 90 . Gọi I là trung điểm của BC thì HI BC và n a SH 2 2 tgSIH IH 2 a2 2 == =. Tơng tự n a SH 2 tgSJH 1 a JH 2 === . Vậy n o SJH 45= . Câu Va. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn, cho đỷờng thẳng (D)cóphỷơng trình 2x-y-1=0, và cho 5 điểm : A(0, -1), B(2, 3), C( 1 2 , 0), E(1, 6), F(-3, -4). 1) Kiểm nghiệm rằng các điểm A, B, C thuộc đỷờng thẳng (D). Tìm trên (D) điểm D sao cho 4 điểm A, B, C, D lập thành hàng điểm điều hòa. 2) Tìm điểm M trên (D) sao cho vectơ EM FM + có độ dài nhỏ nhất. Câu IVb. Cho góc tam diện Sxyz đỉnh S, với xSy = 120 0 , ysz =60 0 , zsx = 90 0 . Trên các tia Sx, Sy, Sz theo thứ tự lấy các điểm A, B, C sao cho SA=SB=SC=a. 1) Chứng tỏ rằng ABC là một tam giác vuông. 2) Xác định hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng (ABC). 3) Tính bán kính hình cầu nội tiếp của tứ diện SABC. 4) Tính các góc phẳng các nhị diện cạnh AB, BC, CA trong tứ diện SABC. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ . a(b-c) 2 +b(c-a) 2 +c(a+b) 2 > a 3 +b 3 +c 3 a[(b - c) 2 -a 2 ]+b[(c-a) 2 -b 2 ]+c[(a+b) 2 -c 2 ] > 0 a(b-c-a)(b-c+a)+b(c-a-b)(c-a+b)+c(a+b c)(a+b+c)> 0 (a+b-c)[a(b-c-a)+b(a-b-c)+c(a+b+c)]>. )x =- 8 3 o oo ã 1-x o =0:(3)trở thành 2x+1=0 x= - 1 2 ãD=( 3-2 x o ) 2 -( 1-x o )( 6-5 x o )=0 x+x-3=0 x= -1 13 2 o 2 o Kết luận : Có 4 điểm : (-2 ,0);(1,0); -1 - 13 2 ,0 ổ ố ỗ ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ và -1 +. đỷợc Ô(1 - x )x + 2(3 - 2x )x + 6 - 5x = 0 (x - 2) o 2 oo (3) Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì (3) có nghiệm duy nhất ạ -2 . ãx =-2 :(3)trở thành : x o = -2 . Khi đó nghiệm kia của (3) là x= 6-5 x (1 - x